Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA:

Divisibilidad

GRADO:

Sexto y Séptimo

DURACIÓN:

3 horas

PENSAMIENTO MATEMÁTICO:

Numérico

MATERIAL DIDACTICO

La Cadena de la Divisibilidad

GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE

PRESENTACIÓN El material didáctico “Cadena de Divisibilidad” es diseñado para que el estudiante observe físicamente el proceso de descomposición en factores primos de un número compuesto, además que pueden comprender y utilizar adecuadamente los criterios de divisibilidad que se enuncian en el proceso.

El

presente material está construido a partir de mosquetones, usualmente

los

mosquetones

se

utilizan como

llaveros.

Mediante el uso del mosquetón como material didáctico facilita la unión y separación de cada uno de los trozos de cadenas fácilmente, la cadena consta de 170 mosquetones.

Comprender el concepto de divisibilidad y OBJETIVO GENERAL:

los criterios para la descomposición de números en sus factores primos. Emplear fórmulas de conjuntos numéricos para el entendimiento de cada criterio de divisibilidad.

Verificar OBJETIVOS ESPECIFICOS:

algunas hipótesis que permiten

comprender la teoría de la divisibilidad.

Proponer cuando un número compuesto es divisible por x número primo.

Descomposición de un número compuesto en sus factores primos.

CONTENIDOS:

Numero primo. Numero compuesto. Diagramas de árbol de un número compuesto.

FASE INTERPRETATIVA Números primos

Son los números naturales diferentes de cero y uno, que solo tienen dos divisores; la unidad y el sí mismo.

Ejemplo:

El 2 es primo porque es divisible por 1 y por sí mismo, además también es el único primo par. Otros primos serian 3, 5, 7 entre infinitos que existen. FASE ARGUMENTATIVA Con base en la definición anterior, enuncie por extensión un conjunto llamado “P” cuyos elementos sean mayores que cero y menores que 30.

Nota: se observa de que en el ejemplo anterior hay unos números que no pertenecen al conjunto P, esos números son llamados compuestos y de ahí la siguiente definición:

Numero compuesto Es todo natural que tenga más de dos divisores.

Ejemplo:

El 12 es un número compuesto porque lo divide el 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ejercicio:

Dado el conjunto H= {21, 33, 37, 43, 45, 53}, determine cuáles de los siguientes números son compuestos y ¿Por qué?

Diagramas de árbol de un número compuesto

Ejemplo: Tomemos el numero 12 como ejemplo; ahora busquemos que factores al multiplicarse me dan como resultado el número 12, pero nuestro objetivo principal es buscar que estos sean primos, al comienzo notaremos que ese producto da a partir de factores que pueden ser de un numero primo por un compuesto, o un compuesto por compuesto. Como en este caso que tenemos 3 opciones:

4×3=12

(1)

2×6=12

(2)

12×1=12

(3)

Ahora miremos la opción (1) y notemos si esos factores son números primos o compuestos, en este caso el 4 es un compuesto y el 3 es primo, como el 4 es compuesto buscamos de nuevo que dígitos al multiplicarse me dan 4, esos serian 2×2=4, entonces la expresión (1) me quedaría de la siguiente manera: 2×2×3=12 Ahora ya podemos expresar la anterior expresión como: 22 ×3=12 En la siguiente figura observe el diagrama de árbol de la descomposición de 12 en sus factores primos: 12

12

2

2

6

2

4

3

2

3

2

Figura 1: Descomponiendo números Entonces 12=22 x3

3

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: LA CADENA DE LA DIVISIBILIDAD Este material se utiliza en el momento de explicar los criterios de divisibilidad, el docente da el criterio teóricamente y el ejemplo lo hace teórico-práctico,

además será la ayuda

didáctica para estudiantes a la hora de resolver ejercicios.

Ejemplo:

Suponga que usted va a dar el criterio de divisibilidad de 2, entonces da el criterio teóricamente y suponga que el número 50 es su primer ejemplo, en ese momento utiliza la cadena de 50 mosquetones y empieza a dividirla en la mitad, es aquí donde se aplica: “Es para todo número natural que termina en cero”, y hago lo mismo para un número que termine en cualquier cifra par, tome como ejemplo el número 24 y repita el procedimiento utilizado anteriormente.

FASE PROPOSITIVA:  Un número es divisible por 2 si acaba en cero o cifra par.

Ejemplos:

38, porque acaba en 8. (En este momento debe empezar a usar la cadena de la

divisibilidad y para los ejemplos de los criterios siguientes, siempre y cuando el número utilizado no se pase de 170).

38 2 19

Ahora verifique con el número 120, porque acaba en 0.

120 2 60  Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de tres.

Ejemplo: 21, porque 1 + 2= 3 y es múltiplo de 3 porque 21÷3=7 o 3×7=21

21 3 7 Ahora verifiquemos con este número grande 36’’.058.254’.865.239, porque 3 + 6 + 0 + 5 + 8 +2 + 5 + 4 + 8 + 6 + 5 + 2 + 3 + 9 = 66 repitiendo el proceso con 66: 6 + 6 = 12 y es un múltiplo de 3 porque 12÷3=4 ó 3×4=12  Un número es divisible por 5 si la última cifra es cero o cinco.

Ejemplo: 25, porque termina en 5.

25 5 5

Ahora verifique para el número 258.980, porque acaba en cero.  Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es cero o múltiplo de siete.

Ejemplos: 133, porque 13-2×3=13-6=7, y 7 es múltiplo de porque ó 7×1=7 Ahora verifiquemos para un número más grande como 4.886, porque 488 – 2×6 = 476, Repitiendo el proceso: 47 – 2×6 = 35 y 35 es múltiplo de 7 porque 7×5=35  Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y lugar impar es cero o múltiplo de 11. Si es un número de 2 cifras será múltiplo de 11 si esas cifras son iguales.

Ejemplos: 88 porque es un número de dos cifras iguales y 8×11=88

Ahora verifiquemos para el numero 79.618, porque 7 + 6 + 8 = 21 (lugar impar), 9 + 1 = 10 (lugar par): 21 – 10 = 11 EJERCICIOS: Con ayuda del material didáctico “La Cadena de la Divisibilidad” realizar los siguientes ejercicios: 1. Escribe los números que faltan (en algunos apartados pueden existir varias soluciones).

a) 28 es múltiplo de 4 porque 28 = 4× ___

b) 35 es múltiplo de ___ porque ___ = ___× 7

c) __ es múltiplo de ___ porque ___ = ___ × ___

d) ___ es múltiplo de 8 porque ___ = 8 × ___

e) 30 es múltiplo de 10 porque 30 = 10 × ___

f) 54 es múltiplo de ___ porque ___ = ___×___

2. Realice 3 diagramas de árbol para para expresar el número 60 en sus factores primos.

3. Escribe los números que sean:

a) Múltiplos de 3 menores que 36. b) Múltiplos de 4 menores que 60. c) Múltiplos de 100 menores que 1.000. d) Múltiplos de 7 que estén comprendidos entre 30 y 90.

4. Indica cuál de los números cumple los criterios de divisibilidad de la tabla (algunos números pueden serlo por varios).

Numero

Divisible

Divisible

Divisible

Divisible

Divisible

por 2

por 3

por 5

por 7

por 11

18 35 40 385 47 880 341 14.691 17.936 Cuadro 1: Indicar los criterios de divisibilidad 5. Utilice la cadena de la divisibilidad para descomponer los siguientes números en sus factores primos, pero primero observemos un ejemplo y una recomendación. Y recuerde que la cadena solo e puede utilizar para números menores que 170.

Ejemplo: 60 2 30 2 15 3

60=2×2×3×5=22 ×3×5

5 5 1

Recomendación: cuando un numero se descompone en sus factores primos, primero se busca la mitad, sino no la hay se busca si hay tercera y así sucesivamente en orden ascendente.

a) 63 b) 81 c) 162 d) 121 e) 1.320 f) 14.583 EVALUACIÓN Durante el proceso de heteroevaluación es importante resaltar los aspectos evaluativos en cuanto a lo actitudinal, conceptual, procedimental desarrollados en las fases trabajadas anteriormente identificando si se logran los objetivos planteados al inicio de la guía de la aplicación del material didáctico “Cadena de la divisibilidad”. También se sugiere realizar una evaluación escrita verificando si el estudiante adquirió los conceptos y posteriormente una

autoevaluación y coevaluación del

trabajo realizado para que la evaluación sea integral.

BIBLIOGRAFIA

García, J.F.(2009).Platea. Criterios de divisibilidad. www.platea.pntic.mec.es. Recuperado de: http://platea.pntic.mec.es/jfgarcia/material_por_cursos/CRITERIOS%20DE%20DI VISIBILIDAD.pdf

Bautista, J.(2009). Iesprofesorjuanbautista. Divisibilidad. www.iesprofesorjuanbautista.es. Recuperado de: http://www.iesprofesorjuanbautista.es/IMG/pdf_2-Divisibilidad.pdf

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA: GRADO: DURACIÓN: PENSAMIENTO MATEMÁTICO: MATERIAL DIDACTICO GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE

Probabilidad Sexto y Séptimo 4 horas Aleatorio Competencia de caballos

PRESENTACIÓN El presente material didáctico denominado Competencia de caballos; es un juego de azar que consiste en los estudiantes escojan varias de las 12 casillas y vayan avanzando paso por paso según el número que se obtenga al lanzar dos dados, este material didáctico ayuda al estudiante a comprender el concepto de probabilidad de forma lúdica y a fortalecer el pensamiento aleatorio, estos aspectos son importantes en la toma de decisiones en problemas de este tipo.

Adquirir por medio del juego “Competencia de caballos” los conceptos básicos de probabilidad OBJETIVO GENERAL:

simple,

espacio

muestral y

evento logrando una mejor interpretación en el momento de enfrentar situaciones de tipo aleatorio.

Aplicar

los

probabilidad

conceptos (espacio

independencia, OBJETIVOS ESPECIFICOS:

etc.),

básicos

muestral, mediante

de evento la

participación en la competencia de caballos.

Calcular probabilidad de eventos simples, identificando

los

casos

posibles.

Espacio muestral. CONTENIDOS:

Experimento aleatorio.

Probabilidad.

más

y

menos

FASE INTERPRETATIVA

Las definiciones matemáticas fueron tomadas del libro Hipertexto 7 de los autores Salazar y Rubiano de la editorial SANTILLANA S.A.

Para

definir

probabilidad

es necesario

recurrir a tres definiciones previas:

experimento aleatorio, espacio muestral y eventos.

Un experimento aleatorio es aquel en el cual se conoce el procedimiento que se va a seguir y los posibles resultados, pero no se puede presidir con certeza cuál de esos resultados será el final antes de realizar el experimento.

Por ejemplo, si dos selecciones de futbol juegan la final de la copa mundial, se tienen tres posibles resultados al finalizar el tiempo reglamentario: que gane un equipo, que gane el equipo contrario o que queden empatados. El resultado final se tendrá solo una vez finalice el partido.

El espacio muestral es el conjunto, S, de todos los posibles resultados en que se puede terminar el experimento aleatorio. En relación con la cantidad de elementos del espacio muestral, los experimentos aleatorios pueden variar así: 

Si el espacio muestral es el conjunto vacío, entonces, es imposible que ocurra el experimento aleatorio.



Si el espacio muestral es un conjunto unitario es seguro que ocurra el experimento aleatorio.

El espacio muestral debe ser construido de tal forma que indique claramente todas las posibilidades de ocurrencia de un experimento aleatorio.

En todos los experimentos aleatorios existe una población

y una muestra. La

población está conformada por todos los elementos con los cuales se puede conformar un posible resultado del espacio muestral. La muestra corresponde al número de elementos necesarios para formar un evento del espacio muestral.

Ejemplos:

Determinar, en cada caso, si la situación corresponde o no corresponde a un experimento aleatorio. Luego, encontrar el espacio muestral.

a. Un niño tiene cuatro fichas, cada una con un número: 1, 2, 3 y 4. Se le pide que conforme un número de dos cifras con estas fichas.

Ya que se sabe que el número debe tener dos cifras pero existen cuatro disponibles, la situación corresponde a un experimento aleatorio.

El espacio muestral es:

S = {12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43} b. El colegio “Enrique Pozzo” desea enviar a dos de sus estudiantes al Foro de Juventudes de las Naciones Unidas. A la convocatoria se presentan Hugo, Pablo y Luis.

Se trata de un experimento aleatorio ya que se conocen los tres candidatos y se pueden conformar todas las posibles parejas, pero no se tiene la certeza de quienes serán elegidos.

La población está conformada por tres candidatos. La muestra corresponde a los dos cupos que hay disponibles.

El espacio muestral correspondiente es:

S = {Hugo-Pablo, Hugo-Luis, Pablo-Luis}

Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Un evento está formado por uno o más elementos del espacio muestral.

Los eventos se representan con las primeras

letras mayúsculas del alfabeto y

pueden expresarse como conjunto o mediante un enunciado verbal.

Por ejemplo, una persona desea comprar tres teléfonos celulares y el vendedor le ofrece dos tipos de aparatos: genéricos y de marca. La población corresponde a los dos tipos de aparatos celulares disponibles: Genérico (G) o de Marca (M). La muestra estará formada por tres aparatos que compra la persona.

El espacio muestral correspondiente será:

S = {GGG, GGM, GMG, MGG, GMM, MGM, MMG, MMM}

El evento A consiste en que al menos dos de los tres celulares que la persona compra sean de marca. Entonces el evento será:

A = {GMM, MGM, MMG, MMM}

El evento muestral está formado con los elementos del espacio muestral.

Si el evento B es B = {GGG, MMM}, entonces, B consiste en que los tres celulares sean del mismo tipo.

FASE ARGUMENTATIVA PROBABILIDAD

La probabilidad es un valor que se calcula sobre la ocurrencia de un evento. La probabilidad es una medida que se obtiene al comparar el número de elementos del evento con el número de elementos del espacio muestral. Dado un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un evento A, cuya notación es P(A) se calcula como:

( )

( ) ( )

La probabilidad de que el evento vacío o imposible ocurra es 0 y la probabilidad de que el evento seguro ocurra es 1.

La probabilidad de ocurrencia de un evento se puede considerar como una medida de incertidumbre. A mayor probabilidad de ocurrencia se tiene mayor confianza en el posible resultado.

Ejemplos:

1. Se lanzan cuatro monedas al aire y se anotan los resultados obtenidos.

a. Hallar la probabilidad de que dos monedas caigan en cara.

Primero, se encuentra el espacio muestral del experimento:

S = { cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, cssc, sscc, sccs, cscs, scsc, csss, scss, sscs, sssc, ssss}

Si el evento A consiste en que dos de las monedas caigan en cara, entonces sus

elementos son: A = {ccss, cssc, sscc, sccs, cscs, scsc} ( )

( )

( )

Luego, la probabilidad de que dos muestras caigan en cara es

.

b. Hallar la probabilidad de que al menos dos monedas caigan en cara.

Sea B el evento que consiste en que al menos dos de las monedas caigan en cara.

B = { cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, sccs, cscs, scsc, sscc, cssc}

( )

( ) ( )

Luego, la probabilidad de que al menos dos monedas caigan en cara es 68.75%. EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: COMPETENCIA DE CABALLOS El presente juego “competencia de caballos”

es un material didáctico que facilita la

comprensión del concepto de probabilidad. Este presenta unas trampas que si el estudiante no asimila en el momento de la orientación del juego, puede tener menos posibilidades de ganar la competencia. Es por esta razón que es importante que el orientador de las instrucciones precisas.

