Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

GUIA 3 ALGEBRA DE NOVENO DETERMINANTES DE ORDEN 3 Un determinante de tercer orden es de la forma: |

|

Para resolver éste tipo de determinantes aplicamos la regla de SARRUS; que consiste en repetir debajo de la tercera fila las dos primeras filas horizontales así: El desarrollo del determinante es:

||

||

(

)

(

)

Diagonales mayores

Diagonales menores

Ejemplo:

|

|

|

|

[( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )]

[

]

[( )( )( ) [

( )( )( )

( )( )( )]

]

ACTIVIDAD No. 6 

Desarrolla los siguientes determinantes:

a. |

| Resp: 105

b. |

| Resp: 0

c. |

| Resp: -7

1

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR DETERMINANTES DE TERCER ORDEN. REGLA DE KRAMER La solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por determinantes se obtiene por medio de la regla de kramer, así: El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema que se forma con los coeficientes de las incógnitas y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema, los coeficientes de dicha incógnita por los términos independientes de las ecuaciones.

Sea el sistema de ecuaciones:

Por tanto: |

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Ejemplos: 1. Resolver por determinantes:

|

| |

|

( (

) ( ) (

) )

“Estudia, no para saber algo más, si no para Saber algo mejor”

2

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO |

| |

(

|

|

|

|

|

) )

(

(

) )

(

( (

Actualización 02/12/2010

) )

( (

) )

2. Resolver por determinantes:

|

| |

|

|

| |

( (

(

) (

|

|

|

|

|

) ( ) (

( (

) )

( )

) )

) (

( (

)

) )

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS

3

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

Una ecuación de primer grado con tres variables representa un plano. En general, una ecuación de la forma:

Se representa con el plano indeterminado que pasa por los puntos: (

)(

)(

)

En que:

En la figura estos puntos son A, B y C. Así en el plano que pasa por los puntos es la representación gráfica de la ecuación: Para encontrar éstos puntos se buscan en los respectivos ejes de las coordenadas, para los cuales se anulan dos de ellas así: Para

El plano que pasa por los puntos (

)(

) (

) es pues la gráfica de la ecuación

.

4

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PUNTO EN EL ESPACIO

Ya vimos en el curso anterior que para determinar clara y distintamente la posición de un punto en el espacio es necesario referirlo a un sistema tridimensional. Para ello emplearemos el sistema de coordenadas ortogonales del espacio que determina tres planos; las distancias a estos planos, llamadas coordenadas, determinan la posición del punto. En la figura la posición del punto P está dada por su distancia al plano

al plano

y su distancia

al plano

, y su distancia

al plano

, y su distancia

. Estas distancias son las coordenadas del punto P y se llaman abscisa, ordenada y cota,

respectivamente.

Luego si se conocen las coordenadas de un punto es fácil representarlo en un sistema de coordenadas. Sea por ejemplo el punto P, cuyas coordenadas son (

) En el eje de las

unidades, (Fig 2.10) a partir de este punto y paralelo al eje

trazamos un segmento de recta igual a

tres unidades; desde aquí y paralelo al eje

formamos cuatro

trazamos un segmento de recta igual a cinco unidades. El

punto P de abscisa 4, de ordenada 3 y de cota 5, es la solución pedida.

5

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

PROBLEMAS CON TRES INCÓGNITAS

Veamos algunos ejemplos de problemas que originan tres ecuaciones con tres incógnitas y su solución por determinantes.

1. La suma de las tres cifras de un número es igual a 8, dos veces las centenas, más el triple de las decenas es igual a las unidades aumentadas en cinco; y las centenas más el triple de las unidades es igual a cinco veces las decenas sumando 10, ¿Cuál es el número?.

Solución: Sea,

el número

De acuerdo con el enunciado del problema tenemos:

ó

Luego:

|

|

|

|

( (

) ( ) (

) )

6

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO |

|

|

( (

|

|

|

|

|

(

) ( ) (

) (

Actualización 02/12/2010

) )

( )

) (

)

Resp:

2. La suma de los tres lados de un triángulo rectángulo es igual a 12; el doble de la suma de los catetos más uno es igual al triple de la hipotenusa y la suma del cateto mayor y la hipotenusa es igual al triple del cateto menor. ¿Cuáles son los tres lados?.

Solución: Sea,

Cateto mayor Cateto menor Hipotenusa

De acuerdo con el enunciado del problema: (

)

Ó

7

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

Luego:

|

| |

( (

|

|

|

|

|

( (

|

|

|

|

( (

) ( ) (

) )

) )

( (

( (

) )

) )

) )

FUNCION CUADRATICA O DE SEGUNDO GRADO El que no sabe y no sabe que no sabe, es un ignorante: enséñale El que no sabe y sabe que no sabe, es sincero: ayúdale El que sabe y no sabe que sabe, está dormido: despiértalo El que sabe y sabe que sabe, es inteligente: síguelo PROVERBIO ÁREBE

¿CÓMO SURGIO? Los babilonios fueron quienes lograron mayores avances en la resolución de las ecuaciones cuadráticas completas, obteniendo (para la solución) una formula muy similar a la utilizada hoy:

√( )

la cual da una raíz de la ecuación

Cuando el coeficiente de

era diferente de 1, como en la expresión optaron como mecanismo para solucionar la ecuación multiplicarla por el coeficiente de x llegando a la expresión ( ) ( ) similar a la anterior.

