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Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 256

Pág. 1

■ Resuelve problemas 17

A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas respondieron esto: 4 5 3 6 3

5 4 6 3 2

2 4 6 3 5

3 4 5 3 6

4 5 7 4 6

2 3 4 4 3

4 4 5 3 2

6 3 7 4 3

a) Haz la tabla de frecuencias y el diagrama correspondiente. b) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica. a)

Diagrama de barras N.O DE PERSONAS EN EL HOGAR FAMILIAR

FRECUENCIA

FREC.

2

4

3

11

4

11

5

6

6

6

7

2

12 10 8 6 4 2

40

2

b)

xi

fi

fi · xi

fi · xi2

2 3 4 5 6 7

4 11 11 6 6 1

8 33 44 30 36 14

16 99 176 150 216 98

40

165

755

4 veces

678

11 veces 678

2

4

5

6

7

N.º DE PERSONAS EN EL HOGAR FAMILIAR

∑ fi xi 165 x– = = = 4,125 ∑ fi 40 Me = 4

11 veces 6 veces 6 veces 2 veces 678 678 678 678

(2, 2, 2, 2, 3 … 3, 4 … 4, 5… 5, 6… 6, 7, 7. En el lugar 20 y 21 hay un 4). Mo = 3 y 4. (Los datos que más se repiten). q=

√

∑ fi xi2 – 2 –x = ∑ fi

Unidad 12. Estadística

– (4,125) √ 755 40

2

≈ 1,364

12

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 18

En estos dos diagramas se muestra la composición del organismo en dos edades distintas: A LOS 25 AÑOS

A LOS 75 AÑOS

Agua corporal

12%

17%

Tejido graso

15%

30%

62%

53%

Masa ósea

6%

Músculos, órganos…

5%

a) ¿Cómo varía el porcentaje de agua corporal, de masa ósea, de tejido graso y de músculos, órganos… en esos 50 años? b) Si una persona de 25 años pesa 80 kg, ¿cuál es la cantidad de agua que compone su organismo? ¿Y de tejido graso? c) Responde a las preguntas del apartado anterior para el caso de una persona de 75 años con el mismo peso. a) A medida que envejecemos, se observa que la cantidad de agua corporal, músculos, órganos y masa ósea disminuye, siendo el tejido graso lo único que aumenta.

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b) Agua corporal: 62 · 80 = 49,6 kg 100

Tejido graso: 15 · 80 = 12 kg 100

c) Agua corporal: 53 · 80 = 42,4 kg 100

Tejido graso: 30 · 80 = 24 kg 100

En un test de inteligencia realizado a una muestra de 200 personas, se han obtenido los resultados siguientes: a) Dibuja un histograma para representar gráficamente los datos y haz también el polígono de frecuencias. b) Calcula la media y la desviación típica.

PUNTUACIÓN

N.º DE PERSONAS

30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90

6 18 76 70 22 8

c) ¿Qué porcentaje de individuos tiene una inteligencia superior a x– + 2q? ¿Y cuántos inferior a x– – 2q? Haz una estimación razonada. a)

N.º DE PERSONAS

80 60 40 20 PUNTUACIÓN

30

Unidad 12. Estadística

40

50

60

70

80

90

Pág. 2

12

Soluciones a “Ejercicios y problemas” b)

Pág. 3

INTERVALO

xi

fi

fi · xi

fi · xi2

30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

35 45 55 65 75 85

6 18 76 70 22 8

210 810 4 180 4 550 1 650 680

7 350 36 450 229 900 295 750 123 750 57 800

200

12 080

751 000

x– = 12 080 = 60,4; q = 200

√ 751200000 – (60,4)

2

= 10,336

c) Como x– + 2q = 60,4 + 2 · 10,336 ≈ 81 y en el intervalo 80-90 hay 8 personas, estimamos que en el intervalo 81-90 hay, aproximadamente, 7 personas. Como en total hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia superior a x– + 2q es 7 = 0,35 ≈ 3,5%. 200 Por otro lado, como x– – 2q = 60,4 – 2 · 10,336 ≈ 39,7, y en el intervalo 30-40 hay 6 personas, estimamos que en el intervalo 30-39,7 hay, aproximadamente, 6 personas. Como en total hay 200 personas, el porcentaje de individuos con una inteligencia inferior a x– – 2q es 6 = 0,3 = 3%. 200 Los dos porcentajes deberían ser aproximadamente iguales. 20

