INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO

“DISEÑO CINEMÁTICO DE LA TRANSMISIÓN EPICICLOIDAL DEL BRAZO MECÁNICO, PARA EL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN CGPI – 20050098”

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

INGENIERO MECÁNICO

PRESENTA:

MARCO ANTONIO MONDRAGÓN SAAVEDRA

MÉXICO DF, 2005

Agradezco a mis padres por la educación que me han dado y por el enorme cariño que me han brindado toda la vida. A ti mamá, por tener siempre un apoyo y alguien en quien confiar. A ti papá, por haberme enseñado a trabajar. Su hijo que los quiere mucho; los amo. Agradezco a mis hermanas: Alma, Hilda, Elsa y Carmen por el enorme apoyo que me han brindado en todos los momentos difíciles, que juntos hemos logrado superar y a todos mis sobrinos por la alegría que me han regalado. Su hermano que las quiere. Agradezco a los Boinas Verdes, por la enorme amistad y el poyo que he recibido de ustedes, en particular a los hermanos Rubén y Salvador Ángeles, por sus sabios consejos que me han servido de mucho. ¡Gracias amigos! Agradezco a la familia Reyes, en particular a mi gran amigo Fernando por su sincera amistad. Toño. Agradezco a mis dos grandes escuelas la ESIME y la Institución BV, a mis profesores y a todos aquellos que me han aportado un conocimiento para ser un mejor ser humano. Agradezco al deporte, gracias a ti he logrado rechazar los malos vicios y me he formado un carácter de disciplina. Agradezco a Dios por haberme dado la oportunidad de vivir.

Marco Antonio Mondragón Saavedra.

INDICE 1 INTRODUCCION.

i 2 TRENES DE ENGRANES.

2.1 Engranes. 2.1.1 Tipos de trenes. 2.1.2 Engranes cilíndricos. 2.1.3 Ley fundamental del engranaje. 2.1.4 Ángulo de presión y distancia entre centros. 2.1.5 Interferencia y rebaje entre dientes. 2.1.6 Estandarización de engranes rectos. 2.2 Tren de engranes ordinarios. 2.3 Tren de engranes epicicloidal. 2.3.1 Características. 2.3.2 Ventajas y usos. 2.3.3 Diseño cinemático.

1 3 7 10 17 18 23 26 31 32 33 35

3 MOVIMIENTO DEL BRAZO MECÁNICO. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Descripción del brazo mecánico del proyecto de investigación. Movimientos requeridos en el brazo. Condición cinemática de movimientos simultáneos. Opciones de solución. Solución con un tren epicicliodal.

39 44 48 51 53

4 CÁLCULO DE VELOCIDADES DE LA TRANSMISIÓN. 4.1 Descripción de la transmisión. 4.2 Determinación del valor del tren (VT). 4.3 Velocidades de entrada y salida de la transmisión.

57 62 67

5 DISEÑO CINEMÁTICO DE LA TRANSMISIÓN. 5.1 Determinación de los diámetros de paso. 5.2 Cálculo dimensional del nuevo modelo de transmisión. 5.2.1 Cálculo del número de dientes. 5.3 Comprobación del diseño cinemático de la transmisión. 5.4 Controles de la transmisión. PLANOS I Láminas correspondientes al análisis morfológico del brazo. II Láminas correspondientes al análisis cinemático del brazo. III Láminas correspondientes a los planos de los nuevos engranes. CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

72 78 78 85 88

INTRODUCCION

L

a presente tesis es el resultado de la primera etapa del desarrollo del proyecto de investigación titulado “Reingeniería de un brazo mecánico, accionado por un sólo motor”, con número de registro CGPI20050098, el cual se está desarrollando en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Profesional Azcapotzalco. Dicho proyecto consiste en rediseñar el prototipo de un brazo mecánico, que por la configuración de sus eslabones consta de 12 grados de libertad y es capaz de realizar hasta 6 movimientos al mismo tiempo. El propósito del rediseño es hacer una serie de mejoras y modificaciones al prototipo ya existente, pero conservando la esencia del diseño original, que consiste en lograr el control total de los 6 movimientos a partir únicamente de un sólo motor eléctrico y dispositivos de control mecánicos. Con la tecnología que actualmente se ha desarrollado sería relativamente fácil obtener el control de los movimientos, por medio de dispositivos de control automático, bien pudiera hacerse por medio de rutinas programadas utilizando servo motores, inversores, microcontroladores, pic’s, PLC‘s, etc., según la creatividad del diseñador de la rutina. En lo que respecta al control de posicionamiento, se puede obtener por medio de sensores, de cuyos tipos existe una gran variedad. Es decir, para un profesional de la robótica no sería nada complicado lograrlo, pero hay que tomar en cuenta un aspecto muy importante, el brazo mecánico presenta 12 grados de libertad, lo que significa que se requiere de un total de 12 motores para lograr mover todos sus eslabones. Por el número excesivo de motores que se requiere es que se conserva la idea del diseño original, de mover el brazo a partir de un sólo motor; para lograrlo se hace necesaria la utilización de dispositivos mecánicos mediante los cuales se logra obtener las 12 velocidades motoras que se requieren para el control del brazo. Con esta medida no se pretende hacer un retroceso tecnológico al utilizar dispositivos de control mecánicos, los cuales ya son poco utilizados y en ocasiones considerados obsoletos, pues han sido remplazados en su mayoría por dispositivos electrónicos, pero para la propuesta que se presenta de accionar el brazo con un sólo motor no es factible de realizar utilizando dispositivos electrónicos; en este caso la utilización de dispositivos mecánicos para el control del movimiento ofrece más beneficios que lo electrónico. En lo que respecta al control de posicionamiento del brazo, el control mecánico no presenta grandes ventajas, pues depende de la habilidad del operario para accionar las palancas de control mecánico, en este caso un control electrónico sería mejor. Aunque para fines de estudio de este proyecto no se plantea la posibilidad de utilizar dispositivos electrónicos, lo ideal sería combinar ambos métodos de control, para optimizar el funcionamiento del brazo. Entonces la posibilidad de utilizar dispositivos electrónicos queda fuera del alcance del estudio del proyecto, más no del alcance tecnológico. Debido a que la ESIME Azcapotzalco, fomenta la participación de su alumnado en la colaboración de proyectos de investigación, es que el proyecto se está desarrollando con la participación de personal docente de la Academia de Mecánica, como titulares responsables del mismo, en colaboración de alumnos que actualmente se encuentran estudiando la carrera de Ingeniería Mecánica, y del autor que presenta esta tesis con la finalidad de obtener el titulo de Ingeniero Mecánico, como egresado de la ESIME Azcapotzalco.

Para lograr el control de los movimientos por vía mecánica, el brazo cuenta con una transmisión compuesta por engranes como elementos principales. Al pertenecer el contenido informativo de esta tesis a la primer etapa del desarrollo del proyecto, únicamente se presenta el diseño cinemático de la transmisión, quedando el análisis dinámico y por resistencia de materiales, para una etapa siguiente del proyecto, así como la descripción del proceso de manufactura. Tomando en cuenta que no se tiene ninguna información documentada acerca del brazo, el capítulo 2 se dedicó a desarrollar la teoría del engranaje, para un mejor entendimiento del funcionamiento de la transmisión. En el capítulo 3 se describe al brazo como un conjunto de eslabones articulados donde, se analizan sus características cinemáticas considerándolo como un mecanismo, posteriormente se analizan cada uno de sus eslabones por separado, determinándose el total de movimientos que estos pueden desarrollar; también se calcula el número de grados de libertad del mecanismo, cuyo resultado determina el requerimiento de doce motores para el control del brazo; es en este punto donde se justifica analíticamente el porqué es necesario el diseño de una transmisión que entregue 12 velocidades de salida, alimentada con un motor a la entrada; se concluye el capítulo con la descripción del funcionamiento de la transmisión. Para el capítulo 4 se describe la transmisión original y se determinan sus características de operación y cinemáticas, como lo es el valor del tren y las velocidades de operación, cuyos valores servirán de base para el rediseño del nuevo modelo de transmisión. En el capítulo 5 se rediseña la transmisión original para obtener un nuevo; modelo, la modificación principal consiste en escalar la transmisión original a un tamaño 3 veces mayor, para lo cual es necesario conocer todas las dimensiones geométricas de los engranes. Al carecer de información de los engranes que, a través de mediciones no se puede obtener, como es el diámetro de paso y el módulo, fue necesario tomar una decisión para buscar la metodología que ayude a determinar la información necesaria para obtener los valores requeridos, pues se sabe que para dimensionar un engrane es fundamental conocer su diámetro de paso y su módulo. Es en está etapa del desarrollo del proyecto donde me encuentro con un problema de una situación 100 % real, de la cual soy responsable de desarrollar una solución en base a un razonamiento lógico y a los conocimientos de ingeniería adquiridos en la Escuela en mi etapa de estudiante y durante el desarrollo de la tesis para lograr así el mejor de los resultados y cuya decisión sea digna de un futuro Ingeniero Mecánico. Se concluye el proyecto con la elaboración del dibujo de los nuevos engranes.

“Sin riesgo no hay victoria” Boinas Verdes de Naucalpan.

Trenes de engranes 2 TRENES DE ENGRANES 2.1

Engranes.

La manera más sencilla de transmitir movimiento de rotación de un eje a otro, es mediante el uso de cilindros rodantes acoplados como se muestra en la figura 2.1. Al girar uno de ellos transmite movimiento al otro, siempre que exista la suficiente fuerza de fricción entre las superficies en contacto.

Figura 2.1. Arreglo de cilindros rodantes.

Figura 2.2. Arreglo de poleas y banda V.

Una variante del mecanismo es la utilización de bandas V, cuyo acoplamiento se muestra en la figura 2.2. En este caso los cilindros se convierten en poleas y el medio de contacto para que se genere la fuerza de fricción es la banda. Al girar una polea la fuerza de fricción generada provoca el desplazamiento de la banda; al estar ésta en contacto con la otra polea se transmite el movimiento, lográndose el giro de la segunda polea. Este mecanismo puede tener aplicaciones donde se requiera transmitir pequeñas o grandes cantidades de potencia siempre que se seleccione una polea con una sección transversal adecuada. Algunos ejemplos de aplicación del mecanismo se pueden ver en el alternador de un automóvil, ventiladores industriales, compresores, etc. Una desventaja de este mecanismo es la baja capacidad para transmitir torque; además, al estar operando el mecanismo pueden ocurrir deslizamientos entre las superficies en contacto de las poleas con la banda. Esto mismo sucede también entre los cilindros rodantes. Por lo tanto, para mecanismos donde se requiera una sincronización o enfazamiento entre los ejes de entrada y de salida, esta forma de transmisión no garantiza que se cumpla esta condición. Para evitar que se genere el deslizamiento entre cilindros rodantes es necesario proveerlos de una serie de aristas salientes las cuales engranan entre si al estar girando. A partir de esta necesidad se empieza a generar el concepto de engrane y a las aristas comúnmente se les conoce como dientes de engrane, figura 2.4 a. La humanidad ha alcanzado un desarrollo tecnológico e industrial muy grande; por ejemplo, se han diseñado desde pequeñas hasta enormes máquinas, compuestas por una diversidad de elementos mecánicos. Para que estas máquinas funcionen correctamente es 1

Trenes de engranes necesario que cumplan con los principios de la mecánica; además deben estar diseñadas de acuerdo a las condiciones de trabajo, para obtener un beneficio; es decir, deben cubrir ciertos requisitos de operación. Un requerimiento que puede presentarse en el diseño de equipos mecánicos es la necesidad de transmitir movimiento de rotación de un eje a otro, manteniendo una relación de velocidad constante para una adecuada transmisión de potencia y torque. Por ejemplo, en un automóvil el motor puede transmitir alto torque y baja velocidad a la tracción de las llantas cuando esté conectado en primera velocidad y puede transmitir bajo torque y alta velocidad cuando se conecte en cuarta velocidad. Es decir, el torque que se genera en el motor varía en proporción inversa a la velocidad de las llantas. Esto se logra gracias a un dispositivo llamado transmisión o caja de velocidades; ésta tiene como función principal aumentar la velocidad de las llantas disminuyendo el torque del motor y viceversa, figura 2.3. Es por esta razón que un automóvil puede subir más fácilmente una pendiente en primera velocidad que en cuarta. Los cambios de velocidad y torque se llevan a cabo por la acción de una serie de engranes de diferentes tamaños que actúan perfectamente sincronizados dentro de la propia caja.

Figura 2.3. Caja de cambios de un automóvil. Por lo tanto, el estudio del engrane, como un elemento mecánico, es muy importante para un buen funcionamiento de las máquinas que requieran de este elemento, para una buena transmisión de movimiento y torque de un eje a otro.

2

Trenes de engranes 2.1.1

Tipos de engranes.

Los engranes son elementos de máquinas que sirven para transmitir movimiento giratorio de un eje a otro, mediante la acción de dientes que embonan de manera sucesiva durante el movimiento entre dos ejes que giran, o de un eje que gira y una cremallera que realiza un movimiento rectilíneo. Engranes cilíndricos. Debido a la gran variedad de diseños y tipos de engranes que existen, los ejes pueden ser paralelos, perpendiculares o cruzarse entre sí; es decir, se pueden adaptar a las necesidades cinemáticas del diseño que se requiera. En particular los engranes cilíndricos basan su funcionamiento en el principio de los cilindros rodantes, figura 2.4a. - Engranes cilíndricos de diente recto. Es la forma más simple y sencilla de una rueda dentada; el perfil de sus dientes es paralelo al eje de rotación y por lo tanto sólo son usados para transmitir movimiento entre flechas paralelas. Estos engranes son económicos y fáciles de diseñar, tienen una alta eficiencia al funcionar, pero generan ruido al estar operando, debido a que el contacto inicial entre dientes sucede cuando la cara del engrane motriz toca la cara del engrane conducido, generándose un impacto cada vez que entra un par de dientes al engranado. El contacto inicial entre caras sucede sobre una línea recta longitudinal a las caras de los dientes. Cuando los dientes son conformados en la superficie exterior del cilindro son llamados engranes externos, si los dientes están conformados en la parte interna de un cilindro se denominan engranes internos, figura 2.4b. El acoplamiento de engranes externos se utiliza cuando los ejes deben girar en sentidos opuestos, contrario al acoplamiento interno que son utilizados cuando los ejes deben girar en el mismo sentido.

Figura 2.4. (a) Principio de funcionamiento de los engranes cilíndricos, (b) engranes cilíndricos de diente recto. 3

Trenes de engranes - Engranes cilíndricos de diente helicoidal. En este tipo de engranes los dientes ya no son paralelos al eje, están orientados con cierta inclinación respecto al eje; el perfil de sus dientes sigue una curvatura cuya geometría corresponde a una helicoidal. Según la inclinación del ángulo, pueden transmitir movimiento entre ejes paralelos y entre ejes que se cruzan. Su operación es silenciosa, pero su costo de fabricación es alto. Debido a la orientación del diente, durante la transmisión de potencia se genera una componente de fuerza paralela al eje, por lo tanto es necesario que este tipo de engranes se monten sobre cojinetes de empuje axial. Engranes cilíndricos de diente helicoidal y ejes paralelos. Este tipo de engranes se utilizan para operar con cargas pesadas y altas velocidades, deben ser de mano opuesta, lo cual significa que los dientes del engrane motriz deben estar inclinados de lado opuesto a los dientes del engrane conducido. El contacto inicial entre dientes de este tipo de engranes es puntual, pero se convierte en lineal a medida que avanza el engranado, el cual termina describiendo una trayectoria diagonal a lo largo de la cara del diente, ocasionando una operación silenciosa. También existen para acoplamiento externo e interno. Figura 2.5a. Engranes cilíndricos de diente helicoidal y ejes que se cruzan. Se utilizan cuando los ejes no son paralelos ni se intersecan. En este tipo de engranes el contacto entre dientes siempre es puntual, lo que los limita a operar con cargas ligeras. Estos engranes deben ser de la misma mano, lo cual significa que los dientes del engrane motriz deben tener la misma inclinación que los dientes del engrane conducido, figura 2.5b.