Para el uso del material didáctico es importante que el docente tenga presente que se aplicará cuando los estudiantes posean los conocimientos básicos del tema; de esta forma se podrá percibir si ha comprendido el tema de una forma lúdica y dinámica. El juego consiste en que cada estudiante escoja dos casillas del tablero las cuales están enumeradas del 1 al 12, y cada número con 10 espacios en forma de camino. Luego cada uno empieza a lanzar los dos dados y el número que arrojen los dados

hará que el estudiante que este en esa casilla avance un espacio. Ganará el juego el estudiante que avance los 10 espacios. Ejemplo: Un estudiante X elige el número 1 y 6, cuando un jugador y lanza los dados cae el numero 6 entonces el jugador X avanza un espacio (ver la figura 1). El jugador X puede concluir que cometió un error al escoger el numero 1 porque este nunca va a salir, ya que el mínimo número que puede dar al lanzar dos dados es 1.

. Imagen 1: Carrera de Caballos antes de lanzamientos. El caballo en la posición número 6 procede a moverse una casilla.

Imagen 2: Carrera de Caballos, después de lanzamiento.

FASE PROPOSITIVA: Actividad: proceso de la actividad:

1. Para poner en práctica el juego el docente debe distribuir a los estudiantes en grupos de 6 estudiantes, y así cada grupo tendrá su propia tabla para competir entre ellos.

2. En la tabla se encuentra los números del 1 al doce en donde cada estudiante (del grupo de 6) escogerá dos números con los que jugará.

3. Los estudiantes lanzaran los dados y el número que caiga el estudiante que posea ese número moverá una casilla, así se continuarán hasta que algún estudiante llegue a la última casilla de su fila. Este estudiante será el ganador.

4. Los resultados se llevarán a un gráfico de barras, esté será la posición en la que quedo situado cada estudiante.

5. Este mismo procedimiento se realizará unas 8 o 10 veces, por lo que se tendrá 8 o 10 gráficas de donde los estudiantes sacarán conclusiones al respecto.

6. Los estudiantes llegarán a conclusiones que deducirán la probabilidad de ganar con cada uno de los números compuestos por las suma de cada uno de los dados en cada lanzamiento.

7. Después de que cada grupo adquiera sus conclusiones y las comparta con los demás, se procederá a realizar un producto cartesiano de los números compuestos por cada dado. De allí se comenzará a dar los conceptos básicos de la probabilidad a los estudiantes.

8. Con los numerales 5 y 7 los estudiantes podrán comparar las conclusiones dadas

desde cada grupo con la teoría de la probabilidad, y así, dar de nuevo una conclusión final de lo que es la probabilidad simple.

9. Se darán algunos ejemplos teóricos para asimilar los conceptos y lo obtenido con el juego, con respecto a la probabilidad. EVALUACIÓN Durante el proceso de heteroevaluación es importante resaltar los aspectos evaluativos en cuanto a lo actitudinal, conceptual, procedimental desarrollados en las fases trabajadas anteriormente identificando si se logran los objetivos planteados al inicio de la guía de la aplicación del material didáctico “Competencia de caballos”.

Pero es necesario recibir el trabajo escrito por los estudiantes para evaluar los gráficos y las conclusiones.

Pero es importante realizar una autoevaluación y coevaluación del trabajo realizado para que la evaluación sea integral.

BIBLIOGRAFÍA

Rubiano, Salazar (2010). HIPERTEXTO Santillana 7. Bogotá, Colombia. Editorial Santillana S.A. (pp 242, 243, 248)

PRECIADO Geovanny, LONDOÑO Marcela. Aplicación de estrategias metodológicas para la enseñanza del pensamiento numérico variacional y el pensamiento aleatorio y sistema de datos en los grados quinto y noveno de educación básica. Tesis (licenciado en matemáticas). Pereira, Colombia. Universidad Tecnológica de Pereira. 2013. P. 49-51.

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA:

Derivación

GRADO:

Once

DURACIÓN:

2 hora

PENSAMIENTO MATEMÁTICO:

Variacional y Sistemas Algebraicos y analíticos

MATERIAL DIDACTICO

Concéntrese Matemático

GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE

PRESENTACIÓN

El

concéntrese

Matemático

pretende

promover una clase de repaso de temas con otra dinámica (juegos didácticos), el nombre hace referencia a el común juego concéntrese en el cual se trata de armar duplas, a diferencia de este se puede realizar algunas modificaciones para que en las soluciones se puedan relacionar definiciones, propiedades u otro tipo de elementos en matemáticas.

Aplicar OBJETIVO GENERAL:

las

derivadas

fundamentales

en

problemas de aplicación sin necesidad de recurrir a una tabla o a su deducción.

Solucionar una derivada de una función en su representación más general usando las estructuras expuestas en el concéntrese.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Recordar de una manera más significativa las derivadas de funciones fundamentales por medio de las relaciones constantes en la solución del concéntrese.

Entender la regla de la cadena relacionando las soluciones de funciones compuestas que están en el concéntrese.

Derivadas. CONTENIDOS:

Reglas de Derivación. Regla de la cadena.

FASE INTERPRETATIVA

Derivada de una función

Definición de derivada de una función en un punto

Comenzamos, como no podía ser de otra forma, introduciendo la definición formal de derivada de una función

Definición: Sea de la función

en un punto

.

una función y en el punto

y se representa por

Se define la derivada como el límite (si existe):

(1.1)

En el caso de que ese límite exista, diremos que Una función

es derivable en

se dice derivable si es derivable en cada uno de los

puntos de su dominio. Si

es una función derivable, podemos definir a partir de ella

una nueva función que recibe el nombre de función derivada. Dicha función se denota por

y su definición es la siguiente: ]

[

Aunque veremos más adelante, existen fórmulas y reglas que permiten calcular las derivadas de algunas funciones sin tener que recurrir al cálculo del límite que aparece en la definición de derivada anteriormente presentada. Sin embargo, en ocasiones estas reglas no pueden ser aplicadas, y en esos casos resulta necesario el

cálculo del límite. Por ello, repasemos con algunos ejemplos el cálculo de derivadas utilizando la definición anterior.

Ejemplo:

Dada la función

, calcula

usando la definición de derivada.

Solución: Utilizando la definición de derivada (1.1) se tiene que: (1.2)

Calculando los elementos que aparecen en el numerador:

(1.3)

Y

(1.4)

Sustituyendo los resultados obtenidos en (1.3) y (1.4) en la ecuación (1.2) obtenemos:

Si en este punto sustituimos h por 0 obtenemos como resultado la indeterminación.

Sin embargo, en el numerador de la fracción anterior no aparece término independiente. Entonces podemos sacar factor común de h en el numerador y simplificar con la h que aparece en el denominador obteniendo :

Siempre que calculamos la derivada de un polinomio usando la definición llegamos a la situación anterior, es decir, indeterminación de la forma £ donde podremos sacar factor común de h y simplificar.

FASE ARGUMENTATIVA

Cálculo de derivadas

Reglas de derivación

A continuación damos las propiedades de las derivadas con respecto a las operaciones entre funciones. Sean f, g: (a, b)

R funciones derivables en un punto x0 Є (a, b) entonces: (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) Si

, entonces.

()

(2.5)

Estas propiedades se obtienen directamente de la definición de derivada. Con respecto a la composición de funciones, la regla de la cadena da la respuesta a cómo calcular la derivada de composiciones de funciones. Proposición: Sean f: (a, b) —>(c, d) y g: (c, d) -> R funciones reales de variable real, sea x0 Є (a, b) tal que f es derivable en x0 y g es derivable en f(x0 ). Entonces es derivable en x0 y la derivada se obtiene mediante la expresión En esta parte de la guía calculará derivadas aplicando las reglas de derivación. Introduciremos éstas de forma progresiva y para cada una de ellas algunos ejemplos de aplicación. Utilizando las reglas de derivación, la regla de la cadena y la tabla que mostramos a continuación procederemos a mostrar distintos ejemplos del cálculo de las mismas. Se analizará cada una de las fórmulas que aparecen en la tabla. Dichas fórmulas se obtienen como consecuencia de la definición de derivada.

Función

Derivada

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

√

14.

√

15. 16. 17.

√ (√

)√

18. Cuadro1: Derivadas de las Funciones fundamentales. Nota: Observe que en las fórmulas, siempre que aparece una función de f(x), en la derivada correspondiente aparece el factor f(x). Ello es consecuencia de aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo

Calcular la derivada de la función

Solución: Observemos que tenemos dos procedimientos para el cálculo de esta derivada. • Primer procedimiento. Utilizando exponentes negativos:

Se tiene luego que:

Una vez que hemos finalizado el cálculo de la derivada, el exponente negativo nos ha servido como herramienta para obtener la derivada, pero ahora daremos una expresión de la derivada evitando usar exponentes negativos. Así, dado

que obtenemos:

Segundo procedimiento. A partir de la fórmula de la derivada de un cociente (2.5).

Aplicando dicha fórmula se tiene que:

Evidentemente, el resultado después de aplicar ambos procedimientos es el mismo. Ejemplo:

Calcula la derivada de la función:

Solución:

Para el cálculo de esta derivada aplicaremos la fórmula de la derivada de un cociente de funciones, (2.5), obteniendo:

Y en este punto debemos tener mucho cuidado con el signo menos indicado, ya que afecta a todo lo que sigue. Lo mejor, dejar el menos e incluir dentro de un paréntesis la operación que le sigue:

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: CONCENTRESE MATEMÁTICO Aunque en las matemáticas lo ideal es aprender conceptos y recordar estructuras a veces se necesita de la memoria ya que no en todo momento se tiene que deducir, es este el caso de las derivadas básicas, es importante saber la deducción por la definición pero a veces es más práctico para derivadas más complejas, recordar las básicas; por ende este material ofrece la posibilidad de que el alumno cree relaciones de la función con su respectiva derivada y así poder usarla en el momento que requiera de ellas, sin necesidad de recurrir a tablas de derivadas y a partir de esto recordar las estructuras de razonamientos que actúan en estos casos particulares. Las instrucciones de este juego fueron extraídas de: http://www.memo-juegos.com/ Para comenzar la partida, el profesor debe mezclar todas las cartas y colocarlas en cada rejilla, de manera que las imágenes no se vean. El primer jugador dará la vuelta a dos cartas, si son iguales se las lleva, sino las vuelve a voltear. Luego, le toca hacer lo mismo al siguiente jugador, y etc... El objetivo es lograr memorizar la ubicación de las diferentes cartas con el fin de voltear sucesivamente las 2 cartas idénticas que formen pareja, para llevárselas. La partida se terminará cuando estén todas las parejas encontradas. El jugador que más cartas haya conseguido llevarse, ganará la partida.

Imagen1: Ejemplo del uso de Concéntrese Matemáticos

FASE PROPOSITIVA Actividad

1. Se propone que se divida el grupo en cuatro equipos, cada equipo tendrá un líder el cual va a voltear las figuras (el equipo no puede ayudar a su líder en ningún momento).

2. Repetir el juego cuatro veces, en cada juego tener un líder diferente.

3. Gana el equipo que tenga más parejas descubiertas.

4. En caso de empate de partidas ganadas, los equipos que estén en esta situación jugaran una vez más para desempatar.

5. Si persiste el empate se dejará al azar el ganador.

Al final de esta actividad, prosigue la realización del siguiente taller. Pero antes el profesor debe realizar el ejemplo dado en esta guía.

EJERCICIOS: Con ayuda del material didáctico “El Concéntrese Matemático” realizar los siguientes ejercicios, aplicando la definición de derivada.

Ejemplo: Sea la función

entonces:

Calcular la derivada de la función

por la definición.

Aplicar la regla de la cadena para la función Generalizar el resultado para la función

. donde

Solución:

1. La función

a trabaja se encuentra en el concéntrese.

Imagen2: Representación de la solución en el Concéntrese Matemático A partir de la definición de la derivada de una función

Por tanto si

:

A partir de la identidad trigonométrica:

:

se puede escribir:

Agrupando los términos

y

, la derivada pasa a ser:

Reordenando los términos y el límite se obtiene:

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener:

El valor de los límites

y

son 1 y 0 respectivamente

por la regla de l'Hópital. Por tanto, si

,

2. Aplicamos la regla de la cadena en la función

(

)

:

De esto tenemos entonces que: (

)

Es esta respuesta la que se tiene en el concéntrese, y así corroboramos entonces la información dada en el material didáctico. 3.

Generalizando para una constante

tenemos:

(

)

Ya queda concluido el ejercicio. Ejercicios:

Realizar el mismo procedimiento anterior para las siguientes funciones: :

: : : :

√

√

: ln (x-1) : : :

: : :

: ln (x-1) : : :

√ ln (ax-a)

EVALUACIÓN La idea principal es el reconocimiento y memorización de las derivadas de funciones fundamentales, es por esto que la evaluación debe ser procedimental, realizando derivadas compuestas, es importante también que se haga una evaluación de la actividad como también el desempeño y la actitud individual frente al uso del material.

BIBLIOGRAFÍA Rouger, E. Memojuegos. Francia. Extraída de ( http://www.memojuegos.com/instrucciones-del-juego-de-memoria ). Molina, J.y Muñoz, M. (2012). DERIVADAS: Cálculo y Aplicaciones. Recuperado de https://books.google.com.co/books?id=SejjPZg0jz8C&printsec=frontcover&hl=es#v=onep age&q&f=false.

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

Tema:

Divisibilidad

Grado:

Sexto y Séptimo

Duración:

4 horas

Pensamiento matemático:

Numérico

Material didáctico

Discos matemáticos

Guía práctica para el docente

PRESENTACIÓN El material didáctico “Discos Matemáticos” está diseñado para que los estudiantes de grados sexto y séptimo fortalezcan el pensamiento numérico en cuanto al aprendizaje del tema de fracciones. Aunque este tema se trabaja desde primaria hay estudiantes que presentan dificultades en el momento

de representar una fracción o al realizar

procedimientos de suma, resta y equivalencia, es por eso que con este material se pretende que el estudiante supere este tipo de dificultades.

Comprender el concepto de fracción y sus OBJETIVO GENERAL:

aplicaciones

con

el

uso

del

material

didáctico “Discos Matemáticos”. Utilizar los “Discos matemáticos” para la comprensión del significado de fracción y de fracción equivalente.

Realizar operaciones de suma y resta de OBJETIVOS ESPECIFICOS:

fracciones con el mismo denominador con el uso de los “Discos matemáticos”.

Representar

fracciones

mixtas

con

la

contribución del material didáctico “Discos Matemáticos”.

Fracciones

Fracción. CONTENIDOS:

Suma y resta de fracciones homogéneas. Fracciones mixtas. Relaciones entre fracciones. Fracciones equivalentes.

FASE INTERPRETATIVA

Concepto de fracción

Las definiciones matemáticas fueron tomadas del libro Hipertexto 6 de los autores Salazar y Cifuentes de la editorial SANTILLANA S.A.

Empiece indagando a los estudiantes acerca del concepto ¿Qué es una unidad y como se representa?, luego pregunte ¿Cómo se puede particionar una unidad?, ¿Qué nombre reciben los números que representan estas particiones?