8

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

Luego hicieron una sustitución de variable: t = 7x. La ecuación se transforma en Ahora podían usar la fórmula para hallar el valor de t y luego, usando la relación entre x y t, hallaban el valor de x. Tanto babilonios como griegos estuvieron familiarizados con la solución de problemas en los que se pide hallar dos números conocidos su producto, su suma o su diferencia, haciendo uso de las ecuaciones cuadráticas. Gran importancia dieron los árabes a la solución de las ecuaciones cuadráticas. En el álgebra de AlKhowarizmi, los capítulos IV, V y VI se ocupan de la resolución de los casos que presentan las ecuaciones cuadráticas completas. Khowarizmi, desde entonces, llama la atención sobre el hecho que lo que hoy nosotros llamamos discriminante de la ecuación, debe corresponder a un número positivo, para que se tenga realmente una ecuación. El nombre de parábola (de “colocar al lado” o “comparar”), se dio a la gráfica de la función cuadrática. La ecuación moderna de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría el eje y es ly = , donde l es el llamado latus rectus o parámetro. La parábola tiene como propiedad características que para todo punto tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su abscisa x, es exactamente igual al rectángulo construido sobre la ordenada y y el parámetro l. El geómetra griego Apolonio de Perga, quien posiblemente vivió entre los años 262 y 190 a. de C., fue quien dio el nombre a esta curva, nombre que ha permanecido hasta nuestros días. ¿EN QUÉ SE APLICA? La función cuadrática modela muchas situaciones de lanzamiento vertical u de caída libre de un cuerpo, por ejemplo: su estudio en física es importante en casos como el dela trayectoria de un proyectil, en donde a menudo puede describirse mediante una de tales funciones. En arquitectura su conocimiento es de gran interés, pues numerosos arcos en templos y otros edificios, así como puentes y represas tiene la forma de parábola. Por otro lado, la ecuación cuadrática aparece en la solución de problemas en los que se desea hallar el parea de diferentes figuras del plano, así como en la medida de distancia y volumen de los cuerpos. En el campo de la óptica, algunos espejos y lentes tienen curvatura en forma de parábola. En las comunicaciones, antenas y cables de teléfono también tiene forma de parábola.

9

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

ME PREPARO 1. Factoriza cada expresión. a. b. c.

d. e. f.

2. Grafica, en la recta numérica, los puntos que satisfacen la condición dada: a. X – 5 > - 1 c. X + 2 b. -8 < x + 3 < 1 d. 0 3. Si 4t + √ = 11, expreso el valor de t con dos cifras decimales. 4. Realizo la operación y simplifico

a.

b.

FUNCION CUADRATICA O DE SEGUNDO GRADO Una función o relaciones de segundo grado, cuando una de las variables, su mayor exponente es 2. Dependiendo de ciertas características, una ecuación de 2° grado puede representar:    

Parábola (una variable a la uno, la otra variable al cuadrado) Circunferencia – circulo ( dos variables al cuadrado con el mismo coeficiente) Elipse ( r variables al cuadrado, coeficientes diferentes de igual signo) Hipérbole ( 2 variables al cuadrado, coeficientes diferentes de signos contrarios) FUNCION SEGUNDO GRADO “PARÁBOLA”

f (x)=

f(x) =

y=

Ecuación de 2° grado con 2 variables a, b, c

Para que una ecuación de 2° grado en 2 variables sea parábola es necesario:  

Una de las 2 variables tenga exponente (1) La otra variable tenga exponente 2

10

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

En general y = y=

; si a < 0 (hacia abajo) ; si a > 0 (hacia la derecha)

x=

; si a < 0 (hacia la izquierda)

Hallar dominio y rango

Graficar y=

Actualización 02/12/2010

; si a > 0 (hacia arriba)

x=

Graficar y =

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

X -2 -1 0 1 2 3 Y

X -3 -2 -1 0 1 2 3 Y

Hallar dominio y rango

11

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

CARACTERISTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 1. La gráfica de una función cuadrática y = ó x= es una parábola. 2. En la ecuación y = ; si a > 0 la parábola abre hacia arriba y su punto más bajo se denomina punto mínimo. Si a < 0 la parábola abre hacia abajo y su punto más alto se denomina punto máximo. 3. En la ecuación x = ; si a > 0 abre hacia la derecha. Si a < 0 abre hacia la izquierda 4. Una ecuación de 2° grado en variables representa una parábola cuando una de las variables tiene de mayor exponente 1 y la otra variable tiene como mayor exponente 2 5. El punto de intersección con el eje “y” se encuentra haciendo x = 0 6. El punto de intersección con el eje “x”, se encuentra haciendo y = 0, al hacer esto se obtiene una ecuación de grado dos, al solucionar esta ecuación se está encontrando los ceros o raíces (soluciones) de la ecuación cuadrática. 7. Una función de 2° grado es completa cuando: y=

Ejemplo: y=

, con a, b, c , ; a=3

b=1 c=8 8. Una función de 2° grado es incompleta cuando: a. y =

c=0 ;

Ejemplo: y =

a=-2 b=5

c=0

b=0

b.

