JESÚS MARTÍNEZ MARTÍNEZ

Introducción a la Cristalografía Geométrica



A-A,

figura 8

y/

\ V

\ \

Punto de partida A A • giro = A' + inversión = A^ (materializado) A, + giro = A] + inversión = k^ (materializado) AA + inversión An (materializado) A2 + giro A-, + giro = AA + inversión = A^ (materializado) A = A, ÁU) -4i

18

EJE SENARIO DE 1NVERS10N=E

6i

A4

60»

N

/

/

"VA

//y

\l:

figura 9

^

I

^x

LL.^'.^^^C

:i':.^.\ •^A

Punto de partida

A

A •• giro = A' + inversión

'1

giro

Al (materializado)

Ai + inversión == A-, (materializado) AA + inversión = Ao (materializado)

giro A^ + giro = A-, + inversión = A^ (materializado) A4 + giro A¿ + inversión piro ^ Ai + inversión A - A, E^^ = E^ . H = E

E^

+ ÓE^

30

EJEMPLO DE LA METODOLOGÍA A EMPLEAR EN EL CALCULO DE

LhZ

ASOCIACIONES DE ELEMENTOS DE SIMETRÍA DEL GRUPO A Deducción de todas aquellas asociaciones del grupo A en las que intervienen un L . Primeramente se hallan las asociaciones primit^, vas.asociando al E

combinaciones de los siguientes ele-2 mentos simétricos: C,E ,p,H,tomados uno a uno,dos a dos,tres a tres, y cuatro a cuatro: -• asociación de partida primitiva. + + + +

P H

+

C + E'

+

C • p

incompatible 2^ teorema

+

C + H

repetida

+

E^+ C

+

E^+ p

+

E^+ H

repetida

+

p • C

repetida

+

p +

+

p + H

repetida

+

H + C

repetida

+

H •

repetida

+

H + p

+

C + E

E I I I

'3 E^ +

E'

E'

C • E'

* H

31 Es suficiente con hallar las asociaciones prin,^ tivas hasta E

+ C T inclusive,ya que con las restantes ob

tendríamos asociaciones permitidas

repetidas,

una ve?. -

hubiésemos operado. Total de asociaciones primitivas: E" 4 (Cj + C^) = 11 La segunda fase consiste en alicar los teoremas de simetría a las asociaciones permisibles.Ejemplos: 1) E-^ + E^ + C — * E ^ + 3E^ + C + p — E-^ + 3E"+ 3p + C \

'

\

4e

'

•

—

-

^

—

25

~ 35 -^

2) E-^ + p + H

E-^ + 3p + H

^

asociaciones pe£ misibles

Los tres planos "p" intersectan al plano "H",ob teniéndose tres intersecciones, que desempeñan giros de -1805 gracias a los planos "p",es decir,que son equivalen 2 tes a E contenidos en los planos "p".Luego: E^ + 3p + H

• E-^ + 3p + 3E^ + H

La tercera y ultima fase consiste en suprimir aquellas asociaciones permitidas que aparecen repetidas. LOS EJES DE REFLEXIÓN E INVERSIÓN Y LAS ASOCIACIONES DE ELEMENTOS DE SIMETRÍA Se podría pensar que los ejes de simetría de re flexión y de inversión determinarían nuevas

asociaciones

de elementos de simetría.Esta suposición,exceptuando el eje cuaternario de reflexión,equivalente al cuaternario de inversión,no es cierta,ya que esos ejes son equivalentes a asociaciones de elementos de simetría ya considerados en las asociaciones primitivas.Esto es demostrado por las siguientes igualdades: E(2)

.

C

E2Í

=P

E^3) , E 3 , H

E^^ - E^^^ = E^ . C

E:n ya que por el 2^ teorema debe existir el centre. EJEMPLOS UE NOTACIONES DE MAUGUIN

ninguno - 1 C = 1 P = 2 E^ * P + C = 2/m E , + 2p = 2ir, 3E2

=: 222 3p * C = 2/-

- 3 E' * C = 3 E ' ^ 3p =: 3m E' > 3 E 2 = 32

E'

E3

.

