´ meros complejos Funciones reales. Nu Funciones reales 1. Encuentra todos los n´ umeros reales x que verifican: a) (x − 1)(x − 3) > 0 1 1 b) > x+1 1−x c) |x − 1| + |x + 1| < 1 d ) 5 < x2 − 14x + 50 < 26 2. Si la gr´afica de f (x) es la de la de la figura, esboza las gr´aficas de: 1 d) y = f (x + 1) e) y = |f (x)| f (x) h) y = f (x/3) i) y = f (−x) j) y = f (2 − x).

a) y = 2f (x) b) y = 2 − f (x) c) y = f ) y = f (|x|) g) y = f (2x)

0

1

3. Representa las funciones f1 (x) = sen2 x, f2 (x) = | sen x| y f3 (x) = sen |x|. 4. Representa las funciones f (x) =

1 x

y g(x) =

2x+1 x−1

.

5. Esboza las gr´aficas de las funciones y = 5 sen 2t; y = 1 + 2 sen t. 6. Esboza las gr´aficas de las funciones y = ex−4 ; y = e−x . 2

1

7. Encuentra f´ormulas tipo seno que pudieran responder a las siguientes gr´aficas:

i)

ii)

iii)

Ejercicios de reserva

x − 1 < 2. 8. Encuentra todos los n´ umeros reales x que verifican la desigualdad x + 3 t 2x + 5 9. Esboza las gr´aficas de las funciones y = sen x2 , y = −5 sen , y = , y = e2x , 2 x−1 y = ex/2 , y = e−3x .

8. Considera, para distintos valores de b, la funci´on f definida por  2 si x < 2  x −4 f (x) =  b(x − 2) si x ≥ 2 a) Representa la gr´afica de f para los valores de b = −1, 0, 2. b) ¿Para qu´e valores de b es f continua? ¿Para qu´e valores de b es f derivable? 9. Se considera la funci´on f (x) = x2 + 1 a) Para cada a ∈ R, escribe la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de f (x) en el punto (a, f (a)). ¿Para qu´e valores de a la recta tangente pasa por el origen? b) Determina la recta tangente a la gr´afica de f (x) que es paralela a y = −4x. 10. Si f (x) = ax2 + bx + c, ¿qu´e puedes decir sobre a, b y c en cada uno de los casos siguientes? 2

a) (1, 1) est´a en la gr´afica de f . b) (1, 1) es el v´ertice de la gr´afica de f . c) El punto de corte de la gr´afica de f con el eje y es (0, 6). Encuentra una funci´on que satisfaga las tres condiciones anteriores. 11. Determina todas las funciones f de la forma f (x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ̸= 0 y que verifican f ′ (−1) = f ′ (1) = 0. ¿Alguna de las funciones determinadas anteriormente verifica f (0) = f (1)? Justifica las respuestas. 12. Sup´on que cada una de las gr´aficas siguientes responde a un polinomio. Contesta, para cada una de ellas, a las cuestiones siguientes: a) ¿Cu´al es el menor grado posible de dicho polinomio? b) ¿Qu´e signo tiene el coeficiente principal?

13. Sea f : R → R una funci´on derivable en R; sean a y b dos ra´ıces de la derivada f ′ tales que entre ellas no hay ninguna otra ra´ız de f ′ (x). Razonar debidamente si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades: a) Entre a y b no existe ninguna ra´ız de f (x). b) Entre a y b existe una sola ra´ız de f (x). c) Entre a y b existen dos o m´as ra´ıces de f (x). 14. ¿Cu´antos puntos x del intervalo [0, 1] satisfacen la igualdad x = cos x? Justifica la respuesta y enuncia los teoremas que utilices. 15. Una de las siguientes gr´aficas es parte de la gr´afica de la funci´on f (x) = sen 2x + 2e−x . Decide cu´al y justifica tu respuesta. i)

ii)

3

iii)

16. Las gr´aficas i), ii) y iii) corresponden, no necesariamente por ese orden, a las de una funci´on derivable f , su funci´on derivada f ′ y una primitiva F de f . Identifica cada gr´afica con la funci´on justificando la respuesta.

i)

ii)