;

Ejemplo: y = c.

Ejemplo:

a=

b = 0; c = 0 ; a = -3

b=0 c=5 b=0

c=0

ACTIVIDAD No. 1 I.

Graficar las siguientes funciones, hallar dominio y rango: c. f(x) = a. f(x) = d. f(x) = b. f(x) =

II.

en cada una de las siguientes ecuaciones de 2° grado determinar el valor de a, b, c. a. y = d. y =-4 b. y =

e. y =

c. y= -3x -8

f.

√

√

12

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA Es el punto mínimo si la parábola abre hacia arriba o es el punto máximo si la parábola abre hacia abajo. Las coordenadas del vértice son: v= (

(

Ejemplo 1; encontrar el vértice de

+ 4x + 4

a=1

b= 4

x=

( )

c= 4

= -2 (

)

f (-2) = (

))

)

v = (-2, 0) Graficar

+ 4x + 4, hallar dominio y rango

Ejemplo 2; encontrar el vértice de a=1

b = -6 (

x=

( )

)

- 6x + 9

c=9

=3 ( )( ) ( ) ( )

V = ( 3, 0) Graficar

- 6x + 9, hallar dominio y rango SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Para resolver una ecuación de segundo grado tenemos tres formas; a. Factorización b. Competición de cuadrados c. Formula general

Solución de una ecuación de segundo grado por factorización a. Hallar el valor desconocido Diferencia de cuadrados

13

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

(L – 11) ( L + 11) = 0 L – 11 = 0 y/o L + 11 = 0 L =11 y / 0 L = -11 Respuesta L=11

(

(d - √

)

(

)(d + √

)

)= 0

d=√ y/o d = - √ Respuesta: 40,5 Graficar encontrando corte con los ejes, vértices, dominio, rango f(m) = - 7m m 0 7 7/2 1 -1 2 -2 3 -3 n 0 0 -49/4 Corte con “n” m=0 ( ) n=( ) Corte con “m” =0 0= - 7m ecuacion de segundo grado con una variable factorizacion - 7m = 0 ( − 7) =0 factor común −7 =0 y/o Vértice n= a= 1 m= n=

b = -7 =

c=0

( ) = ( )

=

( )( ) ( ( )

)

=

=

14

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

ACTIVIDAD No. 2 1. Graficar, encontrando corte con los ejes, vértices, dominio y rango a. f(h) = b. f(k)= c. f(l)= d. f(a)=

METODO DE COMPLETACIÓN DEL CUADRADO Si tenemos la expresión , observamos que hace falta el término constante para que corresponda al desarrollo del cuadrado de un binomio. Entonces la expresión dada podemos transformarla PASO 1. Hallemos la mitad del coeficiente de x = PASO 2. Obtengamos el cuadrado del resultado hallado en el paso anterior ( ) PASO 3. Adicionamos la expresión obtenida en el paso 2 a la expresión

( ) =(

) 15

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

EJEMPLO 1. Completemos el cuadrado en: a.

b. Paso 1. =

Paso 1. =

=-9 Paso 2. (

Paso 2. ( ) =(

Paso 3.

)

EJEMPLO 2. Solucionemos la ecuación

) =(

Paso 3.

)

completan do el cuadrado.

La ecuación también podemos escribirla así; . De esta forma completamos el cuadrado del lado izquierdo de la ecuación, asegurándonos de mantener siempre al igualdad. ( ) = 14 ( ) ( (

)= 14 (

la mitad del coeficiente de x es , adicionamos, )

el cuadrado de a ambos lados de la ecuación

) = √

Extraemos la raíz cuadrada Resolvemos para x

x= -

ó = -

x -7 ó x = 2

el conjunto solución es { -7, 2}

EJEMPLO 3. Hallemos el conjunto solución de la ecuación: cuadrado. La diferencia de este ejercicio con el anterior está en el coeficiente de

+ 6 =0. Completando el

que es distinto de 1

+ 6 =0 =- 6 Dividimos ambos lados de la ecuación por 7 para que el coeficiente de

sea 1

= 16

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO +( ) = + [

( )

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

adicionamos ( ) a ambos lados

=

( )] = √

=

extraemos raíz cuadrada a ambos lados

X=

resolvemos para x

X= X=

ó x= X=

el conjunto solución es : { 1, }

ACTIVIDAD No. 3 Resolver por completación de cuadrados: a. 5( b. ( c. d.