Al medir el peso al nacer en una determinada especie de animales, hemos obtenido los datos siguientes: a) Representa estos datos con el gráfico adecuado. b) Calcula la media y la desviación típica. c) ¿Qué porcentaje de animales pesó entre x– – q y x– – q? ¿Y más que x– + q? ¿Y menos que x– – q? a)

N.º DE ANIMALES

25 20 15 10 5 PESO AL NACER (kg)

3,5

Unidad 12. Estadística

4,5

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

PESO

(kg)

N.º DE ANIMALES

3,5 - 4,5

1

4,5 - 5,5

8

5,5 - 6,5

28

6,5 - 7,5

26

7,5 - 8,5

16

8,5 - 9,5

1

12

Soluciones a “Ejercicios y problemas” b)

INTERVALO

xi

fi

3,5-4,5 4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5

4 5 6 7 8 9

1 8 28 26 16 1

4 40 168 182 128 9

80

531

Pág. 4

fi · xi2

fi · xi

16 200 1 008 1 274 1 024 81

x– = 531 = 6,638 80 q=

√380603 – (6,638)

2

= 0,997

3 603

c) x– – q = 6,638 – 0,997 = 5,641 ≈ 5,5; x– + q = 6,638 + 0,997 = 7,635 ≈ 7,5 En el intervalo que va de x– – q a x– + q hay 28 + 26 = 54 individuos, que supone un 54 = 0,675 = 67,5%. 80

Con más de x– + q hay 16 + 1 = 17 individuos, que supone un 17 = 0,2125 = 21,25% 80 Con menos de x– – q hay 1 + 8 = 9 individuos, que supone un 9 = 0,1125 = 11,25%. 80 21

Estas son las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos: 14

9

9 20 18

15 10 18 20

12 14

2

6 14

7 18

8

8 12 10

20 16 18 15 24

10 12 25 24 17

10

12 16

4

8 20 10

5

4 13

a) Reparte estos datos en intervalos de extremos: 1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 - 26,5 Haz la tabla de frecuencias y el histograma. b) Calcula la media y la desviación típica. c) Utilizando los parámetros x– y q, haz cinco intervalos con las siguientes características: estudia muy poco, estudia poco, estudia normal, estudia mucho, estudia muchísimo. ¿Qué proporción de individuos hay en cada uno? a)

INTERVALO

FRECUENCIA

1,5-6,5 6,5-11,5 11,5-16,5 16,5-21,5 21,5-26,5

5 11 12 9 3

12

FRECUENCIA (n.º

alumnos)

10 8 6 4 2 N.º DE HORAS DE ESTUDIO SEMANAL

1,5 Unidad 12. Estadística

6,5 11,5 16,5 21,5 26,5

12

Soluciones a “Ejercicios y problemas” b)

INTERVALO

xi

fi

fi · xi

1,5-6,5 6,5-11,5 11,5-16,5 16,5-21,5 21,5-26,5

4 9 14 19 24

5 11 12 9 3

20 99 168 171 72

40

530

Pág. 5

fi · xi2

80 891 2 352 3 249 1 728

x– = 530 = 13,25 h 40 q=

√840300 – (13,25)

2

= 5,6513

8 300

c) x– – 2q = 13,25 – 2 · 5,6513 ≈ 1,9 x– – q = 13,25 – 5,6513 ≈ 7,6 x– + q = 13,25 + 5,6513 ≈ 18,9 x– – 2q = 13,25 + 2 · 5,6513 ≈ 24,6 Por tanto: Esudian muy poco los que están entre 0 h y 1,9 h a la semana. Estudian poco los que están entre 1,9 h y 7,6 h a la semana. Estudian normal los que están entre 7,6 h y 18,9 h a la semana. Estudian mucho los que están entre 18,9 h y 24,6 h a la semana. Estudian muchísimo los que están más de 24,6 h a la semana. Construimos una tabla para hallar la proporción de individuos que hay en cada intervalo: INTERVALO

fi

%

menos de 1,9

0

0%

1,9 - 7,6

6

15%

7,6 - 18,9

27

67,5%

18,9 - 24,6

6

15%

más de 24,6

1

2,5%



40

100%

Unidad 12. Estadística