La fracciones puede interpretarse de diferentes maneras: En este momento entregue a los estudiantes el material didáctico “Discos matemáticos”, que están conformados por discos particionados y bases de distintas unidades, pero en esta explicación solo use las bases de una unidad y los discos de medida

; y comience a explicar el concepto de fracción como parte una

unidad.

Indique a los estudiantes que tomen el disco de ½

y pregunte ¿Qué número

representa esta parte del disco? Complete ideas y siga el mismo proceso con el resto de particiones.

Figura 1: Disco matemático Enuncie la definición matemática de fracción.

El numero b es llamado denominador e indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, el número a es llamado numerador e indica el número de partes que se toman de la unidad.

Para completar la explicación enuncie y retroalimente con los estudiantes los concepto de:

Fracción como cociente

Una fracción también expresa un cociente. En este caso, indica que numero de objetos debe ser repartido en cantidades iguales.

”.

Fracción como razón

Las fracciones se utilizan para comparar dos cantidades de una misma magnitud. Por ejemplo, en un colegio de bachillerato hay 9 profesoras y 12 profesores. La relación entre el número de profesoras y profesores, se puede expresar de las siguientes formas: 

La relación entre profesoras y profesores es de 9 a 12.



Por cada 9 profesoras hay 12 profesores.



Como una fracción

.

Fracción de un número

Cuando un conjunto se divide en subconjuntos que tienen el mismo número de elementos, también se divide un todo, en partes iguales, de manera que uno o varios elementos de esos subconjuntos se pueden interpretar como una fracción.

3 grupos

Figura 2: Partiendo un conjunto. Por ejemplo para hallar



de 24 manzanas se realizan los siguientes pasos:

Primero, se dividen en 4 grupos las 24 manzanas, así, cada grupo tiene 6 manzanas.



Segundo, se toman 3 de esos grupos que corresponden a 18 manzanas.

Entonces,

de 24 manzanas son 18 manzanas.

El procedimiento anterior se expresa numéricamente así:

, luego,

. Así, los

de 24 son 18.

FASE ARGUMENTATIVA

A continuación se explican las clases de fracciones y después se explicaran que son los números mixtos, las fracciones equivalentes con la ayuda del material didáctico.

Las definiciones matemáticas fueron tomadas del libro Hipertexto 6 de los autores Salazar y Cifuentes de la editorial SANTILLANA S.A.

Clases de fracciones

Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. Esta fracción es menor por la unidad. Por ejemplo,

Una fracción es impropia

que se lee tres séptimo es propia.

si tiene el numerador mayor que el denominador. Esta

fracción es mayor que la unidad. Por ejemplo,

que se lee siete cuartos es impropia.

Una fracción es igual a la unidad cuando el numerador es igual que el denominador. Por ejemplo,

se lee seis sextos y es igual a la unidad.

Una fracción es entera cuando el numerador es múltiplo del denominador. Estas fracciones son números naturales mayores que la unidad. Por ejemplo,

que se lee

seis medios es una fracción entera. Con la ayuda del material didáctico de ejemplos de fracción propia, impropia y entera. De la siguiente manera:

Ejemplos:



es una fracción propia. Observemos en los discos matemáticos.

Figura 3: Representación de una Fracción La parte azul representa 1/4



es una fracción impropia.

Figura 4: Fracción mayor a la unidad La parte pintada de café representan a 5/4



es una fracción entera. La parte verde representa 4 partes de 4 y es igual a a la unidad.

Figura 5: Representación de la Unidad Ahora empieza a explicar el concepto de una fracción mixta a partir de la definición de fracción impropia.

Números mixtos

Cualquier facción impropia se puede expresar como un número natural más una fracción propia.

Por ejemplo, utilicemos la base de 3 unidades y los discos de medida expresar la fracción

. Para

como la suma de un numero natural más una fracción propia,

se representa la fracción

como:

5

2

+

Figura 6: Sumas de Fracciones

La fracción

es igual a 2 unidades completas y

de unidad.

5

Un número mixto es una expresión que tiene parte entera y una parte fraccionaria. La parte fraccionaria de un número mixto es una fracción propia.

Así,

, donde 2 es la parte entera y

la parte fraccionaria menor que la

unidad.

Tarea: Consulta el procedimiento de ¿cómo convertir una fracción a un número mixto y viceversa?

Representación de fracciones sobre la recta numérica

Para representar fracciones sobre una recta numérica, se deben seguir los siguientes pasos: 

Primero, se ubica el número 0 en la recta numérica y se localizan los números que se consideren necesarios.



Segundo, se divide cada unidad en tantas partes iguales como lo indique el denominador de la fracción que se va a representar.



Luego, se cuentan tantas partes a partir del número 0 como lo indique el numerador de la fracción y se marca el punto. Dicho punto es la representación de la fracción sobre la recta numérica.

Por ejemplo, esta es la representación de en una recta numérica.

Figura 7: Representación en la Recta A continuación se explica el concepto de fracciones equivalentes con la ayuda de los Discos Matemáticos.

Fracciones Equivalentes

Entregue a los estudiantes una base de 2 unidades y represente el siguiente esquema.

Figura 8: Equivelencia entre Fracciones

Explique cuando dos fracciones son equivalentes. Luego enuncie la definición de fracciones equivalentes.

:

Realice los siguientes ejemplos con la ayuda de los Discos Matemáticos.

Determine si las siguientes fracciones son equivalentes:

a) b) c)

Relación de orden en las fracciones

Haga a los estudiantes la siguiente pregunta ¿Qué número fraccionario es más grande

o

? Por lo general los estudiantes responden , cualquiera sea la

respuesta realice el siguiente ejemplo.

Tome una base de dos unidades, en una represente la cantidad

y en la otra ,

pregúntele a los estudiantes ¿cuál es la partición más grande? Lógicamente los estudiantes responderán que

. En estos casos los valores de los denominadores

tienden a confundir la relación de orden entre fracciones, pero en este momento explicara cada una de las relaciones entre fracciones.

Figura 9: Desigualdad entre fracciones

Cuando se comparan dos fracciones, se cumple una y solo una de las siguientes: 

es menor que . Es decir,

.



es mayor que . Es decir,

.



es igual a . Es decir,

.

Así mismo, cuando se comparan dos fracciones se pueden presentar tres casos:

Fracciones con igual denominador: cuando se comparan dos fracciones con igual denominador, es mayor la que presenta mayor numerador. Por ejemplo, porque

5.

Fracciones con igual numerador: cuando se comparan dos fracciones con igual numerador, es mayor la que presenta menor denominador. Por ejemplo, porque

5

Fracciones con diferente numerador y denominador: para comparar dos fracciones

con

diferente

numerador

y denominador se reducen a común

denominador las fracciones y se comparan los numeradores.

Por ejemplo, para determinar que fracción es mayor o menor entre el mínimo común denominador. Así,

Se multiplica

; se halla

.

cada una de las fracciones al mínimo común denominador hallado

anteriormente. Así:

Se comparan los numeradores de las fracciones multiplicadas, determinando el tipo de relación entre las fracciones. Así,

, entonces,

. Por lo tanto,

.

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: DISCOS MATEMATICOS El material didáctico “Discos matemáticos” se aplica desde las primeras fases de la guía, ya que es importante introducirlos en los conceptos de fracción, clases de fracciones, fracciones equivalentes, fracciones mixtas y relación de fracciones, ya que este material didáctico contribuye a la adquisición de estos conceptos y estos son la base para la realización de las operaciones básicas de fracciones.

Posteriormente una vez adquiridos estos conceptos se continúa desarrollando la fase propositiva, donde el docente debe explicar la suma y resta de fracciones homogéneas con la ayuda de los Discos matemáticos y proponer a los estudiantes ejercicios de este tipo.

A continuación se muestra el siguiente ejemplo

, este se efectúa con la

ayuda del material didáctico Discos matemáticos.

Imagen 10: Suma de Discos Matemáticos

FASE PROPOSITIVA

Suma y resta de fracciones homogénea

Dos o más fracciones son homogéneas si tienen igual denominador.

En este momento el docente debe entregar las bases de 3 y 4 unidades con todos los discos y los signos de operación menos (-), mas (+) e igual (=). Y explicar el siguiente algoritmo con la ayuda de los “Discos Matemáticos”.

Aplique los siguientes ejemplos con los estudiantes:



Figura 11: Suma de fracciones homogéneas



Figura 12: Resta de fracciones homogéneas 

Figura 13: Suma y resta de fracciones homogéneas EVALUACIÓN

Durante el proceso de hetereoevaluacion es importante resaltar los aspectos evaluativos en cuanto a lo actitudinal, conceptual, procedimental desarrollados en las fases trabajadas anteriormente identificando si se logran los objetivos planteados al inicio de la guía de la aplicación del material didáctico “Discos matemáticos”.

Pero es importante realizar una autoevaluación y coevaluación del trabajo realizado para que la evaluación sea integral.

BIBLIOGRAFIA

Cifuentes, Salazar (2010). HIPERTEXTO Santillana 6. Bogotá, Colombia. Editorial Santillana S.A. (pp 242, 243, 248)

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA: GRADO: DURACIÓN: PENSAMIENTO MATEMÁTICO: MATERIAL DIDACTICO GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE

Multi-tema Décimo y once 2 horas Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos Dominó Matemático

PRESENTACIÓN Este material pretende desarrollar habilidades de reconocimiento de funciones matemáticas con sus respectivas operaciones o variaciones, el nombre hace alusión al famoso juego de domino donde se relacionan siete números, en este material se relacionan funciones, graficas, límites de funciones, derivadas, antiderivada, Etc.

Lograr la adquisición de un pensamiento más amplio de la representación de una función en todo OBJETIVO GENERAL:

tipo de diversidad de expresiones para poder así llegar a un dominio más general del contenido allí propuesto.

Asociar

expresiones

algébricas

con

gráficos

coordenados por medio del uso repetitivo del material didáctico Dominó Matemático. OBJETIVOS ESPECIFICOS: Memorizar

un

concepto

y

sus

diferentes

representaciones a partir de uso repetitivo del material didáctico Dominó Matemático.

Crear procesos mentales de asociación a partir del uso

del dominó

matemático

para facilitar el

dominio en matemáticas de los estudiantes.

Limites. CONTENIDOS:

Derivadas. Integrals. Funcione.

FASE INTERPRETATIVA

Las funciones matemáticas se utilizan en muchos aspectos de nuestras vidas. Desde negocios a centros de noticias, las funciones matemáticas se utilizan para representar las tendencias económicas, los precios que suben y bajan, y muchas más situaciones.

Definición:

Una función de

de un conjunto

a un conjunto

exactamente un elemento de

. el conjunto

rango de la función es un subconjunto de

es una regla que asigna a cada elemento se denomina dominio de la función y el

formado por todos los valores asignados.

Ser capaz de graficar funciones matemáticas nos permite tener una mejor y más profunda comprensión de cómo estas funciones se comportan. La representación gráfica de funciones

matemáticas también

nos

permite

practicar

muchos

otros

conceptos

matemáticos, como las operaciones, los valores informáticos y los pares. En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles. El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de

algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA. Factorizar un polinomio Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho factores o polinomios de grado

con

. Así por ejemplo el polinomio

degrado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados.

Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se resuelve el sistema:

}

Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas (eje X) se resuelve el sistema:

}

Ejemplo:

}

Punto de corte con el eje OY:

}

Puntos de corte con el eje OX :

Por tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:

Tabla de valores x

y

0

2

1

0

2

0

-1/2

0

Cuadro1: Las raíces de un polinomio Instrucciones: 1. Dibuje un sistema de coordenadas en el papel cuadriculado para empezar a graficar funciones matemáticas. Nombre el eje vertical

, y el eje horizontal

.

Dependiendo de la ecuación, es posible que necesite utilizar una escala diferente. Las gráficas de la mayoría de las ecuaciones muestran la forma general de la gráfica

y puntos de interés entre

y

para ambos ejes. Etiquete la

intersección "0".

2. Dibuje un gráfico de

para los valores en la ecuación. Un gráfico

fijará los valores

y los valores correspondientes de . No pierda de vista los valores,

cuando

. Por ejemplo, si la ecuación es:

X

-2

-1

0

1

2

3

Y

-3

1

1

3

5

7

Cuadro 1: Tabla para gráficar Escriba sus coordenadas basado en la tabla T. La tabla

Se generan las siguientes coordenadas dando valores cercanos en la " " cercanos a

Figura 1: Recta Tomada de: http://educacion.uncomo.com/articulo/comograficar-las-funciones-mate maticas-basicas-1320.html#ixzz3aD6tVWI4

3. Dibuje puntos en el diagrama de ejes que coincidan con sus pares de coordenadas. Empiece con los puntos que tienen un cero en cualquiera de los componentes (cero significa que están directamente encima del eje). En el ejemplo, vamos a comenzar con (0,1) y seguir dibujando los puntos en cualquier orden.

4. Revise los patrones en el gráfico. Si el patrón no está claro, repita los pasos hasta que pueda ver un patrón. El número de coordenadas puede variar dependiendo de la complejidad de su gráfico.

5. Utilice el lápiz para dibujar una curva que conecta todos los puntos. Asegúrese de que su curva sigue el esquema de eje. Trate de hacer la curva lo más suave posible.

. 6. Escriba la fórmula de la ecuación en la esquina superior derecha de su diagrama. En el ejemplo, la ecuación será

, también se puede escribir

FASE ARGUMENTATIVA

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Todas ellas pueden entenderse como

Figura 2: Razones

relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos a y p del triángulo rectángulo aquí representado:

Cuadro 2 : Relaciones trigonométricas Para el ángulo α : JUAN JESUS PASCUAL, TIMONMATE, P.1.

Cuadro 3: Relaciones trigonométricas Para el ángulo β JUAN JESUS PASCUAL, TIMONMATE, P.2

Cuadro 4: Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos en grados y radianes JUAN JESUS PASCUAL, TIMONMATE, P.2.

Funciones de variable Real

Figura 3: Definición de Limite tomada de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n

Si la función

tiene límite

tiende hacia el límite queramos de

en

podemos decir de manera informal que la función

cerca de

haciendo que

si se puede hacer que

esté suficientemente cerca de

esté tan cerca como siendo

distinto de .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

“El límite de una función cuando x tiende a es si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real en el dominio de la función |

|

|

|

”.

Definición limite de una función tomada de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n

Figura 4: Límite tomada de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x) y L se acerquen a medida que x se acerca a c.

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ. Derivada de una Función Definición de derivada de una función en un punto Comenzamos, como no podía ser de otra forma, introduciendo la definición formal de derivada de una función

en un punto

.

Definición: Sea de la función

una función y en el punto

y se representa por

Se define la derivada como el límite (si existe):

(1.1)

En el caso de que ese límite exista, diremos que

Una función

es derivable en

se dice derivable si es derivable en cada uno de los

puntos de su dominio. Si

es una función derivable, podemos definir a partir de ella

una nueva función que recibe el nombre de función derivada. Dicha función se denota por

y su definición es la siguiente:

Aunque veremos más adelante, existen fórmulas y reglas que permiten calcular las derivadas de algunas funciones sin tener que recurrir al cálculo del límite que aparece en la definición de derivada anteriormente presentada. Sin embargo, en ocasiones estas reglas no pueden ser aplicadas, y en esos casos resulta necesario el cálculo del límite. Por ello, repasemos con algunos ejemplos el cálculo de derivadas utilizando la definición anterior.