3E2

+ 3p + C

32tu

= 6

,(3) + 3E" + 3p = 62;m E' E'

* C + H = 4/ni

E^ * Ap = hm E^ .

= U2 IVi

E + UE + 4p + H + C = 4/ m

E^^^ = 4 E^^^ + 2E^ + 2p = 42ni E^ = 6 E^ + C • H = 6/ni E

• 6p " íim

E^ + 6E^ = 62 m E^+ 6E^ + 6P * C * H = 6/^ AE^ * UE^ ,

3E2 3E2

= 23 * C * 3H = 2/^

4E^ • 3E^ • 6p = 43ii. 4E^ > SE"* * AE^ . 3E^ ,

6E2 6E2

- 432 . 6p . 3H * C = 4/^

37 NOTACIONES DE SCHOENFLIES PARA LAS DIFERENTES CLASES DI. SIMETRÍA Criterios utilizados: Las clases definidas por un eje de rotación sen cilla determinan los grupos de simetria ciclica.El simbolo general de estos grupos es C ,en donde: C es inicial de "ciclico". El subindice n indica el orden del eje de rotación. Cuando los ejes de rotación sencilla dejan de ser polares,para pasar a bipolares,por la presencia de un plano ecuatorial de simetria perpendicular al eje,se ob-tienen los grupos ciclicos paramorficos.El simbolo gene-ral de estos grupos es C i^.en donde el plano ecuatorial se indica por el subindice h. Cuando los ejes de rotación sencilla de orden n son polares,por no existir un plano ecuatorial.pero cont£ niendo planos de simetria^ que forman diedros iguales en-tre si,y no siendo bisectrices de los ángulos que forman 2 entre si los E perpendiculares al eje principal,en caso de existir,se obtienen los grupos ciclicos hemimorficos.El simbolo general de estos grupos es C ,en donde v re-cuerda la verticalidad de los planos de la asociación de elementos de simetria. Los ejes principales de orden n y n ejes bina-rios, situados en planos perpendiculares a ellos, determi-nan los llamados grupos diedricos.El simbolo general de estos grupos es D^. Los grupos diedricos,que poseen ademas un plano de simetria perpendicular al eje principal,se representan por el simbolo general D^j^.El eje principal es de nuevo bipolar. Cuando en los grupos diedricos de ejes polares, es decir,con ausencia de planos ecuatoriales.existen planos contenidos en el eje principal.siendo estos bisectri2 ees de los ángulos que forman entre si los E perpendiculares al eje principal,el simbolo se convierte en D ,. en donde el subindice d indica en este caso que los planos no contienen a los ejes binarios laterales.sino que ocu--

38 pan,respecto a el los,posición diagonal. Los ejes de rotación de reflexión

caracterizan

a los grupos cíclicos de segunda especie.El simbolo general

es S .Es factible las siguientes equivalencias:

^3 " ^3h ^6 = ^3h en donde C. = C,. = Ci .equivalentes a la operatividad efectuada por un centro. Las clases del sistema regular forman grupos e£ peciales.Estos son: a) aquellos en los que los ejes ternarios son pola-res,por la ausencia de los ejes binarios que salen por las aristas.Se simbolizan por la letra T. b) Y aquellos en que los ejes ternarios son bipola-res,por la presencia de los ejes binarios que salen por las aristas.Se simbolizan por la letra O. El subíndice h se refiere aqui a la

existencia

exclusiva de planos principales (planos diametrales),y el d se fiere a la existencia exclusiva de planos diagonales (los planos diagonales son los 6 determinados por cada par de aristas opuestas). EN RESUMEN

grupos de simetría cíclica:

notación C

grupos cíclicos paramorficos:

C ,

grupos cíclicos hemiraorficos:

C^^

grupos diedricos de eje polar y sin planos diagonales:

D n

grupos diedricos de eje principal bipolar:

D ,

grupos diedricos de eje polar y con planos diagonales:

D ,

grupos cíclicos de segunda especie:

S

n

3Q

rupo del sistema regular:

T i .,

EJEMPLOS ÜE NOTACIONES DE SCHOENKLIES 1) Grupos cíclicos: E^ = Cj 2 3 E^ = C3

2) Grupos cíclicos paramorficos: E^+ H = E^ + p + C = C2^ E^ . H = C3^ E^ + H = E^ + H + C = C¿^^ E^ + H = E^ + H + C = C^j^ 3) Grupos ciclicos hemirnorf icos: E^ + 2p = C2^ E3

. 3p = C3^

U) Grupos diedricos de eje principal polar y sin pl¿ nos diagonales: 2 2 E^ + 2E'^ = D2 E-^ + 3E^ = D3

5) Grupos diedricos de eje principal bipolar: E^ + 2E^ + p = 3E^ + p + C = 3E^ + 3p + C - I^j^ E^+ 4E^+ H = E^+ ¿*E^* H + C = E^+ 4E^+ H + C + 4p = D^^^ E*' + 6E^+ H = E^+ 6E^+ C + H - E^+ H + C + 6p = D^j^ 6) Grupos diedricos de eje principal polar y con pl£ nos diagonales: E ^ ^ ^ 2p + 2E^..E^^^ E^ polar = D^^ E^* 3E^ + 3p = E^ + 3E^ + 3p + C = D^^

Ub

7) Grupos cíclicos de segunda especie:

:^^^ = s

u

8) Grupos del sistema regular: AE

+ SE'^ = T

4E^ + 3E^ + C + 3H = T^ 4E-^+ 3E^ + 6p = T^ 4E^+ 3E + 6E^ =0 4E-^+ 3E^ + 6E^ + 6p -^ 3H + C = 0^

OBSERVACIONES SOBRE LA SIMETRÍA PUNTUAL CRISTALINA 1- Relaciones entre la simetría geométrica de la materia cristalina y la de la geometria de los fenómenos fi. sicos: Las 32 asociaciones puntuales deducidas son todas las posibles en cuanto se refieren a la materia cristalina,pero si es considerada la geometria en su totali-dad necesariamente se establecen otras asociaciones pun-tuales.Ejemplos: 2 para la circunsferencia — • E ' + w p

-t- C

+

H

+•£

+

C

+

H

+«E

+

C

para el cilindro

• E^+ap

para el cono

• E* + » p

para la esfera —

• » E" +« H

Los ejemplos indidados traducen que algunas tox_ mas geométricas^sin ninguna relación con la materia cristalina .poseen una simetria muy superior a la crístalografia,aunque hay excepciones. Muchos fenómenos físicos implican formas geométricas como las descritas,© mas o menos próximas,luego,de una manera generalizada,cabria enunciar que tales fenómenos simétricamente,y con bastante frecuencia,son superiores a la geometría cristalina. Un ejemplo Ilustrativo, de las anteriores conclu siones.serla la simetría determinada por la incidencia de un objeto solido sobre una superficie liquida.Las ondas concéntricas originadas tienen la simetría de la circunsferencia,y esta simetría posee un rango mayor a la de

Al cualquier solido cristalino. 2- La materia cristalina y la discriminación sime-trica: En regiones de un vulcanismo basáltico,no resul_ ta raro encontrar una disyunción columnar pentagonal.Aparentemente estas rocas implican ejes de simetria de orden cinco,y hay.obviamente, una discriminación en relación con la materia cristalina,ya que a esta no se le permite tales ejes.Sin embargo,en este caso concreto,no existe tal descriminacion,debido a que estos basaltos solamente muestran falsos ejes pentagonales,al ser los prismas irre guiares.circunstancia incompatible con la presencia de ejes de simetria. No obstante,si seguimos analizando la Naturaleza,encontramos hechos y fenómenos que,sin duda, presentan una simetria no permitida a la materia cristalina.Ejemplo: las ondas concéntricas,que determinan una piedra al caer sobre una superficie liquida.tienen una simetria que en-globa un eje E" «prohibido en la materia cristalina.Igual ocurre,entre otros muchos ejemplos,con la simetria que en gendra la propagación de ondas sonoras; la de la esfera. Conclusión: La Naturaleza se comporta de forma discriminatoria en cuanto a la simetria de cuerpos.hechos y fenómenos naturales.