) = 60 ) =7

FÓRMULA CUADRÁTICA Toda expresión de la formula

es una ecuación de segundo grado con una incógnita. Los coeficientes a, b y c son los números reales positivos o negativos. Se requiere que sea diferente de cero para que la ecuación sea de segundo grado, los coeficientes y c pueden ser cero. Solucionemos la ecuación cuadrática , completando el cuadrado.

Adicionamos – c a ambos lados ( ) = ( ) +( ) =

dividimos entre a 0 a cada término de la ecuación +( )

completamos el cuadrado adicionando ( ) a cada lado

17

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO [x+(( )] =

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

+

[x+(( )] = = √

X+

√

Si

√

Discriminante

La última expresión que indica la solución dela ecuación, se conoce con el nombre de FORMULA CUADRATICA. Esta nos da las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 en términos de los coeficientes a, b, c. La ecuación cuadrática 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 tiene dos soluciones que corresponder a nueros reales, cuando 𝑏 𝑎𝑐 > y a 0 tales soluciones son: 𝑏 √𝑏 𝑎

𝑥

𝑏

Si 𝑥 𝑦𝑥

Si 𝑏

𝑎𝑐

𝑎𝑐

𝑥

𝑏 √𝑏 𝑎

𝑎𝑐

, las dos soluciones coinciden, se tiene entonces:

𝑏 𝑎 𝑎𝑐 <

la ecuación cuadrática no tiene solución en el conjunto de los REALES

Como el valor de discrimina o diferencia el número de raíces de la ecuación cuadrática, se conoce con el nombre de DISCRIMINANTE de

18

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

EJEMPLO 1. Hallemos la solución de la ecuación cuadrática. En este caso tenemos a = 9 , b = -4 , c = -6 Como x = para los valores dados queda: (

X= X

) √(

√

) ( )

( )(

usando la formula

)

√

= =

=1

=

=

El conjunto solución de la ecuación es {

1}

EJEMPLO 2. Solucionemos la ecuación Primero igualamos la ecuación a cero:

, usando la formula cuadrática

En este caso a = 4 , b =-12, c = 9 √

m=

Luego m =

(

) √(

)

( )( )

( )

√

=

El conjunto solución dela ecuación es {

, un solo valor, pues

EJEMPLO 3. Solucionemos la ecuación En este caso a=3, b=5, c= 1 Z=

=0

Usando la formula cuadrática

√

Luego z=

√( ) ( )( ) = ( )

El conjunto solución es {

√

√

=

√

√

EJEMPLO 4. Solucionemos la ecuación

Igualando la ecuación a 0, se tiene

aplicando la formula cuadrática de donde a= 5, b= 3, c = 4 por tanto:

19

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

y=

√( ) ( )( ) ( )

=

√

=

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

√

¿Cómo es el discriminante? , ¿Cuál es la solución de esta ecuación?

ECUACIONES IRRACIONALES Una ecuación es irracional, cuando la incógnita o variable figura bajo un radical. Ejemplo: 3x - √ + 5 =0, x – 3 = √ ¿Qué debemos hacer para resolver una ecuación irracional? 1. Aislar el radical 2. Elevar al cuadrado para eliminar el radical ( esta operación debe repetirse hasta que sea necesario para obtener una ecuación sin radical) 3. Hallamos el valor de la incógnita 4. Verificamos los valores hallados en la ecuación original para descartar las soluciones inconsistentes llamados: SOLUCIONES EXTRAÑAS EJEMPLO: 3x - √ + 5 =0 (3x +5) = √ elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación + 25= x + 25 = 0 + 25=0 Ecuación de segundo grado. Resuelva y verifica sus soluciones

ACTIVIDAD No. 4 Resuelve y verifica las soluciones de las siguientes ecuaciones: a. X – 3

b. √ c. √ d. √

√ + t =0 -√

+ 1 =0

+√

=0

20

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

ECUACIONES BICUADRÁTICAS Llamaremos ecuaciones BICUADRÁTICAS a las ecuaciones de la forma: Para resolver una ecuación bicuadrática, hacemos sustitución con una nueva variable, con el objetivo de convertir la ecuación cuadrática, se resuelve esta por cualquiera de los métodos vistos y se regresa a la sustitución para encontrar las raíces o soluciones de la ecuación bicuadrática.

m=

a(

) +b(

) +c=0

de segundo grado Ejemplo: (

)

(

)

9=0

Z=

(z -9)(z+1) =0 Z-9=0 y/o z+1 =0 z =9 y/o z= -1 =9, = -1,

regresamos a la sustitución

x =3 x=√

S { 3, -3}

21

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

22

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

ACTIVIDAD No. 5 Resuelve las siguientes ecuaciones a. ( b. ( c.