Figura 2.5. Engranes cilíndricos de diente helicoidal: (a) de ejes paralelos, (b) de ejes que se cruzan, (c) doble helicoidal. Engrane doble helicoidal. También llamados espina de pescado, están formados por dos hélices dispuestas simétricamente una a la derecha y otra a la izquierda como se observa en la figura 2.5c. La ventaja principal de estos engranes es que eliminan el empuje axial que se presenta en los engranes de una hélice, ya que la componente axial de la fuerza generada 4

Trenes de engranes en la hélice derecha se equilibra con la componente axial de la fuerza generada en la hélice izquierda. Su costo de fabricación es mayor que un helicoidal de una hélice; se utiliza para mover grandes cargas y transmitir grandes potencias. Debido a la configuración de las hélices sólo pueden actuar entre ejes paralelos. Engranes cónicos e hipoidales. Los engranes cónicos basan su principio de funcionamiento idealizándolos como conos rodantes, tal como se muestra en la figura 2.6a. Tienen aplicaciones para engranes acoplados a ejes que se intersecan con un determinado ángulo entre ejes, siendo lo más común que se fabriquen para ejes que se intersecan a 90°. - Engranes cónicos de diente recto. Son la forma más sencilla de los engranes cónicos, sus dientes son radiales dirigidos hacia el centro del eje de rotación. Al igual que los cilíndricos de diente recto generan ruido durante su operación, figura 2.6b.

Figura 2.6. (a) Arreglo de conos rodantes. Engranes cónicos: (b) de diente recto, (c) de diente espiral. (d) Engrane hipoidal. 5

Trenes de engranes - Engranes cónicos espirales. Sus dientes son oblicuos y curvos con respecto al eje de rotación, son de operación silenciosa, se utilizan para mover cargas pesadas a grandes velocidades, este engrane es un equivalente al cilíndrico helicoidal en versión cónica, figura 2.6c. - Engranes hipoidales. Estos engranes tienen dientes oblicuos y curvos con respecto al eje de rotación, similar al cónico espiral, pero a diferencia de los cónicos se utilizan para transmitir movimiento entre ejes que no se intersecan, figura 2.6d. Engranes de tornillo sinfín. Cuando en un engrane helicoidal se aumenta el ángulo de hélice a tal grado que el diente comienza a enrollarse en el cilindro logrando dar más de una revolución, entonces se obtiene una forma similar a un tornillo, cuyo hilo es el diente enrollado. En realidad se obtiene un dentado correspondiente a un engrane llamado tornillo sinfín, el cual para su funcionamiento es acoplado a un engrane de forma cilíndrica llamado corona sinfín. Una particularidad de este tipo de engranaje es que, por su diseño, funciona como un mecanismo irreversible, siendo el tornillo el engrane motriz y la corona el conducido. Se usan para conectar flechas que se cruzan a 90° y en aplicaciones donde la relación de velocidad sea alta, figura 2.7a.

Figura 2.7. (a) Acoplamiento de tornillo – corona sinfín, (b) acoplamiento de piñón – cremallera. 6

Trenes de engranes Engrane tipo cremallera. Si se diseña un engrane con un diámetro de paso infinito, el engrane resultaría con un número infinito de dientes, dispuestos sobre un círculo de paso que se convierte en una línea recta infinita, que se llama cremallera. La cremallera para su funcionamiento se acopla a un engrane cilíndrico llamado piñón. Tiene aplicaciones en mecanismos donde se requiera convertir el movimiento de rotación en movimiento rectilíneo, figura 2.7b. 2.1.2

Engranes cilíndricos.

En muchos procesos se requiere de una relación de velocidad constante en la transmisión del movimiento. Esto se puede lograr con la utilización de engranes. Para que esta condición se cumpla, los dientes del engrane deben tener un diseño especial debido a la acción directa en la transmisión del movimiento, por lo que se debe poner especial cuidado en el diseño del perfil; de esto depende lograr mantener una relación de velocidad constante. Cuando se logra diseñar un perfil de diente que cumpla con esta condición se dice que los engranes tienen perfiles conjugados o simplemente que son engranes conjugados. En la figura 2.8 se muestra un acoplamiento de engranes conjugados.

Figura 2.8. Engranaje conjugado. En la práctica se acostumbra llamar al engrane mayor, rueda y al engrane menor piñón, al acoplamiento de ambos engranes se le conoce comúnmente con el nombre de engranaje. Normalmente el piñón es el engrane motriz y la rueda el engrane conducido. 7

Trenes de engranes A continuación se describen las partes que componen un engrane cilíndrico, utilizando la nomenclatura correspondiente para su descripción: 1- El círculo de adendo o círculo exterior se dibuja con centro en el centro del engrane y marca el limite exterior de los dientes. Ver figura 2.9. 2- El círculo de dedendo o círculo de raíz se dibuja con centro en el centro del engrane y marca el límite en el fondo de los dientes. 3- El círculo de paso es la referencia para hacer los cálculos cinemáticos y geométricos de un engrane, ya que realiza un movimiento equivalente al de un cilindro rodante sustituido por la rueda dentada. Así, los círculos de paso de dos engranes acoplados son tangentes entre sí. 4- El círculo base, es el círculo a partir del cual se genera la involuta que da forma al perfil del diente. 5- El diámetro de paso es el diámetro del círculo de paso. 6- El adendo es la distancia radial entre el círculo de paso y el extremo exterior del diente. 7- El dedendo es la distancia radial del círculo de paso al fondo del diente. 8- La holgura es la diferencia entre el dedendo de un diente y el adendo del diente con el que embona. 9- La cara de un diente es la porción de la superficie de éste que se encuentra hacia a fuera del círculo de paso. 10- El flanco de un diente es la porción de la superficie del diente que se encuentra hacia adentro del círculo de paso. 11- El espesor de un diente es la longitud de un arco, medido sobre el círculo de paso, que va de una cara a la otra, en el mismo diente. 12- El ancho del diente es el espacio entre dientes medido sobre el círculo de paso. 13- El juego es la diferencia entre el espesor del diente de un engrane y el espacio del diente del engrane con el que embona, medido sobre los círculos de paso. 14- La cara de un engrane es el ancho de su rueda, medido paralelo al eje. No debe confundirse con la cara de un diente, por que las dos son diferentes por completo. 15- El punto de paso está sobre la línea que une los centros de dos engranes, donde los círculos de paso se tocan. 8

Trenes de engranes 16- La altura total es la suma del adendo y el dedendo. 17- La altura de trabajo es la diferencia de la altura total menos la holgura. 18- El paso circular de un engrane es la distancia entre un punto de un diente y el punto correspondiente del diente adyacente, medido sobre el arco del círculo de paso.

Pc =

πD N

(2.1)

19- El paso diametral es la relación del número de dientes entre el diámetro de paso expresado en pulgadas.

Pd =

N D

(2.2)

20- El módulo es la relación del diámetro de paso expresado en milímetros entre el número de dientes.

m=

D N

(2.3)

21- El paso base es la distancia entre un punto de un diente y el punto correspondiente del diente adyacente, medido sobre el arco del círculo base.

Pb =

πDb N

(2.4)

donde: Pc = paso circular. Pd = paso diametral. m = módulo. Pb = paso base. N = número de dientes. D = diámetro de paso. Db = diámetro base.

9

Trenes de engranes

Figura 2.9. Nomenclatura de engranes rectos. 2.1.3

Ley fundamental del engranaje.

Para que se pueda lograr una conjugación de los dientes del engrane se debe cumplir con la ley fundamental del engranaje, que dice: “La normal común a los perfiles de los dientes en el punto de contacto debe cortar siempre a la línea de centros en un mismo punto para cualquier posición de contacto de los dientes”. Se han estudiado diversas formas que puede adoptar el perfil del diente que cumplan con la ley fundamental del engranaje, pero únicamente se han adoptado dos por ser las que mayores ventajas ofrecen: el perfil cicloidal y el perfil de involuta o envolvente. Aunque los engranes cicloidales ya son obsoletos, actualmente sólo se fabrican para mantenimiento de maquinaria que fue diseñada bajo este sistema y para piezas de relojería. Actualmente los engranes para maquinaria emplean el perfil de involuta, por ser el que mayores ventajas ofrece. La involuta una curva que se desarrolla al desenrollar un cordel tirante desde un cilindro de enrollado, como se muestra en la figura 2.10. El cilindro a partir del cual se desenrolla el cordel se llama círculo base o primitivo. A medida que se desenrolla, el cordel hace la función de radio de curvatura instantáneo de la involuta, permaneciendo tangente al círculo base para cada posición instantánea. La forma de involuta se ha adoptado actualmente para construir el perfil de dientes de engrane, debido a las mayores ventajas que se obtienen de una curva involuta sobre una cicloidal, por tal motivo es que suelen llamarse engranes de involuta.

10

Trenes de engranes

Figura 2.10. Desarrollo de la curva de involuta. En la figura 2.11a, se observan dos cilindros unidos tangencialmente por un cordel que a la vez que se desenrolla en uno se enrolla en otro. Se marca un punto P, llamado punto de paso, en la intersección del cordel con la línea de centros de los cilindros. Ahora se fija el cilindro 1 (C1) y se hace rotar el cilindro 2 (C2) alrededor del 1 en sentido antihorario, enrollando el cordel, se dibuja la trayectoria descrita por el punto P a medida que se enrolla, al regresar el cilindro 2 a su posición original la trayectoria del punto P sigue siendo la misma, la cual pertenece a una involuta generada tomando como círculo base al cilindro 1, figura 2.11b. Posteriormente se fija al cilindro 2 y se rota al 1 en sentido horario enrollando el cordel, se traza la trayectoria descrita por el punto P, generando una involuta tomando como círculo base al cilindro 2, figura 2.11c. En ambos casos se ha trazado el perfil de una curva de involuta perteneciente cada una a su respectivo cilindro, los cuales sirven respectivamente como círculos base. Se procede a intersecar ambas curvas, en estas condiciones se puede ver la acción de una involuta sobre la otra en el punto P, figura 2.11d. Ahora se trazan círculos con centros en los centros de los círculos base y que pasen por el punto P, de esta manera se obtienen los denominados círculos de paso, los cuales desarrollan una rotación pura sin patinamiento al girar el engranaje, por lo que se pueden considerar como dos cilindros rodantes sustituidos por el engrane dentado. Si se dibuja el otro lado del perfil se obtiene la forma del diente del engrane.

11

Trenes de engranes

Figura 2.11. Construcción del perfil de involuta. También se observa que existe una normal común a los perfiles en el punto de contacto P, esta normal es así mismo el cordel que genera las involutas, siempre corta a la línea de centros en el punto P, y tangente a los círculos base. La transmisión de potencia y torque se lleva acabo a lo largo de la normal común por lo que realiza la función de eje de transmisión o línea de acción, figura 2.12.

12

Trenes de engranes

Figura 2.12. Acción de dos dientes de involuta. Hasta ahora se ha analizado la acción de las involutas cuando actúan en el punto de paso P, pero, ¿qué sucede cuando las involutas actúan fuera del punto de paso? En la figura 2.13 se muestra un engranaje donde se observan dos pares de dientes donde uno inicia el contacto y otro finaliza, de tal manera que el contacto entre dientes sucede fuera del punto de paso. La normal común a los perfiles de los dientes en los puntos de contacto sigue cortando a la línea de centros en el punto de paso P. Este comportamiento sucede para cualquier posición de contacto dentro del engranado de los dientes en la que actúen las involutas. Esta propiedad del perfil del diente es la que ayuda a mantener una relación de velocidad constante entre ejes y por lo tanto cumple satisfactoriamente con la ley fundamental del engranaje.

Figura 2.13. Acción de las involutas fuera del punto de paso.

13

Trenes de engranes En un engrane de involuta la fuerza que produce el torque se transmite a lo largo de la línea de acción, y sucede durante el contacto entre dientes. El inicio del contacto sucede en el punto donde la línea de acción interseca al círculo de adendo del engrane conducido, el final del contacto ocurre en el punto donde la línea de acción interseca al círculo de adendo del engrane motriz. En la figura 2.14, se ilustran los puntos de inicio y final del contacto para generar el movimiento, el punto A representa el inicio y B el final, de tal forma que la trayectoria se describe a lo largo de la línea APB llamada longitud de acción Z.

Figura 2.14. Inicio y fin del contacto. La figura 2.15, muestra la geometría necesaria para poder determinar la magnitud de la longitud de acción, observándose la siguiente relación geométrica: Z = APB = (E1 B − E1 P ) + (E 2 A − E 2 P ) Z = APB = E1 B + E 2 A − E1 E 2

(2.5a) 14

Trenes de engranes

Figura 2.15. por trigonometría se determinan las longitudes: E1 B =

(RO1 )2 − (Rb1 )2

(2.5b)

E2 A =

(RO 2 )2 − (Rb 2 )2

(2.5c)

E1 P = O1 P(senφ )

(2.5d)

E2 P = (C − O1 P )(senφ )

(2.5e)

ordenando términos: Z=

(RO1 )2 − (Rb1 )2 + (RO 2 )2 − (Rb 2 )2 − [O1P(senφ ) − (C − O1P )(senφ )] Z=

(RO1 )2 − (Rb1 )2 + (RO 2 )2 − (Rb 2 )2 − Csenφ

(2.6) 15

Trenes de engranes donde: Z = longitud de acción. Ro = radio de adendo o exterior. Rb = radio base. C = distancia entre centros.

φ = ángulo de presión. Los subíndices 1 y 2 hacen referencia a los engranes motriz y conducido respectivamente. La distancia O1 P es igual al radio del círculo de paso del engrane motriz R1 . Por lo que se tiene la siguiente relación: (2.7) Rb1 = R1 cos φ

en general para cualquier engrane se tiene: Rb = R cos φ

(2.7a)

al multiplicar por 2 ambos miembros, queda la función expresada en función de diámetros: Db = D cos φ al multiplicar ambos miembros por

π N

(2.7b)

, queda expresada la ecuación en función del paso

base y paso circular:

πDb N

=

πD N

cos φ

Pb = Pc cos φ

m (2.8)

Al inicio del contacto, el perfil del engrane motriz corta su círculo de paso en el punto C, y al final del contacto en el punto C’; los puntos D y D’ son los equivalentes para el engrane conducido. Los arcos CC’ y DD’ se denominan arcos de acción, los cuales son iguales en magnitud y, al igual que el paso circular, se miden a lo largo del círculo de paso, de tal forma que para que exista un movimiento continuo del engranaje, el paso circular debe ser menor o igual a los arcos de acción. Esto significa que antes de salir un par de dientes del contacto otro par de dientes debe empezarlo para lograr mantener continuo el

16

Trenes de engranes movimiento. De lo contrario, cada vez que un par de dientes finalice el contacto, pasará un intervalo de tiempo para que otro par de dientes lo inicie, manifestándose un movimiento intermitente. La relación de contacto es la relación entre los arcos de acción y el paso circular. Físicamente se interpreta como el número promedio de dientes que están en contacto. Entonces, para que pueda existir un movimiento continuo la relación de contacto debe ser como mínimo teórico 1; la relación de contacto mínima aceptable para casos extremos de funcionamiento es 1.2, aunque se recomienda un valor mínimo de 1.4. La relación de contacto mp, también es igual a la relación entre la longitud de acción y el paso base, siendo más práctico calcularla como sigue:

mp =

Z Pb

entonces, mP =

2.1.4

Z Pc cos φ

(2.9)

Ángulo de presión y distancia entre centros.

Se define al ángulo de presión como al ángulo que se genera entre la línea de acción o normal común y la dirección de la velocidad tangencial en el punto de paso. Los ángulos de presión más comúnmente utilizados en la manufactura de engranes son: 14.5˚, 20˚, 25˚, cuyos valores están estandarizados y normalizados, siendo más comúnmente utilizado el de 20˚. El ángulo de 14.5˚ se considera obsoleto. Cuando se genera una involuta a partir de un círculo base, aún no se tiene un círculo de paso definido, este se define sólo cuando actúan dos involutas dentro del engranado y puede tomar diferentes valores, dependiendo de la distancia entre centros de los engranes; esto significa que existe un intervalo de distancias entre centros de engrane que permite la acción de las involutas. Una vez que se define la distancia entre centros, se pueden diseñar y manufacturar los engranes. Por limitaciones en los procesos de manufactura y de instalación no siempre se logra una distancia entre centros exacta, presentándose pequeños errores. Si el perfil del diente no es de involuta, una variación en la distancia entre centros ocasiona impulsos y cambios de velocidad no deseados; sin embargo, con el perfil de involuta esto no sucede y no se viola la ley fundamental del engranaje. Cuando se presenta un cambio en la distancia entre centros, la relación de velocidad permanece constante, sólo se presenta un cambio en el ángulo de presión. La figura 2.16a muestra un engranaje con un ángulo de presión de 20˚. Si la distancia entre centros es aumentada, se genera un cambio en el ángulo, presentando un aumento como se muestra en la figura 2.16b; por lo contrario, si la distancia entre centros es disminuida, también disminuye el ángulo.

