INSTITUCION EDUCATIVA COLEGIO NUESTRA SEÑORA DEL ROSARIO Resolución 004852 Nov. 30 de 2011 CODIGO DANE: 154128000019NIT: 807’005.884-4
GUIA SEMANAL DE APRENDIZAJE PARA EL GRADO NOVENO IDENTIFICACIÓN AREA: Matemáticas. ASIGNATURA: Matemáticas. DOCENTE. Juan Gabriel Chacón c. GRADO. Noveno. PERIODO: Tercero UNIDAD: Sistemas de ecuaciones lineales TEMA: Ecuaciones lineales con dos variables Estándares Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. INDICADORES DE DESEMPEÑO
Reconoce y moldea enunciados por medio de sistemas de ecuaciones y soluciona los mismos Utilizando los métodos de igualación, eliminación y determinantes. Analiza problemas de situaciones cotidianas y plantea sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas que lo representan. Establece relación entre los diferentes métodos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Establece condiciones para la utilización de uno u otro método de solución. Soluciona sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Crea situaciones problemas en las cuales es necesario la a aplicación de sistemas de ecuaciones.
Contenido Tema: Solución de ecuaciones con dos incógnitas Método grafico Método de eliminación Método de igualación Método de determinantes
BASE TEORICA
La solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables representa gráficamente los puntos donde las rectas que componen el sistema de ecuaciones se encuentran. En particular dos rectas se encuentran en un único punto si ellas tienen distintas pendientes. Si sus pendientes son iguales puede suceder que no exista solución o la solución no sea única en cuyo caso hay soluciones infinitas.
1. 2x +3y = 5 2.
x + 5y = 6
El anterior es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas representas con las letras X y Y .un sistemas de ecuaciones como el anterior se puede solucionar por medio de diferentes métodos como por ejemplo igualación. Determinantes y el método grafico.
El método de Igualación es el más reconocido y utilizado en la solución de sistemas de ecuaciones. Para la utilización de este se deben realizar los siguientes pasos:
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1. Despejar una de las dos incógnitas, cualquiera que sea pero siempre despejando la misma Incógnita en ambas ecuaciones. Obteniendo asi las ecuaciones 3 y 4. 2. Igualamos las ecuaciones tres y cuatro. Para obtener asi una ecuación con una sola incógnita. 3. Despejar la incógnita restante para obtener asi el valor de la primera variable. 4. Reemplazar el valor obtenido en la ecuación 3 o 4. 5. Despejar la incógnita que nos queda y obtener asi el valor de la incógnita que faltaba.
Por ejemplo si solucionamos el sistema anterior tendremos lo siguiente.
x = 1 (5-3y) 2
-3y + 5y = 6 – 5 2 2
x= 6-5y ec. 4
7y = 7
Igualamos 3 y 4 x = 5 – 3y 2 2
-3y+10y = 12-5
-3y+10y = 12-5 2 2 Se cancelan los 2
ec. 3 5 – 3y = 6-5y 2 2
y=1
x+5y=6
Reemplazamos en 4 x = 6-5y x = 6-5(1) x = 6-5 x=1
El método de Determinantes se realiza de la siguiente forma.
1. Se seleccionan los coeficientes de las respectivas ecuaciones de la siguiente manera. │2 3 │ 5 │1 5 │ 6 2. Si vamos hallar la incógnita x eliminamos dicha columna y la reemplazamos por el término independiente de la siguiente forma │5 │6 │2 │1
El tercer método que veremos es el método Grafico el cual consiste en graficar las funciones que componen el sistema de ecuaciones de la siguiente forma
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Para realizar las graficas correspondientes es necesario despejar una variable de las ecuaciones para darle valores a la otra y hallar los puntos necesarios para la grafica. En este caso despejamos la Y para darle valores a X de la siguiente manera
2x+3y = 5 X y
y = 5 – 2x 3 3 -1 -2 1 2 0 7/3 3 1 1/3 5/3
x + 5y = 6 X y
y= 6 – x 5 5 -1 -2 1 2 0 7/5 8/5 1 4/5 6/5
SI graficamos las ecuaciones anteriores obtenemos:
1 Como se puede observar el punto de corte es el punto P (1,1) significa esto que la solución del sistemas es x=1 y=1 Los sistemas de ecuaciones representan situaciones de variación de datos o variable como el costo de los alimentos. Por esta razón es muy común representar dichas situaciones en estos sistemas para luego darles la solución adecuada. A continuación realizaremos algunos sistemas de ecuaciones a partir de situaciones comunes. Problema1. Rafael y Fernando hacen las compras de camisas y pantalones en almacenes distintos. Ellos compran el mismo número de prendas de cada clase. Rafael gasto sus compras $300000 y Fernando $285000. Rafael compra en el almacén A donde las camisas cuestan $20000 y cada pantalón $50000. Fernando por su parte compra en el almacén B donde las camisas tiene un costo de $25000 y los pantalones 4 40000 cada uno. Para armar las dos ecuaciones debemos determinar las variables que en este caso serán X y Y las cuales representan el numero de camisas y pantalones que se compraron. En la siguiente tabla se presenta el resumen del problema con sus respectivas variables. Numero de camisas Numerote pantalones Costo Rafael X Y $ 300000 Fernando X Y $ 285000 Teniendo en cuenta el resumen anterior podemos armar las siguientes ecuaciones. 20000x+ 50000y = 300000 25000x + 40000y = 285000 La solución del sistema hallado la podemos encontrar por cualquier método anteriormente explicado.