) + 2x = ( ) ) ( + y =0

d. √ e.

)

+1 =√

f. g.

=0 LOS NUMEROS COMPLEJOS

Al resolver ecuaciones algebraicas, en los números reales, es evidente que toda ecuación de primer grado con incógnita X, puede reducirse a la forma (con ) y su solución única es el número real

-

Si la ecuación es de segundo grado para la incógnita X, puede reducirse a la forma (con ), y en tal caso: 

Su conjunto solución tiene dos elementos, que son los números reales √

 

y

√

, siempre y cuando se cumpla que

Su conjunto solución tiene un solo elemento, que es el número real

> . , cuando

. Su conjunto solución no tiene elementos reales, es decir, la ecuaación no tiene solución en los números reales si < , por cuanto no existe un número real cuyo cuadrado sea un numero negativo.

En particular la ecuación cuadrática tiene como soluciones y √

√

, que puede escribirse como , numeros que no son reales.

,

√ Al mismo resultado llegamos si se toma la ecuación un número cuyo cuadrado sea ; deacuerdo con 1.

, en tal caso, es necesario encontrar

23

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

Como lo leimos en ¿Cómo surgio?, los matemáticos llamaron “imaginarios” a los números cuyo cuadrado es un número negativo y posteriormente idearon el simbolo i, por i comienza la palabra imaginario, para representar al número cuyo cuadrado es -1, es decir establecieron que Como resultado tenemos que i no es un número real y además que el producto de un real por i tampoco es un numero real. ¿Por que?

Como en los números reales todo cuadrado es un número real no negativo, la solución de la ecuación x2=-1, no es un número real. Se acepta que existe un número denotado i, que no es real, para el cual i2=-1. Ahora nos preguntamos: si adicionamos un número real con el producto de un real por i, ¿la suma a+bi es un número real? Si a+bi fuera un número real c, entonces bi=c-a, sería también un número real, lo cual no es posible. Un número de la forma a+bi, en donde a y b son números reales, no es un número real. Todos los números de la forma a+bi se llaman complejos. En un número complejo a se llama parte real y bi se llama parte imaginaria. Esta forma de representar a los números complejos se llama forma binomial, por cuanto puede considerarse a+bi como un binomio algebraico. Dos números complejos son iguales cuando su parte real y su parte imaginaria, respectivamente son iguales. Ejemplo 1: Identifiquemos la parte real y la parte imaginaria de los números 4/5 + 3i, -2 -0,7i, 0,1-4i, √ 9.     

-

Para el número complejo 4/5 + 3i la parte real es 4/5 y la parte imaginaria es 3i. Para el número complejo -2 -0,7i la parte real es -2 y la parte imaginaria es -0,7i. Para el número complejo 0,1-4i la parte real es 0,1 y la parte imaginaria es -4i. Para el número complejo √ la parte real es 0 y la parte imaginaria es √ . Para el número complejo -9 la parte real es -9 y la parte imaginaria es 0i.

Ejemplo 2: ¿Cuál es la parte imaginaria de los números 0,23 y 1+x? Estos números son reales por tanto “no tienen” parte imaginaria Sin em argo es importante anotar que el número real a puede escribirse como a+0i y se acepta que su parte imaginaria es 0i. Todo número real a puede escribirse como el complejo a+0i ; por tal razón a todo número real a le corresponde la representación compleja a+0i, en donde 0i es su parte imaginaria, en este sentido se acepta que todo número real es un número complejo. 24

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

Potencias de i Las potencias de la unidad imaginaria i, se obtienen a partir de su definición. Dado que entonces:

(√

√

,

) ( (

) )

(

)

Estas cuatro potencias se denominan potencias básicas de i, ya que a partir de i5 se repiten en periodos de a 4. Actividad No. 6 Escribir el valor correspondiente a cada potencia de i: a) b) c) d) e) Representación gráfica de los números complejos Todo número complejo se puede representar geométricamente sobre el plano complejo. El plano complejo es un sistema similar al plano cartesiano, en el cual el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Así, para representar el número a + bi se emplea su forma cartesiana (a, b). La primera componente a, se ubica sobre el eje real y la segunda componente b, se ubica sobre el eje imaginario. Ejemplo: Representar 3 + 2i, 5 - 2i y -4 - 3i sobre el plano complejo:

25

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

Números complejos conjugados Dos números complejos se denominan conjugados si difieren únicamente en el signo de la parte imaginaria. Si z = a + bi, el conjugado de z se escribe ̅, y es igual a ̅ Ejemplo: Hallar el conjugado de los siguientes números complejos:   

z = -3 + 5i w = +3i v = -7

̅ ̅ ̅ OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS

ADICION DE ℂ Para sumar dos números complejos se suman respectivamente su parte real y su parte imaginaria:

Si z1 y z2 ϵ ℂ tal que z1 = a+bi y z2 = c+di; la adición de z1+z2 está dada por: z1+z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i Las propiedades de la adición de números complejos son las mismas que las de la adición de los números reales. Módulo de la adición de los números complejos Si suponemos que el módulo tiene la forma x+yi, entonces: (a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i=a+bi Luego x=0 y y=0. En conclusión, el módulo de la adición de los complejos es el complejo 0+0i. 26

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

Opuesto del complejo a+bi Para que (a+bi)+(m+ni)=(a+m)+(b+n)i=0+0i, se debe cumplir que m=-a y n=-b; por tanto, el opuesto de (a+bi) es (-a-bi). SUSTRACCION DE ℂ La diferencia de dos números complejos se obtiene restando respectivamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Si z1 y z2 ϵ ℂ tal que z1 = a+bi y z2 = c+di; la sustracción de z1 - z2 está dada por: z1 - z2 = (a+bi) - (c+di) = (a - c)+ (b - d)i MULTIPLICACIÓN DE ℂ La multiplicación de números complejos se realiza considerando dichos números como binomios algebraicos. Es decir, en su solución se aplican las propiedades distributiva, asociativa y conmutativa de números reales. Por ejemplo para realizar (a+bi) x (c+di), siendo estos números complejos, se procede así:

(a+bi) x (c+di).

Se tiene la expresión

Aplicando la ley distributiva para expresiones algebraicas

ac adi + bci bdi2

Reemplazando el valor i2 = -1

ac adi + bci bd

Asociando relaes con reales e imaginarios con imaginarios (ac bd) + (adi bci) Factorizando i en el segundo término Por lo tanto:

(ac bd) + (ad bc)i

(a+bi) x (c+di) = (ac bd) + (ad bc)i

Propiedades de la multipli a ión de ℂ La multiplicación de números complejos cumple las siguientes propiedades:    

Clausurativa: Para todo z1, z2 ϵ ℂ z1 . z2 ϵ ℂ Conmutativa: Para todo z1, z2 ϵ ℂ z1 . z2 = z2 . z1 Asociativa: Para todo z1, z2, z3 ϵ ℂ (z1 . z2).z3 = z1 . (z2 . z3) Modulativa: Para todo a+biϵ ℂ, existe 1+0i ϵ ℂ tal que (a + bi) x (1+0i) = a + bi

27

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

DIVISIÓN DE ℂ la división entre números complejos se resuelve multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Simbólicamente, a + bi ÷ c + di es: (

(

)

)

El inverso multiplicativo de todo número complejo zϵ ℂ, es otro complejo z -1ϵ ℂ, tal que cumple: . Por lo tanto, (

)

La división de números complejos puede interpretarse como el producto del dividendo con el inverso multiplicativo del divisor. Actividad No. 7 Efectuemos las siguientes operaciones entre números complejos: a) (

)

b) ( c) ( (

) ( ) ( )

d) (

)

e) ( f) (

)

( ) )

(

)

g) ( ( h) i) ( j)

( (

)

)

)

k)

) (

)

(

)

l)

( ( ( ( ( (

)( ) )(

) )

) ) ) ) ) )

CONSULTA I. II. III. IV. V.

¿Por qué un número complejo es un vector? Investiga cómo se suman y restan vectores por el método del paralelogramo Dibuja 3 paralelogramos Trae 3 ejemplos de suma de vectores Trae 3 ejemplos de resta de vectores.

28

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

RECREATE

TALLER DE NIVELACION 1. En cada ecuación, determina los valores de a, b, c a. c. b. d. 2. Uso la fórmula cuadrática para solucionar cada ecuación a. c. h + b. d. 3. Usa el método más adecuado para solucionar cada ecuación g. 2x(x+2)=(3x-1)(x+3) a. b. c. ) ( ) h. ( d. e. i. f. 4. Hallo todas las raíces reales de cada ecuación , puedo sustituir c. ( a. ( b. d.

por Z ) ( )

) (

)

La fórmula general de las dos raíces dela ecuación cuadrática Como ya lo vimos, son: √

√

5. Soluciono cada problema: 29

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO a. Si la suma de un número y su recíproco es

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

¿cuál es el número?

b. Un cuadro es 30 cm más largo que ancho y su área es 4264 , ¿cuánto miden el largo y el ancho del cuadro? c. La suma de dos número es 46 y su producto 513, ¿cuáles son los números? 6. Hallo un valor de m que haga que la ecuación , tenga una solución única. 7. Realizo la operación indicada y simplifico: a.

b.

8. Hallo, en cada caso, las coordenadas del vértice de la parábola, la ecuación del eje de simetría, determino si la función tiene máximo o mínimo y doy el valor correspondiente del máximo o mínimo. a. d. b. e. c. f. 9. Dadas las funciones a. Dibujo las gráficas sobre un mismo plano cartesiano b. Observo las gráficas representadas y escribo una conclusión sobre los cambios de la gráfica , cuando c aumenta o disminuye. 10. Escribo el valor del discriminante de cada ecuación y determino el número de raíces de cada una sin resolverla. d. 7+3h a. b. c. 11. Dadas las funciones determino: a. Coordenadas del vértice de la parábola b. Coordenadas de intercepto con y c. Coordenadas de los interceptos con x, si los hay d. Realizo la gráfica de la parábola e. Expreso como un intervalo, el recorrido de la función 12. En cada caso, obtengo las coordenadas del vértice de la parábola por los dos métodos vistos:

13.