17

Trenes de engranes

Figura 2.16. El cambio en la distancia entre centros de dos engranes de involuta sólo afecta al ángulo de presión. A manera de conclusión se enuncian las siguientes características principales del perfil de involuta: 1- Cumple satisfactoriamente con la ley fundamental del engranaje. 2- Es de fácil construcción. 3- La distancia entre centros puede variarse logrando mantener una relación de velocidad constante. 2.1.5

Interferencia y rebaje entre dientes.

La línea de acción entre dientes es tangente a los círculos base, y a partir de los puntos de tangencia E1 y E2, y hacia afuera del círculo base, se genera la involuta. Si el inicio de contacto entre dientes sucede antes del punto de tangencia E1, como se muestra en la figura 2.17, entonces el diente del engrane motriz transmite su movimiento al engrane 18

Trenes de engranes conducido en una porción de perfil que no es de involuta, ya que actúa por debajo del círculo base, donde no existe involuta. Cuando sucede esto, se dice que existe interferencia entre dientes, lo cual trae como consecuencia que se rebaje parte del perfil del diente motriz para que pueda existir transmisión de movimiento. La interferencia entre dientes ocasiona una reducción del espesor en la zona del rebaje, ocasionando una disminución en la capacidad del diente para transmitir potencia y soportar carga, como lo indicaría un análisis por resistencia de materiales.

Figura 2.17. Interferencia entre dientes de involuta. Los puntos de tangencia limitan la acción de las involutas para que no exista interferencia, por lo que también reciben el nombre de puntos de interferencia. Entonces, para que no exista rebaje entre dientes, la longitud de la línea de acción APB debe estar comprendida dentro del segmento de recta E1E2.

19

Trenes de engranes Así, la condición de no interferencia es: E1 E 2 ≥ E 2 A

(2.10)

E 2 E 2 ≥ E1 B

(2.11)

sustituyendo las ecuaciones 2.5 a-e, se obtiene: Sí, Csenφ ≥ ( RO 2 ) 2 − ( Rb 2 ) 2 , no existe interferencia (2.12) Sí, Csenφ ≥ ( RO1 ) 2 − ( Rb1 ) 2 , no existe interferencia (2.13)

La figura 2.18, muestra con zona sombreada la interferencia y el rebaje consecuente entre dos dientes, se observa que el perfil resultante después del rebaje no es de involuta, pues actúa por debajo del círculo base.

Figura 2.18. Interferencia y rebaje entre dientes. Para evitar el rebaje entre dientes, una alternativa consiste en limitar el adendo del engrane conducido a una distancia tal que pase por el punto de interferencia E1, así el punto de inicio de contacto A comienza en el punto de interferencia E1, evitándose el rebaje. Cuando un engrane es cortado por medio de una fresadora, el contacto de la herramienta de corte con el formado del engrane es similar a la acción de un piñón acoplado a una cremallera, en este caso para evitar la interferencia, la línea de adendo de la cremallera se hace pasar por el punto de tangencia E1, como se muestra en la figura 2.19.

20

Trenes de engranes

Figura 2.19. Para evitar la interferencia en un acoplamiento piñón – cremallera. Se determina que: senφ =

PE R

(2.14a)

senφ =

a PE

(2.14b)

donde: a = adendo, de la tabla 2.5 : a=

1 (para dientes de profundidad total), Pd

sustituyendo en 2.14b: 1 P senφ = d PE

(2.14c)

al multiplicar las ecuaciones 2.14a y 2.14c, se obtiene: sen 2φ =

1 (2.14d) RPd

21

Trenes de engranes donde: Pd = paso diametral, por definición: Pd =

N , al sustituir en 2.14, se obtiene: 2R sen 2φ =

2 N

donde: N = número mínimo de dientes para evitar la interferencia: N=

2 sen 2φ

(2.15)

Sustituyendo en la ecuación 2.15 valores para los diferentes ángulos de presión estandarizados, tendremos: Para un ángulo de presión φ = 14.5°. N=

2 = 32 dientes. sen 14.5 2

Para un ángulo de presión φ = 20°. N=

2 = 18 dientes. sen 2 20

Para un ángulo de presión φ = 25°.

N=

2

sen 2 25°

= 12 dientes.

Cuando un piñón es acoplado a una cremallera y no presenta interferencia, el piñón tampoco presentará interferencia si se acopla a otro engrane de igual o mayor número de dientes. Así, si un engrane es generado con un proceso de fresado, sin generar interferencia con la herramienta de corte, tampoco la presentará al acoplarse con otro engrane. Tabla 2.1. Número mínimo de dientes para evitar el rebaje entre un acoplamiento de piñón - cremallera. Ángulo de presión 14.5˚ 20˚ 25˚

Numero mínimo para evitar el rebaje 32 18 12

Numero mínimo recomendado 20 14 10

22

Trenes de engranes 2.1.6

Estandarización de engranes rectos.

Para dimensionar y fabricar un engrane existen dos sistemas: el sistema inglés adoptado por Estados Unidos, fundamentado en las norma AGMA (American Gear Manufacturers Association) y el sistema métrico, fundamentado en las normas europeas ISO (Internacional Standard Organitation). Para el sistema inglés una característica principal para designar un engrane es el paso diametral, el cual es la relación del número de dientes del engrane con respecto al diámetro de paso y se expresa de la siguiente manera:

Pd =

N D

(2.16)

donde: N = número de dientes. D = diámetro de paso expresado en pulgadas. Pd = paso diametral. Teniendo como unidades dientes por pulgada. En la tabla 2.2 se muestran los pasos diametrales utilizados en la manufactura de engranes. Tabla 2.2. Pasos diametrales. Paso grueso Pd < 20 ½ 2.5 6 1 3 8 2 4 9 1.25 5 10

12 14 16 18

20 24 32 40

Paso fino Pd ≥ 20 48 96 64 120 72 128 80 150

180 200

Mientras que en el sistema métrico para designar un engrane se utiliza la relación del diámetro de paso con respecto al número de dientes la cual se conoce como módulo y se expresa de la siguiente manera:

m=

D N

(2.17)

donde: D = diámetro de paso expresado en milímetros. N = número de dientes. m = módulo, teniendo como unidades milímetros.

23

Trenes de engranes En la tabla 2.3 se muestran los módulos utilizados en la manufactura de engranes. Tabla 2.3. Módulos recomendados por la norma ISO 54-77. Módulos finos m ≤ 1mm

Módulos gruesos m >1mm 50

6

1

1.00

0.60

24

5

1.5

0.90

0.50

12

4

1.25

0.80

0.40

10

3

0.75

0.30

8

2.5

0.70

0.20

Por definición, el paso circular es la distancia entre un punto de un diente y el punto correspondiente al diente adyacente, medido sobre el arco del círculo de paso, se calcula como sigue:

Pc =

πD N

(2.18)

donde: Pc = paso circular. D = diámetro del círculo de paso. N = Número de dientes del engranes. El paso circular se puede expresar en función del paso diametral y del módulo de la siguiente manera:

Pc =

π Pd

Pc = πm

(2.19) (2.20)

Los pasos circulares de dos engranes acoplados deben ser iguales. Para el diseño y manufactura de un engrane no sólo es importante conocer su paso diametral o su módulo, según sea el caso, sino que también es importante dimensionar correctamente sus componentes de acuerdo al sistema en que se fabricará, pues el paso diametral y el módulo sólo son relaciones y no magnitudes que se puedan medir físicamente en el engrane. En la tabla 2.4 se muestra lo estipulado por las normas ISO para el dimensionamiento de engranes métricos rectos de involuta. 24

Trenes de engranes Tabla 2.4. Dimensiones básicas de los engranes métricos. Dimensiones

Símbolo

Expresión

Ángulo de presión

z

20º

Adendo

a

1.00 x m

Dedendo

b

1.250 x m

Altura de trabajo

hk

2.00 x m

Altura total

ht

2.250 x m

Espesor del diente

s

mπ 2

Radio de entalle de la cremallera básica

rf

0.38 m

La AGMA reconoce dos sistemas para el dimensionamiento de dientes: sistema de dientes cortos y sistema de dientes largos, o de profundidad total. En la tabla 2.5 se encuentra lo estipulado por la AGMA para el dimensionamiento de engranes rectos de profundidad total. Tabla 2.5. Sistema normalizado de AGMA para diemnsionamiento de engranes rectos de profundidad total. Dimensión

Símbolo

Paso grueso

Paso fino

(para p < 20)

(para p ≥ 20)

Angulo de presión

φ

20º

25º

20º

Adendo

a

1.000 pd

1.000 pd

1.000 pd

Dedendo

b

1.250 pd

1.250 pd

1.250 + 0.002in. pd

Altura de trabajo

hk

2.000 pd

2.000 pd

2.000 pd

Altura total

ht

2.250 pd

2.250 pd

2.200 + 0.002in. pd

Espesor del diente

t

π

π

π

2 pd

2 pd

2 pd

25

Trenes de engranes

2.2

Holgura básica

c

0.250 pd

0.250 pd

0.200 + 0.002in. pd

Holgura (dientes cepillados o pulidos)

d

0.350 pd

0.350 pd

0.350 + 0.002in. pd

Número mínimo de dientes en el piñón

Nr

18

12

18

Tren de engranes ordinarios.

Para aplicaciones de engranes en maquinaria es frecuente utilizar combinaciones de engranes de diferentes tamaños, para lograr el propósito de transmitir movimiento angular de un eje a otro, cumpliendo con ciertas especificaciones de diseño y operación en lo que se refiere a velocidad requerida entre los ejes de entrada y salida del movimiento y del sentido de rotación. Dichas combinaciones de engranes reciben el nombre de tren de engranes; cuando todos los engranes están pivotados desde un punto fijo se denomina tren de engranes ordinario, ya sea simple o compuesto. De esta manera un tren de engranes lo componen como mínimo dos engranes acoplados. Para hacer el análisis cinemático de un tren de engranes se toma como referencia el círculo de paso de cada engrane, ya que sobre este se desarrolla teóricamente la rotación pura, por lo que es una práctica común representar al engrane, para este tipo de análisis, como una circunferencia, figura 2.20. Así, dos engranes acoplados se representan con dos circunferencias tangentes en el punto de paso.

Figura. 2.20. Tren de engranes ordinario. 26

Trenes de engranes Se denomina valor del tren (VT) a la relación que hay entre la velocidad angular del engrane último o final del tren de engranes, con respecto a la velocidad angular del primer engrane o inicial. Aplicando este concepto al tren de engranes más elemental, correspondiente a dos engranes acoplados como se muestra en la figura 2.20, donde el engrane 1 es el motriz o inicial, el cual gira en sentido horario, y el engrane 2 el conducido o final, tendremos que el valor del tren está definido por:

VT = ±

ωF ωI

(2.21)

Donde: VT = Valor del tren.

ω F = Velocidad angular final del tren. ω I = Velocidad angular inicial del tren. Cuando los engranes inicial y final giran en el mismo sentido el valor del tren se considera positivo como es el caso de un engranaje interno, cuando giran en sentidos opuestos negativo como es el caso de un engranaje externo. La velocidad tangencial en el punto de paso P, también llamada velocidad de paso (Vp) es de igual magnitud tanto para el engrane motriz como para el inducido, determinándose de la siguiente manera:

Vp1 = ω I r1

(2.22a)

Vp2 = ω F r2

(2.22b)

igualando las ecuaciones 2.22a y 2.22b, se tiene:

ω I r1 = ω F r2 así,

ω F r1 = ω I r2

(2.23a)

ω F D1 = ω I D2

(2.23b)

VT = ± también,

VT = ±

Considerando que el paso circular de dos engranes acoplados es de igual magnitud, se tiene: πD1 πD2 = N1 N2 27

Trenes de engranes por lo tanto,

D1 N 2 = D2 N 1

(2.24)

igualando las ecuaciones 2.23b y 2.24, se obtiene :

VT = ±

ω F N1 = ωI N2

(2.25)

Entonces el valor del tren se puede determinar a partir de la relación de los diámetros de paso, o de la relación de los números de dientes de los engranes. Por lo general se conocen las características del movimiento del engrane motriz, determinadas a partir del motor que lo impulsa y lo que se busca son las características del movimiento del engrane conducido. Así su velocidad está determinada por el producto VT ∗ ω I , el sentido de giro se obtiene por análisis visual, determinándose que gira en sentido antihorario y especificándose en el dibujo con una punta de flecha; por lo tanto los ejes de entrada y salida giran en sentidos opuestos. Generalmente un tren de engranes es utilizado para reducir la velocidad en el eje de salida con respecto al eje de entrada, de tal manera que el valor del tren tiende a obtener valores menores a 1.

Tren de engranes ordinario tipo simple. En este tipo de tren de engranes cada eje de rotación sólo tiene un engrane, los cuales se acoplan uno en seguida del otro o en serie, como se muestra en la figura 2.21.

Figura 2.21. Tren de engranes ordinario tipo simple. Analizando parcialmente los acoplamientos de engranes 1-2 y 2-3 respectivamente y aplicando el concepto de la ecuación 2.25, se tiene:

28

Trenes de engranes

ω 2 N1 = ωI N2 ωF N2 = ω2 N3 al multiplicar las dos igualdades entre sí, se obtiene: ω2  ωI

 ω F   ω 2

  N1  =    N2

 N 2   N 3

  

ω F N1 = ω I N3 por lo tanto:

VT = ±

ω F N1 = ω I N3

(2.26)

Las ecuaciones 2.25 y 2.26, son similares entre sí, concluyéndose que el engrane 2 intermedio entre el inicial 1 y el final 3 no es determinante para el cálculo del valor del tren, sólo los engranes inicial y final son significativos. Con el acoplamiento del engrane 2, se logra invertir el sentido de giro del engrane final, logrando así que los ejes de entrada y salida giren en el mismo sentido. Así, un engrane intermedio, sin importar de que tamaño sea, sólo es significativo para invertir el sentido de giro del engrane al que le transmite movimiento y por lo tanto no altera al valor del tren, por tal motivo a este tipo de engrane, por la función que realiza, se le suele denominar engrane loco. Otra alternativa para lograr que los ejes de entrada y salida giren en el mismo sentido es la utilización de engranes internos. Por lo tanto cuando se tiene un engranaje externo y el número de engranes acoplado es par el VT será negativo y si el número de engranes acoplados es impar, el VT será positivo y viceversa para un engranaje interno. En el caso particular del tren ordinario simple la razón de velocidades con las que operan son bajas, trabajan con una razón máxima promedio de 10:1 (por diez vueltas que da el engrane motriz o inicial, el final de una), una razón de velocidades alta involucra el acoplamiento de un piñón pequeño a una rueda muy grande, ocasionando problemas de espacio e instalación, además de altos costos de fabricación.

Tren de engranes ordinario tipo compuesto. En este tipo de tren de engranes por lo menos un eje de rotación tienen dos o más engranes, por lo tanto el arreglo resulta en pares de engranes acoplados que siguen un paralelismo entre engranes que pertenecen al mismo eje, también se dice que se acoplan en paralelo, como se muestra en la figura 2.22.

29

Trenes de engranes

Figura 2.23. Tren de engranes ordinario tipo compuesto. De este modo se tienen dos pares de engranes; el 1-2 acoplado paralelamente al 3-4, donde los engranes 2 y 3 giran a la misma velocidad por pertenecer al mismo eje. Cada par de engrane tiene el comportamiento de un tren ordinario simple al analizarlos por separado. Para el tren 1-2, el engrane 1 es motriz y el 2 conducido, se tiene:

ω 2 N1 = ωI N2 Para el tren 3-4, el engrane 3 es motriz y el 4 conducido, se tiene:

ω F N3 = ω3 N4 Al multiplicar ambas expresiones entre sí, se obtiene: ω2  ωI

 ω F   ω 3

  N1  =    N2

 N 3   N 4

  

como ω 2 = ω 3 ,

ω F N1 ∗ N 3 = ωI N2 ∗ N4

(2.27)

30

Trenes de engranes El miembro izquierdo de la ecuación corresponde por definición al valor del tren, mientras que el numerador del miembro derecho implica a los números de dientes de los engranes motrices y el denominador implica los números de dientes de los engranes conducidos, pudiendo expresar la ecuación 2.27 de la siguiente forma: Producto del número de dientes de engranes motrices ωF VT = ±–––– = ±–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ωI

(2.28)

Producto del número de dientes de engranes conducidos

Contrario a lo que sucede con los trenes simples, en este caso los engranes intermedios entre el inicial y el final tienen un impacto significativo, al ser determinantes en la obtención del valor del tren. El flujo de potencia ocurre de la siguiente manera: el engrane 1 es el motriz quien transmite su movimiento al 2, así la velocidad inicial ω I se reduce a un valor final ω 2 en la flecha intermedia, donde el engrane 3 la recibe y la transmite al 4, volviendo a reducir la velocidad de un valor ω 2 a un valor ω F en la flecha de salida. Si se colocan más pares de engranes acoplados en paralelo, la velocidad seguirá reduciéndose hasta un valor mínimo permisible; es decir, la reducción de velocidad se lleva a cabo por etapas en cada par de engranes acoplados. Por está razón es que este tipo de arreglo de engranes se utiliza cuando la razón de velocidad es alta. 2.3

Tren de engranes epicicloidal.