A2

SISTEMAS CRISTALINOS ESQUEMA Introducción. Cuadro - resumen de los sistemas y clases cristalinas. Nomenclatura standard de las diferentes clases de simetria. Notaciones de Harmann - Mauguin y de Schoflies para las diferentes clases cristalinas. Equivalencias de nomenclaturas de las clases simétricas. INTRODUCCIÓN Las clases de simetria se agrupan en sistemas,siendo en principio y en una primera aproximación,el criterio de esta reagrupacion la presencia del eje de orden mayor a dos,o a la presencia conjunta de varios ejes de orden mayor a dos. Con este criterio quedan ambiguas las definicio nes de los sistemas triclinico.monoclinico y rómbico. En total existen siete sistemas: El sistema triclinico es muy simple,ya que en-globa únicamente a dos asociaciones: la formada por un centro de simetria y la que carece de todo elemento de si metria. El sistema monoclinico esta formado por algunas 2 asociaciones unitarias (por un E o por un p),o por la a-

43 asociación: E

'I

+ p + C.

El sistema rómbico lo constituye el conjunto de asociaciones de elementos de simetria en la que intervie2 nen E .estando ausentes los ejes de orden mayor a dos.Que^ dan excluidas aquellas asociaciones que se ajustan al si£ tema monoclinico. El sisteam trigonal esta formado por aquellas ¿ sociaciones del grupo A en las que interviene

un eje te£

nario. El sistema tetragonal esta formado por aquellas asociaciones del grupo A en las que interviene un eje cua^ ternario. El sistema exagonal esta formado por aquellas a^ sociaciones del grupo A en las que interviene un eje sen^ rio. El sistema regular,o cubico,esta formado por aquellas asociaciones en las que intervienen A ejes ternarios mas 3 ejes binarios o cuaternarios.

CUADRO - RESUMEN DE LOS SISTEMAS Y CLASES CRITALINAS

grupo A

grupo B

nonenclacur.i oe Pístereograficas pueden ser: Las proyecciones esueicw© r - indirectas o - directas. ^^ínn PBtereografica indirecta se su En la proyección esi-ci^^^e _ 4 • 1 en „„ el oí centiu rentro de una esfera,de radio arbipone el1 cristal A A^ rentro de ella las normales a trario.Se trazan desde c\ ei ceni-i" , „-„ hasta Que encuentren a la superlas caras y se prolongan,nasua s^ ficie esférica en unos puntos denominados "polos esféricos".Cada cara del cristal tiene,por lo tanto,su polo.y la posición de este define por completo la dirección de la cara en el espacio.El conjunto de caras se sustituye asi por un conjunto de polos.y el problema se reduce e n tonces a representarlos en el plano de dibujo.Para ello se elige como plano o circulo de proyección el plano hori zontal del ecuador y como punto de vista un extremo del diámetro vertical N-S (el S para los polos del hemisferio

91 superio.y el N para los del inferior). En definitiva,

la

proyección estereográfica indirecta consta de dos fases:ia primera,que realmente es una proyección esf erica ,seguj. da de una segunda,que se la podria considerar como la pro yeccion estereográfica en sentido estricto. La proyección estereográfica directa.empleada para proyectar en general una superficie.consiste: 1- En hacer pasar la superficie por el centro de

1a

esfera ,y 2- proyectar a continuación la circunsferencia de in terseccion. En estas proyecciones,se toma el polo S como -punto de vista para la semicircunsferencia del hemisferio superior.y el polo N para la semicircunsferencia del he-misferio inferior. Normalmente se utilizan proyecciones mixtas: a) proyecciones indirectas para las caras de un cristal y b) proyecciones directas para los elementos simétricos. La proyección indirecta de las caras de un cri£ tal revelan con suma claridad las relaciones simétricas existentes entre ellas.o los distintos conjuntos de caras entre si simétricas.mediante los elementos simétricos pro yectados directamente.Si los elementos simétricos son pro yectados también indirectamente.estas relaciones simétricas entre las caras

aparecen algo mas difusas.