Ejemplo:

Dada la función

, calcula

usando la definición de derivada.

Solución:

Utilizando la definición de derivada (1.1) se tiene que:

(1.2) Calculando los elementos que aparecen en el numerador:

(1.3)

(1.4)

Sustituyendo los resultados obtenidos en (1.3) y (1.4) en la ecuación (1.2) obtenemos:

Si en este punto sustituimos h por 0 obtenemos como resultado la indeterminación Sin embargo, en el numerador de la fracción anterior no aparece término independiente. Entonces podemos sacar factor común de h en el numerador y simplificar con la h que aparece en el denominador obteniendo:

Siempre que calculamos la derivada de un polinomio usando la definición llegamos a la situación anterior, es decir, indeterminación de la forma £ donde podremos sacar factor común de h y simplificar.

Se analiza cada una de las fórmulas que aparecen en la tabla. Dichas fórmulas se obtienen como consecuencia de la definición de derivada. Función

Derivada

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

√

14.

√

15. 16. 17.

√ (√

18.

Cuadro 5: Derivadas de funciones fundamentales.

)√

Nota: Obsérvese que en las fórmulas anteriores, siempre que aparece una función de f(x), en la

derivada correspondiente aparece el factor

. Ello es consecuencia de aplicar la

regla de la cadena.

Ejemplo:

Calcular la derivada de la función

.

Solución: Sabemos que la función inversa de

es el

(

, por tanto:

)

Derivamos en ambos lados en la segunda ecuación:

Despejando la derivada queda así:

Usando la identidad trigonometrica

(

)

(

)

(

)

Despejando:

(

√

)

Reemplazamos: √

(

Y como ya sabiamos:

Luego la derivada de

)

es:

√ La Antiderivada

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si

, entonces

, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe

una derivada única para cada función. Por ejemplo, si

, entonces es otra

antiderivada La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de antiderivada de

la siguiente manera: en donde:

de integración o diferencial de

y

es el integrando;

es la constante de integración.

, la variable

Ejemplo:

Hallar la antiderivada de

.

Solución:

Como ya sabemos, la derivada de

es ciertamente la función que se nos está

pidiendo hallar su antiderivada, luego nuestra respuesta es

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: DOMINÓ MATEMÁTICO

A continuación se dará las instrucciones para jugar al dominó matemático, la mayor estructura viene dada del juego común domino y las reglas aquí fueron extraídas de: http://www.mundijuegos.com.co. ¿Cómo jugar al dominó Matemático? Cada jugador recibe 7 fichas al empezar una ronda. Si en la partida hay menos de 4 jugadores, las fichas restantes se guardan en el pozo.

Inicia la ronda primer jugador en identificar un doble (si erra queda suspendido en una ronda). En caso de no tener dobles ninguno de los jugadores, comenzará cualquier jugador por decisión unánime. A partir de ese momento, los jugadores realizarán su jugada, por turnos, siguiendo el orden inverso a las manecillas del reloj.

El jugador que inicia la ronda lleva la mano. Este es un concepto importante para la estrategia del dominó, pues el jugador o la pareja que es “mano” normalmente es la que tiene ventaja durante la ronda.

Desarrollo del juego En su turno, cada jugador debe colocar una de sus fichas en uno de los 2 extremos abiertos, de tal forma que la función de uno de los lados de la ficha coincida o se relacione con la del extremo donde se está colocando. Los dobles se colocan de forma transversal para facilitar su localización.

Una vez que el jugador ha colocado la ficha en su lugar, su turno termina y pasa al siguiente jugador. Si un jugador no puede jugar, debe “robar” del pozo tantas fichas como sean necesarias. Si no quedan fichas en el pozo, pasará el turno al siguiente jugador. Final de una ronda La ronda continúa con los jugadores colocando sus fichas hasta que se presenta alguna de las situaciones siguientes: Dominó Cuando un jugador coloca su última ficha en la mesa, se dice que ese jugador dominó la ronda. Si se juega en solitario, el jugador que ha ganado la ronda suma los puntos de todos sus contrincantes. Jugando por parejas, se suman los puntos de todos los jugadores incluso los del compañero (se cuenta dos puntos por ficha). Cierre Existen casos donde ninguno de los jugadores puede continuar la partida. Esto ocurre cuando las funciones de los extremos ya han sido jugadas 7 veces. En ese momento se dice que la partida está cerrada. Los jugadores contarán los puntos que les queden; el jugador o pareja con menos puntos es la ganadora y suma los puntos de la manera habitual.

Pudiera darse el caso de tener los mismos puntos por lo que ganaría el jugador o pareja que fuera 'mano' o esté más cerca del jugador que lo fuera. Siguientes rondas En las próximas rondas, el jugador que inicia el juego es el siguiente en el turno. Este puede comenzar por la ficha que desee aunque no sea una ficha doble. Fin de la partida El juego termina cuando un jugador o pareja consigue la cantidad de puntos necesarios para ganar. El pozo El pozo aparecerá automáticamente cuando un jugador tenga que hacer uso de él. En caso de robar una ficha y seguir sin poder jugar, el pozo continuará visible hasta que se coja una ficha válida o se agoten las fichas del mismo. En caso de que no queden más fichas y no podamos tirar, el jugador “pasará” automáticamente. Finalizar la partida de forma amistosa (anular partida) Algunos juegos tienen la opción de finalizar la partida de forma amistosa. Si esto sucede, la partida se anula. Es decir, los jugadores no suman ni restan puntos, y esa partida no cuenta en la clasificación ni en las estadísticas. Además, las fichas apostadas son devueltas a cada jugador.

Para anular una partida, uno de los jugadores debe proponer esto. Todos los jugadores deben estar de acuerdo en que la partida finalice, de lo contrario la partida continuará.

FASE PROPOSITIVA

Actividad: 1. Se forma grupos de cuatro personas.

2. En cada grupo se da un domino matemático.

3. Se define una cantidad de puntos para saber cuándo termina y quién gano esto se determina de acuerdo al tiempo que se tenga disponible.

EJEMPLO

Las relaciones no siempre son de igualdad también existen otros como en el ejemplo: un límite de una función

Imagen 1: Ejemplo del uso del Domino Matemático

EVALUACIÓN Al finalizar el juego se hace una retrospección de los temas que no se dominan de una buena manera para saber dónde el profesor debe reforzar. Ya que el domino posee varios temas en matemáticas se presta para eso, se debe valorar la actitud que presenta el estudiante a la hora de desarrollar la actividad, y así como también el comportamiento a nivel grupal. BIBLIOGRAFIA Molina, J.y Muñoz, M. (2012). DERIVADAS: Cálculo y Aplicaciones. Recuperado de https://books.google.com.co/books?id=SejjPZg0jz8C&printsec=frontcover&hl=es#v=onep age&q&f=false. (s.f.). Obtenido de http://educacion.uncomo.com/articulo/como-graficar-las-funcionesmatematicas-basicas-1320.html#ixzz3aD6tVWI4 Matinez, M. (2013). Uncomo Educación . Obtenido de Como Graficar las Funciones Matematicas Basicas: http://educacion.uncomo.com/articulo/como-graficar- las- funcionesmatematicas-basicas-1320.html#ixzz3aD6tVWI4 Mundijuegos. (s.f.). Mundijuegos Colombia. Obtenido de Juego de dominó: http://www.mundijuegos.com.co Victoria, M. (s.f.). Ciens.ula. Obtenido de http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/f unciones.pdf Wikipedia. (s.f.). Obtenido de Definición de Limite de una Función : http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n Pascual, J. J. (s.f.). Matematicas. Obtenido de TIMONMATE ( Ejercicio Resuletos de Trigonometria): http://matematicasjjp.webcindario.com/pitagoras_resueltos.pdf

Pascual, J. J. (s.f.). Matemáticas. Obtenido de TIMONMATE: http://perso.wanadoo.es/timonmate/ Pascual, J. J. (s.f.). TIMONMATE. Obtenido de http://aplicaciones.colombiaaprende.edu.co/red_privada/sites/default/files/problemas_de_a plicacion.pdf Pascual, J. J. (s.f.). Matematicas. Obtenido de TIMONMATE ( Ejercicio Resuletos de Trigonometria): http://matematicasjjp.webcindario.com/pitagoras_resueltos.pdf

Pascual, J. J. (s.f.). Matemáticas. Obtenido de TIMONMATE: http://perso.wanadoo.es/timonmate/

Pascual, J. J. (s.f.). TIMONMATE. Obtenido de http://aplicaciones.colombiaaprende.edu.co/red_privada/sites/default/files/problema s_de_aplicacion.pdf

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA:

Trigonometría

GRADO:

Décimo y Once

DURACIÓN:

3 horas

PENSAMIENTO MATEMÁTICO:

Pensamiento Espacial y los sistemas Geométrico

MATERIAL DIDACTICO

Encajadora Trigonométrica

GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE

PRESENTACIÓN

La encajadora trigonométrica consta de un tablón con abertura en forma de triángulos Los cuales indican

explícitamente

alguna

parte

que

lo

compone ya sea lados, ángulos, alturas entre otros y fichas que corresponden implícitamente a las aberturas pero las cuales el estudiante debe deducir matemáticamente a cual corresponde, este material sirve para mostrar de lo significativo de la geometría como también realizar una evaluación diferente

de

los

contenidos

resolución de triángulos.

relacionados

a

Aprender varios métodos en la solución de problemas de trigonometría para luego lograr en el estudiante la habilidad de escoger el método OBJETIVO GENERAL: adecuado para llegar a la solución fácilmente. Reconocer

los

diferentes

métodos

para

la

solución de problemas relacionados a triángulos. Asociar

un

problema

trigonométrico

a

un

método de solución logrando ser así más ágil a la OBJETIVOS ESPECIFICOS:

hora de desarrollar un problema. Deducir

los

valores

trigonométricas

para

de

las

relaciones

ciertos

ángulos

significativos mediante el uso repetitivo de la encajadora trigonométrica.

Teorema de Pitágoras. CONTENIDOS:

Relaciones trigonométricas. Teorema de seno y Teorema del coseno.

FASE INTERPRETATIVA La Trigonometría es la rama de la Matemática que trata de las relaciones entre los lados y ángulos de triángulos (polígonos con tres lados). La trigonometría plana trabaja con figuras geométricas pertenecientes a un único plano, y la trigonometría esférica trata de los triángulos que son una sección de la superficie de una esfera.

Como aparece en

(Fernandez, s.f.),

La trigonometría comenzó como una Matemática

eminentemente práctica, para determinar distancias que no podían ser medidas directamente. Sirvió a la navegación, a la agricultura y a la astronomía. Al lidiar con la determinación de puntos y distancias en tres dimensiones, la trigonometría esférica amplio su aplicación a la Física, a la Química y a casi todas las ramas de la ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido y el flujo de corriente alternada.

La trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrolló en la Antigüedad gracias a los griegos e indianos. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los descubrimientos griegos e indianas, notablemente en relación a las funciones trigonométricas.

La trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. El invento de los logaritmos por escoces John Napier y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton auxiliaron los cálculos trigonométricos.

De aquí se mostrará y deducirá algunos teoremas y relaciones trigonométricas que se utilizan en la resolución de problemas. FASE ARGUMENTATIVA

En trigonometría todo gira alrededor de la resolución de triángulos, la encajadora trigonométrica incentiva al uso de varios de estos métodos de solución es por esto que de una manera muy reducida

se

dará

las

formulas

y

explicación

de: Teorema de Pitágoras,

relaciones

trigonométricas, teorema de seno y teorema del coseno.

TEOREMA DE PITAGORAS

Figura 1: Fórmulas relacionadas al Teorema de Pitágoras. JUAN JESUS PASCUAL, TIMONMATE, P.1 Ejemplo: Para el siguiente triángulo equilátero, halla el valor de x, el perímetro y el área. Solución:

Figura 2: Triangulo 1 El perímetro es la suma de los lados. En este caso:

Calculemos x:

√

Calculemos el área

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones: La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y Cotangente. Todas ellas pueden entenderse como Relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos a y p del triángulo rectángulo aquí representado:

Figura 3: Triángulo

Rectángulo

Cuadro 1: Relaciones trigonométricas Para el ángulo α

JUAN JESUS PASCUAL, TIMONMATE, P.1.

Cuadro 2: Relaciones trigonométricas Para el ángulo β JUAN JESUS PASCUAL, TIMONMATE, P.2

Cuadro 3: Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos en grados y radianes JUAN JESUS PASCUAL, TIMONMATE, P.2.

Ejemplo 1. Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β. Solución Las razones trigonométricas directas son Seno, el coseno y la tangente. 

Para el ángulo α :

Figura 4: Ejemplo Triángulo Rectángulo

Observa que se cumple que



Para el ángulo β :

Observa

que

ser de otra manera.

también se cumple que

,

como

no

podía

2. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30°. Figura 5: Problema número 1 tomado de: http://aplicaciones.colombiaaprende.edu.co/red_privada/sites/default/files/pr

oblemas_de_aplicacion.pdf Solución: La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente:

Fórmula Herón: “Herón de Alejandría vivió hacia el siglo III a. de C. Son conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados. No es necesario por tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Si llamamos s al semiperímetro y a, b, c a los tres lados” (Gomez, s.f.)

Llamando al semiperímetro

entonces el área puede expresarse como √

Figura 6: Fórmula de Herón

Teorema del seno Se utiliza paro relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos a estos lados. Partiendo de un triángulo general, en el que los lados se expresan en minúsculas y los ángulos en mayúsculas, como el que se muestra: Teniendo en cuenta que los triángulos parciales, ACH y BCH, son triángulos rectángulos, podemos poner, de la definición de seno:

}

Si trazamos la altura h correspondiente a este otro triángulo, el anterior, girado.

Figura 7: Teorema del Seno Lo que nos queda es la siguiente expresión:

}

Con todo lo anterior el teorema del seno se suele enunciar de la forma siguiente, hay que tener en

cuenta que esto permite varias combinaciones para su utilización, de la que elegiremos la más conveniente de las tres:

{ Ejemplo: Un camino recto hace un ángulo de 25° con relación a la horizontal. Desde el punto A sobre el camino, el ángulo de elevación a un avión es de 57°. En el mismo instante, desde otro punto B

situado a 120 metros de A, el ángulo de elevación es de 63°. Encuentra la distancia del punto A hasta el avión y la altura a la que vuela el avión con

Figura 8: Problema 4 sección VII pagina 270 (Patricia Carrasco, 2010).

respecto a la horizontal.

Solución:

La distancia desde el punto A hasta el avión es de aproximadamente 1022,88 m

La altura a la que vuela el avión con respecto a la horizontal es de aproximadamente 1012,92

Teorema del coseno Sabemos por ley de Cosenos:

En general, en todo triángulo ABC:

En la figura se ha trazado la altura AD sobre la prolongación de CB

Figura 9: Teorema del Coseno

En el triángulo rectángulo ADC, por resolución de triángulos rectángulos tenemos:

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo Rectángulo ADB tenemos:

Del mismo modo se demuestra los otros dos teoremas. Consecuencia: El coseno de un ángulo se puede expresar en función de los lados, así:

, Ejemplo: En un triángulo ABC se tiene que:

Calcular la longitud del lado AB.

