Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

GUÍA DE ESTUDIO: MATEMÁTICAS POLINOMIOS Esta guía de estudio está diseñada con ejercicios resueltos paso a paso con el fin de mostrar los procedimientos detallados para abordar cada uno de ellos. Las estrategias de solución que se muestran NO son únicas, y algunos de los pasos mostrados en cada uno de los procedimientos se pueden obviar dependiendo del nivel de manejo algorítmico de cada estudiante. Objetivo  

Mostrar la forma en que se realizan las operaciones entre polinomios. Mostrar cómo puede ser aplicada la Regla de Ruffini.

Contenidos 1. Suma, resta y multiplicación de polinomios. 2. Regla de Ruffini. Debo saber Antes de empezar a realizar estos ejercicios es importante que recuerdes: Operaciones básicas con números reales. En las Operaciones con paréntesis se debe comenzar a solucionar aquellos que se encuentran más en el interior de la operación, y avanzar hasta los que son más exteriores. Reducir términos semejantes significa que se deben sumar o restar aquellos términos que tienen el mismo valor literal y el mismo exponente. La regla de Ruffini dice que si un polinomio tiene por factor (𝑥 − 𝛼 ) si al reemplazar el valor 𝑥 por 𝛼 en el polinomio, el resultado es cero, entonces 𝑃(𝛼 ) = 0.

1 Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

Ejemplo 1: Evaluar valores en un polinomio Dado el polinomio 𝑃(𝑥 ) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3, evaluarlo en 𝑥 = −2. Solución: Evaluar un polinomio en un valor determinado significa que se debe reemplazar el valor dado en todos los lugares en donde se encuentra la variable, en este caso, 𝑥. Finalmente se presenta el resultado. Entonces:

𝑃(𝑥 ) = 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3

Polinomio inicial.

𝑃(−2) = 3(−2)3 − 2(−2)2 + 3

Reemplazar el valor dado en todos los lugares en donde aparece la variable, en este caso, 𝑥.

𝑃(−2) = 3(−2)(−2)(−2) − 2(−2)(−2) + 3 Solucionar exponentes. 𝑃(−2) = 3(−8) − 2(4) + 3

Realizar operaciones de los paréntesis. Atención: debe tener en cuenta el signo del número que se está multiplicando.

𝑃(−2) = −24 − 8 + 3

Realizar operaciones.

𝑃(−2) = −29

Encontrar el resultado.

El valor que toma 𝑃(𝑥 ) cuando 𝑥 = −2 es −29, es decir, 𝑃(−2) = −29.

Ejemplo 2: Suma y resta de polinomios Dados los polinomios 𝑃(𝑥 ) = 5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 4 y 𝑄 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 1, obtener: a) 𝑃(𝑥 ) + 𝑄(𝑥 ). b) 𝑃(𝑥 ) − 𝑄(𝑥 ). c) 𝑄(𝑥 ) − 𝑃 (𝑥 ). Solución: a) 𝑃(𝑥 ) + 𝑄(𝑥 ). (5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 4) + (𝑥 2 + 4𝑥 + 1)

Se escriben los polinomios identificados cada uno en un paréntesis. 2

Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 4 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 1

Se destruyen los paréntesis obteniendo así un solo polinomio. Atención: es importante que tenga en cuenta el signo que está adelante del paréntesis al momento de destruirlos.

5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑥 + 4 + 1

Se ordena el nuevo polinomio.

5𝑥 3 + 4𝑥 2 + 5𝑥 + 5

Se reducen términos semejantes.

Entonces, 𝑃 (𝑥 ) + 𝑄(𝑥 ) = 5𝑥 3 + 4𝑥 2 + 5𝑥 + 5.

b) 𝑃(𝑥 ) − 𝑄(𝑥 ). (5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 4) − (𝑥 2 + 4𝑥 + 1)

Se escriben los polinomios identificados cada uno en un paréntesis.

5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 4 − 𝑥 2 − 4𝑥 − 1

Se destruyen los paréntesis obteniendo así un solo polinomio. Atención: es importante que tenga en cuenta el signo que está adelante del paréntesis al momento de destruirlos, en este caso, el signo menos (−) hace que los signos de los términos de 𝑄(𝑥) cambien.

5𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 − 4𝑥 + 4 − 1

Se ordena el nuevo polinomio.

5𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 3

Se reducen términos semejantes.

Entonces, 𝑃 (𝑥 ) − 𝑄(𝑥 ) = 5𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥 + 3.

c) 𝑄(𝑥 ) − 𝑃 (𝑥 ). (𝑥 2 + 4𝑥 + 1) − (5𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 + 4)

Se escriben los polinomios identificados cada uno en un paréntesis.

𝑥 2 + 4𝑥 + 1 − 5𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 − 4

Se destruyen los paréntesis obteniendo así un solo polinomio. Atención: es importante que tenga en cuenta el signo que está adelante del 3

Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

paréntesis al momento de destruirlos, en este caso, el signo menos (−) hace que los signos de los términos de 𝑃(𝑥) cambien. −5𝑥 3 + 𝑥 2 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 𝑥 + 1 − 4

Se ordena el nuevo polinomio.

−5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 3

Se reducen términos semejantes. Observe que la resta de polinomios no es conmutativa.

Entonces, 𝑄(𝑥 ) − 𝑃 (𝑥 ) = −5𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 3.