0.4

0.5

0.2

0

iii) 0.6

0.4

0.2

0

−0.5 0

−0.2

−1

−0.2

−0.4

−1.5

−0.4

−0.6

−0.6

−2 −0.8

−0.8 −2.5 −1

−1 −3

−1.2

−1.4 −2

−1

0

1

2

3

4

5

6

−3.5 −2

−1.2

−1

0

1

2

3

4

5

−1.4 −2

6

−1

0

1

2

3

4

5

6

17. La figura siguiente representa la gr´afica de una funci´on f : [0, 7] → R . 2

1

0

−1

−2 0

2

4

6

Sea F : [0, 7] → R la funci´on definida por F (x) =

8

∫x 0

f (t)dt.

a) Calcula F (4), F (5), F (6) y F (7). b) Dibuja la gr´afica de F explicando c´omo lo haces. 18. De una funci´on continua f : [−1, 1] → R se sabe que para cada x en dicho intervalo se tiene |f (x)| ≤ 1 + x2 . ∫De los n´ umeros −3, −2, −1, 2′ 5 y 2′ 75, ¿cu´ales 1 pueden ser el valor de la integral −1 f (x)dx? Justifica la respuesta. ∫π 19. Tres estudiantes no se ponen de acuerdo sobre el valor de la integral 0 sen4 xdx. 3π 3π Antonio dice que es igual a π, Beatriz dice que vale y Carlos que vale ( −1). 8 90 Uno de ellos est´a en lo cierto. ¿Qui´en es? No intentes calcular esta integral. Elimina, justificadamente, las dos respuestas err´oneas. ∫a 20. Sea f : [−a, a] → R con a > 0 una funci´on continua tal que −a f (x) dx = 0. Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Es necesariamente f (x) = 0 para todo x ∈ [−a, a]? 4

∫a b) ¿Es necesariamente −a |f (x)|dx = 0? ∫a c) ¿Cu´anto vale −a (f (x) + 2x)dx? 21.

a) Representa la funci´on f para los valores b = −1, 0, 1, 2.  1  si x < 0  x−1 f (x) =   2 x + bx − 1 si x ≥ 0 b) Estudia, seg´ un los valores de b, la derivabilidad de la funci´on f . Calcula ∫3 f (x)dx cuando f es derivable. −1

22. Considera la funci´on f : R → R definida por f (x) = |x + 2||x − 2|. Determina ∫los3 puntos donde f es derivable y halla sus m´aximos y m´ınimos locales. Calcula 2f (x) dx. 0 23. De entre todos los tri´angulos is´osceles de per´ımetro 60 cm, calcula las dimensiones del de mayor ´area. 24. Se tiene un alambre de 2 m. de longitud y se desea dividirlo en dos partes para formar con la primera un cuadrado y con la segunda un c´ırculo. Hallar la longitud de cada parte resultante para que la suma de las ´areas de las dos figuras sea: a) m´axima; b) m´ınima. 25. Para cada r ≥ 1 se define la funci´on fr : [0, ∞) → [0, ∞) mediante fr (x) = xr . a) Determina la ecuaci´on de la recta tangente a la gr´afica de fr en el punto (1, 1). b) Calcula el ´area A(r) de la regi´on limitada por la gr´afica de fr , su tangente en el punto (1, 1) y el eje OX. c) ¿Para qu´e valor de r ≥ 1 es el ´area A(r) m´axima?

Ejercicios de reserva 26. Justifica que el polinomio P (x) = x3 + x + 1 tiene una ra´ız en el intervalo [−1, 0]. ¿Posee alguna ra´ız m´as? 27. El caudal de agua que sale de un dep´osito de 200 litros es variable y viene dado por la ecuaci´on C(t) = 5 − 0, 1t (t en minutos, C en litros/minuto). a) Dibuja la gr´afica del caudal en funci´on del tiempo. b) Calcula el ´area bajo la curva en el intervalo [0, 50]. Interpretar el resultado. 5

c) Dibuja la funci´on que determina el volumen de agua del dep´osito en funci´on del tiempo. 28. Sup´on que cada una de las gr´aficas siguientes responde a un polinomio. ¿Cu´al es el menor grado posible de dicho polinomio? ¿Qu´e signo tiene el coeficiente principal?

29. La velocidad de un m´ovil que parte del origen viene dada en m/s por la gr´afica. 3

2

1

0

−1 0

1

2

3

4

5

6

a) Calcula la funci´on espacio recorrido. b) Dibuja la gr´afica de la funci´on espacio recorrido-tiempo. c) Prueba que el ´area bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido. 30. De todas las primitivas de la funci´on f : R → R dada por f (x) = 1 + x|x|, determina aquella cuya gr´afica pasa por el punto (1, 0). 31. Sea ∫ 0 f una funci´o∫nxcontinua tal que para cualquiera que sea x > 0 se cumple que f (t) dt = − 0 f (t) dt. Prueba que en ese caso f (−x) = −f (x) para todo −x x > 0. 32.