Figura 10: Ejemplo de Teorema

del Coseno

Solución: Del triángulo observamos que

,

aplicamos la ley de cosenos, así:

√

Así queda mostrado que

√

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: ENCAJADORA TRIGONOMETRICA Está diseñado para ser aplicado al final del tema de trigonometría, la temática es la siguiente: 

Se forman grupos de n estudiantes (queda a consideración del docente).



Se tiene dos áreas donde se va a realizar el juego didáctico en una donde se encuentran los tablones y en la otra las fichas.



Dos estudiantes de cada grupo debe ubicarse en la área de fichas, las cuales se encuentran en una bolsa.



Cuando se dé la señal de inicio un estudiante debe sacar una ficha y escribir en una hoja la información que se da en ella y llevarla al grupo que se encuentra en la segunda área.



El grupo resuelve las incógnitas si esa ficha corresponde algún vacío tiene que darle la señal al otro miembro para que lleve la ficha y dos nuevos miembros van a la zona dos y repiten el proceso de no ocurrir un nuevo miembro se dirige a la zona dos y repiten el mismo proceso, gana el equipo que logre llenar todas las aberturas.

FASE PROPOSITIVA ACTIVIDAD: 1

Se forma grupos de n personas.

2

Se ubican dos áreas donde se va aplicar el material: Primera zona: Tablones Segunda zona: fichas

3

Dos miembros de cada grupo se ubica en la segunda área.

4

Se da inicio a la temática, comienza retirando una ficha de la bolsa.

5

Uno de los miembros lleva la información vista en la ficha, el resto del grupo la resuelve y verifica si es posible que encaje en el tablón.

6

De ser posible el encaje, el miembro restante lleva la ficha y dos nuevos miembros se dirigen a la segunda zona y retoman el proceso, de no serlo se descarta la ficha y un nuevo miembro va a la segunda zona y retoman el mismo proceso.

7

Gana el grupo que termine con el menor número de errores en el mejor tiempo posible (El tiempo vale el 60% de la competencia y el número de errores 40%).

Ejemplo: Para dos grupos: A 8 minutos y 4 errores y B 8 minutos 30 segundos y 2 errores Se procede así :

(

)

Puntaje por equipo, menor tiempo en la competencia = 8 minutos, menor número de errores= 2 y en este caso el equipo ganador es B.

Ejemplos: 1. Calcular el valor de los lados

y

Imagen1: Ejemplo 1 del Uso de La Encajadora

Trigonométrica Solución: Como los ángulos β y γ son congruentes y la siguiente relación se cumple en todo triangulo

De aquí tenemos que:

Aplicando el Teorema del seno y sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno:

{ Se puede observar un lindo resultado de los triángulos, donde los lados opuestos a los ángulos congruentes son entre ellos congruentes. 2. Calcular el valor de

Imagen 2: Ejemplo 2 del Uso de La Encajadora

Trigonométrica

Solución: Aplicamos el teorema del coseno:

Sustituimos los valores en la expresión y se tiene entonces:

√

= 13 cm

EJERCICIOS

Después de realizar la actividad, se pide a los estudiantes encontrar el método más rápido para solucionar los siguientes triángulos, compararlos con otros métodos y posteriormente justificar su respuesta. 1.

2.

3.

Figura 11: Ejercicios de Resolución de Triangulos

EVALUACIÓN

La actividad es cooperativa es así que la evaluación es de acuerdo al rendimiento grupal por ende se debe observar que se prime el trabajo en equipo, además valorar la actitud individual al realizar la actividad con el material didáctico ENCAJADORA TRIGONOMÉTRICA, al finalizar se debe realizar una evaluación en la cual se analice los resultados obtenidos y como podría mejorarse la actividad, proponiendo variaciones en el juego tal que se logre rápidamente los objetivos propuestos en esta guía.

BIBLIOGRAFIA Fernandez, A. (s.f.). Iniciación a la Trigonometria. Obtenido de lectura recomendada(Historia de la Trigonometría): http://perso.wanadoo.es/amiris/trigonometria/documentos/lecturatrigo.html Gomez, J. M. (s.f.). Matemática, Filosofía,Musica,Cine,Humos...y otra yerbas Digestivas. . Obtenido de Formula de Heron: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/proteo/formulaheron.htm Pascual, J. J. (s.f.). Matematicas. Obtenido de TIMONMATE ( Ejercicio Resuletos de Trigonometria): http://matematicasjjp.webcindario.com/pitagoras_resueltos.pdf Pascual, J. J. (s.f.). Matemáticas. Obtenido de TIMONMATE: http://perso.wanadoo.es/timonmate/ Pascual, J. J. (s.f.). TIMONMATE. Obtenido de http://aplicaciones.colombiaaprende.edu.co/red_privada/sites/default/files/problemas_de_aplicac ion.pdf Sevilla, D. (19 de JULIO de 2000). MATEMATICA. Obtenido de TIMONMATE:http://perso.wanadoo.es/timonmate/

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA:

Estadística y Probabilidad

GRADO:

Octavo y Noveno

DURACIÓN:

2 horas

PENSAMIENTO

Aleatorio

MATEMÁTICO: MATERIAL DIDACTICO GUIA

PRACTICA

PARA

Escalera de conceptos estadísticos EL

DOCENTE

PRESENTACIÓN Este material como su nombre lo indica

está

basado

en el juego

tradicional de la escalera, el cual interactúa suerte y conocimiento en un

juego

muchas

muy

personas

entretenido ya

han

que tenido

contacto con él en muchas de sus formas. Se presenta esta escalera mezclando los conceptos estadísticos trabajados en clase con la estructura del juego.

Reforzar los conceptos fundamentales de la estadística a partir del uso del material OBJETIVO GENERAL:

didáctico Escalera de conceptos estadísticos.

Entender

de

una

manera

global,

le

significado y uso de la física en la vida OBJETIVOS ESPECIFICOS:

cotidiana a partir del uso de la Escalera de conceptos Estadísticos.

Comprender el significado concreto de los conceptos en estadística sin el error de confundirlos, a partir del uso de la Escalera de conceptos Estadísticos. Estadística descriptiva. CONTENIDOS: Conteo.

FASE INTERPRETATIVA A continuación

se presentará de una manera muy resumida los conceptos involucrados

con el material didáctico sabelotodo estadístico, desde luego se recomienda al profesor en el caso de que desee ahondar en los temas aquí presentes, buscar otras fuentes, esto es porque es una teoría muy amplia para desarrollarse en este contexto. Los siguientes conceptos fueron tomados de (LEVINE, 2014). Estadística descriptiva descripción y análisis de conjuntos de datos o población. Inferencia estadística, la cual hace posible la estimación de una característica de una población, o la toma de una decisión con respecto a una población, con base únicamente en resultados muéstrales (pg. 4 estadística y probabilidades). Variable Una característica de un objeto o individuo. Datos El conjunto de valores Individuales asociados con una variable (pág. 6 estadística para administración). Las variables categóricas (también llamadas variables cualitativas) tienen valores que solo pueden colocarse en categorías, como sí y no. Variables

numéricas

(también llamadas variables cuantitativas) tienen valores que

representan cantidades. Las variables numéricas, a la vez, se clasifican como discretas o continuas. Las variables discretas tienen valores numéricos que surgen de un proceso de conteo. Variables continuas producen respuestas numéricas que surgen de un proceso de medición.

Una población consta de todos los objetos o Individuos sobre los que se desea obtener conclusiones. Una muestra es una parte de una población, seleccionada para su análisis. Un parámetro es una medida que describe una característica de una población. Un estadístico es una medida que describe una característica de una muestra Media es una medida de tendencia central determinada por el cociente entre la suma total de los datos y el número de datos. Es también conocida como promedio. La mediana es el valor Intermedio en un conjunto de datos ordenado de menor a mayor. La mitad de los valores son menores o Iguales que la mediana, y la mitad de los valores son mayores o iguales que esta. La mediana no se ve afectada por valores extremos, por lo que resulta útil cuando exista este tipo de valores. Moda La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. FASE ARGUMENTATIVA Una vez definido en la fase interpretativa los conceptos relacionados al material didáctico se procede al desarrollo de los siguientes ejemplos: Ejemplos de variables categóricas son: "¿Tiene certificados de inversión actualmente?" (Sí o no) y el nivel del riesgo de un certificado de inversión (por debajo del promedio, promedio o por arriba del promedio). Número de canales de televisión por cable al que se suscribió" es un ejemplo de una variable numérica discreta, ya que la respuesta es uno de un número finito de enteros. Las personas se pueden suscribir a cero, uno, dos o más canales. Otra variable numérica discreta es "el número de artículos comprados*, porque se cuenta el número de productos

adquiridos. El tiempo que una persona espera para ser atendida por un cajero de un banco es un ejemplo de una variable numérica continua, ya que la respuesta asume cualquier valor dentro de un continuo o un Intervalo, dependiendo de la precisión del Instrumento de medición. Por ejemplo, su Tiempo de espera podría ser de 1 minuto, 1.1 minutos, 1.11 minutos o 1.113 minutos, dependiendo de la precisión del aparato utilizado. (En teoría, dos valores continuos nunca son Idénticos. Sin embargo, como ningún aparato de medición es perfectamente preciso, quizás ocurran valores continuos idénticos para dos o más objetos o individuos). Variables Cualitativas Ejemplo: Estado civil : soltero casado viudo separado Variables Cuantitativas Discretas Ejemplos : 1) Número de asignaturas inscritas en el primer semestre. 2) Número de integrantes del grupo familiar. 3) Número de salas de clases del IPVG.

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: ESCALERA DE CONCEPTOS ESTADISTICOS.

Este juego consta de un tablero dispuesto con 25 casillas de color rojo, azul y negro, seis fichas de parques de diferente color. Cada casilla tiene ya sea una pregunta o una penalización para el jugador que caiga en una de las casillas.

Cada jugador debe tirar el dado y avanzar tantas casillas como lo indique el resultado del dado, además debe responder la pregunta si cae en una casilla azul o roja o cumplir la penalización si cae en la casilla negra. FASE PROPOSITIVA: Reglas del juego. 1. El máximo de jugadores es de seis jugadores y un moderador. Cada jugador tiene una ficha del color que seleccione o se le asigne.

2. El moderador tendrá las fichas de preguntas y penalización y la hoja de respuestas, y será el encargado de hacer cumplir con las reglas del juego.

3. Para la salida cada jugador tira el dado y sale el jugador que saque mayor puntaje saque en la tirada y en su orden de mayor a menor. En caso de empate entre dos o más jugadores para el orden de la salida se debe tirar el dado tantas veces como sea necesario para desempatar y saber el orden de salida.

4. Al empezar el juego se tiene dos tipos de casillas una de penalización que con una condición, las otras tienen una pregunta la cual debe ser respondida, si lo hace en forma correcta puede permanecer en dicha casilla en caso contrario debe volver a la casilla en la que se encontraba.

5. Gana aquel jugador que llegue primero a la meta. Para llegar a la meta el jugador debe tirar el dado y debe sacar exactamente lo que necesita para llegar allí, por ejemplo si le faltan 3 casillas para llegar a la meta al tirar el dado debe obtener exactamente 3, de lo contrario pierde el turno. EJEMPLO: Se mostrará a continuación el uso del material “Escalera de conceptos estadísticos”.

Imagen 1: Ejemplo de uso de la Escalera de Conceptos Estadísticos.

EVALUACIÓN La evaluación es de carácter conceptual, ya que es una recopilación de los temas relacionados con estadística, lo que hace que este material sea de gran uso a la hora de conocer el nivel de comprensión de los estudiantes en estadística, debido a que el desarrollo de la actividad con el material en su aplicación divide al grupo, es importante realizar una evaluación individual referente a la actitud, frente al uso del material, finalmente es necesario evaluar la actividad respondiendo lo siguiente: ¿Qué tan productivo fue el material didáctico? ¿Cuál fue el desempeño del grupo desarrollando la actividad? ¿Qué mejoras pueden ser hechas a la actividad y/o material Escalera de conceptos estadísticos? ¿Lograron los objetivos propuestos en esta guía?

BIBLIOGRAFÍA CASTAÑO Oscar, BERNAL Julián. diseño de actividades didácticas para el desarrollo de Pensamiento aleatorio en estudiantes de educación básica y media. Tesis (licenciado en Matemáticas). Pereira, Colombia. Universidad Tecnológica de Pereira. 2013. P. 129-133.

LEVINE. David M.; KREUBIEL, Timothy, C y BERENSON, Mark L. Estadística para administración. México, Pearson educación. 2014. P:624

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA: GRADO: DURACIÓN: PENSAMIENTO MATEMÁTICO: MATERIAL DIDACTICO GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE

Secciones cónicas Noveno, diez y once 4 horas Variacional y espacial Lotería de las cónicas

PRESENTACIÓN Este material sirve para que el estudiante relacione las secciones cónicas en su representación algebraica con su representación gráfica en plano coordenado R2 ; esto sirve para que el estudiante se haga una representación permanente en su cerebro y así en situaciones futuras él pueda aplicar muy fácilmente estos fundamentos matemáticos. El material consta de 40 tablas y 48 fichas. Las tablas contienen cada una 6 graficas respectivamente y las fichas tienen escritas 48 ecuaciones.

Identificar OBJETIVO GENERAL:

relaciones entre propiedades de

las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas

con

la

ayuda

del material

didáctico Lotería de las cónicas. Utilizar números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos, mediante la traslación y características de las secciones cónicas.

Reconocer por medio de la Lotería de las OBJETIVOS ESPECIFICOS:

cónicas relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas,

logrando

una

mejor

comprensión en los problemas de este tipo.

Construir equivalentes dada,

expresiones a

una

por medio

algebraicas

expresión algebraica de los procesos de

identificación de las secciones cónicas. - Secciones cónicas: Circunferencia. CONTENIDOS:

Hipérbola. Elipse. Parábola. - Rectas en R2

FASE INTERPRETATIVA A continuación se estudian cada una de las características de las secciones cónicas en las tres fases: La siguiente información de “secciones cónicas” fue tomada de la página web: karladma.pbworks.com/f/SECCIONES+CÓNICAS.doc del autor Moreno Álvarez.

Secciones cónicas

Una sección cónica (o cónica) es una curva de intersección de un plano con un cono recto circular de dos hojas; tenemos ELIPSE,

cuatro tipos de curvas: CIRCUNFERENCIA,

HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA. El matemático Apolonio estudio las

secciones cónicas en términos de Geometría utilizando este concepto. Ahora bien, pero qué es una cónica, es el conjunto de puntos “P” del plano tales que la distancia no dirigida de “P” a un punto fijo está en razón constante a la distancia no dirigida de “P” a una recta fija que no contiene al punto fijo. Esta razón constante en la definición anterior se llama excentricidad. Las cónicas tienen innumerables aplicaciones en las ciencias y en la tecnología; de allí la gran importancia que tiene conocerlas y resolver problemas donde se apliquen cada una de ellas. FASE ARGUMENTATIVA Circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano que (equidistan) de un punto C(h, k) llamado Centro. R = radio C(h, k) = Centro P(x, y) = Punto Cualquiera de Circunferencia C

Figura 1: Lugar geométrico Circunferencia

Esto es: d(C,P) =

( x  h) 2  ( y  k ) 2  R =

( x  h) 2  ( y  k ) 2

 R 2  (( x  h) 2  ( y  k )2 ) 2  R2 = (x-h)2 + (y-k)2 Ecuación canónica de Circunferencia de centro C(h, k) y radio R. Ejemplo No. 1: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 16; es la Ecuación de una Circunferencia de centro C(1,3) y radio R = 4. Ejemplo No. 2: x2 + (y – 4)2 = 7 es la Ecuación de una Circunferencia de centro C(0, 4) y Radio R =

7.

