Factorización de polinomios Entre las funciones importantes de la Matemática está la familia de las funciones polinómicas. Una función polinómica puede definirse de manera que su dominio sea el conjunto de todos los números reales o el conjunto función

de los números complejos Por ejemplo, la

puede considerarse como definida sobre

y esto significa que para cada número complejo

:

, se tiene:

Así, por ejemplo:

Si, en cambio, se define

se trata de una función diferente a correspondencia.

y

, aunque tengan la misma regla de

son distintas, porque sus dominios respectivos son distintos; sin

embargo, para todo número real

,

Ejercicio: Comprueba que si es un número real, visto como número complejo ( ), se cumple que Una de las diferencias interesantes que tienen las funciones la siguiente: 1.-

, para todo número real, ya que, en ese caso,

por lo tanto 2.-

para ciertos número complejos

:

equivale

a

ó

Entonces,

y

y

es

y

Se puede resumir esta información diciendo que la ecuación reales, pero sí tiene dos soluciones complejas: polinomio

y

no tiene soluciones

. Se dice que

y

son las raíces del

.

Gráficamente, el hecho de no tener raíces reales el polinomio que representa gráficamente a la función las abscisas en ningún punto.

, significa que la curva

,

, no corta al eje de

Esto implica, además, que el polinomio , si se considera como función con dominio , no se puede factorizar, es decir, no se puede escribir como producto de polinomios de grado menor que 2. Si fuera posible factorizarlo, se tendría:

para ciertos números reales polinomio

y

, y eso significa que

serían raíces reales del

:

Por otra parte, si se admiten coeficientes en decir,

y

, se tiene que

. Es

sí se puede factorizar en este caso. Estas consideraciones hechas aquí en torno

al polinomio fueron, desde el Renacimiento (s. XVI) hasta entrado el siglo XIX, motivo para muchas investigaciones importantes de los matemáticos de la época, para poder responder preguntas como las siguientes: 1.

¿Qué relación hay entre las raíces de un polinomio y su factorización?

2. 3. 4.

¿Es siempre posible factorizar un polinomio de grado , cualquiera que sea ? En otras palabras: ¿Existe algún polinomio que no tenga ni una sola raíz, ni real, ni compleja? ¿Es siempre posible encontrar una fórmula para determinar las raíces de un polinomio dado?

En lo que sigue, se estudiarán las respuestas que aquellos investigadores encontraron a estas y otras preguntas. El Teorema del Resto: Para descubrir la relación que hay entre una raíz de un polinomio y la factorización de éste, se puede comenzar observando lo siguiente, si:

es un polinomio, y

entonces

es una raíz de

es un factor de

, es decir,

, es decir,

Esto último es muy fácil de deducir a partir de las premisas dadas, pues

Ahora, ¿será cierta la afirmación recíproca? Es decir, ¿será cierto que si polinomio

, entonces

es un factor de

es una raíz de un

?

Por ejemplo, si

Es fácil comprobar que

es una raíz, pues

.

¿Podría asegurarse entonces que existe un polinomio qué

, de grado 2, tal

? Como la igualdad anterior equivale a decir

que y la división es exacta, no resulta extraño el enterarse de que la respuesta a esta pregunta se obtiene fácilmente del llamado Teorema del Resto, que dice lo siguiente: Teorema del Resto: Si es un número real o complejo y es un polinomio de grado mayor o igual que 1, entonces al efectuar la división

se obtiene como resto

. Es decir,

Esto significa que, por ejemplo, sin efectuar la división , se puede concluir a partir de la validez del Teorema del Resto, que el resto en esa división será -7 pues si

entonces :

La demostración del Teorema del Resto es muy sencilla: Suponiendo que polinomio de grado

,y

, al dividir a

entre

grado menor que 1, que es el grado del divisor. Es decir, así, se puede escribir

Es decir,

. Pero

es un

se obtiene un resto

, de

es de grado cero (un número); y por lo tanto:

. Queda así demostrado el Teorema del Resto. Ahora, puede deducirse

fácilmente la respuesta a la pregunta anterior: si factor de

es raíz del polinomio

, ¿es

? La respuesta es afirmativa.