MECÁNICA DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE LAS CARAS UN CRISTAL

DE

1- Imaginemos un cristal en el interior de una esfera de radio unidad. 2- El centro del cristal (el centro de simetria o,en caso de no existir,el punto de convergencia de la asociación de elementos de simetria) se le hace coincidir con el centro de la esfera. 3- Trasladamos las caras del cristal paralelamente.hasta hacerlas tangentes a la superficie esférica.Asi

se

92 obtiene unos puntos de tangencia,que se les denomina po-los de las caras.Estos polos tendrán las notaciones de las caras correspondientes (por ejemplo.notación de Mi-11er).Los polos esféricos también se habrian obtenido tr^ zando normales a las caras desde el centro de la esfera,hasta que corte a esta.En resumen,se ha conseguido una re presentación polar: conjunto de polos esféricos que tradu cen la totalidad de las caras de un cristal. A- Consideramos el plan ecuatorial de la esfera como el circulo de proyección. 5- En el circulo de proyección representamos los polos esféricos,con lo que se obtienen los polos planos. Se conservan las notaciones. 6- Para hallar los polos planos a partir de los polos esféricos del hemisferio N,trazamos visuales desde es tos al polo S,tomado como punto de vista.Las intersecciones de estas visuales,señalizadas con x.con el circulo de proyección son los polos planos en cuestión. 7- Para hallar los polos planos a partir de los po-los esféricos del hemisferio S,trazamos visuales desde es tos al polo N,tomado ahora como punto de vista.Las intersecciones de estas visuales,señal izadas con circuios, con el plano de proyección son los nuevos polos planos. 8- Frecuentemente es suficiente considerar solo como punto de vista el polo S. 9- Puede ocurrir que se superpongan dos polos planos: uno correspondiente a un polo esférico del hemisferio superior y otro correspondiente al polo esférico del hemisferio inferior. Y lü- Aunque normalmente se representan solo caras,por mecanismos anologos se proyectarian los vértices y/o aris tas de un cristal . PROYECCIÓN DE LOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA 1- Un centro de simetria esta representado por un punto.que coincide con el del centro del circulo fundamen tal o de proyección. 2- Un eje de simetria vertical esta asimismo repre--

93 sentado por un punto,que tiene la misma situación que

el

anterior. 3- Los ejes perpendiculares al vertical

están repre

sentados por rectas.coincidentes con diámetros del circulo de proyección.Se simbolizan por lineas a trazos. 4- Los planos de simetria principal se representan: a) por la circunsferencia que delimita al circulo de proyección, b) por el diámetro antero-posterior del ci£ culo de proyección,y/o c) por el diámetro transversal del

circulo

de proyección. 5- Los planos secundarios describen circuios máximos. Con estos ocurrirán dos circunstancias: a) Que pasen por los puntos de vista.En este caso,la proyección estereográfica coincide con diame-tros del circulo fundamental. O b) que no pasen por los puntos de vista. La proyección estereográfica seria arcos.Cada arco

oortaria

a la circunsferencia del circulo de proyección en dos pun tos diametrales. Los planos de simetria están simbolizados por lineas continuas. Para demostrar estas proyecciones,apliqúese

la

mecánica de la proyección estereográfica directa a los elementos de simetria. En el sistema cubico,algunos de los ejes bina-rios,los comprendidos en los planos que representan circu los máximos,sin pasar por los puntos de vista,y los terna rios,vienen representados por puntos,que son las intersec clones con el circulo de proyección de las visuales que van desde las intersecciones de esos ejes con la esfera al

punto de vista. EL DOMINIO FUNDAMENTAL Se llama dominio fundamental a la minima

por--

cion del circulo de proyección,en donde esta representado el menor numero de caras,normalmente del hemisferio supe-

