INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 2 10 27 DE MARZO DE 2012 INDICADOR DE DESEMPEÑO Interpreta y soluciona diferentes problemas de física, empleando conceptos de cinemática y operaciones entre vectores.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Magnitud escalar: son magnitudes que quedan totalmente definidas mediante un valor numérico y su correspondiente unidad. Ejemplo: longitud, masa, tiempo, densidad, área, volumen, temperatura y energía, trabajo, entre otras. Magnitudes vectoriales: son magnitudes donde tenemos que especificar además de un valor numérico y su correspondiente unidad, la dirección y el sentido. Ejemplos: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, torque, etc. Las magnitudes vectoriales se representan por un segmento de recta (vector), indicándose las características de dicho vector así magnitud, dirección y sentido. Magnitud o modulo

o

: esta dado por un valor numérico que de acuerdo con una escala elegida

representa la longitud del vector, es decir la distancia desde el punto inicial hasta el punto final. Dirección  : esta dada por el ángulo  que forma el segmento de recta respecto al eje horizontal. Sentido  : esta dado por la orientación del vector e indicado por la flecha colocada en uno de sus extremos. Notación Representamos los vectores con una letra minúscula o con una letra mayúscula con una flecha encima o mediante una de dichas letras en negrilla.

 a

,

a , A ,

 A

Vectores libres Dado que en todo vector su origen puede hacerse coincidir con el origen del plano cartesiano (o del espacio) mediante una traslación en la cual se conservan intactas sus características; tenemos tres formas para representarlos: Notación Hamiltoniana o par ordenado, Notación rectangular y Notación polar o trigonométrica.

1

Notación Hamiltoniana o par ordenado: a cada vector se le asigna un punto ( x, y ) del plano o ( x, y, z ) del espacio. Ejemplos: 1. Dados los siguientes puntos (vectores), ubicarlos en el plano cartesiano o del espacio, según sea el caso y trazar el segmento correspondiente.  a. a = (2, - 3)

Nota: téngase en cuenta que para hallar la magnitud de un vector en esta notación, emplearemos el teorema de Pitágoras y para hallar la dirección utilizaremos las razones trigonométricas.

 a  (2) 2  (3) 2

 a  49

 a  13 u

( la u de unidades, que corresponden a cualquier escala de medida según la magnitud vectorial)

Y la dirección podemos hallarla a partir de, 3 , luego   tan 1   3  tan   2  2 

  56,3º

También es posible dar dicha dirección mediante otras formas equivalentes   416,3º   303,7º   56,3º al Sureste   663,7º

b.

 d = (-4, 4)

 a 

(4) 2  (4) 2

 a  16  16  a  32 u  a  4 2 u ( simplificando)

Y la dirección podemos hallarla a partir de, 4 , luego  4  tan     tan 1   4  4

  45º

Tomados en sentido horario respecto al semieje negativo de las “x” , por estar dicho vector en el cuadrante II

2

Recordar “Coordenadas geográficas” 1. Si representamos el vector unidad con una longitud de un cm, dibujar los siguientes vectores: a)

 a  4u

  b) b  5u en la dirección 45º al noreste, o simplemente 45º; c) c  6u

60º al Suroeste; la dirección -75º respecto al semieje negativo de las Y

en

Aquí nos piden ubicar los vectores correspondientes teniendo en cuenta los puntos cardinales que están definidos por la posición que ocupa el Sol respecto a la Tierra. El este (East)(E) , también llamado oriente y levante, es el lugar por el que sale el Sol y está en sentido opuesto al oeste. El oeste (west ) (W) también llamado occidente y poniente, es el lugar por el que se oculta el astro y está en sentido opuesto al este. El norte (North)(N), o septentrión, es el lugar del horizonte situado frente a nosotros cuando tenemos el este a nuestra derecha, y se localiza en sentido opuesto al sur. El sur (South)(S), o mediodía, es el lugar del horizonte situado a nuestra espalda, si tenemos el este a nuestra derecha, situado en sentido opuesto al norte.

a)

 a  4u en la dirección 60º al sur del oeste; (suroeste).



b)

c) c  6u en la dirección -75º respecto al semieje negativo de las Y.

 b  5u en la dirección 45º al Noreste

 d. d = (5, 4, - 6)

Es de notar que en el ultimo vector, la magnitud podemos hallarla a partir del teorema de Pitágoras generalizado a las tres dimensiones, así,  a  x2  y2  z2  a  (5) 2  (4) 2  (6) 2