Los trenes de engranes ordinarios, simples o compuestos, ya analizados son mecanismos de un grado de libertad, donde todos los engranes están pivotados desde tierra. La figura 2.23a representa un tren ordinario donde el eslabón llamado brazo pertenece al fijo; ahora si se quita el apoyo fijo del piñón éste comenzará a girar alrededor de la rueda, obteniéndose otra configuración o arreglo de engranes, donde uno de ellos, aparte de girar sobre su propio eje, también tiene un movimiento de translación desplazándose en orbita alrededor del otro engrane, el cual está pivotado desde un punto fijo o tierra, como se muestra en la figura 2.23b. A este arreglo de engranes se le denomina tren de engranes planetarios, por la similitud del movimiento de los engranes con el que realizan los planetas en el sistema solar; de esta manera al engrane pivotado desde tierra se denomina engrane sol y al engrane que gira en órbita a su alrededor se le llama planeta, para mantener el acoplamiento del sol y planeta se necesita otro elemento que realice la función de acoplador llamado brazo o porta planetas. A medida que el engrane planeta gira sobre la superficie exterior del sol, un punto de su superficie describe una trayectoria curvilínea cuya geometría corresponde a una epicicloide, por tal razón que también es común denominarle tren de engranes epicicloidal.

31

Trenes de engranes

Figura 2.23. a) Tren ordinario, b) Arreglo de engranes para formar un tren planetario o epicíclico. 2.3.1 Características. Por cuestiones de operación, el mecanismo requiere del control de dos velocidades de entrada sobre dos elementos impulsores, que generalmente son el engrane sol y el brazo, por ser los elementos pivotados desde tierra, los cuales pueden o no girar en el mismo sentido, para poder así obtener una velocidad predecible a la salida en el planeta convirtiendo al tren en un mecanismo de dos grados de libertad. Debido a la dificultad de hacer uso del movimiento a la salida en el planeta, se acopla un engrane de anillo pivotado desde tierra para poder así aprovechar la velocidad y torque a la salida, figura 2.24.

Figura 2.24. Adaptación de un engrane de anillo para utilizarlo como salida.

32

Trenes de engranes Z. L. Lévai, estudioso del tema, ha determinado 12 tipos básicos diferentes de arreglos planetarios, mostrados en la figura 2.25, los cuales a su vez se pueden combinar, para tener más grados de libertad.

Figura 2.25. Arreglos de trenes planetarios de Lévai. 2.3.2 Ventajas y usos. A pesar de los altos costos de fabricación y mantenimiento que requiere un tren de engranes epicicloidal, el mecanismo es de gran aplicación para el control de movimiento en maquinaria, por la versatilidad que presenta para operarlo, ya que los diversos arreglos que existen hacen posible una gran variedad de aplicaciones, de las cuales algunas de ellas no podrían llevarse a cabo con trenes ordinarios y en otras aplicaciones presentan más ventajas que un ordinario. Existen arreglos donde el mecanismo también funciona con reversión, de esta manera se puede aplicar una velocidad a la entrada para obtener dos en la salida. Al ser un mecanismo con reversibilidad es una ventaja que se ha aprovechado para aplicaciones que requieran de obtener dos velocidades de salida al aplicar una a la entrada. Por ejemplo, en un automóvil que viaja sobre una curva, las llantas externas a la curva recorren mayor distancia que las internas, en el mismo tiempo, debido a la diferencia de radios de curvatura, figura 2.26a. Esto produce una diferencia de velocidades entre las llantas, por lo cual se coloca un mecanismo, llamado diferencial, en el eje de tracción, que permite la diferencia de velocidades entre las llantas; si no se coloca el diferencial la llanta que presenta el mayor radio de curvatura deslizará sobre el pavimento cuando se viaja en una curva, ocasionando problemas de manejo. En la figura 2.26b se muestra una vista seccionada representativa de un diferencial automotriz, compuesto de engranes cónicos para los planetarios y de engranes hipoidales para el impulsor y la corona.

33

Trenes de engranes

Figura 2.26. Diferencial automotriz. Cuando el auto viaja en línea recta el engrane impulsor transmite su movimiento al engrane de anillo o corona ocasionando que los planetarios tengan sólo un movimiento de translación haciendo girar a igualdad de velocidad a los ejes de salida izquierdo y derecho; pero cuando viaja en una curva los engranes planetarios a parte de tener un movimiento de translación también comienzan a girar sobre su eje permitiendo una diferencia de velocidades entre los ejes de salida. Otra ventaja que presenta el mecanismo es la posibilidad de aplicarle una inversión cinemática, así por ejemplo en la figura 2.27a al fijar al engrane sol da como resultado un tren epicíclico de un grado de libertad, es decir sólo se necesita una velocidad a la entrada para obtener una a la salida; si se fija al brazo se obtiene un tren ordinario.

Figura 2.27. a) Inversión cinemática de un grado de libertad, b) Unidad planetaria de reducción para la hélice de un avión. 34

Trenes de engranes Una inversión de un grado de libertad se utiliza para transmitir potencia de un eje de entrada a uno de salida, logrando alcanzar valores del tren tal como si se utilizara un tren ordinario, pero ocupando menor espacio y con la posibilidad de transmitir mayor potencia. En la figura 2.27b se muestra un esquema de la unidad planetaria de reducción para la hélice de un avión. El motor mueve al engrane de anillo 3, el cual a su vez hace girar a los planetas 2 alrededor del engrane fijo 1, mientras que el bazo 4 gira más lento que el motor, transmitiendo su movimiento a la hélice. 2.3.3 Diseño cinemático. El análisis cinemático de un tren ordinario es relativamente sencillo, ya que al estar los engranes pivotados desde tierra se analizan con movimiento absoluto, así la velocidad angular final sólo es función de una relación de números de dientes. Para el caso de un tren planetario el análisis se complica debido a que el engrane planeta tiene un movimiento de rotación pivotado en un punto no fijo sobre el brazo, lo que ocasiona una velocidad relativa del planeta con respecto al brazo, pero también gira alrededor del centro del engrane sol cuyo punto es fijo, ocasionando una velocidad del planeta respecto a tierra. Para hacer un análisis cinemático de un tren epicicloidal se han desarrollado dos métodos: método de la fórmula y método tabular, descritos a continuación.

Método de la fórmula. Considere la figura 2.28a donde están en movimiento tanto los engranes como el brazo, de tal manera que existe movimiento relativo de todos los elementos con respecto a ellos mismos. Tomando en cuenta que al utilizar una inversión del mecanismo, donde el brazo permanezca fijo, se obtiene un tren ordinario, se plantea hacer un análisis de movimiento relativo, relacionando el movimiento de cada engrane con respecto al movimiento del brazo, como sigue: para el engrane sol:

ω s = ω s − ωb b

para el engrane planeta:

ω p = ω p − ωb

(2.29a)

(2.29b)

b

dividiendo las ecuaciones 2.29b entre 2.29a :

ωp ωs

b b

=

ω p − ωb ω s − ωb

(2.29c)

35

Trenes de engranes

Figura 2.28. El miembro izquierdo de la ecuación 2.29c supone al brazo como fijo y bajo esta condición sólo representa una relación entre velocidades del planeta y sol. Considerando que en el eje del engrane sol se aplica la velocidad inicial y el planeta entrega la velocidad final al eje de salida, y utilizando el concepto de la ecuación 2.21, se tiene:

ωp ωs

b

=

b

ωF ωI

b

= VT

( 2.29d)

b

Dicha expresión representa el valor del tren de un tren ordinario cuyo valor no cambia al ser ahora un tren epicicloidal, teniendo en consideración que el movimiento relativo entre eslabones de un mecanismo permanece constante para sus diferentes inversiones. Así la ecuación 2.29d se puede replantear para un caso general como:

ωF ωI

b b

=

ω F − ωb = VT ω I − ωb

(2.30)

La ecuación 2.30 se utiliza para analizar trenes epicicloidales, donde se conocen las velocidades de entrada y salida o bien una velocidad y la del brazo. Así, por ejemplo, para determinar la velocidad final ω F en el eje de salida anular del tren de la figura 2.28b, conociendo las velocidades de entrada y los números de dientes de los engranes, aplicando la ecuación 2.30, se tiene:  N  ω F =  sol (ω I − ω b ) + ω b  N anillo  Donde VT es positivo por ser un engranaje interno. 36

Trenes de engranes

Método tabular Este método consiste en analizar el tren epicicloidal planteando la ecuación de movimiento relativo para cada engrane, de tal forma que al estar los engranes acoplados y resolver la ecuación para el primer engrane, los resultados obtenidos sirven para comenzar el análisis del segundo engrane acoplado y así sucesivamente de tal manera que para llevar un control de la información se sugiere crear una tabla de datos, cuyo formato se muestra en la tabla 2.6. Tabla 2.6. Formato para solución de tren epicicloidal. Engrane

ω engrane +

ω brazo =

ω engrane

brazo

VT

De este modo se tendrá una columna para designar a los engranes por analizar, una por cada miembro de la ecuación y otra para el valor del tren, el cual se determina por cada par de engranes acoplados. Así, por ejemplo, para determinar la velocidad en el eje de salida del tren epicicloidal de la figura 2.28 b, conociendo las velocidades de entrada y los números de dientes de cada engrane se procede de la siguiente manera: - De acuerdo al flujo de potencia, el movimiento inicia en el engrane sol siendo el primero en ser analizado, sus datos se asientan en la tabla junto con los datos adicionales del brazo, considerando que las velocidades que giran en sentido horario son positivas y antihorarias negativas, posteriormente se resuelve la ecuación:

ω engrane

brazo

= ω engrane − ω brazo

- Se inicia el análisis del siguiente engrane acoplado utilizando el concepto del VT de la ecuación 2.30.

ω

F

b

= VTω I

b

37

Trenes de engranes

La solución al tren se muestra en la siguiente tabla de resultados:

Solución del tren epicicloidal de la figura 2.28.

ENGRANE

Sol

ω engrane +

ω brazo =

(-) Dato

(+) Dato

Planeta

  (ωI − ωb ) − N sol  − ωb  N planeta  Anillo

(+) Dato

ω engrane

VT brazo

ω I − ωb 

(ωI − ωb )  − 

N sol N planeta

   

N sol N planeta

N planeta

(+) Dato

  N  (ωI − ωb ) − N sol  planeta  − ωb  N planeta  N anillo 

−

 (ωI − ωb )  − N sol  N planeta

   

 N planeta     N anillo 

N anillo

38

“Para llegar a algo importante se necesita tener gran energía y disposición y acumular un enorme trabajo ” M. Lebedinsky.

Movimiento del brazo mecánico 3 MOVIMIENTO DEL BRAZO MECÁNICO 3.1

Descripción del Brazo Mecánico del Proyecto de Investigación.

El brazo mecánico es el objeto de estudio del Proyecto de Investigación “Reingeniería de un brazo mecánico, accionado por un sólo motor” con número de registro CGPI 20050098, el cual está siendo desarrollado por personal docente de la Academia de Mecánica de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Profesional Azcapotzalco, en colaboración con alumnos que actualmente se encuentran estudiando la carrera de Ingeniería Mecánica y del autor de este trabajo, egresado de la misma. En la figura 3.1 se muestra una imagen estilizada del brazo en estudio.

Figura 3.1. Brazo mecánico. El objetivo del proyecto es rediseñar un brazo mecánico del cual ya existe un prototipo, haciéndole una serie de modificaciones y mejoras. El objetivo de esta Tesis es el diseño cinemático de una transmisión mecánica capaz de entregar 12 velocidades de salida, impulsada con un sólo motor a la entrada, para obtener el control de los movimientos del brazo mecánico, cumpliendo con las siguientes características a manera de restricciones para su diseño: 39

Movimiento del brazo mecánico - La transmisión sólo debe tener una velocidad de impulsión a la entrada, que será proporcionada por un motor eléctrico. - Se deben obtener 12 combinaciones de velocidad a la salida de la transmisión, las cuales serán manipuladas para mover el brazo con una serie de igual número de movimientos predeterminados. - Se requiere que de las 12 velocidades obtenidas a la salida de la transmisión, se puedan ejecutar simultáneamente entre uno y seis movimientos. - Con excepción del motor eléctrico, se requiere que el control de los movimientos se lleve a cabo por medio de elementos puramente mecánicos. Es decir, de acuerdo a la estructura morfológica del brazo, sus componentes tiene la capacidad de desarrollar un total de 12 movimientos; se requiere obtener el control de cada uno de ellos con un sólo motor y con una transmisión diseñada para que haga su función con elementos puramente mecánicos, siendo importante recalcar que se omite cualquier clase de elementos electrónicos, hidráulicos, neumáticos, y demás dispositivos de control. Entonces la transmisión debe entregar 12 combinaciones de velocidad a la salida, cada una correspondiente a un movimiento. Así también, el brazo tiene la capacidad de mover varios de sus componentes al mismo tiempo, lo que también obliga a que la transmisión debe tener la capacidad de entregar entre una y seis de sus doce velocidades al mismo tiempo. En la figura 3.2 se muestra un diagrama del flujo de potencia requerido para el funcionamiento del brazo.

Figura 3.2. Flujo de potencia para el control del brazo. Así, el motor es la fuente de potencia para los movimientos del brazo, el cual suministra de movimiento la entrada de la transmisión con una velocidad, representado por una línea de flecha, la que a su vez, por medio de elementos mecánicos, entrega 12 combinaciones de velocidad a la salida, de las cuales el brazo puede tomar hasta 6 en su entrada y dirigirlas hacia sus componentes dotados de la capacidad de desarrollar movimiento; el diagrama ejemplifica el acoplamiento de dos velocidades con línea 40

Movimiento del brazo mecánico punteada para mover dos componentes a la vez.. A continuación se hace una descripción analítica del brazo para justificar el diseño de la transmisión mencionada, comenzando por un análisis morfológico. Al final del texto se agrega un anexo denominado planos y en la parte I se muestran las láminas correspondientes al análisis morfológico del brazo. Análisis morfológico del brazo mecánico. La lámina 1 muestra una imagen señalando los componentes del prototipo del brazo, observándose que funcionan como eslabones; así, se puede considerar al brazo como un mecanismo para el análisis deseado, por estar compuesto de elementos rígidos dotados de la capacidad de desarrollar movimiento relativo entre sí. El análisis morfológico de un mecanismo se refiere al estudio de la forma de sus componentes, donde se analiza las características de sus eslabones y conexiones, abarcando varios puntos importantes: - Definición de un esquema del mecanismo. - Descripción de los eslabones. -Clasificación del mecanismo. - Análisis y descripción de uniones. El primer punto queda resuelto en la lámina 2 mostrándose los mismos elementos que en la 1 pero de manera esquemática.

-Descripción de los eslabones. La lámina 1 muestra los componentes principales del brazo, los cuales corresponden a: - Una base, o eslabón fijo, donde el brazo se apoya. - Un plato giratorio, el cual pivota desde la base, a su vez sirve de apoyo al cuerpo. - Un cuerpo, es una extensión articulada al plato, a su vez sirve de apoyo para el brazo rotatorio 1. - Un brazo rotatorio 1, extensión articulada en el punto de apoyo con el cuerpo, dándole al brazo la capacidad de desarrollar un desplazamiento angular adicional al que desarrolla el plato giratorio; a su vez sirve de apoyo al brazo rotatorio 2.