Ejemplo 3: Producto de polinomios Dados los polinomios 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 2 − 1 y 𝑄(𝑥 ) = 𝑥 3 + 5𝑥 + 7, calcular 𝑃(𝑥) ∙ 𝑄(𝑥 ). Solución: Para realizar la multiplicación entre polinomios, se debe aplicar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. (𝑥 2 − 1) ∙ (𝑥 3 + 5𝑥 + 7)

Se escriben los polinomios identificados cada uno en un paréntesis.

(𝑥 2 ∙ 𝑥 3 + 𝑥 2 ∙ 5𝑥 + 𝑥 2 ∙ 7) − (1 ∙ 𝑥 3 + 1 ∙ 5𝑥 + 1 ∙ 7)

Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto a la suma comenzando con el término 𝑥 2 de 𝑃(𝑥) , este resultado se escribe entre paréntesis. Luego se aplica la misma propiedad con el 1 de 𝑃(𝑥 ) y se escribe en el segundo paréntesis. Los dos paréntesis se separan por el signo menos (−) de 𝑃(𝑥 ).

(𝑥 2+3 + 5𝑥 2+1 + 7𝑥 2 ) − (𝑥 3 + 5𝑥 + 7)

Se realizan las operaciones dentro de cada uno de los paréntesis. Atención: Se debe tener en cuenta la propiedad de los exponentes para la multiplicación de términos con igual valor litera.

(𝑥 5 + 5𝑥 3 + 7𝑥 2 ) − (𝑥 3 + 5𝑥 + 7)

Se solucionan exponentes.

las

operaciones

en

los

4 Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

𝑥 5 + 5𝑥 3 + 7𝑥 2 − 𝑥 3 − 5𝑥 − 7

Se destruyen los paréntesis. Atención: Observe que el signo menos (−) que está entre los paréntesis cambia los signos de cada uno de los términos del segundo paréntesis.

𝑥 5 + 5𝑥 3 − 𝑥 3 + 7𝑥 2 − 5𝑥 − 7

Se ordena el polinomio.

𝑥 5 − 4𝑥 3 + 7𝑥 2 − 5𝑥 − 7

Se reducen términos semejantes.

Entonces, 𝑃 (𝑥 ) ∙ 𝑄(𝑥 ) = 𝑥 5 − 4𝑥 3 + 7𝑥 2 − 5𝑥 − 7.

Ejemplo 4: Regla de Ruffini Divida el polinomio 𝑃(𝑥 ) = −5𝑥 + 𝑥 3 − 6 + 2𝑥 2 entre 𝑄(𝑥 ) = 𝑥 + 1 y escriba y exprese 𝑃(𝑥 ) como producto de tres factores lineales. Solución: (−5𝑥 + 𝑥 3 − 6 + 2𝑥 2 ) ∶ (𝑥 + 1) 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 − 6 𝑎3 = 1

𝑎2 = 2

Se ordena descendentemente 𝑃(𝑥). 𝑎1 = −5

𝑎0 = −6

el polinomio

Se identifican los coeficientes de 𝑃(𝑥 ).

𝑥 + 1 = 𝑥 − (−1)

Para aplicar la regla de Ruffini, el polinomio divisor debe ser de la forma (𝑥 − 𝛼 ), de manera que se debe reescribir 𝑄(𝑥).

𝛼 = −1

Se obtiene el valor de 𝛼.

5 Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

Se debe construir una tabla en donde los coeficientes de 𝑃(𝑥) se ubican en la primera fila, a partir de la segunda columna, y 𝛼 se ubica en la segunda fila, primera columna. En las filas 2 y 3, a partir de la segunda columna, se escribirán los resultados de las operaciones que describen a continuación.

𝑎3 se mantiene en la tercera fila, segunda columna.

Se multiplica 𝛼 por el último valor escrito y se escribe en la segunda fila, tercera columna.

6 Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

Se realiza la operación correspondiente a los números de la tercera columna y se escribe el resultado. A continuación se repiten los dos últimos pasos.

Se multiplica 𝛼 por el último valor escrito y se escribe en la segunda fila, cuarta columna.

Se realiza la operación correspondiente a los números de la cuarta columna y se escribe el resultado.

7 Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

Se multiplica 𝛼 por el último valor escrito y se escribe en la segunda fila, quinta columna.

Se realiza la operación correspondiente a los números de la quinta columna y se escribe el resultado.

Como el resultado de la última casilla es 0, significa que −1 es una raíz de 𝑃(𝑥), es decir, 𝑃 (−1) = 0. 𝑃(𝑥 ) = (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 − 6)

Se escribe 𝑃(𝑥 ) como producto de dos polinomios: 𝑄(𝑥) y el formado por los términos de la última fila de la tabla con UN grado menor a 𝑃(𝑥).

𝑥 2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

Como el problema solicita expresar 𝑃(𝑥) como producto de tres factores lineales, se debe factorizar el polinomio 𝑥 2 + 𝑥 − 6. Para esto, se deben buscar dos números que multiplicados den como resultado −6, y sumados den como resultado 1 . Otra forma de encontrar estos valores podría ser aplicar la ecuación cuadrática −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎

, con 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 y 𝑐 = −6.

8 Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]

Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile

𝑃(𝑥 ) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

Finalmente se escribe 𝑃(𝑥 ) como producto de tres factores lineales.

Entonces 𝑃 (𝑥 ) = −5𝑥 + 𝑥 3 − 6 + 2𝑥 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 + 3).

9 Material elaborado por el Comité Editorial PAIEP – Área Matemáticas Primera Edición - 2016 En caso de encontrar algún error, contáctate con PAIEP-USACH al correo: [email protected]