3

 a  25  16  36  a  77 u

Y la dirección que esta dada ahora por tres ángulos,

1 ,  2 ,  3 ,

que podemos hallarla a partir de, los

cosenos directores,

x cos 1   , de donde a y cos  2   , de donde a

z cos  3   , de donde a

Y en nuestro caso en particular, tenemos  5 , 1  55,26º  1  cos 1   77 

 x 1  cos 1    a   y  2  cos 1    a   z   3  cos 1    a 

 4 ,   77 

 2  62,88º

 2  cos 1 

 6 ,   77 

 2  cos 1 

 3  133,13º

Notación rectangular: según sus componentes rectangulares, empleando los vectores Ejemplos:





a. 3 i + 4 j



  2 j



  i, j

o

   i , j, k



c. -3 i +2 j -5 k



b. - 7 i + 4 j

d.

Es de notar que si se desea hallar la magnitud del vector y su dirección, podemos escribir el vector dado, como par ordenado y proceder igualmente que como en la notación Hamiltoniana. Así,

 a





= 3 i + 4 j , este vector es equivalente al Que tiene magnitud,  a  (3) 2  (4) 2  a  25 u

 a

= (3, 4)

 a  5u Y la dirección podemos hallarla a partir de, tan  

  53,13º

4 , luego 3

4 3

  tan 1  

4

 



Nota: se utilizan las notaciones i , j , k para denotar los vectores unitarios localizados en el espacio (o en el plano) de coordenadas XYZ o XY. “

  i corresponde a la coordenada en X, j a la coordenada en Y

y

 k

a la coordenada en Z”

Notación polar o trigonométrica: se expresa el vector dando su magnitud y dirección, así:  a ( r,  ) Ejemplos:

 b ( 5,  / 3 ) b. d (6, 223º )  c. c ( 3,  / 2 ) a.

En esta notación solo basta con ubicar el segmento en la dirección establecida por el ángulo y con la longitud correspondiente, indicada por “ r”. Es de notar que cuando nos dan la magnitud y dirección del vector, y necesitamos hallar el valor de las componentes rectangulares o coordenadas, aplicamos las definiciones de las razones o funciones trigonométricas seno y coseno. b.

 b ( 5,  / 3 )

Así, Para hallar

 bx , aplicamos la razón trigonométrica coseno, pues por definición dicha

función relaciona en el triangulo rectángulo para el ángulo dado, el “cateto que me piden con el lado que me dan “hipotenusa”

 bx Luego de cos      b bx  b . cos  , y reemplazando los datos,  bx  5. cos 60º

 bx  2,5

Y la medida de esta componente esta dada por

 bx  2,5 u

Ahora para la componente vertical o así

 by

aplicamos de forma análoga, la función seno,

 by Luego de sen   b

  b y  b .sen , y reemplazando los datos,

5

 b y  5.sen60º

 bx  4,33

Y la medida de esta componente esta dada por

 b y  4,33 u

c.

 d (6, 223º )

Así,  Para hallar d x ,

  d x  d . cos  , y reemplazando los datos,

 d x  6. cos 223º  d x  4,39 Y la medida de esta componente esta dada por

 d x  4,39 u

Ahora para la componente vertical o así Luego de

 dy

aplicamos de forma análoga, la función seno,

  d y  d .sen , y reemplazando los datos,  d y  6.sen223º

 d x  4,09

Y la medida de esta componente esta dada por

 d y  4,09 u

ACTIVIDAD (Notación de vectores) 1. Hallar o calcular la magnitud (módulo) y dirección de  los siguientes vectores: (graficar)  a. a (3,5) f. f (4,5,6)  g. g (3,5,9) b. bˆ (7,4)



c. c ( 2 ,3) d.

 d ( 32 ,5)

h. i.

   h  2i  3 j   iˆ   7i  4 j

e. eˆ (6,6)

6

2. Hallar las componentes rectangulares de los siguientes vectores: (dar dichos vectores en notación Hamiltoniana o par ordenado)  a. a  5u en la dirección 138º  b. b  11u en la dirección 2 rad 15

c. c = 7u en la dirección 75º hacia el sureste



d. un vector unitario d en la dirección Noroeste  e. e  10u hacia el Oeste f. fˆ (6,40º )  g. g (5,28º ) h. i. j.

 h (9, 9 ) GRAFICAR  i  3u en la dirección 15º respecto al semieje negativo de la x j  5u en la dirección 485º