Si el centro de la circunferencia es C(0,0) y radio R = 5; la Ecuación es: x2 + y2 = 25

Ecuación general de la circunferencia Al desarrollar la Ecuación Canónica (x-h)2 + (y-k)2 = R2 resulta: (x-h)2 + (y-k)2 = R2  x 2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k 2 = R2

 x 2 + y2 - 2hx – 2ky + h2 + k 2 = R2 Ahora tenemos: Ax 2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 Donde A = B y no aparece producto de la variable x e y.

Ejemplo No. 1: Una circunferencia

tiene centro C(-3, 4) y pasa por el punto P(1, -2) .

Determinar su Ecuación General. Solución: Para llegar a la ecuación general partimos de la ecuación canónica: R2 = (x-h)2 + (y-k)2

Observamos si tenemos el centro, en este caso C(-3, 4) pero el radio no está dado. ¿Cómo encontrarlo? Es sencillo, ya que nos dan un punto P(1, -2) por donde pasa las circunferencia; y sabemos que R = d(C, P). Entonces, por definición de distancia, tenemos:

Figura 2: Ecuación de la circunferencia. Ejercicios: Geogebra es un software libre que permite realizar gráficos y animaciones mediante comandos algebraicos. Este programa ayuda al estudiante a identificar fácilmente las características entre una ecuación y un gráfico además sirve para resolver ejercicios de tipo geométrico.

Resolver usando Geogebra: Los siguientes ejercicios de “secciones cónicas” karladma.pbworks.com f E

E

fueron tomados de la página web:

.doc del autor Moreno Álvarez.

1.- Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro

 1 3   ,  y Radio  2 2

3 2.

2.- Determinar la Ecuación General de la Circunferencia si los extremos del diámetro son

y

.

3.- Determinar la Ecuación de la Circunferencia de centro

y es tangente al eje de

las abscisas.

4.- Calcular la distancia entre los centros de la circunferencia de ecuación: y 5.- Determinar la Intersección entre la recta de ecuación x – y = 1 y la circunferencia de –

ecuación:

–

6.- Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el punto recta de la ecuación:

–

–

y tangente a la

.

Elipse

Es el lugar Geométrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de distancias a dos puntos F1 y F2 (focos) es constante (Ver grafica).

d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = d(A1 , A2 ) Donde: C(h, k) Es el Centro A1 , A2 , B1 , B2 Son los Vértices F1 , F2 Focos A1 A2 = 2a Eje Mayor F1 F2 = Eje Focal B1 B2 = Eje Menor

Figura 3: Elipse Ecuación canónica de la elipse A partir de la definición se obtienen dos ecuaciones llamadas canónicas. Estas son: CASO I: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1 ).

x  h2   y  k 2 a2

b2

1

CASO II: Cuando el eje focal está paralelo al eje de las coordenadas (y, y1 ).

x  h 2   y  k 2 b2

Observación: El centro es

a2

1

C(h, k) a2 y b2 están relacionadas con el eje mayor y menor

respectivamente por lo tanto para identificar los dos casos, solo tienes que ver con quien está el mayor denominador (con la variable x o con la variable y).

Ejemplo No. 1: La Ecuación

x  32   y  12 9

4

 1 Corresponde a una elipse de centro

C(3, -1) y el eje mayor paralelo a las abscisas.

Ecuación general de la elipse Viene dada por Ax 2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 donde

≠ B pero de igual signo.

Ejemplo: 2x2 + 3y2 - 6x + 12y + -1 = 0 Excentricidad es la relación entre “ ” y “a” esto es e 

C . a

Coordenadas de los vértices y focos: es importante conocer estos puntos de la elipse; pero es báñate sencillo determinar sus coordenadas, tomando en cuenta que siempre se puede llegar a partir del centro de la elipse. CASO I:

CASO II:

“a” distancia del centro hasta

1

y A2

“b” distancia del centro hasta B1 , B2 “c” distancia del centro hasta F 1 , F2

Parábola

Es el lugar geométrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan (están a la misma distancia) de un punto fijo llamado “foco” y una recta fija llamada Directriz. Veamos la gráfica para identificar los elementos en sistemas de coordenadas cartesianas.

Figura 4: Parábola Por Definición

Se estudiará cuatro casos de la ecuación canónica de la parábola CASO 1 Cuando la parábola abre hacia arriba, cuya ecuación canónica es: (x – h)2 = 4p(y – k) Donde

(h, k) es el centro de “p” el parámetro.

Elementos:

Ejemplo: (x – 2)2 = 8(y – 3).

Ecuación de Parábola de vértice: V(2, 3). 4p = 8  p = 2 parámetro.

Foco:

–

Eje x = h entonces x = 2

Directriz

–

entonces

–

Veamos su Grafica.

Figura 5: Caso I de la parábola

CASO 2 Cuando la Parábola abre hacia abajo, cuya ecuación canónica es: (x – h)2 = - 4p(y – k) Donde

(h, k) es el centro de “p” el parámetro.

Elementos:

– Ejemplo: (x – 3)2 = - 8(y – 1).

Ecuación de Parábola de vértice V(3, 1) -4p = -4  p = 1 parámetro. Foco:

– Eje x = h entonces x = 3 Directriz y = x + p entonces y = 1 + 1 = 2

Veamos su Grafica

Figura 6: Caso II de la parábola CASO 3 Cuando la parábola abre hacia la derecha, cuya ecuación canónica es: (y – k)2 = 4p(x – h) Donde

(h, k) es el centro de “p” el parámetro.

Elementos:

Ejemplo: (y – 4)2 = 12(x – 1).

Ecuación de Parábola de vértice: V(1, 4). 4p = 12  p = 3 parámetro.

Foco:

Eje y = 4 Directriz x = 1 – 3 entonces x = 3–2 = -2 Veamos su Grafica.

Figura 7: Caso III de la parábola. CASO 4 Cuando la parábola abre hacia la izquierda, cuya ecuación canónica es: (y – k)2 = - 4p(x – h) Donde

(h, k) es el centro de “p” el parámetro.

Elementos:

Ejemplo: (y – 3)2 = -8x

Ecuación de Parábola de vértice: V(0, 3). -4p = -8  p = 2 parámetro.

Foco:

Eje y = 3 Directriz x = 0 + 2 entonces x = 2

Veamos su Grafica.

Figura 8: Caso IV de la parábola Ecuación general de la parábola Al desarrollar las ecuaciones canónicas, cualquiera que sea el caso llegamos a una ecuación de la forma: a)

ó b)

Hipérbola Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas (

y ecuación de la

hipérbola en su forma canónica.

Imagen 9: Elementos de la hipérbola; tomada de: http://www.roberprof.com/2009/09/08/hiperbola-def/hiperbola-2/

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos:

a)

b)

Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.

Rectas

Ecuación punto pendiente y ordenada al origen Dada una recta mediante un punto,

y una pendiente m:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Donde m es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas X. Ejemplo: 1. La ecuación de la recta que pasa por el punto A=(2, -4) y que tiene una pendiente de

2. Observe la siguiente imagen.

Imagen10: Gráfico de tres rectas En la figura hay tres líneas rectas. Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Conociendo la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta,

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: LOTERIA DE LAS CONICAS El material didáctico denominado “Lotería de las cónicas” ha sido creado para que el estudiante relacione las ecuaciones de las diferentes secciones cónicas con sus respectivas gráficas. El momento que debe ser aplicado es cuando los estudiantes de grado noveno estudien por primera vez el tema de las secciones cónicas es recomendable usarlo como forma de evaluación porque el estudiante debe identificar cada ecuación y realizar cálculos para obtener centros, ejes, amplitudes entre otros, que le permitirán deducir la respectiva gráfica. Aunque también puede ser usado en grados 10 y 11 como forma de repaso ya que en estos grados se ve el tema de funciones donde las ecuaciones de las secciones cónicas pasan a ser funciones. FASE PROPOSITIVA

Una clase antes de la aplicación del material el docente debe dar a conocer las tablas del juego planteando la siguiente actividad.

Actividad El docente debe dar las siguientes instrucciones:

1) Conformar grupos de 4 estudiantes.

2) Entregar a cada grupo un tablero de la lotería de las cónicas que consta de 6 graficas de secciones cónicas.

3) Los estudiantes deben utilizar algunos trucos matemáticos para identificar la ecuación correspondiente de cada una de las gráficas.

4) Luego entregar seis ecuaciones para que los estudiantes construyan la respectiva gráfica. Luego cada grupo debe socializar las técnicas que utilizaron para hallar las ecuaciones. El primer grupo en terminar esta actividad tendrá un incentivo en las notas.

ACTIVIDAD Para la utilización del material didáctico “Lotería de las cónicas” el docente debe seguir las siguientes instrucciones. Ya una vez el estudiante aprenda como representar la gráfica algebraicamente el docente debe dar la sorpresa de que la evaluación es un juego llamado “la lotería de las cónicas” este se juega igual a las loterías infantiles.

Recuerde: en las loterías infantiles por lo general son para 4 o 8 personas y hay un encargado en sacar las fichas de una bolsa una por una y el participante que tenga en su tabla la imagen sacada la pide inmediatamente, este juego lo gana el primero llenar su tabla por lo general estas tienen 6 o 8 imágenes y estas no se repetían en los tableros que contiene el juego.

Los cambios en la lotería de las cónicas es que las imágenes que en este caso son graficas se repiten en varias tablas y estas no se tapan con la ficha que saca el réferi si no con cartones blancos que se entregan al comenzar el juego.

Ejemplo: Se saca una ficha de la bolsa, en este caso salió la ecuación observa en un su lotería si se encuentra la gráfica de esta cónica

, cada jugador

Luego se tapa con el cartón

Imagen11: Ejemplo del uso de la Lotería de las Cónicas Instrucciones de la actividad

El docente entregara a cada estudiante un tablero y seis cartones del material didáctico “Lotería de las cónicas”. La distribución de los estudiantes en el salón de ser equidistante para evitar fraude en la actividad.

Una vez todos los estudiantes tengan los tableros y los respectivos cartones, el docente debe empezar a sacar las ecuaciones de la bolsa.

El ganador es el primero en tapar todas las secciones cónicas, pero el resto de estudiantes deben esperar que el docente verifique que son correctas, de lo contrario el juego debe continuar hasta cuando haya un ganador

Una vez haya un ganador, el docente debe verificar a cada estudiante que cónicas tapo para que evidencia si adquirieron los objetivos de la guía y pueda tener argumentos al momento de la evaluación.

EVALUACIÓN Este material didáctico sirve de evaluación en la temática de las secciones cónicas o al momento

de explicar funciones es un material didáctico

pertinente para recordar

preconceptos.

Durante el proceso de heteroevaluación de esta guía es importante tener en cuenta los aspectos evaluativos en cuanto a lo conceptual, procedimental y actitudinal aplicados en el desarrollo de las fases y actividades de la guía.

Pero es necesario realizar la autoevaluación y coevaluación de la aplicación del material didáctico y poder cada vez hacer el uso de este más efectivo. Además se pretende de que la evaluación sea integral. BIBLIOGRAFIA

1. Moreno Álvarez, K.D. Karladma. Secciones cónicas. Recuperado de karladma.pbworks.com/f/SECCIONES+CÓNICAS.doc

2. Anónimo. Robertprofe. Hipérbola. Recuperado de http://www.roberprof.com/2009/09/08/hiperbola-def/hiperbola-2/

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA:

Sistema de Ecuaciones Lineales

GRADO:

Octavo y Noveno

DURACIÓN:

3 horas

PENSAMIENTO MATEMÁTICO:

Pensamiento variacional, pensamiento métrico

MATERIAL DIDACTICO

Pesando Ecuaciones

GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE PRESENTACIÓN Pesando Ecuaciones es una posibilidad para la enseñanza del concepto de ecuación y solución de ecuaciones simultáneas que a partir de una situación problemas, lleva al estudiante al rol de un matemático, formulando hipótesis, validando o refutando resultados.

Representar un modelo multiecuacional en forma OBJETIVO GENERAL:

estructural y reducida logrando interrelacionar los problemas de la vida real que pueden ser solucionados de esta misma manera.

Calcular correctamente el peso de los objetos

a

partir de las ecuaciones planteadas. Graficar

el

problema

planteado

utilizando

parámetros algebraicos. OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Utilizar los parámetros planteados para formar las ecuaciones. Conocer

la

relación

entre

los

parámetros

estructurales y los parámetros de las ecuaciones en forma reducida. Ecuaciones.

CONTENIDOS:

Sistema de ecuaciones Lineales. Solución de sistemas de Ecuaciones.

FASE INTERPRETATIVA Las definiciones matemáticas fueron tomadas del libro Curso básico de matemáticas y estadística del autor Camara Ángeles de la editorial Delta Publicaciones Universitarias Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas En general, se llama «solución de un sistema de ecuaciones» al conjunto de valores de las incógnitas que sustituidos en todas ellas, las transforman en identidades. Los sistemas se clasifican en determinados (con solución única), indeterminados (múltiples soluciones) o incompatibles (cuando no existe dicha solución). Los llamados Sistemas de Ecuaciones Lineales son los que poseen ecuaciones polinómicas de primer grado. Para resolverlos se aplican varios métodos, que veremos a continuación. Resolución algebraica Se conoce como sistemas equivalentes a los que tienen las mismas soluciones. Para resolver algebraicamente un sistema lo transformaremos entonces en otro equivalente, pero de modo que consigamos tener una ecuación que contenga una sola incógnita. Para ello habrá que tener en cuenta lo siguiente: •

Si a dos miembros de una misma ecuación se les suma (o resta) o bien se les multiplica (o divide) por un mismo número, la ecuación que se obtiene es equivalente a la dada.

•

Si en un sistema se sustituye una ecuación por una combinación lineal de ella con las demás, el sistema que se obtiene es equivalente al dado.

FASE ARGUMENTATIVA

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN:

Métodos de sustitución Para aplicar este método a un sistema se procederá de la siguiente forma: de una de las ecuaciones se procede a despejar una de las incógnitas, por ejemplo la v. La expresión que se obtiene se sustituye en la ecuación que queda, con lo que se obtiene otra que sólo posee una incógnita, la x. Resuelto esto, se sustituye el valor de x en la ecuación obtenida al despejar y, para obtener el valor de y que nos queda.

Ejemplo: Resuelva, por el método de sustitución, el siguiente sistema de ecuaciones:

{

Pasos a seguir: • Despejamos la variable

de una de las ecuaciones:

• Sustituimos dicho valor en la otra: (

)

• Con lo obtenido calculamos la otra incógnita:

Método de reducción o combinación lineal

Consiste que

en

una

conseguir,

misma

multiplicando

incógnita

tenga

por

los

coeficientes

números opuestos

que en

creamos ambas

convenientes,

ecuaciones.

Se

procederá entonces a su suma con el fin de obtener una sola ecuación con una sola incógnita. Una vez hallada esta, al igual que antes, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones para calcular la incógnita que nos queda.