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TALLER Hallar el sistema de ecuaciones y encontrar la solución de los siguientes problemas 1. Cuáles son las dimensiones de un rectángulo si su perímetro es de 80 unidades y la diferencia entre tres veces el largo y su ancho es 10. 2. una empresa de transporte reunió en una semana 45000 monedas de $200 y $500.si el total de dinero recolectado es de $19500000 ¿cuántas monedas de cada denominación reunieron? 3. Deseamos preparar una dieta especial que contenga 13 onzas de proteína y 7 onzas de grasa, para alimentar animales en el zoológico. Para esto se tienen dos concentrados, los cuales contienen un porcentaje de proteína y de grasa por onza según lo indica la tabla.
Grasa %
Concentrado1 20
Concentrado 2 20
Proteína %
80
5
a. si la ración de concentrado 1 es 10 onzas ¿cuántas onzas de grasa y proteína consume el animal en esa ración. b. Si la ración de concentrado 2 es 10 onzas que cantidad de grada y proteínas consume el animal. c. Cuantas onzas de cada concentrado son necesarias para completar las dieta requerida por estos animales d. Representar la situación en el plano cartesiano. 4. dos tarjetas telefónicas presentan planes para llamadas a larga distancia. La tarjeta tiene $1500 de recargo fijo y cada minuto cuestas $350. La tarjeta B tiene $1000 de cargo fijo y el valor de cada minuto es de $750. a. cuál es el valor de una llamada de x minutos con la tarjeta A. b. cuál es el valor de una llamada de x minutos con la tarjeta B c. si Jorge usa las tarjetas para llamar a su familia y usualmente demora 10 minutos en cada llamada ¿Qué tarjeta presenta su servicio más económico? d. Cual debe ser la duración de una llamada para que el costo sea igual con cualquiera de las dos tarjetas. 5. Un vendedor tiene la oportunidad de escoger entre dos empleos .En la empresa cóndor su salario es de 120000 mas el 5% de comisiones sobre las ventas totales que realice en el mes. En la empresa Águila su salario es de 800000 mas el 15% de comisiones sobre las ventas totales del mes .cual deben ser las ventas mensuales para que el salario sea el mismo en cualquiera de las empresas. 6. María compro 9 postales para enviarles a sus amigos y le costaron $30000. El precio de las pequeñas es $2500 y el precio de las grandes es de $4000. Cuantas postales de cada clase compro María. 7. Dos amigos entran a una cafetería y ordenan empanadas y refrescos .uno de ellos ordena 5 empanadas y dos refrescos y su amigo 3 empanadas y un refresco. La cuenta del primero es de $ 9100 y la del segundo es de $5300.cual es el precio de cada empanada y cada refresco.
8. Si el perímetro de la sala rectangular es 300 m y uno de los lados mide 10 m más que el largo del otro. Cuales son las dimensiones de la sala. 9. En dos cuentas se depositan en total $1000000. En las cuentas se pagan el 7% y el 6% de interés anual. Al finalizar el año el interés generado por las dos cuentas es de $62500. Cuanto se invirtió en cada cuenta. 10. dos autobuses parten de la misma estación pero con direcciones opuestas. El primero parte hacia el occidente una hora antes del segundo con velocidad de 20 km/h menos que el ultimo autobús .si después de tres horas la distancia entre ello es de 340 km. A qué velocidad viaja cada autobús. 11. Calcular las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 74 cm y el largo es 2 cm menos que el doble del ancho.
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12. las boletas para el bazar de un colegio tiene un precio de $20000 para adultos y $12000 para jóvenes menores de 12 años. La familia de Carlos compra ocho boletas para el bazar y el costo total es de $120000. Cuantos adultos y cuántos niños menores de 12 años componen la familia de Carlos.
TIEMPO: El plan anterior esta esquematizado con el fin de desarrollarse en un tiempo de20 horas.
RECURSOS o o o o
Libro Zona activa octavo grado; Editorial Voluntad. Espiral octavo; editorial norma. Algebra. Guías de trabajo para desarrollar por parte del estudiante.
ESTRATEGIA DE EVALUACIÓN La evaluación será constante durante el proceso de acuerdo al desarrollo individual del estudiante tanto en clase como en el trabajo en casa. Se cierra el proceso con una evaluación escrita sobre el tema.
APOYO PEDAGOGICO Los estudiantes que al finalizar el proceso, demuestren que aun presentan dificultades con el desarrollo del tema tendrán la oportunidad de realizar un proceso de nivelación en horas de la tarde con el desarrollo de nuevos procesos que permitan al estudiante asimilar de mejor y mayor forma los conocimientos y adquiera las competencias establecidas para el tema. Los horarios de nivelación serán acordados entre el estudiante y el docente con el fin de no torpedear las actividades de ninguno de los dos.
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