1 a) Esboza la gr´afica de la funci´on dada por f (x) = 2 x −4 ∫1 b) ¿Qu´e signo tiene −1 f (x) dx? Justifica tu respuesta. 6

c) Calcula el valor de la integral del apartado b) descomponiendo el integrando en fracciones simples. 33. Sup´on que f y g son funciones derivables para las que se verifican las dos condiciones siguientes: 1) f (0) = 0 y g(0) = 1 2) f ′ (x) = g(x) y g ′ (x) = −f (x). a) Sea h(x) = f 2 (x) + g 2 (x). Calcula h′ (x) y utiliza el resultado que obtengas para demostrar que f 2 (x) + g 2 (x) = 1 para todo x. b) Sup´on que F y G son otro par de funciones derivables que satisfacen las condiciones 1) y 2) y sea k(x) = [F (x) − f (x)]2 + [G(x) − g(x)]2 . Calcula k ′ (x) y utiliza el resultado que obtengas para deducir qu´e relaci´on existe entre f (x) y F (x) y entre g(x) y G(x). c) Muestra un par de funciones f y g que satisfagan las condiciones 1) y 2). ¿Puede haber otras? Justifica tu respuesta. 34. Demuestra que la ecuaci´on cos x + x sen x − x2 = 0 tiene exactamente dos ra´ıces reales. 35. Dada la funci´on f : R → R definida por  (x − 1) + cos(x − 1) si x ≤ 1   f (x) =   sen(x − 1) si x > 1 x−1 a) Determina los puntos en los que f es continua y los puntos en los que f es derivable. b) ¿Cumple f en [0, 2] las condiciones del teorema de Rolle? 36. Considera la funci´on f : R → R definida por f (x) = 5 + (x − 1)4 (x + 2)3 . a) Demuestra que la ecuaci´on f ′ (x) = 0 tiene al menos una soluci´on en el intervalo (−2, 1). b) Demuestra que la ecuaci´on f (x) = 0 tiene exactamente una soluci´on menor que −2. c) Demuestra que f (x) = 0 no tiene ninguna soluci´on mayor que −2. 37. Para cada una de las dos condiciones siguientes, encuentra todos los polinomios P , de grado ≤ 2, que las satisfacen para todo x, a) P (x) = P (−x). 7

b) P (2x) = 2P (x). 38. Halla el punto de la par´abola x2 = 4y de abscisa no negativa que menos diste de (0, 23 ). 39. Calcula las dimensiones del trapecio de per´ımetro m´aximo que se puede inscribir en una semicircunferencia de radio r si una base del trapecio ocupa todo el di´ametro de la semicircunferencia. 40. El n´ umero de bacterias de cierto cultivo en un instante t viene dado por la f´ormula N = 1000(25 + t·e−t/20 ) para 0 ≤ t ≤ 100. a) ¿En qu´e instantes de ese intervalo, 0 ≤ t ≤ 100, hay un n´ umero m´aximo y un n´ umero m´ınimo de bacterias? b) ¿En qu´e instante es m´as lento el crecimiento o decrecimiento del n´ umero de bacterias?

N´ umeros complejos 26. Resuelve las siguientes cuestiones. a) Determina los n´ umeros complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado. b) Encuentra los n´ umeros complejos cuyo conjugado coincide con su inverso. c) Halla los n´ umeros complejos que son iguales al cuadrado de su conjugado. d ) Encuentra los n´ umeros complejos cuyo cuadrado coincide con el cuadrado de su conjugado. e) Encuentra los n´ umeros complejos z tales que la suma (respectivamente, la diferencia) de z y su conjugado es nula. f ) Halla los n´ umeros complejos cuyos inversos son iguales a sus opuestos. umeros complejos cuyo cuadrado sea: g) Determina los n´ imaginario puro real positivo real negativo 27. Si z ̸= 0 es un n´ umero complejo, prueba que z, z1 , 0, −z, −1 est´an alineados. Decide z cu´ales est´an en la misma semirrecta que z de las dos que determina el origen 0. Escribe −z, 1/z, z y 1/z en forma m´odulo-argumental. 28. Sea z ∈ C \ {1} y tal que |z| = 1. Prueba que z + z −1 es real y que imaginario puro. 8