Estudiamos,

a continuación, el

mismo ejemplo.

Ejemplo: Resuelva, por el método de reducción, el siguiente sistema de ecuaciones:

{

Multiplicando la segunda ecuación por (-2). Obtenemos:

{

Sumamos ambas ecuaciones:

y ya sólo basta con sustituir en cualquiera de las dos:

Método de igualación Consiste

en

despejar

la

misma incógnita en las dos ecuaciones,

igualando

las ex-

presiones obtenidas para conseguir tener una sola ecuación con una sola incógnita. Una vez

hallada esta, se procederá como siempre al cálculo de la incógnita restante. Ejemplo: Resuelva, por el método de igualación, el siguiente sistema de ecuaciones:

{

Se despeja, por ejemplo, la ven las dos ecuaciones:

Igualando ambas y resolviendo:

Luego, al igual que antes:

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: PESANDO ECUACIONES

Este material consta de unos objetos con pesos definidos y una balanza, sirve para inducir al estudiante a sistemas de ecuaciones y el uso práctico que él tiene en la vida ,reflejándose en la física con el peso indirecto de objetos y asistiendo la respuesta del uso de la matemática. Se desarrollará de acuerdo a una tendencia matemática que se preocupa por la construcción del significado que hace el alumno.

Los

partidarios

de

esta

“línea

semántica”

proponen

que

la

enseñanza

de

las

matemáticas debía de tener en cuenta el desarrollo de las capacidades intelectuales de los alumnos, y que se tenía que ir de la acción a la abstracción, de acuerdo con Piaget, Lovell. Bruner, Dienes, etc. Todos estos autores coincidían en que. Para poner de manifiesto las estructuras subyacentes de las matemáticas, el alumno tenía que pasar por tres fases: 1) Fase de manipulación: los conceptos tienen su origen en las acciones realizadas sobre los objetas. 2) Fase de representación: aquello que se ha comprendido se ha de poder explicar oralmente y se ha de saber representar irónicamente. 3) Fase simbólica: esta etapa es la más reflexiva y la que posibilita el paso efectivo a la abstracción: aquello que se ha comprendido se ha de saber trabajar con símbolos sin un referente concreto. (VICENÇ FONT, 2003, p. 260-261) Estas fases se ven reflejadas en el arte de resolver problemas y esta tendencia a cogido mucho auge en los últimos tiempos, aunque sin embargo tenga décadas de antigüedad y es este el ABP (aprendizaje basado en problemas) donde su temática gira alrededor de las situaciones problema se define: “ Una situación problema la podemos interpretar como un contexto de participación colectiva para el aprendizaje, en el que los estudiantes, al interactuar entre ellos mismos, y con el profesor, a través del objeto de conocimiento, dinamizan su actividad matemática, generando procesos conducentes a la construcción de nuevos conocimientos. Así, ella debe permitir la acción, la exploración, la sistematización, la confrontación, el debate, la evaluación, la autoevaluación, la heteroevaluación”. ( Obando, G y Muñera, J. (2002, Octubre))

Son estas situaciones las cuales se deben incentivar en las aulas de clase, es por esto que "Pesando Ecuaciones" usa la

metodología del ABP ,para propiciar un ambiente de reflexión donde el

estudiante pueda proponer e idear soluciones diversas al problema de las pesas y así, lograr un aprendizaje significativo pudiendo así

formular hipótesis, su validación y si es del caso, su

reformulación desde la perspectiva de la exploración y la sistematización, lo

importante en la

situación problema es: "......vincule de manera activa al estudiante en la elaboración teórica, haga del arte de conocer un proceso no acabado, permita utilizar aspectos contextúales como herramientas dinamizadoras de aprendizaje y relacione las conceptualizaciones particulares con las formas universales socialmente construidas".( Obando, G y Muñera, J. (2002, Octubre)) En este orden de ideas, se presentara las siguientes fases anteriormente explicadas , pero ahora en el caso de la situación problema planteada con este material, estas son entonces ; la manipulación, la graficación, la simbolización y la evaluación, esto se desarrollará en la fase propositiva de esta guía.

FASE PROPOSITIVA: Problema Teniendo tres objetos compuestos de elementos básicos y una balanza, hallar el peso de cada uno de los elementos básicos (No se pueden desunir los objetos en sus partes básicas).

Figura 1: Objetos compuestos

Figura 2:Elementos básicos

Instrucciones 1. Se forma grupos de 3 estudiantes y se les presenta el problema. 2. Fase 1 (Manipulación)

En esta fase se les entrega los objetos a cada grupo de estudiantes para que tomen sus medidas en la balanza siguiendo lo planteado en el problema. 

Se indica el uso adecuado de la balanza para evitar un error a la hora de tomar los datos.



Cada grupo manipula y toma las medidas correspondientes de acuerdo a los parámetros del ejercicio.

3. Fase 2 (Graficación)

En esta fase se despierta

la creatividad de los estudiantes para solucionar el problema,

gráficamente intentarán plasmar la situación del problema para luego pensar una o varias

estrategias y tomar la menos cantidad de medidas con el menor número de objetos posibles, pero sin infringir la condición del problema. 

Cada grupo hace un esquema para identificar de una manera más sencilla el ejercicio.



Cada grupo utiliza diferentes estrategias.

4. Fase 3 (Simbolización) Los estudiantes en esta fase le darán a cada objeto un nombre con una sola letra para tomar más fácilmente los datos, formando las ecuaciones que modela el problema. Buscarán solución a éstas ecuaciones por medio de algún método de ecuaciones simultáneas y así encontrar analíticamente el peso de cada uno de los elementos básicos. 5. Fase 4 (Evaluación) En esta fase los estudiantes comprueban sus resultados analíticos con los pesos reales de cada elemento básico midiéndolos por último en la balanza. Se valorará el proceso diciendo como les pareció, que aprendieron, que aclararon cuales fueron sus fortalezas y cuales sus debilidades. 

Con diferentes tipos de ecuaciones los grupos tendrán respuestas muy aproximadas, ya que hay muchos factores que crean un margen de error muy pequeño.



Los estudiantes verificaran la solución del problema, realizando el peso de cada objeto.

Ejemplo: 

Este es un ejemplo de la simbolización que se realiza en esta actividad. Sea:

Figura 3: Ejemplo simbolozación

Se necesita entonces saber el peso de cada elemento de estas formas sin desunirse del cuerpo inicial. De aquí podemos simbolizar la situación como sigue:

X = Peso Elemento 1 Y = Peso Elemento 2 Z = Peso Elemento 3 Figura 4: Elemento 1 , Elemento 2 y Elemento 3

Las ecuaciones parte inferior salieron de: 1. Se pesó un (Elemento 1) con un (Elemento 2) y cuatro (Elemento 3), el peso de esto marco 10 g.

2. Se pesó un (Elemento 2) con 2 (Elemento 3) y el peso conjunto marco 5 g. 3. Se pesó un (Elemento 1) con 1 (Elemento 2) y el peso conjunto marco 5 g.

{

Solución:

{

(

{

)

(

(

)

(

)

)

Remplazando en la ecuación

Remplazando en la ecuación

se tiene:

se tiene:

EJERCICIOS Con el uso del material y las instrucciones anteriormente expuestas, realizando cada una de las fases hacer los siguientes ejercicios: 1. Sean los cuatro objetos, encontrar el peso de sus elementos.

Figura 5: Ejercicio 1 de simbolización 2. Con las fichas del material didáctico “Pesando ecuaciones” crear:

Figura 6: Ejercicio 2, Creación 1.

Dos objetos, los cuales puedan ser pesados y analíticamente poderse encontrar los pesos de sus elementos.

2. Cuatro objetos, los cuales puedan ser pesados y analíticamente poderse encontrar los pesos de sus elementos. 3. Proponer a la clase, los ejercicios planteados por cada grupo y darle solución a cada uno de ellos.

EVALUACIÓN

Este literal se trabajó en el desarrollo de las fases, pero aun así se pide entonces que se haga una retroalimentación del proceso y cómo esta metodología basada en problemas influenció en el desarrollo de las competencias esperadas con el uso de este material para poder así, crear un espacio donde se pueda desarrollar esta misma metodología con otros problemas.

BIBLIOGRAFÍA Camara

Ángeles set al. Curso básico de matemáticas y estadística.

1. ed.

Madrid: Delta

Publicaciones Universitarias, 2007. 312 p. Font (2003) Matemáticas y Cosas. Una Mirada desde la Educación Matemática. Didáctica de la Matemática,

Venezuela,

V

,

X,

No.

2

Edición

Especial

Recuperado

http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/vfont.pdf Obando, G y Muñera, J. (2002, Octubre). "Las situaciones problemas como estrategia para la conceptualización matemática. Facultad de Educación. Vol. XV, Recuperado de http://aprendeenlinea.udea.edu.co/revistas/index.php/revistaeyp/article/view/5952/5362

de

:

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA: GRADO: DURACIÓN: PENSAMIENTO MATEMÁTICO: MATERIAL DIDACTICO GUIA PRACTICA PARA EL DCENTE

Estadística y Probabilidad Octavo y Noveno 2 Horas Aleatorio Sabelotodo Estadístico

PRESENTACIÓN Sabelotodo estadístico busca que los estudiantes se integren dentro de una actividad grupal y logren retroalimentar, probabilidad.

confrontar y debatir sus conocimientos de estadística y

Retroalimentar conceptos de estadística y OBJETIVO GENERAL:

probabilidad

con

el

uso

del

material

didáctico sabelotodo estadístico.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Fortalecer los conceptos de probabilidad a partir de la realización del juego sabelotodo estadístico.

Fortalecer

los

conceptos

en

estadística

descriptiva a partir de la práctica del juego sabelotodo estadístico.

CONTENIDOS:

Probabilidad.

Estadística descriptiva.

FASE INTERPRETATIVA

A continuación se presentarán los conceptos involucrados con el material didáctico sabelotodo estadístico, información de (LEVINE,M 2014), desde luego se recomienda al profesor en el caso de que desee ahondar en los temas aquí presentes, buscar otras fuentes, esto es porque es una teoría muy amplia para desarrollarse en este contexto.

Estadística descriptiva descripción y análisis de conjuntos de datos o población. Inferencia estadística, la cual hace posible la estimación de una característica de una población, o la toma de una decisión con respecto a una población, con base únicamente en resultados muéstrales. Variable Una característica de un objeto o individuo. Datos El conjunto de valores Individuales asociados con una variable (pág. 6 estadística para administración). Las variables categóricas (también llamadas variables cualitativas) tienen valores que solo pueden colocarse en categorías, como sí y no. Variables

numéricas

(también llamadas variables cuantitativas) tienen valores que

representan cantidades. Las variables numéricas, a la vez, se clasifican como discretas o continuas. Las variables discretas tienen valores numéricos que surgen de un proceso de conteo. Variables continuas producen respuestas numéricas que surgen de un proceso de medición. Una población consta de todos los objetos o Individuos sobre los que se desea obtener

conclusiones. Una muestra es una parte de una población, seleccionada para su análisis. Un parámetro es una medida que describe una característica de una población. Un estadístico es una medida que describe una característica de una muestra. Media es una medida de tendencia central determinada por el cociente entre la suma total de los datos y el número de datos. Es también conocida como promedio. La mediana es el valor Intermedio en un conjunto de datos ordenado de menor a mayor. La mitad de los valores son menores o Iguales que la mediana, y la mitad de los valores son mayores o iguales que esta. La mediana no se ve afectada por valores extremos, por lo que resulta útil cuando exista este tipo de valores. Moda La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. 1) a. para datos no agrupados: ̅

∑

∑

Frecuencia absoluta acumulada

indica el número de datos de la muestra menores o

iguales al límite real superior del intervalo . ∑ Frecuencia absoluta acumulada

indica la porción de datos de la muestra menores o

iguales al límite real superior del intervalo .

∑

La probabilidad es el valor numérico que representa la oportunidad o posibilidad de que ocurra un evento en particular. La probabilidad Involucrada es una proporción o fracción cuyo valor oscila entre 0 y 1. Un evento que no tiene posibilidades de ocurrir (el evento imposible) tiene una probabilidad de 0. Un evento que seguramente ocurrirá un «todo» tiene una probabilidad de 1.

Probabilidad

La probabilidad

es un valor que se calcula sobre la ocurrencia de un evento. La

probabilidad es una medida que se obtiene al comparar el número de elementos del evento con el número de elementos del espacio muestral. Dado un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un evento A, cuya notación es P(A) se calcula como:

La probabilidad de que el evento vacío o imposible ocurra es 0 y la probabilidad de que el evento seguro ocurra es 1. La probabilidad de ocurrencia de un evento se puede considerar como una medida de incertidumbre. A mayor probabilidad de ocurrencia se tiene mayor confianza en el posible resultado. Probabilidad de ocurrencia Evento Cada resultado pasible de una variable se denomina evento.

Espacio muestral El conjunto de todos los eventos pasibles se conoce como espacio muestral. La proporción frecuencia relativa en cada grupo es igual al número de datas en cada clase dividido entre el número total de datos. El porcentaje en cada grupo es su proporción multiplicada por 100%. Cálculo de la proporción o frecuencia relativa La proporción, o frecuencia relativa, es el número de datos en cada clase dividido entre el número total de datos. Distribución acumulada es una forma de presentar Información acerca del porcentaje de los datos que son menores que una cantidad específica. Regla de conteo 1 SI

cualquiera

de

k

eventos

diferentes

mutuamente excluyentes y colectivamente

exhaustivos puede ocurrir en cada uno de n ensayos. Regla de conteo 2 La segunda regla de conteo es una versión más general de la primera y permite que el número de eventos posibles difieran de un ensayo a otro. Regla de conteo 3 La tercera regla de conteo permite calcular el número de maneras en que se puede ordenar un conjunto de elementos. Regla de conteo 4 En muchos casos necesitamos conocer el número de maneras en que un subconjunto de un grupo completo de elementos se puede acomodar en orden cada arreglo posible. Regla de conteo 5 ( combinaciones)

El número de maneras de seleccionar x objetos a partir de n objetos, sin Importar el orden.

FASE ARGUMENTATIVA

Una vez definido en la fase interpretativa los conceptos relacionados al material didáctico se procede al desarrollo de los siguientes ejemplos: Ejemplos de variables categóricas son: "¿Tiene certificados de inversión actualmente?" (Sí o no) y el nivel del riesgo de un certificado de inversión (por debajo del promedio, promedio o por arriba del promedio).

Número de canales de televisión por cable al que se suscribió" es un ejemplo de una variable numérica discreta, ya que la respuesta es uno de un número finito de enteros. Las personas se pueden suscribir a cero, uno, dos o más canales. Otra variable numérica discreta es "el número de artículos comprados*, porque se cuenta el número de productos adquiridos.

