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´ UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - TACHIRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ´ BASICA ´ CARRERA EDUCACION INTEGRAL GEOMETR´IA 10 Prof. Alfonso S´anchez ENCUENTRO 5 POLIGONOS SEGMENTOS CONCATENADOS Y CONSECUTIVOS Consideremos los segmentos ab y bc, donde ab ∩ bc = {b}

Figura 1. Obs´ervese que los segmentos pueden estar sobre la misma recta, en este caso se dice que los segmentos son consecutivos. Si los segmentos no se encuentran sobre la misma recta, se dice que son segmentos concatenados. L´ INEA POLIGONAL: Es toda figura formada por varios segmentos concatenados tales que cada uno tiene como origen el extremo del anterior. S´ı el punto inicial de una l´ınea poligonal coincide con el punto terminal (a partir de cualquiera de los extremos) se llama l´ınea poligonal cerrada. Si el punto inicial no coincide con el punto terminal se llama l´ınea poligonal abierta.

Figura 2.

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Los dibujos de la figura 2 est´an formados por segmentos concatenados, cada una de esas figuras recibe el nombre de l´ınea poligonal. Los puntos: a, b, c, d, e y f reciben el nombre de v´ertices de la l´ınea poligonal y los segmentos: ab, bc, cd, de, ef y f a reciben el nombre de lados de la l´ınea poligonal. La figura (2b) se denomina l´ınea poligonal abierta a b c d e f. Al unir los puntos a y f, obtenemos una l´ınea poligonal cerrada, la cual se lee: l´ınea poligonal a b c d e f. Para que exista la l´ınea poligonal, se necesita tres (3) o m´as puntos en el plano, de tal manera que por lo menos tres (3) no pertenezcan a la misma recta. Obs´ervese que la figura (2c) es una l´ınea poligonal cerrada intersecada en el punto e. Si la l´ınea pol´ıgonal tiene todos sus lados congruentes, se llama l´ınea poligonal regular.

POLIGONOS La palabra pol´ıgono est´a formada por dos palabras de origen griego: polys (mucho) y gonia (´angulo).

POLIGONO: Es la uni´on de una l´ınea poligonal cerrada (cuyos lados no se entrecrucen) y el conjunto de puntos interiores a ella. Los v´ertices y los lados de la l´ınea poligonal cerrada lo son tambi´en del pol´ıgono.

En la figura 3, las l´ıneas poligonales cerradas dividen al plano en tres regiones: a) El conjunto de los puntos interiores. b) El conjunto de los puntos que pertenece a la l´ınea poligonal. c) El conjunto de los puntos exteriores.

Figura 3. Obs´ervese que la figura (2c) no es un pol´ıgono, por cuanto, las l´ıneas y , se entrecruzan. Se debe tener presente que una figura es un pol´ıgono si se comprueba que: Ning´ un par de lados del pol´ıgono se interseca, salvo en sus puntos extremos. Ning´ un par de lados del pol´ıgono con un extremo en com´ un, debe ser colineales.

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ELEMENTOS DE UN POL´ IGONO ´ ´ 1. ANGULOS: Son los formados por sus lados, al cortarse dos a dos. Angulos Interiores: Son los ´ ´angulos formados por dos lados consecutivos. Angulos Exteriores: Son los ´angulos formados en un v´ertice por un lado y la prolongaci´on del lado consecutivo. ´ 2. VERTICES: Son los puntos de encuentro o intersecci´on de dos lados consecutivos. 3. DIAGONAL: Son l´ıneas rectas que unen dos v´ertices no consecutivos. 4. LADOS: Son los segmentos de la l´ınea pol´ıgonal. 5. PER´IMETRO: Es la longitud total de su contorno o la suma de sus lados.

´ DE LOS POL´ CLASIFICACION IGONOS A. Seg´ un el valor de los ´ angulos internos ´ POL´IGONOS CONCAVOS: Son aquellos que tienen por lo menos un ´angulo interior cuya medida o es mayor de 180 . Tambi´en se puede afirmar al ser atravesado por una recta son cortados en m´as de dos puntos (N´otese la cueva en la concavidad del pol´ıgono).

POL´IGONOS CONVEXOS: Son aquellos en los cuales cada uno de sus ´angulos internos, tienen medida menor de 180o . Tambi´en se puede afirmar que al ser atravesado por una recta son cortados en un m´aximo de dos puntos (Los pol´ıgonos convexos no tienen cueva).

Figura 4. B. Seg´ un la longitud de segmentos de la poligonal REGULARES: Un pol´ıgono es regular si es convexo y adem´as todos los lados de la pol´ıgonal tienen la misma longitud y sus ´angulos internos de igual medida. IRREGULARES: Un pol´ıgono es irregular cuando, al menos, uno de los segmentos de la pol´ıgonal tiene diferente medida .que los dem´as.