La figura muestra el patio de un colegio, la parte cementada tiene igual área que la parte embaldosada, hallemos las dimensiones de la parte cementada. 30

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

“En se saberlo existe”

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

tiempos de cambio, quienes estén abiertos al aprendizaje adueñaran del futuro, mientras que aquellos que creen todo estarán bien equipados para un mundo que ya no

Eric Hoffer

TALLER DE PROFUNDIZACIÓN Los siguientes ejercicios son para resolver individualmente 1.

Soluciona cada ecuación completando el cuadrado a. =19 b. =21 c. =8

2.

Representa la situación y halla la solución. a. En un triángulo rectángulo el cateto mayor mide 10 cm menos que la hipotenusa y 35 cm más que el oro cateto. ¿cuáles son las medidas de los lados y el área del triángulo? b. ¿cuáles son las medidas de los lados de un rectángulo si su área es 240 y su diagonal mide 26 dm? 3. En cada caso resuelve la ecuación factorizando a. b. c.

4.

Para resolver el problema, responde cada interrogante que aparece al finalizar el enunciado.

Teresa y Raquel, laborando juntas, realizan un trabajo en 6 horas ¿en cuánto tiempo lo haría cada una por separado, si Teresa emplea 5 horas menos que Raquel? a. Si llamo x al tiempo que emplea Teresa en hacer sola el trabajo, ¿cuál es el tiempo que utiliza Raquel en hacer sola el trabajo? b. ¿qué parte del trabajo hace Teresa en un ahora, trabajando sola? c. ¿qué parte del trabajo hace Raquel en una hora, trabajando sola? d. ¿qué parte del trabajo hacen Teresa y Raquel en una hora? 31

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO e. ¿Qué indica la expresión

Actualización 02/12/2010

?

f. Resuelve la ecuación planteada en e g. Verifica si los valores encontrados solucionan el problema. 5. Dadas las funciones halla de cada parábola: e. Gráfica de la parábola a. Coordenadas del vértice f. Dominio de la función b. Coordenadas del y- intercepto g. Rango de la función c. Coordenadas de x-interceptos d. Ecuación del eje de simetría Los siguientes ejercicios son para resolverlos con un grupo de trabajo de compañeras. 6. Sea f(x)= a. Encuentra los valores de y para los valores de x dados

X

0

1

-1

2

-1

3

-3

Y b. c. d. e.

Tracen un plano cartesiano y en él ubiquen los puntos cuyas coordenadas están en la tabla. Hagan el bosquejo de la curva uniendo los puntos ubicados en el plano. ¿cuál es el dominio de la función? ¿cuál es el rango de la función?

La grafica de la función f(x)=

se denomina PARÁBOLA CÚBICA

7. En cada caso, sigan los pasos mencionados en el ejercicio anterior para realizar la gráfica de la función. a. h(x)= b. g(x)= ( ) c. k(x)= ) d. f(x)= ( 8. repitan los pasos anteriores indicados en el ejercicio 6, para realizar la grafica de las funciones a.

( )

b.

( )

(

)

La vida es como las matemáticas, si la cosa esta yendo muy fácil ¡Algo está mal!

32

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

PLAN DE LECTURA – 3er PERIODO Objetivo General: Incentivar en las estudiantes la cultura de la lectura desde el área de matemáticas. Metodología: Con la participación directa de las estudiantes en la semana ocho (8), en una hora de matemáticas, se socializará la lectura dejada con anterioridad, en grupos de cuatro (4) estudiantes, en forma creativa ya sea mediante un resumen, mapa conceptual, sopa de letras, crucigrama, cuestionario tipo icfes, sociodrama, juegos, etc. ACTIVOS E INGRESOS Antes de formular tu sueño, analiza algunos aspectos que debes tener en cuenta al presentar tu proyecto a quienes te pueden ayudar a hacerlo realidad.      

¿Sabes cuál es la meta de tu sueño (proyecto)? ¿Qué necesitas de los demás para realizar tu sueño? En tu sueño, ¿has tenido en cuenta alguna problemática de tu contexto cotidiano? (ecológico, de convivencia, relacionado con la pobreza, entre otras). ¿Cómo emplearías tus fortalezas para alcanzar tu sueño? ¿Qué impacto tendría tu sueño en otras personas? Además de ti, ¿Quiénes se beneficiarían? ¿Cuánto vale tu proyecto?