41

Movimiento del brazo mecánico - Un brazo rotatorio 2, extensión articulada en el punto de apoyo con el brazo rotatorio 1, dándole al brazo la capacidad de desarrollar un desplazamiento angular adicional al que desarrolla el cuerpo, a su vez sirve de apoyo al brazo giratorio 3. - Un brazo giratorio 3, extensión articulada en el punto de apoyo con el brazo rotatorio 2, a su vez sirve de bastidor o soporte para las tenazas. - Tenazas, las cuales están formadas por un par de mecanismos de 4 barras, las cuales sirven como mecanismo de sujeción, por la capacidad que desarrollan sus movimientos para prensar objetos contra las mordazas. - Mordazas, no son elementos que influyan en la cinemática del brazo, sólo tiene una función estructural al prensar objetos sobre sus caras, con dientes en forma de sierra para aumentar el coeficiente de fricción entre ellas y el objeto prensado.

- Clasificación del mecanismo. Como se observa en las láminas 1 y 2 el brazo está formado de eslabones que presentan articulaciones para su unión. Por observación se determina que las articulaciones permiten que el brazo pueda desarrollar movimiento en el plano y en el espacio, clasificándolo por las características que presenta como sigue: - Mecanismo de eslabones articulados. - Mecanismo de movimiento espacial. El primer eslabón 1 corresponde al fijo o base, en un primer análisis se puede considerar a las tenazas como un sólo eslabón, siendo estas el último de la cadena y se observa que no pivota desde el fijo, por lo que la cadena de eslabones permanece siempre abierta, determinándose las siguientes características: - Mecanismo de 7 eslabones. - Mecanismo de cadena cinemática abierta.

- Análisis y descripción de uniones. La lámina 3 muestra los lugares geométricos donde se unen los eslabones por medio de elementos de sujeción de tipo pasador, los cuales para su estudio se denominan pares cinemáticos o juntas. Las uniones se llevan a cabo por medio de pernos sujetadores, resultando el contacto entre superficies de revolución, de ahí que resulten pares cinemáticos de revoluta y orden inferior. Por observación se determina que los pernos debido a su geometría no necesitan de la acción de fuerzas externas para garantizar la unión de eslabones, por lo que se les considera cerrados, además de que sólo permiten movimiento

42

Movimiento del brazo mecánico de rotación y un grado de libertad (GDL). En la siguiente tabla se describen las características para cada par cinemático.

CLASIFICACIÓN PAR CINEMÁTICO

NOMBRE

ORDEN

TIPO

CONDICIÓN

MOVIMIENTO

GDL

A

Plato

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

B

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

C

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

D

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

E

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

El par cinemático A hace referencia al acoplamiento del eslabón fijo con el plato giratorio, siendo el mismo plato quien hace la función de elemento sujetador al acoplarse como un perno directamente al eslabón fijo, cuyo detalle se muestra en la lámina 4. Al principio del análisis se supuso a las tenazas como un sólo elemento, en realidad las tenazas son un conjunto de eslabones cuyo eslabonamiento corresponde a un mecanismo de 4 barras en paralelogramo, de tal manera que el movimiento que realizan es independiente de la rotación de todo el conjunto alrededor de la junta E; por lo que se puede analizar por separado, eliminando el movimiento de rotación sin alterar el resultado, la lámina 5 muestra el detalle del mecanismo. El mecanismo de las tenazas consta de 4 eslabones: - Manivela, eslabón impulsor pivotado desde un punto fijo, realiza un movimiento de rotación sin alcanzar una revolución completa, sólo rota en un intervalo de apertura y cierre total de las mordazas. -

Biela o acoplador, acopla a los dos eslabones pivotados desde el fijo realizando un movimiento plano general.

43

Movimiento del brazo mecánico - Balancín, eslabón conducido y pivotado desde un punto fijo, realiza un movimiento de rotación sin alcanzar revoluciones completas. Por observación se determina que todos sus pares cinemáticos son de revoluta y orden inferior cerrados, permitiendo sólo movimiento de rotación y un grado de libertad (GDL). En la siguiente tabla se describen las características para cada par cinemático.

CLASIFICACIÓN

3.2

PAR CINEMÁTICO

NOMBRE

ORDEN

TIPO

CONDICIÓN

MOVIMIENTO

GDL

F

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

G

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

H

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

I

Perno

Inferior

Revoluta

Cerrada

Rotación

1

Movimientos requeridos en el brazo.

Cada componente del brazo tiene una función específica en el desarrollo de sus movimientos, para obtener como resultado desplazamientos en ejes coordenados X, Y, Z, tanto angulares como lineales, para la manipulación y el control de la posición del brazo, por lo que se requiere que los componentes realicen los siguientes movimientos denominados básicos: 1) Movimientos del plato. Al estar pivotado a la base, realiza un movimiento de rotación respecto al eje Y, obteniéndose un desplazamiento angular en el plano X Z, girando en conjunto con el resto de los componentes, lámina 6. Se tendrá un total de dos movimientos: a) Rotación respecto a Y, en sentido horario. b) Rotación respecto a Y, en sentido antihorario. 2) Movimientos del cuerpo. Al estar pivotado al plato, realiza un movimiento de rotación respecto al eje axial del perno, en la junta B, obteniéndose un desplazamiento angular en el

44

Movimiento del brazo mecánico plano perpendicular al eje de rotación, girando en conjunto con los brazos 1,2,3 y las tenazas, lámina 7. Se tendrá en total dos movimientos: c) Rotación respecto al eje axial del perno, de la junta B, en sentido horario. d) Rotación respecto al eje axial del perno, de la junta B, en sentido antihorario. 3) Movimientos del brazo 1. Al estar pivotado al cuerpo, realiza un movimiento de rotación respecto al eje axial del perno, en la junta C (paralelo al eje Y), obteniéndose un desplazamiento angular en el plano perpendicular al eje de rotación, girando con el los brazos 2, 3 y las tenazas; dándole al brazo la capacidad de desarrollar un desplazamiento adicional al desarrollado por el plato, lámina 8, obteniéndose dos movimientos: e) Rotación respecto al eje axial del perno, de la junta C, en sentido horario. f) Rotación respecto al eje axial del perno, de la junta C, en sentido antihorario. 4) Movimientos del brazo 2. Al estar pivotado al brazo 1, realiza un movimiento de rotación respecto al eje axial del perno, de la junta D, obteniéndose un desplazamiento angular en el plano perpendicular al eje de rotación, girando en conjunto con el brazo 3 y las tenazas; dándole al brazo la capacidad de desarrollar un desplazamiento adicional al desarrollado por el cuerpo, lámina 9. Se Obtienen dos movimientos: g) Rotación respecto al eje axial del perno, de la junta D, en sentido horario. h) Rotación respecto al eje axial del perno, de al junta D, en sentido antihorario. 5) Movimientos del brazo 3. Al estar pivotado al brazo 2, realiza un movimiento de rotación respecto al eje axial del perno de la junta E, obteniéndose un desplazamiento angular en el plano perpendicular al eje de rotación, girando en conjunto con las tenazas, lámina 10. Aquí también se obtienen dos movimientos: i) Rotación respecto al eje axial del perno de la junta E, en sentido horario. j) Rotación respecto al eje axial del perno de la junta E, en sentido antihorario. 6) Movimientos de las tenazas. Estas realizan dos movimientos para su funcionamiento, uno de apertura de mordazas y otro de cierre. Estos movimientos se logran aplicando una rotación, en un sentido y en el otro, a la manivela del mecanismo de 4 barras, que conforma cada una de las mordazas, lámina 11, obteniéndose lo siguiente: k) Rotación de la manivela en sentido horario. l) Rotación de la manivela en sentido antihorario. Se requiere de un total de doce movimientos básicos para el control y manipulación del brazo. 45

Movimiento del brazo mecánico Grados de libertad del mecanismo. Se denomina grados de libertad (GDL) o movilidad (M) de un mecanismo al número de velocidades de entrada para obtener una velocidad de salida predecible. De acuerdo al criterio de Kutzbach, la movilidad de un mecanismo espacial se determina por la siguiente ecuación:

M = 6(L − 1) − 5 J 1 − 4 J 2 − 3J 3 − 2 J 4 − J 5

(3.1)

Donde:

M = Grados de libertad o movilidad. L = Número de eslabones. J 1 = Número de juntas que permiten 1 GDL. J 2 = Número de juntas que permiten 2 GDL. J 3 = Número de juntas que permiten 3 GDL. J 4 = Número de juntas que permiten 4 GDL.

J 5 = Número de juntas que permiten 5 GDL.

Considerando a las tenazas como mecanismos de 4 barras, que se pueden analizar por separado, resulta que todo el brazo será un mecanismo espacial de 6 eslabones. Haciendo el análisis morfológico del brazo obtenemos los siguientes valores:

L= 6 J1 = 5 J2 = 0

J3 = 0 J4 = 0

J5 = 0

46

Movimiento del brazo mecánico Por lo tanto:

M = 6(6 − 1) − 5(5) − 4(0 ) − 3(0 ) − 2(0 ) − 0 M = 5 GDL

Lo cual significa que se necesitan 5 motores para mover el mecanismo, pero sólo en un sentido (horario), considerando que los eslabones están dotados de la libertad de realizar movimientos reversibles (antihorarios) se requieren de otros 5 GDL para lograr la reversibilidad, dando un total de 10 GDL para lograr el movimiento en ambos sentidos. Grados de libertad del mecanismo de 4 barras. Como ya se dijo anteriormente el movimiento de las tenazas es independiente de las rotaciones que realizan los otros eslabones, pudiendo analizarse por separado como un mecanismo en un plano y al final hacer una superposición de efectos con el mecanismo espacial analizado. Las tenazas se componen de un par de mecanismos de 4 barras, los cuales están dispuestos en una posición simétrica, de tal manera que sus movimientos también son simétricos y sincronizados entre sí, siendo el análisis el mismo para ambos mecanismos. Según el criterio de Kutzbach, para mecanismos en un plano, se tiene que: M = 3(L − 1) − 2 J 1 − J 2

(3.2)

Donde:

M = Grados de libertad o movilidad. L = Número de eslabones. J 1 = Número de juntas que permiten 1 GDL. J 2 = Número de juntas que permiten 2 GDL.

Según el análisis morfológico realizado para el mecanismo de 4 barras se tiene:

L= 4 J1 = 4 J2 = 0

47

Movimiento del brazo mecánico Por lo tanto:

M = 3(4 − 1) − 2(4 ) − 0 M = 1 GDL

Así, este valor implica que se requiere de un motor para realizar el movimiento del mecanismo en un sentido (cierre de mordazas) y otro motor para realizar el movimiento en sentido inverso (apertura de mordazas), dando un total de 2 GDL para realizar un ciclo completo de apertura y cierre. Considerando que son dos mecanismos se requiere de 2 GDL adicionales, pero tomando en cuenta la simetría y el sincronismo de los movimientos, ambos mecanismos pueden ser impulsados desde el mismo motor, eliminando los 2 GDL adicionales. Sumando efectos del mecanismo espacial y el plano se obtiene un total de 12 GDL, los cuales corresponden en magnitud al número de movimientos básicos, lo que significa que se requiere de un motor para lograr cada uno de los movimientos, resultando un mecanismo poco factible de realizar. Para evitar la necesidad de utilizar un número excesivo de motores se propone el diseño de una transmisión que entregue los mismos beneficios pero utilizando un sólo motor, justificando así el diseño de la misma. 3.3

Condición cinemática de movimientos simultáneos.

Se requiere que el brazo tenga la capacidad de mover varios de sus eslabones al mismo tiempo obteniendo como resultado una serie de movimientos simultáneos, a partir de los 12 movimientos básicos. Haciendo un análisis combinatorio, según la teoría de la probabilidad: “Una combinación de un conjunto de n elementos diferentes tomando a r de ellos a la vez es una selección de esos r elementos de n, sin importar el orden de los mismos” Definido de manera matemática por la siguiente expresión: C (n, r ) =

n! r!(n − r )!

(3.3)

Donde: n = número de elementos del conjunto.

r = número de elementos del conjunto para formar una combinación. C (n, r ) = combinaciones del conjunto n tomando r a la vez.

Para el caso de estudio analizado se tiene un conjunto de 6 eslabones capaces de desarrollar movimiento sin importar el sentido de giro. 48

Movimiento del brazo mecánico Movimiento simultáneo de 2 eslabones a la vez.

Las combinaciones de r = 2 eslabones que se pueden mover a la vez son: C (n, r ) =

6! = 15 2!(6 − 2 )!

correspondientes a: - Plato – cuerpo. - Plato – brazo 1. - Plato – brazo 2. - Plato – brazo 3. - Plato – tenazas. - Cuerpo – brazo 1. - Cuerpo – brazo 2. - Cuerpo – brazo 3. - Cuerpo – tenazas. - Brazo 1 – brazo 2. - Brazo 1 – brazo 3. - Brazo 1 – tenazas. - Brazo 2 – brazo 3. - Brazo 2 – tenazas. - Brazo 3 – tenazas. Movimiento simultáneo de 3 eslabones a la vez.

Las combinaciones de r = 3 eslabones que se pueden mover a la vez son: C (n, r ) =

6! = 20 3!(6 − 3)!

correspondientes a: - Plato – cuerpo – brazo 1. - Plato – cuerpo – brazo 2. - Plato – cuerpo – brazo 3. - Plato – cuerpo – tenazas. - Plato – brazo 1 – brazo 2. - Plato – brazo 1 – brazo 3. - Plato – brazo 1 – tenazas. - Plato – brazo 2 – brazo 3. - Plato – brazo 2 – tenazas. - Plato – brazo 3 – tenazas. - Cuerpo – brazo 1 – brazo 2. - Cuerpo – brazo 1 – brazo 3. 49

Movimiento del brazo mecánico - Cuerpo – brazo 1 – tenazas. - Cuerpo – brazo 2 – brazo 3. - Cuerpo – brazo 2 – tenazas. - Cuerpo – brazo 3 – tenazas. - Brazo 1 – brazo 2 – brazo 3. - Brazo 1 – brazo 2 – tenazas. - Brazo 1 – brazo 3 – tenazas. - Brazo 2 – brazo 3 – tenazas. Movimiento simultáneo de 4 eslabones a la vez.

Las combinaciones de r = 4 eslabones que se pueden mover a la vez son: C (n, r ) =

6! = 15 4!(6 − 4)!

correspondientes a: - Plato – cuerpo – brazo 1 – brazo 2. - Plato – cuerpo – brazo 1 – brazo 3. - Plato – cuerpo – brazo 1 – tenazas. - Plato – cuerpo – brazo 2 – brazo 3. - Plato – cuerpo – brazo 2 – tenazas. - Plato – cuerpo – brazo 3 – tenazas. - Plato – brazo 1 – brazo 2 – brazo 3. - Plato – brazo 1 – brazo 2 – trenazas. - Plato – brazo 1 – brazo 3 – tenazas. - Plato – brazo 2 – brazo 3 – tenazas. - Cuerpo – brazo 1 – brazo 2 – brazo 3. - Cuerpo – brazo 1 – brazo 2 – tenazas. - Cuerpo – brazo 1 – brazo 3 – tenazas. - Cuerpo – brazo 2 – brazo 3 – tenazas. - Brazo 1 – brazo 2 – brazo 3 – tenazas. Movimiento simultáneo de 5 eslabones a la vez.

Las combinaciones de r = 5 eslabones que se pueden mover a la vez son: C (n, r ) =

6! =6 5!(6 − 5)!

correspondientes a: - Plato – cuerpo – brazo 1 – brazo 2 – brazo 3. - Plato – cuerpo – brazo 1 – brazo 2 – tenazas. - Plato – cuerpo – brazo 1 – brazo 3 – tenazas.

50

Movimiento del brazo mecánico - Plato – cuerpo – brazo 2 – brazo 3 – tenazas. - Plato – brazo 1 – brazo 2 – brazo 3 – tenazas. - Cuerpo – brazo 1 – brazo 2 – brazo 3 – tenazas. Todo lo anterior obliga a la necesidad de diseñar la transmisión de tal manera que sea capaz de entregar varias velocidades de salida al mismo tiempo, a partir de una sola velocidad de entrada. 3.4

Opciones de solución.

Como alternativa se propone una transmisión de engranes cuyo arreglo corresponde a un tren ordinario compuesto. Sobre la flecha de entrada se coloca el engrane impulsor y en la flecha de salida el impulsado, como se muestra en la figura 3.3. Cuando el engrane impulsado permanece en la posición 1 los ejes de entrada y salida giran en el mismo sentido, pero cuando se desplaza al engrane impulsado axialmente de la posición 1 a la 2 queda intercalado un engrane loco, el cual invierte el sentido de rotación del eje de salida, cuando el engrane permanece en la posición N no hay transmisión de movimiento al no existir acoplamiento entre engranes, la figura 3.4 ilustra el flujo de potencia del arreglo. Si al eje de salida se acopla un eslabón del brazo, este se podrá manipular haciéndolo girar en sentido horario o antihorario o dejarlo en una posición estática, con el sólo hecho de cambiar de posición al engrane impulsado, obteniendo el control de dos movimientos; con la observación de que el giro antihorario será más lento por la diferencia de diámetros que se genera al acoplar al engrane loco.

