´ gico Auto ´ nomo de Me ´xico Instituto Tecnolo Departamento de Matem´aticas C´alculo Diferencial e Integral I (MAT14100) Lista de Ejercicios

La derivada

C´ alculo Diferencial e Integral I. La derivada.

1

La derivada

b) f (x) = 4x5/3 − 3x−2 − 12,

Antes de hacer los ejercicios, despeja un poco tu mente leyendo la biograf´ıa de Gottfried Wilhelm von Leibniz en http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz.html. Recuerda que

√ 1 c) f (x) = 6 x + √ , x

f (a + h) − f (a) f 0 (a) = l´ım h→0 h f (x) − f (a) f 0 (a) = l´ım x→a x−a

(1)

d ) f (x) =

x , x−1

e) f (x) =

x2 + 3x + 2 , x4 + x2 + 1

(2)

f ) f (x) = √

1. Sea f (x) = 5x2 . Prueba que f (3 + h) = 5h2 + 30h + 45. A continuaci´ on, prueba que



f (3 + h) − f (3) = 5h + 30 h

g) f (x) =

1 + x3 1 − x3

f 0 (a)

2. Calcula de dos maneras: usando la ecuaci´on (3) y la ecuaci´ on (4). a) f (x) = x2 + 9x, b) f (x) =

x2

c) f (x) =

3x2

+ 9x,

a = 0;

j ) f (x) = 5. Sean

a = 2; g(x) =

+ 4x + 2,

d ) f (x) = x3 ,

a = −1;

a = 2.

3. Usa la definici´ on para calcular f 0 . ¿Cu´al es el dominio de f 0 ?

1/3

1+

x2 (x

f (x) =

1 1 + 1/x

7. Calcula f 0 si:

b) f (x) = x4 sen x,

c) f (x) = x + x−1 ,

a) f (x) = x −

c) f (x) =

1 , 2 + cos x

d ) f (x) =

2 − sen x , 2 − cos x

e) f (x) =

x sen x , 1 + x2

f ) f (x) = tan(x) sec(x), g) f (x) = x tan x,

4. Calcula f 0 si: √ x,

x

6=

0,

y

6. Resuelve los ejercicios 66-70 de la p´agina 120 de [1] (Secci´on 3.2)

b) f (x) = x−1 ,

1 g) f (x) = √ . x

si

1 . Calcula f 0 y g 0 . 1 + 1/f (x)

a) f (x) = x4 + sen x,

2 e) f (x) = , 1−x √ f ) f (x) = x + 4,

1 √ , + 1 + x2 )

q p √ x + x + x.

a) f (x) = 2x2 + 10x,

1 d ) f (x) = , x+3

,

h) f (x) = (1 + x)(2 + x2 )1/2 (3 + x3 )1/3 , i ) f (x) = √

y calcula f 0 (3).

x , 4 − x2

h) f (x) =

sen x , x

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i ) f (x) =

1 , x + sen x

2

12. Calcula f 0 si:

j ) f (x) = cos(2x) − sen(2x), k ) f (x) = (2 − x2 ) cos(x2 ) + 2x sen(x3 ), l ) f (x) = sen(cos2 x) · cos(sen2 x), m) f (x) = senn (x) · cos(nx),

a) f (x) = |x2 − 4|, b) f (x) = x|x|, c) obt´en, si los hay, los puntos x donde no exista f 0 (x).

n ˜) f (x) =

13. Sean f (x) = 3x + |x| y g(x) = 34 x − 14 |x|. Demuestra que ni f 0 (0) ni g 0 (0) existen pero que (f ◦ g)0 (0) existe. Sugerencia. Analiza la composici´on si x ≥ 0 y si x < 0.

p) f (x) = sec2 x + csc2 x.