Esto responde a la pregunta 1) planteada antes. Por esa razón, un polinomio grado

no puede tener más de

( , , ..., decir,

un

), entonces

raíces, porque si tiene los

Eso significa que el grado de

tiene

factores:

del número mínimo de raíces que

raíces ,

tiene que ser mayor o igual que

que el número máximo de raíces de un polinomio de grado

es

de ,...,

es

. Ahora bien, esto dice , pero no dice nada acerca

puede tener.

El Teorema que aclara este asunto es el llamado Teorema Fundamental del Álgebra (su nombre declara su importancia): Un polinomio de grado (Recordando que pueden ser reales).

tiene exactamente raíces en . , esto significa que, de las raíces, algunas

Este teorema fue demostrado en 1799 por primera vez por Gauss. Gráficamente, esto refleja en el hecho de que una función polinómica de grado que tenga sus raíces reales y distintas, cortará al eje de las abscisas en puntos. Por ejemplo, el polinomio tiene 3 raíces reales: , , representación gráfica aproximada es la que se muestra en la figura de la derecha.

. Su

El teorema Fundamental del Álgebra responde entonces a las preguntas 2) y 3): Como todo polinomio

de grado

(

forma

es un factor de

) tiene

raíces:

,

, ... ,

, y cada binomio de la

, entonces este polinomio se factoriza así:

donde es un número real o complejo, no nulo. En otras palabras, todo polinomio se puede factorizar en factores lineales (de grado 1). En busca de las raíces : En los tiempos de la antigua Babilonia, los expertos en Matemáticas de aquella época, cerca de 2.000 años a.C., conocían la fórmula para encontrar la raíz positiva de una ecuación de segundo grado, en esencia la que conocemos hoy. Más de 3.000 años después, en el siglo XVI lograron algunos algebristas italianos encontrar las fórmulas para resolver las ecuaciones de grados 3 y 4 . Después de estos logros casi heroicos, los matemáticos de los siglos XVII y XVIII trabajaron muy duro tratando de encontrar una fórmula para resolver ecuaciones de grado, sin obtenerla nunca. Tuvo que llegar el día en que todo este gran esfuerzo llegara a su fin, en los principios del siglo XIX. Dos jóvenes matemáticos de asombroso talento, Niels H. Abel y Evariste Galois demostraron que no es posible encontrar una fórmula que permita calcular las

raíces de un polinomio de grado 5 o mayor, a partir de sus coeficientes. Abel y Galois trabajaron independientemente, nunca se conocieron, y ambos murieron a muy temprana edad. Gracias a ellos, ya nadie se ocupa de tratar de encontrar una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que 5; se han desarrollado métodos de aproximación a las soluciones y de tanteo, que ayudan a encontrar las raíces de un polinomio de grado mayor o igual que 5. Hay varios hechos que es bueno conocer en relación a las raíces de un polinomio. Entre ellos, están los siguientes: 1.- Si el número complejo es raíz de un polinomio, su conjugado también es raíz de ese polinomio. En vista de esto, un polinomio de grado par puede tener todas sus raíces complejas, pero uno de grado impar debe tener al menos una raíz real. 2.- Una raíz de un polinomio se dice que es simple si el factor aparece sólo una vez en la factorización del polinomio; se dice que es doble si aparece dos veces y múltiple, si aparece 3 o más veces. Por ejemplo, si .

, se puede demostrar que

Aquí, 2 es una raíz doble y es una raíz simple de . La representación gráfica de esta función polinómica es, aproximadamente, la que se muestra a la derecha. Se observa que en , la raíz doble, la curva es tangente al eje de las abscisas. 3.- Si el polinomio

tiene coeficientes enteros, entonces

cualquier raíz entera de

es un divisor de

. Por ejemplo, en el

polinomio las dos raíces enteras: , , son divisores de 12. No es cierto que cualquier divisor de 12 es una raíz, porque en este caso 4 y 6 son divisores de 12 y no son raíces de

.

4.- Si el polinomio raíz racional de ejemplo: 2 divide a

tiene coeficientes enteros y ,

irreducible, entonces

divide a

y

divide a

tiene como una de sus raíces a , pues

y 3 divide a 3, pues

es una

. Por . Se cumple que

.

5.- Regla de Ruffini: En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma (x-r) . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).1 El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla

de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (x-r) (siendo r un número entero) si es coherente.

Ahora se puede aplicar la fórmula de la ecuación de segundo grado para encontrar las raíces de :

Por lo tanto,

Las 4 raíces de

Así, la factorización de

son:

es: