Expresiones algebraicas (1º ESO) Lenguaje numérico y lenguaje algebraico. El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje



numérico.

EJEMPLOS Lenguaje usual Catorce dividido entre siete Dos elevado al cuadrado La tercera parte de dieciocho

Lenguaje numérico 14 : 7 22 18 3

El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje



algebraico.

EJEMPLOS Lenguaje usual La suma de dos números Un número menos tres unidades El cuadrado de un número La mitad de un número

1.

Lenguaje algebraico a+b y–3 b2 x 2

Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda. Lenguaje usual La suma de once más nueve es veinte Cien dividido entre veinte La cuarta parte de veinte es cinco Dos elevado al cubo es ocho

Lenguaje numérico

32 : 8 3·4 2.

Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico. a) b) c) d)

La mitad de un número El triple de un número menos cinco unidades El anterior a un número entero El posterior a un número entero

e) El cuadrado de la suma de dos números f) El doble de la suma de tres números

(m + 2)2 n–1 2·(a + b + c) x+1

m 2 3·b–5

Expresión algebraica Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones matemáticas.

EJEMPLOS Expresión escrita La suma de dos números menos dos El triple de un número más cinco El cuadrado de un número más la unidad

Expresión algebraica x+y –2 3·x+5 x2 + 1

1

1.

Escribe estos enunciados como expresión algebraica. a) b) c) d) e)

2.

El doble de un número b. El doble de la suma de dos números (m y n). El cuadrado de un número x más 4 unidades. El producto de tres números a, b. c. El doble de un número p más tres unidades.

Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica. a) El doble de un número más dos unidades b) Un número disminuido en cinco unidades c) La tercera parte de un número d) El cubo de un número e) El doble de un número f) Un número aumentado en diez unidades g) La diferencia de dos números h) El número siguiente a un número entero i) El producto de dos números j) Los dos quintos de la suma de dos números k) La raíz cuadrada de la suma de dos números

x–5 x 3 2x + 2 x + 10 2x x3 x+1 x–y ab 2

ab 2 a  b  5

l) La mitad de la suma de dos números

3.

Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico. Expresión Los años que tenía el año pasado Los años que tendrá dentro de dos años La edad que tenía hace 5 años La edad que tendrá dentro de 7 años Los años que faltan para que cumpla 70 años La mitad de los años que tiene El cubo de la edad que tendrá dentro de 3 años

4.

Lenguaje algebraico

Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas. a) b) c) d) e) f)

5.

m·n

n+1→ a+b→ b  2 2 · (m – n) → x3 – 1 → 2·x+1→

Contesta con expresiones algebraicas. a)

Luís tiene hoy t años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 5 años?

b)

María pesa m kilos y su hermana Silvia 6 kilos menos. ¿Cuántos kilos pesa Silvia?

c)

Marcos tiene x euros en su hucha y saca 12 euros. Unos días después, su abuela le da de propina el doble del dinero que le quedaba en la hucha. ¿Qué le ha dado su abuela?

d)

Hace doce años la edad de Miguel era x años. ¿Cuántos años tiene ahora?

e)

La base de un rectángulo mide x cm. Y su altura 3 cm. más que el doble de la base. ¿Cuánto mide la altura?

2

Monomios Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

EJEMPLOS

1.

Monomio

3x

– 5ab

–7x3

3 x 5

Coeficiente

3

– 5

– 7

3 5

Parte literal

x

ab

x3

x

Completa las tablas. Monomio

Coeficiente

Parte literal

Monomio

x

1

x

2 2 a b 3

– 3xy – x3 – 5xy2

–3

Coeficiente

Parte literal

– 2xyz – 3b2c 6x2y 5  xyz 2 7

1 2 x y 3

Grado de un monomio El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

EJEMPLOS

1.

Monomio – 3x 4a2y – 5x2y3

Grado 1 3 5

Explicación El exponente de x es 1 (x1) La suma de los exponentes de a2y1 es 2 + 1 = 3 La suma de los exponentes de x2y3 es 2 + 3 = 5

Completa la siguiente tabla. Monomio – 3x – 2a3b – 2ab xyz 7ab2c3 6y2z

Coeficiente –3

Parte literal x

Grado 1

Monomios semejantes Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

EJEMPLOS 5x y 2x son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (x) 3xy2 y – xy2 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (xy2) x2y3 y xy2 no son monomios semejantes 1.

Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado. Monomio – 5x – ab – 2yx3 – 3y2z3 2 2 a b 3 5xy

Monomios semejantes

3

Suma y resta de monomios La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes. Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

EJEMPLOS 2x + x = (2 + 1) x = 3x 2x + y → La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes

1.