14. Sea g(x) = |f (x)|. Demuestra que si f 0 (x) y g 0 (x) existen, entonces |g 0 (x)| = |f 0 (x)|. Sugerencia.

n) f (x) = sen[sen(sen x)], sen2 x , sen x2 x x o) f (x) = tan − cot , 2 2

8. Determina g 0 en funci´ on de f 0 si: a) g(x) = f (x2 ), b) g(x) = f (sen2 x) + f (cos2 x), c) g(x) = f [f (x)],

( f (x) g(x) = |f (x)| = −f (x)

15. Sea g(x) = |f (x)|. Si f (n) (x) existe y f (x) 6= 0, demuestra que

d ) g(x) = f {f [f (x)]}. 9. Calcula f 0 (0) si ( a) f (x) =

1−cos x x

0 (

b) f (x) =

sen x2 x

0

( x2 sen x1 c) f (x) = 0

g (n) (x) = si x 6= 0, si x = 0. si x 6= 0, si x = 0. si x 6= 0, si x = 0.

10. Calcula la segunda derivada para las funciones de los ejercicios 3, 4, y 7. 11. Aplica la definici´ on de la derivada para mostrar que x d |x| = . dx |x| si x 6= 0. √ Sugerencia. Considera |x| = x2 o hazlo por casos.

si f (x) ≥ 0, si f (x) < 0.

f (x) (n) f (x). |f (x)|

Sugerencia. Considera |f (x)| =

p f 2 (x).

dy por medio de diferenciaci´ on 16. Determina dx impl´ıcita: a) x2 + y 2 = 16, b) 4x2 − 9y 2 = 1, c) x2 + y 2 = 7xy, 1 1 + = 1, x y √ √ e) x + y = 4,

d)

f ) cos(x − y) = y, g) x sen y + y cos x = 1, h) sec2 x + csc2 y = 4.

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17. Si 0 < x < 5 la ecuaci´ on x1/2 + y 1/2 = 5 define y como funci´ on de x. Sin resolverla respecto a y, muestra que y 0 tiene signo constante. (Sup´on la existencia de y 0 .) 3x2

4y 2

18. La ecuaci´on + = 12 define impl´ıcitamente dos funciones y de x si |x| ≤ 2. Suponiendo que y 00 existe, muestra que verifica la ecuaci´on 4y 3 y 00 = −9. 19. La ecuaci´on x sen(xy)+2x2 = 0 define impl´ıcitamente y como funci´ on de x. Suponiendo que y 0 existe, demuestra que satisface la ecuaci´on y 0 x2 cos(xy) + xy cos(xy) + sen(xy) + 4x = 0. 20. Dada la f´ormula 1 + x + x2 + · · · + xn =

1 − xn+1 x−1

(x 6= 1) derivala y encuentra la f´ ormula para las siguientes sumas: a) 1 + 2x + 3x2 + · · · + nxn−1 ; b) 12 x + 22 x2 + 32 x3 + · · · + n2 xn . 21. Sea f una funci´ on derivable derivable en t0 = 0 tal que f (t) l´ım = 1. t→0 sen t Calcula: a) l´ım f (t), t→0

b) f 0 (0). 22. Una funci´on f est´ a definida como sigue: ( x2 si |x| ≤ c, f (x) = ax + b si |x| > c. Encuentra los valores de a y b (en funci´on de c) tales que f 0 (c) exista. 23. Resuelve nuevamente el ejercicio 22 si f est´a definida como sigue: ( 1 si |x| > c, f (x) = |x| 2 a + bx si |x| ≤ c.

3

24. Existe un polinomio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d tal que p(0) = p(1) = −2, p0 (0) = −1 y p00 (0) = 10. Calcula a, b, c, y d. 25. Sea f : R → R tal que |f (y) − f (x)| ≤ (y − x)2 ∀x, y ∈ R. Demuestra que f es constante. Sugerencia. Usa la definici´on de la derivada para probar que f 0 (x) = 0 ∀x, y ∈ R. 26. Sup´on que u(1) = 2, u0 (1) = 2, v(1) = 5, v 0 (1) = 0. Determina:  √ 0 2u + v a) (1) u2 + 4v  √ 0 2uv + u b) (1) u + 2v 27. Sea f derivable en x0 sea f (x0 ) = 0. Demuestra que si g es continua en x0 , entonces f g es derivable en x0 y (f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ). Concluye que p x|x|, x1/3 sen x, x2/3 sen x, (1 − cos x) |x| son todas derivables en x0 = 0 y determina el valor de sus derivadas en x0 . Sugerencia. Usa la definici´on de la derivada. 28. Si g es continua en a y f (x) = (x − a)g(x), determina f 0 (a). Sugerencia. Utiliza la f´ormula (4). 29. Sup´on que f 0 (a) existe. Muestra que f (a) − f (a − l) . l→0 l

f 0 (a) = l´ım

Sugerencia. Usa la f´ormula f (a + h) − f (a) = −(f (a) − f (a + h)) y define l = −h. 30. Si f 0 (a) existe, demuestra que f (a + h) − f (a − h) . h→0 2h

f 0 (a) = l´ım

Sugerencia. Usa el ejercicio 29 y la f´ ormula f 0 (a) = 12 f 0 (a) + 12 f 0 (a) 31. Sean f , g ,h funciones derivables. Prueba que (f gh)0 (x) es igual a: f (x)g(x)h0 (x) + f (x)g 0 (x)h(x) + f 0 (x)g(x)h(x)

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32. Usa la definici´ on de la derivada para mostrar que   1 f 0 (x) d =− 2 dx f (x) f (x)

37. Sea f : R → R diferenciable en x = 0. Prueba que f (x2 ) − f (0) l´ım = 0. x→0 x

Sugerencia. Prueba que el cociente incremental para 1/f (x) es igual a:

38. Sea h : R → R una funci´on acotada. Define f : R → R por

f (x) − f (x + h) hf (x)f (x + h)

f (x) = 1 + 4x + x2 h(x)

33. En este ejercicio realizar´ as la demostraci´on de la regla del cociente que di´ o Maria Agnesi es su libro sobre c´ alculo, publicado en 1748: sup´on que que f , g y h = f /g son derivables. Calcule la derivada de hg = f usando la regla del producto y despeja h0 . 34. Un resultado b´ asico de ´ algebra establece que c es una ra´ız de un polinomio f (x) si y s´olo si f (x) = (x − c)g(x) para alg´ un polinomio g(x). Se dice que c es una ra´ız m´ ultiple si f (x) = (x − c)k h(x) donde h(x) es un polinomio y k ∈ N, k > 1. a) Prueba que c es una ra´ız m´ ultiple de f (x) si y s´ olo si c es una ra´ız tanto de f (x) como de f 0 (x). b) Aplique el resultado anterior para determinar si c = −1 es una ra´ız m´ ultiple de 1) x5 + 2x4 − 4x3 − 8x2 − x + 2, 2) x4 + x3 − 5x2 − 3x + 2. 35. Sea f : R → R tal que f (a + b) = f (a)f (b) ∀a, b ∈ R. Adem´ as sup´ on que f (0) = 1 y que 0 f (0) existe. Demuestre que f 0 (x) existe para toda x y que f 0 (x) = f 0 (0)f (x). 36. Sup´on que la funci´ on f : R → R tiene la propiedad de −x2 ≤ f (x) ≤ x2

∀x.

Prueba que f es diferenciable en x = 0 y que f 0 (0) = 0. Sugerencia. Usa el teorema del S´ andwich. ¿Qu´e pasa en la desigualdad si x = 0?

∀x.

Prueba que f (0) = 1 y f 0 (0) = 4. Nota que no hay ninguna suposici´on sobre la diferenciablidad de h. 39. Una funci´on f : R → R es llamada par si f (x) = f (−x) para todo x; y es llamada impar si f (x) = −f (−x) para todo x. Prueba que si f : R → R es diferenciable e impar, entonces f 0 : R → R es par.

Referencias [1] Jon Rogawski, C´ alculo: una variable. Revert´e, Barcelona, segunda edici´on, 2012.