Figura 3.3. Tren ordinario compuesto. 51

Movimiento del brazo mecánico Si este arreglo se monta 6 veces sobre el eje del motor, cada arreglo controlará un eslabón y sus dos movimientos, además permite accionar dos o más engranes a la vez, para mover dos o más eslabones al mismo tiempo. En la figura 3.5 se muestra el arreglo descrito donde el cuerpo y el brazo 2 están accionados al mismo tiempo, girando el primero en sentido horario y el segundo en sentido antihorario.

Figura 3.4. Flujo de potencia del tren.

Figura 3.5. Propuesta de transmisión.

52

Movimiento del brazo mecánico Existen más métodos para transmisión de potencia, pero una transmisión por bandas no permite invertir el sentido de giro con la facilidad que se logra con los engranes, de igual forma con una transmisión por cadena de rodillos, determinándose que no son métodos adecuados para los requerimientos necesitados. 3.5

Solución con un tren epicicloidal.

En el arreglo de engranes analizado anteriormente se tiene la gran desventaja que los movimientos antihorarios son más lentos que los horarios y se pretende que ambos movimientos sean de igual magnitud, por lo que se descarta la propuesta inicial, dando origen a una nueva, la cual consiste en un arreglo de engranes planetarios, como se muestra en la figura 3.6. El funcionamiento de este nuevo arreglo es como sigue: el engrane sol está montado sobre el eje impulsor, por lo que se considera pivotado en un punto fijo; al recibir movimiento de la flecha comienza a girar, como el mecanismo es de dos grados de libertad se requiere de otra velocidad motora para predecir una velocidad a la salida en alguno de los dos componentes restantes, ya sea en los planetarios o en el brazo; así que teóricamente y desde un punto de vista cinemático el brazo permanecerá estático permitiendo sólo la rotación de los planetarios.

Figura 3.6. Pero al ser el sistema dinámico y al haber superficies en contacto entre las caras de los dientes y en las juntas, se generan fuerzas de fricción que al ser vencidas por la acción del movimiento del engrane sol, o sea su inercia, producen una rotación del brazo sin la necesidad de un motor adicional, figura 3.7.

53

Movimiento del brazo mecánico

Figura 3.7. Si con la ayuda de un mecanismo de trinquete se detiene el giro del brazo se obtiene una inversión del tren planetario, equivalente a un tren ordinario simple, en cuyo instante se determina la posición A; si en esta posición se acoplan otros engranes pivotados desde tierra hasta un eje de salida, se obtiene un arreglo ordinario simple como se ilustra en la figura 3.8a, existiendo entonces 4 engranes acoplados en serie, determinándose así que los ejes de entrada y salida giran en sentidos opuestos. Si el giro del brazo se detiene en la posición B, se vuelve a obtener un tren ordinario simple, pero se agrega el acoplamiento de un engrane intermedio o “loco”, quedando 5 engranes acoplados, con lo que se obtiene que los ejes de entrada y salida giran en el mismo sentido, como se ilustra en la figura 3.8b. Se puede obtener una posición neutral N, entre la posición A y B, donde no exista transmisión de movimiento al eje de salida, figura 3.8c. Así, si al eje de salida se acopla con un eslabón del brazo, éste se podrá manipular haciéndolo girar en sentido horario o antihorario, o dejarlo en una posición estática con el sólo hecho de accionar la palanca del trinquete en la posición deseada, logrando obtener el control de dos movimientos. Si este arreglo se monta 6 veces sobre el eje del motor, cada arreglo controlará un eslabón y sus dos movimientos, además permite accionar dos o más trinquetes a la vez, para mover dos o más eslabones al mismo tiempo. Tanto la posición de giro horario (A) como la de giro antihorario (B), en el eje de salida se logran por el acoplamiento de engranes en serie, resultando un tren ordinario simple, donde el engrane impulsor y el engrane impulsado siempre son los mismos; sólo se elimina un engrane intermedio de una posición a otra. Recordando las características cinemáticas de este arreglo de engranes, el valor del tren depende del engrane final y del inicial, donde los engranes intermedios no desarrollan efectos en la determinación de la magnitud de las velocidades de giro. Bajo este argumento se predice que las velocidades en sentido horario y antihorario serán de igual magnitud, eliminando el problema de la variación de velocidades del primer arreglo analizado, siendo una ventaja sobre el primero.

54

Movimiento del brazo mecánico

Figura 3.8. 55

Movimiento del brazo mecánico Hasta el momento sólo se ha analizado la acción del planeta 1; si se deja girar al brazo y se acciona la palanca del trinquete en la posición C, queda acoplado el planeta 2 con el resto de los engranes pivotados desde tierra, girando como se muestra en las figuras 3.8d y 3.8e para la posición D. El detalle de la vista en planta del planeta indica que son dos engranes montados sobre el mismo eje, lo cual trae como consecuencia los mismos resultados del planeta 1, pero con una reducción de velocidad mayor en el eje de salida. Así que una sola unidad planetaria nos da la posibilidad de obtener dos “niveles de velocidad”, que para fines prácticos se les denomina rápida y lenta respectivamente. Así es que con este arreglo se obtienen más ventajas en comparación con la primer propuesta, aceptándose para el diseño de la transmisión.

Figura 3.8. 56

“El trabajo más humilde y sencillo, si se hace bien tiende a iluminar al mundo” G. D’Annunzio.

Cálculo de velocidades de la transmisión 4 CÁLCULO DE VELOCIDADES DE LA TRANSMISIÓN 4.1

Descripción de la transmisión.

La transmisión del brazo se conforma por un motor eléctrico que mueve a 6 unidades planetarias, cada una responsable de gobernar el movimiento de un eslabón del brazo, por lo tanto se tienen 6 ejes de salida. Al acoplamiento de engranes desde una unidad planetaria hasta su respectivo eje de salida se le denomina tren motriz, teniéndose 6 trenes motrices cuyos movimientos son independientes entre sí, más 1 tren de alimentación formado por el engrane directo y el engrane reductor principal. La fotografía N° 1 muestra una imagen de la transmisión original, donde se ven cada una de las partes principales de la transmisión, descritas a continuación: A) Motor eléctrico de polos divididos: es la única fuente de potencia, la cual opera con los siguientes parámetros. - 1.5 V CD. - 6800 RPM en sentido horario. B) Engrane directo: está montado directamente sobre el eje del motor, transmite el movimiento del motor hacia el engrane reductor principal. C) Engrane reductor principal: reduce la velocidad del motor y la transmite al eje principal. D) Eje principal: sobre él están montadas las 6 unidades planetarias, por lo que se considera como el eje motriz. E) Unidades planetarias: con la ayuda del trinquete, son las responsables embragar y desembragar el movimiento del eje principal a los ejes intermedio y secundario; así mismo, estas Unidades son el engranaje para obtener los “niveles de velocidad” rápida o lenta en el eje se salida. De esta manera: - Cuando se embraga el movimiento con el planeta 1 se obtiene un nivel de velocidad rápida. - Cuando se embraga el movimiento con el planeta 2 se obtiene un nivel de velocidad lenta. Las unidades III y VI sólo tienen un planeta y, por lo tanto, únicamente desarrollan un nivel de velocidad. Las fotos 2 y 3 muestran en detalle una unidad planetaria. Todas las unidades son del mismo tamaño.

57

Cálculo de velocidades de la transmisión Cada unidad gobierna un eslabón, como sigue: I)

Controla el movimiento del cuerpo.

II)

Controla el movimiento del plato.

III)

Controla el movimiento del brazo 3.

IV)

Controla el movimiento del brazo 2.

V)

Controla el movimiento del brazo 1.

VI)

Controla la apertura y cierre de las mordazas.

F) Eje intermedio: sobre él están montados los 6 engranes intermedios (todos del mismo tamaño); cada uno correspondiente a un tren motriz y responsable de invertir el sentido de giro en el eje de salida, resultando como sigue: - Cuando alguno de los planetas se acopla directamente a su engrane secundario, se obtiene una modalidad de velocidad de avance, girando el eje de salida en un sentido. - Cuando alguno de los planetas se acopla directamente al engrane intermedio se obtiene una modalidad de velocidad de retroceso, invirtiéndose el sentido de giro del eje de salida. G) Eje secundario: sobre él están montados los 6 engranes secundarios (todos del mismo tamaño), cada uno correspondiente a un tren motriz. H) Engrane de salida 1: montado sobre el eje de salida 1, entrega la velocidad que mueve al cuerpo. I) Engrane de salida 2: montado sobre el eje de salida 2, entrega la velocidad que mueve al plato. J) Engrane de salida 3: montado sobre el eje de salida 3, entrega la velocidad que mueve al brazo 3. K) Engrane se salida 4: montado sobre el eje de salida 4, entrega la velocidad que mueve al brazo 2. L) Engrane de salida 5: montado sobre el eje de salida 5, entrega la velocidad que mueve al brazo 1. M) Engrane de salida 6: montado sobre el eje de salida 6, entrega la velocidad que mueve a las tenazas.

58

Cálculo de velocidades de la transmisión

N) Trinquete.

Foto 1. Transmisión original.

59

Cálculo de velocidades de la transmisión

Foto 2. Unidad planetaria.

Foto 3. Partes de la unidad planetaria.

60

Cálculo de velocidades de la transmisión Figura 4.1 Despiece de la transmisión.

61

Cálculo de velocidades de la transmisión 4.2

Determinación del valor del tren (VT).

Conociendo la estructura y funcionamiento de la transmisión se tienen elementos suficientes para comenzar su análisis cinemático, comenzando por determinar el valor del tren (en adelante se abreviará como VT). El sentido de giro se determina observando la sección transversal del eje en la salida del movimiento. En las láminas ilustrativas se identifica con un número entre paréntesis a cada engrane y el número de dientes se especifica seguido de una letra D, mientras que en la figura 4.1 se muestra el despiece de la transmisión, la unidad planetaria y los engranes intermedio y secundario son comunes para todos los trenes motrices siendo fáciles de identificar. El eje principal alimenta de movimiento a las 6 unidades planetarias, el cual es impulsado por el engrane reductor principal y éste, a su vez, está acoplado al engrane directo del motor; teniéndose así un arreglo de engranes ordinario simple, en el engranaje de alimentación. En la parte II del anexo planos se muestran las láminas ilustrativas del siguiente análisis. VT del tren de alimentación. Utilizando la definición de la ecuación 2.25, se tiene: VT = −

ω eje N = − directo ω motor N reductor

La lámina 12 muestra el arreglo del tren, obteniéndose:

VT = −

16 = −0.4444 36

VT del tren motriz 1. Las láminas 13 y 14 muestran el arreglo del tren motriz 1, en velocidad rápida y lenta de avance respectivamente, determinándose que corresponde a un tren ordinario compuesto. Utilizando el concepto de la ecuación 2.28, tendremos: Producto del número de dientes de engranes motrices VT = ± –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Producto del número de dientes de engranes conducidos En velocidad rápida de avance: VT = −

(N )(N 2 ) ω1 = − sol (N1 )(N 3 ) ω eje

62

Cálculo de velocidades de la transmisión VT = −

ω1 (14)(12) = −0.1842 =− (38)(24) ω eje

En velocidad lenta de avance:

VT = −

VT = −

(N sol )(N planetaA )(N 2 ) ω1 =− (N planetaB )(N1 )(N 3 ) ω eje

ω1 (14)(10)(12) = −0.0767 =− (24)(38)(24) ω eje

El VT para velocidades de retroceso es de igual magnitud que para velocidades de avance pero de signo contrario, ya que al acoplarse el engrane intermedio, se invierte el sentido de giro del eje de salida.

En velocidad rápida de retroceso: VT =

ω1 (14)(12) = = 0.1842 ω eje (38)(24)

En velocidad lenta de retroceso: VT =

ω1 (14)(10)(12) = 0.0767 = ω eje (24)(38)(24 )

VT del tren motriz 2.

En velocidad rápida de avance, lámina 15: VT =

VT =

(N sol )(N 4 ) ω2 = ω eje (N sec undario )(N 5 )

ω 2 (14)(10) = = 0.1944 ω eje (30)(24)

En velocidad lenta de avance, lámina 16: VT =

(N sol )(N planetaA )(N 4 ) ω2 =− (N planetaB )(N sec undario )(N 5 ) ω eje

63

Cálculo de velocidades de la transmisión

VT =

ω2 (14)(10)(10) = 0.081 = ωeje (24 )(30)(24 )

En velocidad rápida de retroceso: VT = −

ω2 (14)(10) = −0.1944 =− (30)(24) ω eje

En velocidad lenta de retroceso: VT = −

ω2 (14)(10)(10) = −0.081 =− (24)(30)(24) ω eje

VT del tren motriz 3. La unidad planetaria 3, sólo consta del planeta 1, por lo que sólo tiene un nivel de velocidad.

En velocidad de avance, lámina 17: VT =

VT =

(N sol )(N 6 ) ω3 = ω eje (N sec undario )( N 7 )

ω 3 (14)(10) = = 0.1296 ω eje (30)(36 )

En velocidad de retroceso, lámina 18: VT = −

ω3 (14)(10) = −0.1296 =− (30)(36) ω eje

VT del tren motriz 4.

En velocidad rápida de avance, lámina 19: VT = −

VT = −

(N )(N 9 ) ω4 = − sol (N 8 )(N10 ) ω eje

ω4 (14)(10) = −0.2083 =− (28)(24) ω eje

64

Cálculo de velocidades de la transmisión

En velocidad lenta de avance, lámina 20:

VT = −

VT = −

(N sol )(N planetaA )(N 9 ) ω4 =− (N planetaB )(N 8 )(N10 ) ωeje

ω4 (14)(10)(10) = −0.0868 =− (24)(28)(24) ω eje

En velocidad rápida de retroceso: VT =

ω 4 (14 )(10 ) = = 0.2083 ω eje (28)(24 )

En velocidad lenta de retroceso: VT =

ω4 (14)(10)(10) = 0.0868 = ω eje (24)(28)(24 )

VT del tren motriz 5.

En velocidad rápida de avance, lámina 21: VT =

VT =

(N sol )(N11 ) ω5 = ω eje (N sec undario )( N14 )

ω5 (14)(10) = = 0.1944 ω eje (30)(24 )

En velocidad lenta de avance, lámina 22: VT =

(N sol )(N planetaA )(N11 ) ω5 = ω eje (N planetaB )( N sec undario )( N14 )

VT =

ω5 (14)(10)(10) = 0.081 = ωeje (24 )(30)(24 )

65

Cálculo de velocidades de la transmisión

En velocidad rápida de retroceso: VT = −

ω5 (14)(10) = −0.1944 =− (30)(24) ω eje

En velocidad lenta de retroceso: VT = −

ω5 (14)(10)(10) = −0.081 =− (24)(30)(24) ωeje

VT del tren motriz 6. La unidad planetaria 3, sólo consta del planeta 1, por lo que sólo tiene un nivel de velocidad.

En velocidad de avance, lámina 23: VT = −

VT = −

(N )(N16 ) ω6 = − sol (N15 )(N17 ) ω eje

ω6 (14)(12) = −0.1842 =− (38)(24) ω eje

En velocidad de retroceso, lámina 24: VT =

ω 6 (14 )(12 ) = = 0.1842 ω eje (38)(24 )

En la tabla 4.1 se muestran los resultados obtenidos del análisis hecho a la transmisión original.

66

Cálculo de velocidades de la transmisión

Tabla 4.1. Resultados del cálculo del Valor del Tren.

Velocidad de avance

4.3

Tren motriz

Rápida

Alimentación

- 0.4444

1

Velocidad de retroceso

Lenta

Rápida

Lenta

- 0.1842

- 0.0767

0.1842

0.0767

2

0.1944

0.081

- 0.1944

- 0.081

3

0.1296

4

- 0.2083

- 0.0868

0.2083

0.0868

5

0.1944

0.081

- 0.1944

- 0.081

6

- 0.1842

- 0.1296

0.1842

Velocidades de entrada y salida de la transmisión.