Realiza las siguientes operaciones. a) b) c)

2.

2x + ______ + _______ = _______ – x2 = _______ + 5p + ______ =

d) 2x3 + _______ = e) _______ + 2xy + ________ = f) 5pq – _______ =

Reduce a un solo monomio las siguientes expresiones. a) b) c)

4.

d) 5x – 3x – x = e) –5x3 – 3x3 = f) p – 2p + 5p =

Completa los huecos con monomios semejantes y calcula. a) b) c)

3.

b+b+b+b= 2x2 + x2 + x2 = 5mn – mn – 4mn =

7x – 5x – x = 0,3x – 0,2x + 0,5x = 1 1 3m  m  m  2 2

d) 8a8 + a8 – 10a8= e) y2 + 7y2 -10y2 + 5y2 = f) 3 t 2  t 2  5t 2  4

Reduce las siguientes expresiones, realizando las sumas y restas posibles. a) b) c) d) e)

3m + n – 4m + 2n = 4x2 – 3x2 + 7y + 3x2 = – a + 2a – 8b + a + 9b = 2p2 – p2 + 3p – 2p = 5b3 – 7b3 + 3b – 4b + 2b3 =

f) 5x3 + 3x – 5 + 8 – 2x = g) 5y2- 5y + 3y2 – y = h) ab – ab + 7ab + 4ab – 2ab = i) 3ab3 – 2ab + 5ab3 – ab + 4ab = j) –10xy – 5xy + 2xy + 4x – 8y + 2y + 2x

Ecuaciones de 1er grado Identidades y ecuaciones 

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=).



Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras.

EJEMPLO x + x = 2x es una identidad Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x: Para x = 1 → 1 + 1 = 2 · 1 → 2 = 2 Para x = –2 → (–2) + (–2) = 2 · (–2) → – 4 = – 4 

Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras. Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, de las letras para que se cumpla la igualdad.

EJEMPLO x + 4 = 10 es una ecuación. Sólo se cumple cuando x = 6 → 6 + 4 = 10

1.

Indica que igualdades son identidades y cuáles ecuaciones. a) b)

x + 8 = 2x – 15 2(x + 2y) = 2x + 4y

d) x2 · x3 = x5 e) 2x + 1 = 11

4

c) 2.

x + x + x = 3x

f)

x  12 2

Indica el valor de x para que se cumpla la igualdad. a) b) c)

x–1=2 x + 7 = 15 x–3=6

d) –x + 10 = 5 e) x + 4 = 12 f) –x – 6 = –10

Elementos de una ecuación 

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que figuran a cada lado del signo igual. Una ecuación tiene primer y segundo miembro.



Los términos de una ecuación son cada uno de los sumandos que forman los miembros.



Los términos numéricos se denominan términos independientes.



Las incógnitas de una ecuación son los valores que desconocemos y representamos con letras.



El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos que forman la ecuación.



Solución de una ecuación es cualquier valor de la incógnita que verifica la igualdad.

EJEMPLO

1.

Ecuación

Primer miembro

Segundo miembro

Términos

Grado

Solución

2x – 3 = x + 1

2x - 3

x+1

2x, –3,x,1

1

x=4

Completa la tabla. 4x – x = x + 8

Ecuación

2 p  12 3



1 t 6t 4 3

Primer miembro Segundo miembro Términos

2.

Completa la tabla.

Ecuación 3 + x = 12 19 – y = 15 10 = 5z 2a – 4 = 1 + a 11 = 9 + b

Términos del 1er miembro

Términos del 2º miembro

Incógnita

Grado

Ecuaciones equivalentes Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. p + 4 = 10 y 2p = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución p = 6.

6 + 4 = 10

2 · 6 = 12

Las transformaciones que permiten pasar de una ecuación a otra equivalente son: 

Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.



Multiplicar o dividir por una misma cantidad, distinto de 0, los dos miembros de la ecuación.

5

1.

La ecuación 3x + 4 = 10 tiene como solución x = 2. Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes a la ecuación 3x + 4 = 10. a)

3x + 10 = 20

b)

3 x  8  5 2

c)

4x + 12 – x = 21

e)

2 x  2x  5  6x 7

f) 2 x  8 

1 x  x9 2

g) 12x – 3x + 10 = 5x + 18

4 h) 1 x  3 x  3 x  4 x  12 x  8  18 9 2 2 Encuentra, tanteando, la solución de las siguientes ecuaciones. Rodea de rojo, aquellas que sean equivalentes. d)

2.

a) b) c) d)

x–2=2 4 + z = –2 x – 1 = –5 x 4 2

e) b – 4 = 1 f) –1 + n = –3 g) –2 – y = – 4 x h)  6 18

i) j) k) l)

2p – 1 = 3 3m = –15 –2x – 4 = 10 2x 2 5

Resolución de ecuaciones de 1er grado Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra (incógnita). Es hallar su solución. 

Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los miembros.



Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos.



Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución).

PRIMER CASO x+7=9→x+7–7=9–7 x=9–7

Lo que está sumando pasa al otro miembro restando.

y–5=8→y–5+5=8+5 y=8+5

Lo que está restando pasa al otra miembro restando.

SEGUNDO CASO

TERCER CASO

3· p  9 

3· p 9  3 3

p

Lo que está multiplicando pasa al otro

9 3

miembro dividiendo.

CUARTO CASO

z z  6  ·4  6·4 4 4 z=6·4

1.

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x + 5 = 7 b)

x + 10 = 3

Lo que está dividiendo pasa al otro miembro multiplicando.

j) 2m + 4 = 16 k) x  1  3

s) x   1

l) 2 – t = 4 m) 3 x  3 2 n) x  1 4 3

t) 2 – 3x = –1 u) 5x + 18 = 3

2

c) d)

x–4=2 7y = 28

e)

–2r = 5

r) 2 x  1 3

5

10

v) –3p – 7 = 8

6

1 3 x 2 4

w)

3x = 15

o) 6z + 4 = 13

x) 3 + y = 0

h)

q + 6 = 14

p) 1  x  5 2 2

y) 4b + 12 = 8

i)

–10 = –n + 3

q) 1  x 

–x + 3 = 2x + 12 5x + 2 = 3x – 2 –2x – x = 10 + 5 m + 3m – 5 = 3 2x – 4 = 5 – 2x 3x – x = 3x + 21 –3x + 5 = 2x – 10

h) 4y – 8 = y + 16 i) 3x + 2x – 1 = 2x – 1 + 3 j) –2x + 1 = 3x + 2 - x k) 3 + m = 5m – 1 + 6 l) q + 3 = 5q + 11 m) 5 + 6x = x + 7 n) 8 – 5t = 8 + 2t

g)

2.

x  1 6

ñ) 3x – 5 = 1

f)

3 5

z) –2a – 6 = 3

Resuelve. a) b) c) d) e) f) g)

ñ) 1 – 2n = 6 – 4n o) 6 + 5y + 2 = 4y – 2 + y p) 12x + 3 – 7x = x – 3 – 2x q) x + 6 – 9x = 4x – 2 – 2x + 8 r) 13 – 3z – 9 = 8z + 4 – 11z s) 6x – 4 – 4x = 1 + 2x - 5 t) –10 – r + 3r = 2r + 4r + 2

Método general de resolución de ecuaciones Resuelve la ecuación 2(z – 4) – (6 + z) = 3z – 4 Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar paréntesis. 2.º Reducir términos semejantes. 3.º Transponer términos. Restamos z en ambos miembros (segundo caso) Sumamos 4 en ambos miembros (primer caso) 4.º Despejar la incógnita. Dividimos ambos miembros entre 2 (tercer caso)

1.

2z – 8 – 6 – z = 3z – 4 z – 14 = 3z – 4 z – z – 14 = 3z – z - 4 – 14 = 2z – 4 – 14 + 4 = 2z – 4 + 4 – 10 = 2z 10 2z   5  z 2 2

Resuelve estas ecuaciones. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

3x + 8 – 5(x + 1) = 2(x + 6) – 7x 5(y – 1) – 6y = 3y – 9 3(3x + 1) – (x – 1) = 6 (x + 10) 2(a – 5) = 3(a + 1) – 3 4(b – 2) + 1 = 5(b + 1) – 3b 3(x – 3) = 5(x – 1) – 6x 3(q + 2) + 4(2q + 1) = 11q – 2(q + 6) 5(x – 4) + 30 = 4(x + 6) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x)

j) 5(m – 3) + 8m = 6m – 5 + m k) 2 – (3z – 5) = 4 – 2z + 3 - z l) 3(p + 4) – 6p = 8 – 3(p – 5) m) 3 + 2(2x – 3) = 4x – (x + 3) n) 5(3x – 1) – 2(4x – 3) = 15 ñ) 15 – 6(2x – 4) = 8 + 2(5x-1) o) 5d – (1 – d) = 3(d – 1) + 2 p) 2(1 – x) – 3 = 3(2x + 1) + 2 q) 6 – 8(n + 1) – 5n = 2(3 + 2n) – 5(3 + n)

7