Para organizar mejor tu sueño, describe la actividad, la meta y el propósito general de tu proyecto. Analiza muy bien los dos últimos conceptos. Después, realiza el ejercicio con base en el siguiente ejemplo: Actividad

Meta

Propósito general

Ir al centro comercial__ ______________________ ______________________ ______________________

Conseguir un regalo _________________ _________________ _________________

Festejar el cumpleaños __________________ __________________ __________________

_________________ _________________ _________________

También escribe qué recursos necesitas en cada caso: ____________________________________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

33

Código FR- 17- GA Versión: 002 Emisión 02/09/2008

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Actualización 02/12/2010

Lee detenidamente: Activo: cualquier cosa de valor, de propiedad de una persona, familia o empresa. Por ejemplo, los bienes de un individuo, pueden incluir dinero en efectivo, casas, automóviles y acciones en la bolsa de valores. Ingreso: cantidad de dinero recibido durante cierto periodo producto del trabajo o de la prestación de un servicio, de la compra y la venta de mercancías o propiedades, y de las ganancias obtenidas por inversiones financieras. Fuentes de ingresos: formas de obtener dinero que tiene cualquier persona, empresa o Estado. Las del último están relacionadas con la gestión de sus entidades y los impuestos; las de las compañías, con las operaciones comerciales para la venta de sus productos y servicios; y las de los individuos, con el trabajo, la compraventa de mercancías o propiedades, y las ganancias de sus inversiones financieras. Proyección de ingresos: cálculo aproximado, en función de expectativas y posibilidades, de cuánto dinero se recibirá en un futuro establecido, producto de una o varias fuentes de ingresos.

Elabora la siguiente tabla con tu familia: Activos de la familia

Valor

Vivienda

$

Vehículos Electrodomésticos Ahorros Maquinaria Total

$ $ $ $ $

Ingresos mensuales

Valor

Salario de quienes trabajan Ventas Servicios Otros ingresos

$

Total

$

$ $ $

Un sábado en la tarde (segunda parte) Para este momento, ya llevaban mas de una hora en el centro comercial. Es que el tiempo en el parche se pasa volando. Luego de unos minutos en los que todos estuvieron callados, mirando a la gente que caminaba por la plazoleta de comidas, Andrés le preguntó a Juan David: -

¿Oiga y qué es esodel nuevo grupo que está armando en Facebook? 34

Código FR- 17- GA

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR SEDE LICEO FEMENINO

Versión: 002 Emisión 02/09/2008

Actualización 02/12/2010

-

Ah, es una vaina sobre la protección de animales. Es que el otro día ví como le daban duro a un caballito todo flaco – Respondió Andres. De repente, en ese momento, Luis Fernando se sintió muy motivado a hablar. Algo inusual en él. -

A mí sí me interesa el grupo, cuando vaya a la casa de Laura o de Andrés me inscribo. Desde que me regalaron a Max me he dado cuenta de cómo maltratamos a los animales.

Como empezaba a oscurecer y nadie quería que regañaran a Laura y Ariadna, emprendieron el camino a casa, lógicamente, caminando. Cuando cruzaron la avenida principal, Luis Fernando vió un automóvil que le pareció muy moderno. –¡Uy que carro! Cuando trabaje me voy a comprar uno así, pero el mío será verde-. Dijo. -

Que mal gusto. ¿Cómo se te ocurre un carro tan elegante de color verde? Tú si eres mas ordinario que una iglesia con orinal – Respondió Andrés. Entonces todos rieron a carcajadas.

Después dijo Ariadna: -

En cambio, cuando yo tenga ahorrada suficiente plata, voy a tener un jardín infantil para los niños pobres del barrio -. No pues, habló la madre Teresa-. Reparó Andrés. Ya párela hermano. Más bien dinos que quieres hacer cuando salgas del colegio-. Dijo Juan David. Yo ya le dije a mi papá que vaya ahorrando porque quiero hacer un curso de inglés en Estados Unidos-. Respondió Andrés. Sueñe mijito. Si acaso lo llevan hasta “Neiva York”-, dijo rápidamente Melissa.

Otra vez fueron inevitables las carcajadas. Juan David, con su acostumbrado tono serio, comentó: -

-

A mí sí me parece muy chévere en plan de Ariadna. Yo quisiera tener plata para llevar a mi “cucha” al mar, pues ese es su sueño y me sentiría feliz si lo puedo hacer realidad. Debe ser muy bacano-. ¿La va a llevar en avión?-. Preguntó Luis Fernando. No sé. Esa es la idea porque ni ella, ni ninguno de la familia ha montado en avión, pero es muy caro-. Respondió Juan David. Si yo tuviera plata me iría a todos los conciertos de reggaetón y me compraría todos los discos de Daddy Yankee y Calle 13-. Dijo Melissa.

Así cada uno fue contando, más bien fue soñando en voz alta qué le gustaría hacer, tener o ser en el futuro. Cada proyecto era muy particular, pero todos tenían en común que implicaban dinero para realizarse.

35