Con los resultados del VT obtenidos se pueden calcular las velocidades en los respectivos ejes de salida, tomando en cuenta que la transmisión es movida por un motor eléctrico que gira a 6800 RPM en sentido horario. Comenzando por la velocidad del eje principal, tenemos:

67

Cálculo de velocidades de la transmisión

Velocidad del eje principal. Del VT del tren de alimentación se obtiene:

ω eje = (VT )(ω motor )

ω eje = (− 0.4444 )(6800) = −3022 RPM El signo negativo significa que el eje gira en sentido contrario al motor, por lo tanto:

ωeje = 3022 RPM Velocidad del eje de salida 1.

Rápida de avance.

ω1 = (VT )(ω eje ) ω1 = (− 0.1842 )(3022 ) = 556.65 RPM Lenta de avance.

ω 2 = (VT )(ω eje ) ω1 = (− 0.0767 )(3022 ) = 231.78 RPM Las velocidades de retroceso son de igual magnitud que las de avance, pero de sentido contrario, por lo tanto: Rápida de retroceso.

ω1 = (− 0.1842)(3022) = 556.65RPM Lenta de retroceso.

ω1 = (− 0.0767 )(3022 ) = 231.78 RPM Velocidad del eje de salida 2. Rápida de avance.

68

Cálculo de velocidades de la transmisión

ω 2 = (VT )(ω eje )

ω 2 = (0.1944 )(3022 ) = 587.47 RPM Lenta de avance.

ω 2 = (VT )(ω eje ) ω 2 = (0.081)(800 ) = 244.78 RPM Rápida de retroceso.

ω 2 = (− 0.1944 )(3022 ) = 587.47 RPM Lenta de retroceso.

ω 2 = (− 0.081)(3022 ) = 244.78RPM Velocidad del eje de salida 3. De avance.

ω 3 = (VT )(ω eje ) ω3 = (0.1296 )(3022 ) = 391.65 RPM De retroceso.

ω3 = (− 0.1296 )(3022 ) = 391.65RPM Velocidad del eje de salida 4. Rápida de avance.

ω 4 = (VT )(ω eje ) ω 4 = (− 0.2083)(3022 ) = 649.48RPM Lenta de avance.

ω 4 = (VT )(ω eje ) ω 4 = (− 0.0868)(3022 ) = 262.30 RPM

69

Cálculo de velocidades de la transmisión

Rápida de retroceso.

ω 4 = (0.2083)(800 ) = 649.48RPM Lenta de retroceso.

ω 4 = (− 0.0868)(800 ) = 262.30 RPM Velocidad del eje de salida 5. Rápida de avance.

ω 5 = (VT )(ω eje )

ω5 = (0.1944)(3022) = 587.47 RPM Lenta de avance.

ω 5 = (VT )(ω eje ) ω5 = (0.081)(3022) = 244.78RPM Rápida de retroceso.

ω5 = (− 0.1944)(3022) = 587.47 RPM Lenta de retroceso.

ω5 = (− 0.081)(3022) = 244.78RPM Velocidad del eje de salida 6.

De avance.

ω 3 = (VT )(ω eje ) ω3 = (− 0.1842)(3022) = 556.65RPM De retroceso.

ω3 = (0.1842)(3022) = 556.65 RPM

70

Cálculo de velocidades de la transmisión En la tabla 5.2 se muestran los resultados obtenidos del análisis de velocidades hecho a la transmisión original, considerando a las velocidades positivas como horarias y las negativas antihorarias. Tabla 5.2. Resultados del cálculo de velocidades.

Velocidad de avance (RPM) Tren motriz

Rápida

Alimentación

- 3022

1

Velocidad de retroceso (RPM)

Lenta

Rápida

Lenta

- 556.65

- 231.78

556.65

231.78

2

587.47

244.78

- 587.47

- 244.78

3

391.65

4

- 649.48

- 262.30

649.48

262.30

5

587.47

244.78

- 587.47

- 244.78

6

- 556.65

- 391.65

556.65

71

“Soy politécnico para alcanzar las conquistas universales y ofrecerlas a mi pueblo” Decálogo del estudiante Politécnico.

Diseño cinemático de la transmisión 5 DISEÑO CINEMÁTICO DE LA TRANSMISIÓN Como ya se ha mencionado, el proyecto consiste en hacer una reingeniería total de un brazo mecánico, la cual consiste en hacer modificaciones y mejoras al diseño original. La modificación principal por desarrollar consiste en escalar la geometría original del brazo en la siguiente relación: -

La transmisión se diseñará al triple del tamaño original.

-

Los eslabones se diseñarán al doble del tamaño original.

El alcance de está tesis se limita al diseño de la transmisión, el diseño del resto de los componentes lo desarrollarán los alumnos investigadores que participan en el desarrollo del proyecto. Este capítulo corresponde a la parte analítica del diseño de la transmisión, siendo la parte esencial del objetivo del tema de la tesis. Hasta el momento se conocen las características de operación y cinemáticas de la transmisión original; al escalar el tamaño de la misma y obtener un nuevo modelo de transmisión, todos sus componentes medirán el triple del tamaño original y físicamente la transmisión será más grande, pero es obvio que sus características de operación no se incrementan; la transmisión seguirá entregando el mismo número de movimientos y, en lo que respecta a las características cinemáticas, el VT también permanecerá constante. Considerando que de la transmisión original no se cuenta con alguna información documentada, ha sido necesario llevar a cabo mediciones de cada componente para obtener información, a partir de la cual se basará el diseño dimensional del nuevo modelo, para lo cual se tomó la decisión de trabajar en el Sistema Internacional de Unidades. A continuación se describe detalladamente el procedimiento empleado para el análisis dimensional de los engranes componentes. 5.1

Determinación de los diámetros de paso.

Para poder determinar la geometría final de los engranes, primero es necesario reunir la mayor cantidad posible de información sobre ellos. Con ayuda de un pie de rey se midieron los diámetros externos de cada engrane, siendo la única dimensión que se pudo obtener de ellos. En la tabla 5.1 se tabulan los valores medidos, correspondientes al diámetro exterior (Dext) de cada engrane, además de su respectivo número de dientes, siendo esto toda la información que se logro obtener. Se sabe que para dimensionar un engrane es fundamental conocer su diámetro de paso y su módulo, de lo cual se carece de información, siendo prescindible tomar la mejor decisión para buscar la metodología que ayude a determinar la información necesaria y así obtener los valores requeridos para poder seguir adelante con el resto del proyecto, todo esto debe hacerse basado en un razonamiento lógico en base a un criterio de ingeniería.

72

Diseño cinemático de la transmisión Tabla 5.1. Diámetros externos medidos de la transmisión original. TREN

ENGRANE Directo

No. DIENTES (N) 16

Dext (mm) 8.65

Reductor

36

19.3

Sol

14

7.7

Planeta 1

17

9.2

Planeta 2 A

10

5.9

Planeta 2 B

24

12.8

Intermedio

30

15.8

Secundario

30

15.8

1

38

19.6

2

12

6.8

3

24

13.2

4

10

5.9

5

24

13.2

6

10

5.9

7

36

19.3

8

28

14.7

9

10

5.9

10

24

13.2

11

10

5.9

12

24

13.2

13

10

5.9

14

24

13.2

15

38

19.6

16

12

6.8

17

24

13.2

Alimentación

U. Planetaria

Común

Motriz 1

Motriz 2

Motriz 3

Motriz 4

Motriz 5

Motriz 6

73

Diseño cinemático de la transmisión Con base en los conocimientos obtenidos sobre teoría de engranes, en la información recopilada hasta el momento y en lo que se pretende determinar, se traza un esquema compilando los tres puntos mencionados, quedando como se ilustra en la figura 4.1.

Figura 4.1 Deduciéndose lo siguiente:

D = Dext − 2a

(4.1a)

donde a corresponde al adendo, de la tabla 2.4 se determina que: a = 1xm

(a)

y m es el módulo el cual por definición es igual a:

m=

D N

(b)

a=

D N

(c)

sustituyendo a en b, se obtiene:

74

Diseño cinemático de la transmisión sustituyendo c en 4.1a tendremos:

D = Dext −

2D N

(4.1b)

y haciendo algunos cambios algebraicos, nos queda: D=

Dext 2  1 +   N

(4.2)

Si se hace el análisis para el engrane 1 de 38 dientes: 19.6 = 18.62mm 2  1 +   38 

D=

ahora para el engrane 2 de 12 dientes: D=

6.8 = 5.83mm 2  1 +   12 

Considerando que el paso circular de 2 engranes acoplados debe ser de igual magnitud, se deduce:  πD   πD    =   N 1  N  2

π (18.62 ) π (5.83) 38

≠

12

1.53 > 1.52

La igualdad no se cumplió, esto se debe a los errores que se pudieron haber cometido de manera involuntaria durante la medición de los diámetros externos de los engranes, debido al tamaño relativamente pequeño de la mayoría de ellos, dificultando la medición. Si se hace el mismo cálculo para todos los pares de engranes acoplados, también se obtendrá un margen de error por las mismas razones y aunque la diferencia es pequeña, cada engrane arrojará un paso circular distinto, por lo que se debe obtener un patrón de

75

Diseño cinemático de la transmisión referencia confiable a partir del cual se pueda basar el análisis, para absorber el margen de error que se arrastra y poder obtener una base de datos confiable. Una posible solución al problema sería volver a hacer mediciones con equipo de mayor precisión, que ofrezca más confiabilidad en las mediciones, por ejemplo: comparador óptico, máquina de medición por coordenadas, microscopio electrónico, por mencionar algunos, todos ellos con tecnología digital, pero como no se cuenta con la tecnología mencionada se desarrolla una propuesta más. Se propone tomar al engrane más grande, que corresponde al 1 de 38 dientes y estandarizarlo, posteriormente, a partir de él, escalar el resto de los engranes, razonando la problemática de la siguiente manera: Como el módulo de todos los engranes es el mismo, le corresponde un valor de:

m=

D 18.62 = = 0.49mm N 38

De la tabla 2.3 se obtiene que el módulo normalizado más próximo es de 0.5, el cual se adopta como un valor estándar, por lo tanto el diámetro de paso para todas los engranes queda determinado por la expresión:

D = 0.5 N Con esta medida también se garantiza que el paso circular de todos los engranes permanecerá constante; ahora se está en condiciones de calcular los diámetros de paso, que serán igual a la mitad del número de dientes, para cada engrane. En la tabla 5.2 se muestran los resultados obtenidos. Con esto ya se tiene una base de datos confiable sobre las características de cada engrane componente de la transmisión original, información elemental para poder calcular las dimensiones del nuevo modelo de transmisión.

76

Diseño cinemático de la transmisión Tabla 5.2. Diámetros de paso calculados de la transmisión original. TREN

ENGRANE Directo

No. DIENTES (N) 16

D (mm) 8

Reductor

36

18

Sol

14

7

Planeta 1

17

8.5

Planeta 2 A

10

5

Planeta 2 B

24

12

Intermedio

30

15

Secundario

30

15

1

38

19

2

12

6

3

24

12

4

10

5

5

24

12

6

10

5

7

36

18

8

28

14

9

10

5

10

24

12

11

10

5

12

24

12

13

10

5

14

24

12

15

38

19

16

12

6

17

24

12

Alimentación

U. Planetaria

Común

Motriz 1

Motriz 2

Motriz 3

Motriz 4

Motriz 5

Motriz 6

77

Diseño cinemático de la transmisión 5.2

Cálculo dimensional del nuevo modelo de transmisión.

Como ya es sabido, el diámetro de paso es la referencia principal en la que se basa el diseño cinemático y geométrico de un engrane, de tal manera que para comenzar el diseño geométrico del nuevo modelo se comenzará por determinar los nuevos diámetros de paso. Al inicio del proyecto se determinó que el nuevo modelo tiene que ser 3 veces más grande que el original, de tal modo que los nuevos diámetros de paso serán del triple de los diámetros de la transmisión original; en la tabla 5.3 se muestran los resultados obtenidos. 5.2.1

Cálculo del número de dientes.

Para determinar el número de dientes de los nuevos engranes es primordial establecer un módulo correspondiente; se podría proponer el triple del módulo de los engranes originales, y si esto es así los engranes resultantes tendrán el mismo número de dientes que los originales, quedando los transmisión perfectamente modificada en una escala 1:3. Hasta el momento sólo se ha tratado el tema de la modificación principal, quedado en su mayoría resuelto y antes de concluir es necesario recordar la otra parte del rediseño, la cual consiste en hacer mejoras al diseño original que contribuyan al mejor funcionamiento de la transmisión. Al diseñar una transmisión más grande para mover un brazo, que también será más grande, es obvio pensar que el brazo también incrementará su capacidad para sujetar y transportar cargas, aparte que será más pesado, así que la transmisión demandará mayor potencia al motor. Aunque el alcance de esta tesis no incluye un análisis dinámico del comportamiento de la transmisión, ni tampoco un análisis por resistencia de materiales, si se puede prever los efectos que ocasionarían sobre el mecanismo de engranes un incremento en la transmisión de potencia, lo cual trae como consecuencia un incremento en las fuerzas que actúan sobre los elementos y esto a su vez un incremento en los esfuerzos resistidos por los mismos. Durante el estudio que se ha venido realizando a la trasmisión original, se observa que los piñones más pequeños constan de 10 dientes y, según la información citada en la tabla 2.1, el número mínimo de dientes requeridos para evitar la interferencia corresponde a valores de 18 y 12 dientes para engranes fabricados con ángulos de presión de 20 y 25 grados respectivamente; sin duda alguna los piñones de 10 dientes presentan un rebaje en sus dientes. Como ya se sabe, este fenómeno trae como consecuencia una disminución del diente en su capacidad para resistir cargas, por este motivo se propone hacer una mejora en esta etapa del diseño, la cual consiste en diseñar los piñones de tal manera que se evite totalmente la interferencia que originalmente presentan, ya que en el nuevo modelo deben transmitir mayor potencia. Bajo esta propuesta de mejora se comenzará con el cálculo del nuevo número de dientes. Si se hace el diseño de los engranes con un ángulo de presión de 20°, los piñones estarían limitados a tener 18 dientes. Si originalmente tienen 10 dientes, hacerlos con 18 resultaría en dientes muy pequeños. Si se diseñan con un ángulo de 25°, resultarían en 12 dientes, lo cual es más factible de realizar.

78

Diseño cinemático de la transmisión Tabla 5.3. Diámetros de paso del nuevo modelo de transmisión. TREN

ENGRANE Directo

D (mm) 24

Reductor

54

Sol

21

Planeta 1

25.5

Planeta 2 A

15

Planeta 2 B

36

Intermedio

45

Secundario

45

1

57

2

18

3

36

4

15

5

36

6

15

7

54

8

42

9

15

10

36

11

15

12

36

13

15

14

36

15

57

16

18

17

36

Alimentación

U. Planetaria

Común

Motriz 1

Motriz 2

Motriz 3

Motriz 4

Motriz 5

Motriz 6

79

Diseño cinemático de la transmisión Si ya se conoce el diámetro de paso y el número de dientes de los piñones de 10 dientes se puede determinar su módulo, por lo tanto:

m=

15 = 1.25mm 12

De acuerdo a la tabla 2.3, el valor de 1.25 es un valor normalizado, por lo tanto no se tiene inconveniente en aceptarlo, cuyo valor será constante para todos los engranes y por lo tanto el número de dientes para cada uno queda determinado por: N=

D m

Para el engrane directo: N=

24 = 19.2 1.25

N = 19dientes

Para el engrane reductor: N=

54 = 43.2 1.25

N = 43dientes Para el engrane sol: N=

21 = 16.8 1.25

N = 17 dientes

Para el planeta 1:

N=

25.5 = 20.4 1.25

N = 20dientes

Para el planeta 2 A, engrane 4, 6, 9, 11 y 13:

N=

15 = 12dientes 1.25 80

Diseño cinemático de la transmisión Para el planeta 2 B, engrane 3, 5, 10, 12, 14 y 17: N=

36 = 28.8 1.25

N = 29dientes

Para engranes intermedio y secundario: N=

45 = 36dientes 1.25

Para engranes 1 y 15: N=

57 = 45.6 1.25

N = 46dientes

Para engranes 2 y 16: N=

18 = 14.4 1.25

N = 14dientes

Para engrane 7: N=

54 = 43.2 1.25

N = 43dientes Para engrane 8: N=

42 = 33.6 1.25

34dientes

Como no se puede tener fracciones de diente, se hace un redondeo para obtener dientes enteros. Con el número definitivo de dientes y el módulo se recalcula el diámetro de paso.