El tiempo que una persona espera para ser atendida por un cajero de un banco es un ejemplo de una variable numérica continua, ya que la respuesta asume cualquier valor dentro de un continuo o un Intervalo, dependiendo de la precisión del Instrumento de medición. Por ejemplo, su Tiempo de espera podría ser de 1 minuto, 1.1 minutos, 1.11 minutos o 1.113 minutos, dependiendo de la precisión del aparato utilizado. (En teoría, dos valores continuos nunca son Idénticos. Sin embargo, como ningún aparato de medición es perfectamente preciso, quizás ocurran valores continuos idénticos para dos o más objetos o individuos). Variables Cualitativas Ejemplo:

Estado civil : soltero casado viudo separado Variables Cuantitativas Discretas Ejemplos : 1) Número de asignaturas inscritas en el primer semestre. 2) Número de integrantes del grupo familiar. 3) Número de salas de clases del IPVG. Espacio muestral cualquier subconjunto de una población es evento o suceso. Ejemplo: A = {obtener un número impar al lanzar un dado } A ={1,2,3} Espacio muestral Ejemplo: a)lanzamiento de un dado. Ʊ={1,2,3,4,5,6} Moda Ejemplo: Datos=2,4,5,6,7,7,8,7,3 moda=7 Ejemplo: Se lanzan cuatro monedas al aire y se anotan los resultados obtenidos.

a. Hallar la probabilidad de que dos monedas caigan en cara:

Primero, se encuentra el espacio muestral del experimento:

S = { cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, cssc, sscc, sccs, cscs, scsc, csss, scss, sscs, sssc, ssss}

Si el evento A consiste en que dos de las monedas caigan en cara, entonces sus elementos son:

A = {ccss, cssc, sscc, sccs, cscs, scsc}

Luego, la probabilidad de que dos muestras caigan en cara es

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: SABELOTODO ESTADISTICA

Materiales 1. Dado. 2. Pimpones de color azul, amarillo y verde (uno de cada uno). 3. Fichas de preguntas de color azul, amarillo y verde. 4. Bolsa negra.

.

Como Jugar Se deben elegir 3 equipos de acuerdo el número de estudiantes del curso, el docente será el moderador. Cada equipo debe elegir un capitán, quien será el encargado de transmitir las respuestas y sacar la balota de la bolsa. El capitán del equipo saca una balota en nuestro caso pimpones de la bolsa negra, de acuerdo con el color toma la tarjeta que se encuentra en la parte de arriba y lee la pregunta a los integrantes de su equipo y después le da la respuesta al moderador que decide la validez o invalidez de la respuesta y aplica la regla apropiada.

FASE PROPOSITIVA: Reglas del Juego 1. Se deben hacer 3 montones de las tarjetas.

2. Para iniciar el juego el capitán de cada equipo tira el dado para elegir el orden de salida en el juego.

3. Las preguntas contestadas correctamente dan puntaje de acuerdo al color: azul (5) puntos, amarillo (8) puntos y azules (10) puntos.

4. Las preguntas no contestadas o contestadas incorrectamente quitan puntaje de acuerdo con el color: azul (-2) puntos, amarillo (-5) puntos y azul (-7) puntos.

5. El capitán será el encargado de sacar la balota de la bolsa y de transmitir la respuesta al moderador.

6. Cada equipo tendrá un máximo de un minuto para debatir la respuesta.

7. Las tarjetas usadas serán puestas en la parte de abajo del montón.

8. Ningún equipo tendrá un saldo negativo de puntos.

NOTA: El docente debe tener un completo manejo de los temas de estadística y probabilidad. EJEMPLO

Imagen1: Ejemplo del uso del Sabelotodo Estadístico

EVALUACIÓN

El material sabelotodo estadístico, es un material que se plantea alrededor de la temática de evaluar y retroalimentar en grupo los conocimientos en estadística y probabilidad,

es

necesario

entonces

que

exista

un

control actitudinal y

procedimental de los estudiantes a la hora de desarrollar la actividad propuesta con el material. Finalmente es necesario que se realice una evaluación a la actividad,

centrándose en la efectividad y alcances que se lograron con el uso del sabelotodo estadístico como una autoevaluación del compromiso que se tuvo para el desarrollo del mismo.

BIBLIOGRAFÍA CASTAÑO Oscar, BERNAL Julián. diseño de actividades didácticas para el desarrollo de Pensamiento aleatorio en estudiantes de educación básica y media. Tesis (licenciado en Matemáticas). Pereira, Colombia. Universidad Tecnológica de Pereira. 2013. P. 122-128.

LEVINE. David M.; KREUBIEL, Timothy, C y BERENSON, Mark L. Estadística para administración. México, Pearson educación. 2014. P:624

Rubiano, Salazar (2010). HIPERTEXTO Santillana 7. Bogotá, Colombia. Editorial Santillana S.A. (pp 242, 243, 248)

Guía de Aprendizaje Para el Fortalecimiento del Pensamiento Lógico Matemático para el docente.

TEMA: GRADO: DURACIÓN: PENSAMIENTO MATEMÁTICO: MATERIAL DIDACTICO GUIA PRACTICA PARA EL DOCENTE

Estadística y Probabilidad Sexto y Séptimo 2 horas Aleatorio Travesía al Rio

PRESENTACIÓN Travesia al rio es un material entretenido en el cual es posible hacer un análisis probabilístico, a partir de un experimento aleatorio con una temática interactiva llevando al estudiante de un estado de gran lanzador de dados a un matemático analista de probabilidades.

Predecir fenómenos aleatorios en cualquier OBJETIVO GENERAL: contexto, a partir del uso del material didáctico Travesía al rio.

Inferir conclusiones acerca de fenómenos aleatorios relacionados a la probabilidad de suceso.

Comparar fenómenos aleatorios, OBJETIVOS ESPECIFICOS:

sacando

conclusiones de sus resultados y de las variables incluidas en cada uno de ellos.

Entender

el

partiendo

concepto del

caso

lanzamientos de dado.

Probabilidad. CONTENIDOS:

Espacio muestral. Experimento aleatorio.

de

probabilidad,

particular

de

FASE INTERPRETATIVA

Las definiciones matemáticas fueron tomadas del libro Hipertexto 7 de los autores Salazar y Rubiano de la editorial SANTILLANA S.A.

PROBABILIDAD

Para definir probabilidad es necesario recurrir a tres definiciones previas: experimento aleatorio, espacio muestral y eventos.

Un experimento aleatorio es aquel en el cual se conoce el procedimiento que se va a seguir y los posibles resultados, pero no se puede presidir con certeza cuál de esos resultados será el final antes de realizar el experimento.

Por ejemplo, si dos selecciones de futbol juegan la final de la copa mundial, se tienen tres posibles resultados al finalizar el tiempo reglamentario: que gane un equipo, que gane el equipo contrario o que queden empatados. El resultado final se tendrá solo una vez finalice el partido.

El espacio muestral es el conjunto, S, de todos los posibles resultados en que se puede terminar el experimento aleatorio.

En relación con la cantidad de elementos del espacio muestral, los experimentos aleatorios pueden variar así: 

Si el espacio muestral es el conjunto vacío, entonces, es imposible que ocurra el experimento aleatorio.



Si el espacio muestral es un conjunto unitario es seguro que ocurra el experimento aleatorio.

El espacio muestral debe ser construido de tal forma que indique claramente todas las posibilidades de ocurrencia de un experimento aleatorio.

En todos los experimentos aleatorios existe una población y una muestra. La población está conformada por todos los elementos con los cuales se puede conformar un posible resultado del espacio muestral. La muestra corresponde al número de elementos necesarios para formar un evento del espacio muestral. Ejemplos: Determinar, en cada caso, si la situación corresponde o no corresponde a un experimento aleatorio. Luego, encontrar el espacio muestral.

a. Un niño tiene cuatro fichas, cada una con un número: 1, 2, 3 y 4. Se le pide que conforme un número de dos cifras con estas fichas.

Ya que se sabe que el número debe tener dos cifras pero existen cuatro disponibles, la situación corresponde a un experimento aleatorio. El espacio muestral es: S = {12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43} b. El colegio “Enrique Pozzo” desea enviar a dos de sus estudiantes al Foro de Juventudes de las Naciones Unidas. A la convocatoria se presentan Hugo, Pablo y Luis. Se trata de un experimento aleatorio ya que se conocen los tres candidatos y se pueden conformar todas las posibles parejas, pero no se tiene la certeza de quienes serán

elegidos.

La población está conformada por tres candidatos. La muestra corresponde a los dos cupos que hay disponibles.

El espacio muestral correspondiente es:

S = {Hugo-Pablo, Hugo-Luis, Pablo-Luis}

Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Un evento está formado por uno o más elementos del espacio muestral.

Los eventos se representan con las primeras

letras mayúsculas del alfabeto y pueden

expresarse como conjunto o mediante un enunciado verbal.

Por ejemplo, una persona desea comprar tres teléfonos celulares y el vendedor le ofrece dos tipos de aparatos: genéricos y de marca. La población corresponde a los dos tipos de aparatos celulares disponibles: Genérico (G) o de Marca (M). La muestra estará formada por tres aparatos que compra la persona.

El espacio muestral correspondiente será:

S = {GGG, GGM, GMG, MGG, GMM, MGM, MMG, MMM}

El evento A consiste en que la menos dos de los tres celulares que la persona compra sean de marca. Entonces el evento será:

A = {GMM, MGM, MMG, MMM}

El evento muestral está formado con los elementos del espacio muestral.

Si el evento B es B = {GGG, MMM}, entonces, B consiste en que los tres celulares sean del mismo tipo.

FASE ARGUMENTATIVA

Probabilidad

La probabilidad

es un valor que se calcula sobre la ocurrencia de un evento. La

probabilidad es una medida que se obtiene al comparar el número de elementos del evento con el número de elementos del espacio muestral.

Dado un experimento aleatorio, la probabilidad de que ocurra un evento A, cuya notación es P(A) se calcula como:

( )

( ) ( )

La probabilidad de que el evento vacío o imposible ocurra es 0 y la probabilidad de que el evento seguro ocurra es 1.

La probabilidad de ocurrencia de un evento se puede considerar como una medida de incertidumbre. A mayor probabilidad de ocurrencia se tiene mayor confianza en el posible resultado. Ejemplos:

Se lanzan cuatro monedas al aire y se anotan los resultados obtenidos.

a. Hallar la probabilidad de que dos monedas caigan en cara,

Primero, se encuentra el espacio muestral del experimento:

S = { cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, cssc, sscc, sccs, cscs, scsc, csss, scss, sscs, sssc, ssss}

Si el evento A consiste en que dos de las monedas caigan en cara, entonces sus elementos

son: A = {ccss, cssc, sscc, sccs, cscs, scsc}

( )

( ) ( )

Luego, la probabilidad de que dos muestras caigan en cara es

.

b. Hallar la probabilidad de que al menos dos monedas caigan en cara.

Sea B el evento que consiste en que la menos dos de las monedas caigan en cara. B = { cccc, cccs, ccsc, cscc, sccc, ccss, sccs, cscs, scsc, sscc, cssc}

( )

( ) ( )

Luego, la probabilidad de que al menos dos monedas caigan en cara es 68.75%.

EXPLICACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO: TRAVESIA AL RIO.

Es un juego para dos jugadores cada jugador ubica sus fichas en cualquiera de las casillas, de tal manera que al lanzar los dados a la vez y sumar los resultados pueda pasar sus fichas al otro lado si esta suma coincide con el valor de la casilla en la cual tiene ubicada una de sus fichas. Material: 

12 fichas de dos colores diferentes. Seis para cada jugador.



Dos dados cúbicos.



Tablero de juego. FASE PROPOSITIVA:

Reglas del Juego. Cada jugador tiene 6 fichas que sitúa en su lado del río. En cada casilla, puede poner solo una ficha. 1. Los jugadores van lanzando los dos dados por turno. Si la suma de los números obtenidos coincide con el número de una casilla en la que tiene colocada una de sus fichas, puede pasarla una al otro lado del río. Gana el primer jugador que pasa al otro lado todas sus fichas. 2. Realizar el juego solo con un dado, lo que indica que las fichas se pueden solo ubicar desde el numero 1 hasta el 6, luego de esto jugar de tal manera que cada jugador lanze 99 veces el dado,se entiende que se debe jugar una partida un numero indeterminado de

veces. en cada uno de estos lanzamientos se debe anotar el numero de veces que sale un numero y en una tabla de frecuencia (número de veces que Salio el numero) escribir sus resultados. a.

Deducir la probabilidad de sacar 5, analizando los resultados de la frecuencia.

b. ¿Se diferencia del hecho de que sea otro número? c. Haciendo un analisis cual es la probabilidad exacta, justifique su respuesta.

3. Realizar lo mismo del ejercicio anterior pero con dos dados.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 1 logre pasar su ficha en la posición 8 al otro lado del rio?

Imagen1: Ejemplo de uso de la Travesía al Rio. Solución: La probabilidad de un evento particular, como que caiga una combinación que sume 8, es la suma de posibilidades de las sumas que produce 8, por ejemplo la de la imagen anterior 6 y 2. En un lanzamiento de 2 dados existen 6 x 6 posibles salidas, solo basta contar las salidas que produce nuestro evento y dividirla por estas 36 posibilidades.

2 y 6, 6 y 2, 3 y 5 ,5 y 3, 4,4 ahora bien, son 5 posibles sumas luego:

( )

EJERCICIOS

1. Al lanzar 1000 veces un dado se obtienen los resultados de la tabla:

Cuadro 1: Frecuencia relativas (F´prima, 2014)P 411.

a. ¿Cuál es la frecuencia absoluta del 4? b. Calcula las frecuencias relativas de cada suceso. c.

Estima la probabilidad de obtener un 4 con ese dado.

2. Lanzamos dos dados y sumamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a.

Sumen 6.

b.

La suma sea un número impar.

3. Lanzamos dos dados y anotamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a. Salga un número igual y par en cada dado. b. Salgan números menores que 5 en cada dado.

4. Lanzamos dos dados y anotamos sus puntuaciones. Calcula la probabilidad de que: a. Sumen 7. b. Sumen 12.

5. Tiramos dos dados sobre la mesa.calcula la probabilidad de: a. Obtener uno en ambos. b. No obtener ningun seis. c. Obtener algún seis.

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados la diferencia de sus puntuaciones sea 2?

7. Se lanzan cuatro dados de manera sucesiva. Calcúlese: a. Probabilidad de obtener 4 cincos. b. Probabilidad de no sacar 4 cincos.

EVALUACIÓN Unos de los resultados propuestos en el material travesía al rio es el de inducir el concepto de probabilidad, es por esto que la heteroevaluación debe ser planeada pidiendo el entendimiento de la probabilidad en otros fenómenos aleatorio y no solo particularizar la probabilidad en el

fenómeno de los lanzamientos de los dados, luego de esto es

indispensable hacer una evaluación en la cual se involucre los aspectos a mejorar en la actividad y que tanto aporto este material al entendimiento de los estudiantes, para poder así dar importancia a esta metodología y abrir espacios donde se puedan realizar este tipo de juegos.

BIBLIOGRAFIA Rubiano, Salazar (2010). HIPERTEXTO Santillana 7. Bogotá, Colombia. Editorial Santillana S.A. (pp 242, 243, 248)

CASTAÑO Oscar, BERNAL Julián. diseño de actividades didácticas para el desarrollo de Pensamiento aleatorio en estudiantes de educación básica y media. Tesis (licenciado en matemáticas). Pereira, Colombia. Universidad Tecnológica de Pereira. 2013. P. 34-35-36.

F´prima. (2014). MATEMÁTICA 9:Hacia la resolucion de problemas Reforma Matemática Costa Rica. Alajuela: F´prima .

Javier Martin, J. M. (1998). Poblemas de Probabilidad . Madrid: Paraninfo.