I Unidad Vectores

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Contenido

3 1

Vectores como desplazamiento

2

Operaciones con vectores

3

Componentes de un vector

4 5

Producto escalar y vectorial de dos vectores Ejemplo de otras cantidades y vectoriales

Conceptos Mecánica. Es una rama de la física. Su objetivo es describir (con la cinemática) y explicar (con la dinámica) el movimiento de los cuerpos. Cinemática. Describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen. Dinámica. Describe el movimiento de los cuerpos considerando las causas que lo producen, y las causas del movimiento son las fuerzas

Conceptos SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. magnitudes físicas fundamentales.

Sistema Internacional (SI)

Conceptos

Vectores Así como la derivada no existe en la naturaleza, y siendo, paradójicamente, su función esencial de explicar gran parte de la naturaleza, tenemos que los vectores tampoco existen en la naturaleza ... Y su función esencial es explicar parte del mundo físico

Conceptos

Vectores Rigurosamente hablando, el vector, los vectores o los espacios vectoriales son modelos matemáticos sobre los cuales podemos tomar decisiones que, hasta el momento, explican de buena manera la naturaleza newtoniana

Conceptos

Vectores Nos referimos a los vectores como una magnitud física representada con una línea con una saeta que parecen flechas. La punta del vector (de la flecha) nos da una buena idea del sentido donde lanzamos o aplicamos este vector

Conceptos Magnitudes Físicas

Magnitud Vectorial Son entidades matemáticas que cuentan con: • Módulo • Dirección • Sentido

Magnitud Escalar Son magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida tales como: • Masa • Presion • Volumen • Temperatura

Magnitudes físicas Escalares Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad

Vectoriales Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido

Escalares Masa, densidad, temperatura, energía, trabajo, etc

Magnitudes físicas Vectoriales Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.

Bases para el estudio del movimiento mecánico SR

: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.

Se le asocia

y

• Observador • Sistema de Coordenadas

y(t)

x(t) x z(t) z

• Reloj

Movimiento plano Coordenadas Cartesianas

ordenada

y (m) (x,y) P (8,3)

Q (-2,2) O

origen

x (m)

abcisa

Movimiento plano Coordenadas Polares

(r,θ)

θ O

origen

Relacion entre (x,y) y (r,θ)

ordenada

y (m) (x,y)

r

θ O

origen

x = r cos θ y = rsen θ

x (m)

abcisa

r= x +y 2

2

y = tan θ x

z

Vectores θ

A y y

ϕ

Ap ϕ

x

x

Notación

A

Módulo

A

Dirección θ, ϕ >0

Propiedades de Vectores

 A

 B  C

• Dados A y B, si A = B entonces

A = B

• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo

   A=B=C

Suma de Vectores

A

C

B

C

A

B R

Ley del polígono

El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo

Entonces si se tiene los siguientes vectores

 A

 D

 B

 C

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

 A

 B

 C

 R

     R = A+ B +C + D

 D

Propiedades de Vectores

  A = A µˆ

A

µ

Opuesto Nulo Vector unitario

-A

0 A + ( -A )  = A μ=  A

Ley Conmutativa

Propiedades de la suma de Vectores Diferencia    R = A-B    R = A + (-B)

R = A+B =B+A Ley  Asociativa    

  R = A + (B + C) = ( A + B) + C

A

R

B

-B A

Ley conmutativa (Método paralelogramo)

A

B

B

Los vectores A y B pueden ser desplazados

paralelamente

para encontrar el vector suma

¿Como se explica esta regla?

B

Multiplicación de un vector por un escalar Dado dos vectores

  AyB

  Se dicen que son paralelos si A = αB

  si α > 0 A ↑↑ B   si α < 0 A ↑↓ B   si α = 1 A = B

 A

 1  B= A 2

 B  A  B

 1  B=− A 4

Ejemplo 8: Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores A

B C

A

B R=2C

Vectores unitarios en el plano y

ˆj ˆi ˆj

ˆi

x

Vector unitario en la dirección del eje x+ Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio z

ˆk ˆi x

ˆj

y

z

Representaci ón de un vector

Az

θ

A Ay

Ax

y

ϕ

x

Ax = A cos ϕ sen θ Ay = Asenϕ sen θ Az = A cos θ

    A = Ax i + Ay j + Az k  A = A = Ax2 + Ay2 + Az2

Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado

Determínese la resultante de los siguientes vectores

 A

4u

+

 B    R = A+ B 7u

3u

 A 8u

 B +

4u

=

   R = A+ B

4u

Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud ¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?

 A

 B

   R = A+ B La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla

 A

3u

 Ax

  Ay

By

 B

4u

 Bx 6u

3u 4u

 Ax

 Ay

   A = Ax + Ay

 By  Bx 6u 

  B = Bx + B y

10u

  Ax + Bx 5u

  Ay + B y

     R = Ax + Bx + Ay + B y

R = 10 + 5 = 5 5u 2

2

Por Pitágoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante

 Ay 

 Cy

By

 Ax

 Bx

 Dy

 Cx

 Dx

 Rx 15 u 5u

   R = Rx + Ry R = 5 10

 Ry

     Rx = Ax + Bx + Cx + Dx      Ry = Ay + By + C y + Dy

(x2,y2,z2)

 A z

x

(x1,y1,z1)

y

Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por

(x2,y2,z2)

 A z

x

(x1,y1,z1)

y

 A = (x 2 − x1 )ˆi + (y 2 − y1 )ˆj + (z2 − z1 )kˆ

Producto escalar de dos vectores

  A ⋅ B = AB cos θ

Proyección de A sobre B

A B = A cosθ Proyección de B sobre A

B A = B cosθ

iˆ ⋅iˆ = 1 ˆj ⋅ ˆj = 1

iˆ ⋅ ˆj = 0 iˆ ⋅ kˆ = 0

kˆ ⋅ kˆ = 1

ˆj ⋅ kˆ = 0

 A ⋅ iˆ = Ax  A ⋅ ˆj = Ay  A ⋅ kˆ = Az

  A ⋅ B = A XB X + A YB Y + A ZB Z

Producto vectorial de dos vectores

   C = A×B C = AB senθ   ˆj × ˆj = 0 ˆi × ˆi = 0  kˆ × kˆ = 0

iˆ × ˆj = kˆ

ˆj × kˆ = iˆ

kˆ × iˆ = ˆj

Demostrar:    C = A × B = (A x ˆi + A y ˆj + A z kˆ) × (Bx ˆi + B y ˆj + Bz kˆ)

C X = AY BZ − AZ BY

C y = Az Bx − Ax Bz C z = Ax B y − Ay Bx

Ejemplo 1: Determinese la suma de los siguientes vectores:

 A = 3 ˆi + 8ˆj + 5kˆ  B = -5 ˆi + 2ˆj − 3kˆ  C = 4 ˆi − 7ˆj − 2kˆ

Ejemplo 2:

Determine la suma de los vectores indicados z

5m

 B 8m x

 C

10m y

 A

Ejemplo 9 Dados los vectores:

 A = 3ˆi + 3ˆj − 5kˆ  B = 4ˆi + 5ˆj − 3kˆ Determine : a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambos e) el ángulo que forman entre sí. Tarea 9c, 9d y 10