Importante...! 1. Un pol´ıgono convexo que tiene sus lados iguales se llama equil´atero (todos sus lados son congruentes).

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Alfonso S´ anchez 2. Un pol´ıgono convexo cuyos ´angulos interiores son todos congruentes, se llama equi´angulo. 3. La distancia del centro de un pol´ıgono regular a uno de los lados se llama APOTEMA.

C. Seg´ un el n´ umero de segmentos de la pol´ıgonal NOMBRE DEL POL´IGONO Tri´angulo Cuadril´atero Pent´agono Hex´agono Hept´agono Oct´agono Non´agonos Dec´agonos Undec´agono Dodec´agono Pentadec´agono Icos´agonos n-´agono

´ NUMERO DE LADOS 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 n- lados

Los pol´ıgonos de n-lados se llaman por el nombre de la cantidad de lados. As´ı, el pol´ıgono de 25 lados se llama pol´ıgono de veinticinco lados. ´ ANGULOS DE UN POL´ IGONO ´ ANGULOS INTERNOS: Son los que se forman por dos lados consecutivos, en el interior del pol´ıgono. (6 A, 6 B, 6 C, 6 D, 6 E y 6 F ) (Figura 5). ´ ANGULOS EXTERNOS: Son los ´angulos adyacentes a los internos, se obtienen al prolongarse los lados del, pol´ıgono en un mismo sentido. ( 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 y 6 6 ). (Figura 5).

Figura 5. IMPORTANTE. . . ! 1. La suma de las medidas de los ´angulos internos de un pol´ıgono convexo de - lados es igual a tantas veces un ´angulo llano como lados menos dos tiene el pol´ıgono. Sα = 180o (n − 2)

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2. El valor de un solo ´angulo interior de un pol´ıgono convexo regular de n- lados es: o α = 180 (n−2) n 3. El n´ umero de ´angulos de un pol´ıgono es igual al n´ umero de lados, lo mismo que el n´ umero de v´ertices. 4. La suma de los ´angulos de un pol´ıgono convexo regular es igual a 4 ´angulos rectos. Sθ = 360o 5. La suma de los ´angulos exteriores de un pol´ıgono convexo es igual a 4 ´angulos rectos. Sβ = 360o 6. Los ´angulos exteriores de un pol´ıgono, son los ´angulos adyacentes de los ´angulos internos de dicho pol´ıgono. 7. El valor de un solo ´angulo exterior de un pol´ıgono regular convexo de n- lados es: o β = 360 n 8. El valor de un solo ´angulo de un pol´ıgono convexo regular de n -lados es: o α = 360 n 9. El n´ umero total de diagonales de un pol´ıgono es: de cada v´ertice de un pol´ıgono se pueden trazar (n - 3) diagonales; de los ”n” v´ertices se podr´an trazar n(n - 3) diagonales, pero todo sobre dos, pues cada diagonal corresponde a dos v´ertices diferente: Dt = n(n−3) 2 10. La suma de los ´angulos interiores de un pol´ıgono c´oncavo es igual a tantas veces un ´angulo llano como lados menos dos tiene el pol´ıgono: Sα = 180o (n − 2)

ACTIVIDAD ESPECIAL (Justifique su respuesta) 1. ¿Qu´e nombre recibe el pol´ıgono cuya suma de sus ´angulos interiores mide 180o ? 2. ¿Cu´antas diagonales se le pueden trazar a un pentadec´agono? 3. ¿ Cu´antos tri´angulos resultan, si un pol´ıgono convexo tiene 4 lados?, ¿5 lados?, ¿11 lados? Utilice el geoplano para ello. ¿Qu´e concluyes? 4. ¿Cu´antos lados tiene un pol´ıgono regular, si la medida de uno de sus ´angulos es 128 47 . 5. Calcular la suma de los ´angulos interiores de un hex´agono y de un oct´agono. 6. Calcular el n´ umero de lados de un pol´ıgono convexo, sabiendo que la suma de las medidas de sus ´angulos interiores es 1980o . 7. Determinar las medidas de sus ´angulos de los 4 ´angulos interiores de un cuadril´atero ABCD, sabiendo que: m < A = x, m < B = 2x − 10, m < C = 3x + 20 y m < D = 3x − 10 umero de lados 8. La medida de cada ´angulo exterior de un pol´ıgono regular es 72o . Determine el n´ de dicho pol´ıgono. 9. Determine cu´antas diagonales tiene un pol´ıgono convexo de n -lados. 10. Calcular el per´ımetro de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 1 metro.

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