81

Diseño cinemático de la transmisión Así el diámetro de paso definitivo para cada engrane está determinado por: D = (m )( N ) Para el engrane directo: N = (1.25)(19 ) = 23.75mm Para el engrane reductor: N = (1.25)(43) = 53.75mm

Para el engrane sol:

N = (1.25)(17 ) = 21.25mm Para el planeta 1: N = (1.25)(20) = 25mm Para el planeta 2 A, engrane 4, 6, 9, 11 y 13: N = (1.25)(12 ) = 15mm

Para el planeta 2 B, engrane 3, 5, 10, 12, 14 y 17: N = (1.25)(29 ) = 36.25mm Para engranes intermedio y secundario: N = (1.25)(36 ) = 45mm Para engranes 1 y 15: N = (1.25)(46 ) = 57.5mm

Para engranes 2 y 16: N = (1.25)(14) = 17.5mm

82

Diseño cinemático de la transmisión Para engrane 7: N = (1.25)(43) = 53.75mm Para engrane 8: N = (1.25)(34) = 42.5mm Los resultados del análisis se muestran en la tabla 5.4.

83

Diseño cinemático de la transmisión Tabla 5.4. Características de los engranes del nuevo modelo. TREN

ENGRANE Directo

No. DIENTES (N) 19

D (mm) 23.75

Reductor

43

53.75

Sol

17

21.25

Planeta 1

20

25

Planeta 2 A

12

15

Planeta 2 B

29

36.35

Intermedio

36

45

Secundario

36

45

1

46

57.5

2

14

17.5

3

29

36.35

4

12

15

5

29

36.25

6

12

15

7

43

53.75

8

34

42.5

9

12

15

10

29

36.35

11

12

15

12

29

36.35

13

12

15

14

29

36.35

15

46

57.5

16

14

17.5

17

29

36.35

Alimentación

U. Planetaria

Común

Motriz 1

Motriz 2

Motriz 3

Motriz 4

Motriz 5

Motriz 6

84

Diseño cinemático de la transmisión 5.3

Comprobación del diseño cinemático de la transmisión.

Para comprobar las características cinemáticas de la transmisión se calculará el VT, con base en los nuevos engranes. VT del tren de alimentación. VT = −

ω eje N = − directo ω motor N reductor

VT = −

19 = −0.4418 43

VT del tren motriz 1. En velocidad rápida de avance: VT = −

VT = −

(N )(N 2 ) ω1 = − sol (N1 )(N 3 ) ω eje

ω1 (17 )(14) = −0.1784 =− (46)(29) ω eje

En velocidad lenta de avance:

VT = −

VT = −

(N sol )(N planetaA )(N 2 ) ω1 =− (N planetaB )(N1 )(N 3 ) ω eje

ω1 (17 )(12)(14) = −0.0738 =− (29)(46)(29) ω eje

VT del tren motriz 2.

En velocidad rápida de avance: VT =

(N sol )(N 4 ) ω2 = ω eje ( N sec undario )(N 5 )

85

Diseño cinemático de la transmisión VT =

ω 2 (17 )(12) = = 0.1954 ω eje (36)(29)

En velocidad lenta de avance: VT =

(N sol )(N planetaA )(N 4 ) ω2 =− (N planetaB )(N sec undario )(N 5 ) ω eje

VT =

ω2 (17 )(12)(12) = 0.080 = ω eje (29)(36)(29 )

VT del tren motriz 3.

En velocidad de avance: VT =

VT =

(N sol )(N 6 ) ω3 = ω eje (N sec undario )( N 7 )

ω3 (17 )(12) = = 0.1317 ω eje (36 )(43)

VT del tren motriz 4.

En velocidad rápida de avance: VT = −

VT = −

(N )(N 9 ) ω4 = − sol (N 8 )(N10 ) ω eje

ω4 (17 )(12) = −0.2068 =− (34)(29) ω eje

En velocidad lenta de avance: VT = −

VT = −

(N sol )(N planetaA )(N 9 ) ω4 =− (N planetaB )(N 8 )(N10 ) ωeje

ω4 (17 )(12)(12) = −0.0856 =− (29)(34)(29) ω eje

86

Diseño cinemático de la transmisión

VT del tren motriz 5.

En velocidad rápida de avance: VT =

VT =

(N sol )(N11 ) ω5 = ω eje ( N int ermedio )( N14 )

ω 5 (17 )(12 ) = = 0.1954 ω eje (36 )(29)

En velocidad lenta de avance: VT =

(N sol )(N planetaA )(N11 ) ω5 = ω eje (N planetaB )( N sec undario )( N14 )

VT =

ω5 (17 )(12)(12) = 0.0808 = ω eje (29)(36)(29)

VT del tren motriz 6.

En velocidad de avance: VT = −

VT = −

(N )(N16 ) ω6 = − sol (N15 )(N17 ) ω eje

ω6 (17 )(14) = −0.1784 =− (46)(29) ω eje

Haciendo un comparativo con los valores obtenidos de la transmisión original, vemos que son aproximadamente iguales, existiendo una pequeña diferencia, entre un modelo y otro. Si se hubiera seleccionado un módulo igual al triple del original, los VT hubieran salido exactamente iguales, pero los piñones más pequeños sufrirían rebaje, así que los resultados obtenidos son aceptables En la tabla 5.5 se tabulan los resultados obtenidos del VT.

87

Diseño cinemático de la transmisión Tabla 5.5. Resultados del cálculo del Valor del Tren del nuevo modelo.

Velocidad de avance

5.4

Tren motriz

Rápida

Alimentación

- 0.4418

1

Velocidad de retroceso

Lenta

Rápida

Lenta

- 0.1784

- 0.0738

0.1784

0.0738

2

0.1954

0.080

- 0.1954

- 0.080

3

0.1317

4

- 0.2068

- 0.0856

0.2068

0.0856

5

0.1954

0.0808

- 0.1954

- 0.0808

6

- 0.1784

- 0.1317

0.1784

Controles de la transmisión.

El control de los movimientos del brazo depende de la posición en que se accionen las palancas de los trinquetes para frenar al brazo de la unidad planetaria, las cuales a su vez son accionadas por medio de las palancas de control y a su vez éstas son manipuladas por medio del operario del brazo, de forma manual. Aunque en esta tesis no se incluye el diseño del mecanismo de trinquete se menciona su funcionamiento como parte fundamental del medio de control. Al estar controlado el brazo por vía puramente mecánica y a voluntad del operario, resulta un poco difícil la manipulación y el control de la posición de los eslabones, por lo que se propone mejorar en este punto. Como no se cuenta con ningún dispositivo de control

88

Diseño cinemático de la transmisión auxiliar, el posicionamiento de los eslabones depende de la habilidad de quien este operando la transmisión, por medio de las palancas que accionan los trinquetes, requiriéndose de gran habilidad para lograr posicionamientos con cierto grado de precisión. Para mejorar el funcionamiento de la transmisión, se propone que los eslabones realicen sus movimientos de una manera más lenta, y así el operario tendrá un mayor tiempo para tomar una decisión para posicionar el brazo de una manera más precisa. Para esto se propone accionar la transmisión con un motor que tenga una velocidad más lenta, optándose por un motor que gira a 1800 RPM. A continuación se hace el cálculo de las velocidades en los ejes de salida.

Velocidad del eje principal. Del VT del tren de alimentación se obtiene:

ω eje = (VT )(ω motor )

ω eje = (− 0.4418)(1800) = 795 RPM velocidad del eje de salida 1.

Rápida de avance.

ω1 = (VT )(ω eje ) ω1 = (− 0.1784 )(795) = 141.82 RPM Lenta de avance.

ω 2 = (VT )(ω eje ) ω1 = (− 0.0758)(795) = 60.26 RPM Velocidad del eje de salida 2.

Rápida de avance.

ω 2 = (VT )(ω eje ) ω 2 = (0.1954 )(795) = 155.34 RPM Lenta de avance.

ω 2 = (VT )(ω eje )

89

Diseño cinemático de la transmisión

ω 2 = (0.080 )(795) = 63.6 RPM Velocidad del eje de salida 3.

De avance.

ω 3 = (VT )(ω eje )

ω 3 = (0.1317 )(795) = 104.70 RPM Velocidad del eje de salida 4.

Rápida de avance.

ω 4 = (VT )(ω eje ) ω 4 = (− 0.2068)(795) = 164.40 RPM Lenta de avance.

ω 4 = (VT )(ω eje ) ω 4 = (− 0.0856 )(795) = 68.05 RPM Velocidad del eje de salida 5.

Rápida de avance.

ω 5 = (VT )(ω eje ) ω 5 = (0.1954)(795) = 155.34 RPM Lenta de avance.

ω 5 = (VT )(ω eje ) ω 5 = (0.0808)(795) = 64.23RPM Velocidad del eje de salida 6. De avance.

ω 3 = (VT )(ω eje ) 90

Diseño cinemático de la transmisión

ω 3 = (− 0.1784 )(795) = 141.82 RPM En la tabla 5.6 se muestran los resultados obtenidos del análisis de velocidades hecho al nuevo modelo, considerando a las velocidades positivas como horarias y las negativas antihorarias. Tabla 5.6. Resultados del cálculo de velocidades del nuevo modelo.

Velocidad de avance (RPM) Tren motriz

Rápida

Alimentación

- 795

1

Velocidad de retroceso (RPM)

Lenta

Rápida

Lenta

- 141.82

- 60.26

141.82

60.26

2

155.34

63.6

- 155.34

- 63.6

3

104.70

4

- 164.40

- 68.05

164.40

68.05

5

155.34

64.23

- 155.34

- 64.23

6

- 141.82

- 104.70

141.82

91

Diseño cinemático de la transmisión 5.5

Planos.

Para poder elaborar los planos de los nuevos engranes, es necesario terminar de dimensionar las partes principales de un engrane, tomando como modelo al piñón de 12 dientes, prosiguiendo como sigue:

Cálculo del paso circular. Pc = Pc =

π (15) 12

πD N = 3.93mm

El cálculo de las siguientes magnitudes de los engranes se basa en lo estipulado en la tabla 2.4.

Cálculo del adendo. a = 1xm

a = 1.25mm

Cálculo del dedendo. b = 1.25 xm

b = (1.25)(1.25) = 1.56mm

Cálculo de la altura de total ht = 2.25 xm ht = (2.25)(1.25) = 2.81mm

Cálculo de altura de trabajo. hk = 2 xm hK = (2 )(1.25) = 2.5mm

Cálculo del espesor del diente. S=

mπ 2 92

Diseño cinemático de la transmisión

S=

(1.25)π 2

= 1.96mm

Cálculo del diámetro exterior. Despejando la ecuación 4.1a, se obtiene que: Dext = D + 2a Dext = D + 2(1.25) Dext = D + 2.5 Resolviendo para cada engrane, se compila toda la información recabada sobre ellos en la tabla 5.7 y se procede hacer su respectivo dibujo, haciendo las siguientes observaciones: -

Los engranes 4, 6 y 11, son del mismo tamaño y corresponden a los trenes 2, 3 y 5 respectivamente, así que sólo se hace un dibujo representativo para los tres (lámina 31).

-

Los engranes 3, 10, 14 y 17, son del mismo tamaño y corresponden a los trenes 1, 4, 5 y 6 respectivamente, por lo que sólo se hace un dibujo representativo para los cuatro (lámina 33).

-

Los engranes 5 y 12, son del mismo tamaño y corresponden a los trenes 2 y 5 respectivamente, así que sólo se hace un dibujo representativo para los dos (lámina 34). En la parte III del anexo planos se muestran los dibujos de los nuevos engranes.

93

Diseño cinemático de la transmisión Tabla 5.7. Características finales de los engranes del nuevo modelo. TREN

ENGRANE Directo

No. DIENTES (N) 19

D (mm) 23.75

Dext (mm) 26.25

Reductor

43

53.75

56.25

Sol

17

21.25

23.75

Planeta 1

20

25

27.5

Planeta 2 A

12

15

17.5

Planeta 2 B

29

36.35

38.85

Intermedio

36

45

47.5

Secundario

36

45

47.5

1

46

57.5

60

2

14

17.5

20

3

29

36.35

38.85

4

12

15

17.5

5

29

36.25

38.85

6

12

15

17.5

7

43

53.75

56.25

8

34

42.5

45

9

12

15

17.5

10

29

36.35

38.85

11

12

15

17.5

12

29

36.35

38.85

13

12

15

17.5

14

29

36.35

38.85

15

46

57.5

60

16

14

17.5

20

17

29

36.35

38.85

Alimentación

U. Planetaria

Común

Motriz 1

Motriz 2

Motriz 3

Motriz 4

Motriz 5

Motriz 6

94

Diseño cinemático de la transmisión

95

CONCLUSIONES Como mencioné en la introducción del texto, el control del movimiento y del posicionamiento del brazo mecánico también se pueden llevar a cabo utilizando tecnología de punta por medio de sistemas de control automático y electrónico, dicha tarea tal vez no sea nada complicada para un profesionista de la automatización, pero tal vez para un Ingeniero Mecánico cuya formación académica no se aboca tanto a este tipo de sistemas, sí le sea complicado. Aunque existen profesionistas especializados en esta área, no es nada extraño que a un Ingeniero Mecánico en el campo industrial se le exijan conocimientos de control y automatización, tomando en cuenta que a pesar de los avances tecnológicos, en muchos de los casos el principio de funcionamiento de las máquinas no ha cambiado, únicamente han evolucionado sus sistemas de control, por lo tanto considero que el Ingeniero Mecánico tiene que actualizarse en este tema para ser más competitivo, pues no hay que olvidar que por mucho que evolucionen este tipo de sistemas, la mecánica clásica nunca será desechada por completo, pues existen tareas que los dispositivos electrónicos no pueden hacer, tal es el caso de la transmisión del brazo mecánico. Si se hubiera tomado la decisión de controlar su movimiento con dispositivos de control automático, hubiera sido necesario la utilización de un número excesivo de motores, más aparte los circuitos electrónicos y una PC para la programación de una rutina, comparando este método contra un sistema de control mecánico a partir de una transmisión de engranes este resulta más factible de realizar, aunque también presenta sus desventajas como lo es la dependencia de un operario para accionar. Aunque cada método presenta sus ventajas y sus desventajas tampoco nos podemos aferrar a una sola idea de controlar el movimiento con un método o con otro. Considerando las herramientas y los avances tecnológicos que se han desarrollado en la actualidad, además que la ingeniería es una disciplina multidisciplinaría bien se pueden aprovechar todos los recursos tecnológicos desarrollados por otras áreas de estudio diferentes a la mecánica, para combinarlos con sistemas mecánicos aprovechando al máximo las ventajas que ofrece cada método para una mejor optimización de los sistemas de control. Así, en el caso de la transmisión de engranes del brazo mecánico, esta presenta la gran desventaja que depende de la voluntad de un operario para accionar, cuya dependencia se podría evitar si se integran dispositivos de control que hagan la función del operario, sin la necesidad de sustituir la transmisión; por ejemplo, las palancas de control se podrían accionar por medio de electroválvulas y estas a su vez estar controladas con un microcontrolador previamente programado con una rutina para obtener una serie de movimientos que deba realizar el brazo para llevar a cabo una tarea en particular y de esta manera se logran integrar un sistema mecánico y uno electrónico; es decir el control del brazo se puede optimizar sin alterar la condición que se planteó desde un principio de mover el brazo con un sólo motor. Tampoco pretendo decir que el Ingeniero Mecánico deba ser un experto en el tema del control automático, pues existen profesionistas especializados en este tema como el Ingeniero en Robótica o el Ingeniero en Automatización, pero sí que esté consiente que existe tecnología de la cual puede hacer uso para controlar las máquinas que diseñe, obteniendo resultados satisfactorios y competitivos en un mercado laboral.

BIBLIOGRAFÍA - MABIE, Hamilton H. “Mecanismos y dinámica de maquinaria”. Ed. Limusa, 2ª edición, 1999. México. - SHIGLEY, Joseph E. “Teoría y diseño de mecanismos”. Ed. Mc. Graw Hill, 1986. México. - SHIGLEY, Joseph E. “Diseño en ingeniería mecánica”. Ed. Mc Graw Hill, 6ª edición, 2004. México. - NORTON, Robert L. “Diseño de maquinaria”. Ed. Mc Graw Hill, 2ª edición, 2000. México. - DARLE, Dudley W. “Manual de engranajes”. Ed. CECSA, 4ª edición, 1983. México.