1+z 1−z

es

29. a) Considera z, w ∈ C distintos, no nulos y no alineados con 0, y el cuadril´atero K que tiene como v´ertices 0, z, w, z + w. Justifica que K es un paralelogramo. Calcula las longitudes de los lados de K. Comprueba que las diagonales de K miden |z + w| y |z − w|. b) Identidad del paralelogramo. Prueba que para todos z, w ∈ C se verifica que 2(|z|2 + |w|2 ) = |z + w|2 + |z − w|2 . Interpreta este resultado a la vista del apartado anterior. 30. Calcula las ra´ıces c´ ubicas de la unidad y repres´entalas gr´aficamente. Calcula el producto de las dos ra´ıces distintas de 1 y el cuadrado de cada una de ellas. ubicas de −64 y sus seis ra´ıces sextas. 31. Determina las tres ra´ıces c´ √ 32. Sean z = 1−i y w = 1+ 3i. Determina los n´ umeros p, q ∈ N tales que z p , wq ∈ R. umeros reales x, y que cumplen 33. Determina, en√cada caso, √ los n´ ∑ a) xk+ iy = |x + iy|, b) x + iy = (( 2 − i 2)/2)8n+3 , con n ≥ 1, c) x + iy = 100 k=0 i . 34. a) Sean n ≥ 2 y P (z) = z n−1 + z n−2 + z n−3 + .... + z 2 + z + 1. Demuestra que las ra´ıces n-´esimas de la unidad distintas de 1 son las soluciones de la ecuaci´on P (z) = 0. [Sugerencia: usa que 1 es soluci´on de z n − 1 = 0]. b) Prueba que si w = cos(2π/5) + i sen(2π/5), entonces w satisface la ecuaci´on z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. 35. a) Justifica que si w es ra´ız de un polinomio P con coeficientes reales, entonces w tambi´en lo es. b) Calcula las soluciones de la ecuaci´on z 7 + z 5 − z 2 − 1 = 0. [Observa que i es soluci´on]. c) Razona por qu´e al menos una de las ra´ıces de la ecuaci´on 2z 3 − 3z 2 − 4z + 1 = 0 debe ser real. 36. En el conjunto C de los n´ umeros complejos se define la relaci´on ≤ definida por   a 1. T : C \ {0} → C , dada por T (z) =

b) Si z = x + iy ̸= 0 est´a en la recta y = x, entonces T (z) tambi´en. c) Si z = x + iy est´a en la recta x = 1, entonces T (z) est´a en la circunferencia de centro 1/2 y radio 1/2. d) Si z ̸= 0 est´a en la circunferencia |z − 2| = 2, entonces T (z) est´a en la recta x = 1/4. e) Si z est´a en la circunferencia |z − 2| = 1, entonces T (z) est´a en una circunferencia: ¿en cu´al?

Ejercicios de reserva 38. Dadas f (z) = z 3 − 2iz 2 − (1 − i)z − 2i y g(z) = 2z 3 + (1 + i)z 2 − (3 + 2i)z − 7 + 16i calcula f (i), f (1−i), g(1+i), g(2−i) y g(2i). [Soluci´on: f (i) = −1−2i, f (1−i) = −6 − 2i, g(1 + i) = −14 + 17i, g(2 − i) = −4 − 8i y g(2i) = −7 − 10i]. √ √ 39. a) Halla el valor de E = (1 + 3i)n − (1 − 3i)n , siendo n un n´ umero natural. b) Halla los valores de n naturales para los que (1 + i)n es un n´ umero real positivo. 40.

umero complejo z es soluci´on de la ecuaci´on ax2 +bx+c = 0, a) Prueba que si el n´ siendo a, b y c n´ umeros reales, tambi´en es soluci´on su conjugado z. b) Razona por qu´e al menos una de las ra´ıces de la ecuaci´on 2z 3 −3z 2 −4z+1 = 0 debe ser real.

41. Determina los conjuntos C1 = {z ∈ C : |z −3i| = 2}, C2 = {z ∈ C : |z −3ieiπ/4 | = 2} y C3 = {z ∈ C : |eiπ/3 z − 3i| = 2}. 42. Se consideran un n´ umero real r ∈ (0, 1) y w ∈ C tal que |w| < 1. a) Describe el conjunto {eit + re−it : t ∈ [0, 2π]}. b) Describe el conjunto {eit + we−it : t ∈ [0, 2π]}. [Sugerencia: si w = |w|eiθ , escribe eit + we−it = ei(θ/2) (ei(t−θ/2) + |w|e−i(t−θ/2) ) ].

10