3. CONSULTAR Si existe un conjunto de escalares y de vectores, ¿Qué propiedades u operaciones satisface cada uno por separado y cuales se dan de parte de un conjunto sobre el otro?. Sea breve ACTIVIDAD (operaciones con vectores) 1. Calcular la magnitud y dirección del vector resultante de sumar los vectores indicados por el método que se pide: a) El vector unitario

 p en

la dirección 20º al Sureste ; el vector

 r  9u al suroeste. ( M. polígono)  b) x  3u formando un ángulo de 170º con el eje “+ y”

 q  4u en la dirección Sur y el vector



y u  20u formando un ángulo de 250º con el eje “+

y”.(M. paralelogramo)   c) a  8u en la dirección 30º ; b  10u formando un ángulo de 50º con el semieje negativo de las “y”. (M. polígono - M. componentes rectangulares)





d) c  10u y d  7u formando entre ellos ángulo de 65º (M. paralelogramo – rectangulares)   e) o  5u en la dirección Oeste y el vector a  8u en la misma dirección.   f) e  2u en la dirección Norte y el vector a  8u en la dirección Sur.

M. componentes



g) d  4u en la dirección 38º al Noreste y el vector nulo. h) Dos vectores de 8 unidades y 6 unidades que forman entre si un ángulo de 50º y un tercer vector de 9 unidades que forma con el primero un ángulo de 70º.(M. polígono - M. componentes rectangulares) i) Un vector de 3 unidades que forma con el eje “+ x” ángulo de 20º, un segundo vector de 4 unidades que forma ángulo de 30º con el mismo eje, y un tercer vector de 5 unidades formando ángulo de 40º con el mismo eje. (M. polígono - M. componentes rectangulares)    2. Al sumar dos vectores c  5u y a  8u se obtiene un vector b  12u , calcular el ángulo entre dichos vectores. 3. Escriba con sus propias palabras como se suman dos vectores con la misma dirección y el mismo sentido, y como se suman dos vectores con la misma dirección y distinto sentido. 4. A un golfista le toma dos golpes llevar su pelota hasta el hoyo una vez que esta en el green; si el primer golpe la desplaza 6m al este y el segundo 5,4m al sur. ¿Qué desplazamiento se habría necesitado para introducción la bola en el hoyo al primer golpe? R/: 8,07m al sur del este

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5. Un hombre perdido en un laberinto lleva acabo tres desplazamiento consecutivos de tal modo que al final de la caminata esta de regreso en el punto de partida; si el primer desplazamiento es de 8m hacia el oeste y el segundo de 13m hacia el norte. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del tercer desplazamiento? R/: 15,26m al sur del este 6. Un perro que busca un hueso camina 3,5 m hacia el sur, después 8,2 m con un ángulo de 30º al norte del este y finalmente 15 m al oeste. Encuentre el ector desplazamiento resultante del perro. (es decir, sus características) R/: 7,92m al norte del oeste 7. El ojo de un huracán pasa sobre la isla de la gran Bahama. El huracán se desplaza en un dirección de 60º al norte del oeste con una velocidad de 41km/h; tres horas más tarde el rumbo del huracán cambia súbitamente hacia el norte y su rapidez se reduce a 25km/h. ¿a que distancia de la gran Bahama esta el huracán 4,5h después de pasar sobre la isla? R/: 156,6km 8. Un avión sale de un aeropuerto y sigue la ruta que se muestra a continuación. El avión vuela primero a la ciudad A situada a 175km en una dirección 30º al norte del este; después, vuela 150km en la dirección 20º al oeste del norte hasta la ciudad B. por ultimo, el avión vuela 190km hacia el oeste hasta la ciudad C. encuentre la ubicación de la ciudad C respecto a la ubicación del punto de partida. R/: R = 245.4km en la dirección 21.4º al oeste del norte.

9. Un hombre que empuja un trapeador sobre un piso hace que el mismo experimente dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 150cm y forma un ángulo 120º con el eje x positivo; si el desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140cm y esta dirigido en un ángulo de 35º respecto al eje x positivo. ¿Cuál fue la magnitud del segundo desplazamiento? R/: 196cm formando un ángulo de 14,7º por debajo del eje x 10. Dos personas A, B tiran de una mula terca M, como se ve desde un helicóptero en la figura. Encuentre la fuerza individual equivalente a las dos fuerzas que se muestran; ¿Qué fuerza tendría que ejercer una tercera persona sobre la mula para que la fuerza neta sea igual a cero.

B

A

Y

F1=120N

F2=120N M

X

QUIEN QUIERE HACER ALGO ENCUENTRA UN MEDIO; QUIEN NO QUIERE HACER NADA ENCUENTRA UNA EXCUSA. PROVERBIO CHINO

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