Análisis y Síntesis de Circuitos

Curso 2001/2002

Filtros: concepto y especificaciones

Definición de filtro (eléctrico): Circuito cuya función es modificar el espectro en frecuencia de una señal de entrada (excitación) conforme a determinados requerimientos (especificaciones).

Un filtro divide el espectro en: — Banda (o bandas) pasantes o de paso (PB) — Banda (o bandas) de rechazo o rechazada (SB) — Banda (o bandas) de transición

Las especificaciones serán: — Bordes de las bandas ωp borde de la banda de paso ωs borde de la banda de rechazo — Atenuaciones en las bandas Ap atenuación máxima permitida en la PB As atenuación mínima exigida en la SB

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Normalización de parámetros — práctica usual en análisis y síntesis de circuitos — no supone pérdida de generalidad — está motivada exclusivamente por la comodidad y la precisión en el cálculo numérico

Normalización en frecuencia: s s n = ------Ωo

trabajaremos con H ( s n ) y al final desnormalizaremos

H ( s ) = H ( sn )

s s n = -----Ωo

Normalización del nivel de impedancia: Z(s) Z n ( s n ) = ---------Ro R R n = -----Ro

así que para las resistencias, condensadores y bobinas tenemos que:

Ωo L L n = ----------Ro

Cn = Ωo Ro C

y para desnormalizar

R = Rn Ro

Ro L = L n ------Ωo

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Cn C = -------------Ωo Ro 2-2

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Filtro paso de baja (LP)

Ejemplo de 2o orden:

2

ωp H ( s ) = ---------------------------------2 2 ωp s + ------- s + ω p Qp

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Filtro paso de alta (HP)

Ejemplo de 2o orden:

2

s H ( s ) = ---------------------------------2 2 ωp s + ------- s + ω p Qp

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Filtro paso de banda (BP)

Ejemplo de 2o orden:

ωp ------- s Qp H ( s ) = ---------------------------------2 2 ωp s + ------- s + ω p Qp

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Filtro rechazo de banda (BR)

Ejemplo de 2o orden:

2 s + ωz 2

H ( s ) = ---------------------------------2 2 ωp s + ------- s + ω p Qp aquí: ωz = ωp

simétrico

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Filtro rechazo de banda (BR)

Low-pass-notch (LPN) ω z > ω p

High-pass-notch (HPN) ω z < ω p

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Ecualizadores de retraso (filtros pasa-todo AP) — las aproximaciones en magnitud clásicas colocan los ceros en el eje jω originando funciones de fase mínima — a veces es necesario compensar la distorsión introducida en el retraso y hacerlo lo más uniforme posible — la acción sobre la fase (retraso) no debe perturbar la característica en magnitud Ejemplo de 2o orden: 2

s – as + b H ( s ) = -------------------------2 s + as + b Para realizar especificaciones en magnitud y fase debe recurrirse a la cascada de un ecualizador de retraso a continuación de la aproximación en magnitud:

H LP ( s )

H AP ( s ) H ( jω ) = H LP ( jω ) φ ( ω ) = φ LP ( ω ) + φ AP ( ω ) τ ( ω ) = τ LP ( ω ) + τ AP ( ω )

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Definición de sensibilidad Sea P = P ( s, x )

P característica del circuito s frecuencia compleja x elemento del circuito

donde

Desarrollo alrededor de x o

∂ P ( s, x ) = P ( s, x o ) + P ( s, x ) ∂x

2

xo

2 1 ∂ dx + --P ( s, x ) ( dx ) + … xo 2 ∂ x2

Aproximación del error:

ΔP ( s, x o ) = P ( s, x o + dx ) – P ( s, x o ) ≅

∂ P ( s, x ) ∂x

dx xo

Error (o cambio) relativo (o sea, variabilidad):

xo ∂ ΔP ( s, x o ) ----------------------- ≅ ------------------- P ( s, x ) P ( s, x o ) P ( s, x o ) ∂ x

xo

dx ----xo

Sensibilidad

xo ∂ P S x = ------------------- P ( s, x ) P ( s, x o ) ∂ x

Variabilidad P dx ΔP ------- ≅ S x ----P x

∂P ⁄ P = -------------∂x ⁄ x xo

xo

d( lnP ) = ---------------d( lnx )

xo

Sensibilidad semirrelativa P

Qx = x

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dP dx 2-9

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Propiedades de SxP

Sólo proporciona información útil para dx/x pequeños, puesto que hemos truncado el desarrollo de Taylor alrededor de xo .

Si la característica P depende de la frecuencia entonces SxP también depende de la frecuencia.

P suele depender de varios parámetros por lo que se considerarán los valores nominales del resto de parámetros no contemplados en el cálculo de la sensibilidad monoparamétrica.

La variabilidad va a ser el indicador más importante a la hora de elegir una determinada realización: MEJOR una sensibilidad alta a parámetros muy estables QUE una sensibilidad moderada a parámetros con mucho rango de variación

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Producto ganancia-sensibilidad

V2 K μ 1 = ------ = --------------------1+K⁄A V1

V2 K–1 μ 2 = ------ = – --------------------1+K⁄A V1

≅K K«A

Sensibilidad de μ a A:

K«A

μ1 μ1 K⁄A S A = --------------------- = -----1+K⁄A A

μ2 μ2 K⁄A S A = --------------------- ≅ – -----1+K⁄A A Variabilidad de μ:

≅ –( K – 1 )

si K » 1

dμ i μ i dA μ i dA -------- = S A ------- ≅ ----- ------A A A μi

Sensibilidad de P a A: P P μ μ P S A = S μ S A = ---S μ A Variabilidad de P:

producto ganancia-sensibilidad

P dA P dA dP ------- = ( μS μ ) ------- = Γ μ ------2 2 P A A

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