9A rior.que engendraran la totalidad de las caras del cris-tal.al aplicar las operaciones de los elementos de sime-tr ia. El dominio fundamental es especifico para

cada

sistema. PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Las propiedades mas importantes de la .proyección estereográfica se formulan como sigue: 1- Todas las caras del cristal vienen representados por puntos. 2- Los puntos de proyección de todos los polos, c o rrespondientes a caras que pertenecen a una zona.estan si tuados en un circulo máximo. 3- En el triangulo esférico.determinado por los po-, j „ fr^rman un triedro,los lados miden los de tres caras que forman un i.i.i.^ . . , diedros j. j ^o las lac cara»."^ raras.Al fproyectarse los circu los ángulos de J _ 1 .. • „^^o 1 aHn 12

12

(tijk2 - kih2)

lo que implica que: u = kil2 - lik2 En resumen: u - kj.l2

- 11-^2

V » lj.h2

-

hj.l2

W = h2.k2 -

kj.h2

Estas deducciones serán nuevamente consideradas

111 en el apartado de las relaciones entre los simbolos de las caras y de las aristas. Si en el sistema de ecuaciones de partida (I),desconocemos los Índices h,k y l,y en cambio se conocen los valores de u,v y w,por un procedimiento análogo al -descrito,identificaremos las nuevas incógnitas. ECUACIONES DE LAS ZONAS Se entiende por "ecuaciones de las zonas" a la igualdad que relaciona los Índices de una cara (hkl) y los de su zona / uvw / : h.u + k.v + l.w = O (6) La ecuación permite deducir si una cara perten£ ce a una determinada zona.Ejemplo: averigüemos si la cara (121) pertenece a la zona I 2\UI : h.u + k.v + l.w = O 1.2 + 2.1 + 1.5 = 2 + 2 - A " O La cara pertenece a la zona,dado que los índices satisfacen a la ecuación. RELACIONES ENTRE LOS SÍMBOLOS DE LAS CARAS Y DE LAS ARISTAS La formula h.u + k.v + l.w = O expresa la rel¿ cion entre los índices de las caras y de las aristas de finidas por ellas,y permite resolver problemas que . frecuentemente se platean en cristalografía.Los problemas co rresponderian a los siguientes estilos: I-Hallar los rasgos característicos de los índices de las caras de una zona determinada. Sea el caso concreto de la zona /lll / .Sustituyendo u,v y w en la ecuación (6) obtenemos: h.l + k.l + 1.1 = O lo que implica que: h + k •»• 1 = O luego todas las caras cuya suma de índices sea igual a cero,pertenecerá a la zona / 111 / . Para la zona /001/ tenemos;

112 h.O + k.O + 1.1 = O 1 • 1 _ n Fcro síEnifica que todas las lo que implica que 1 = u .esto bi^uiüi-ci M - >„»^ • ir,riir-p sea igual a O,pertenecen a la zo caras,cuyo . tercer índice bcd x^uoi ,r _ na / 001/ . 2- Hallar los Índices de una arista de intersección. dadas las notaciones de dos caras. Sean las caras (h^^^^l^) V ^^^^2^^ ^"^ ^^f^"^" a la arista /uvw/ .Como la arista pertenece a dos las dos caras,se puede escribir las ecuaciones: O h , . u + kj.V + Ij.w h j . u + k j . v + l 2 '.w = O Resolviendo el sistema

obtenemos:

u = k, . 1.

hj.l2 w h-^2 k, .h2 , u_ representan -.-on-rosentan aa los determinan-»* Los binomios de la derecha lj.h2

V

tes: I

1

^1

^

que resultan de la matriz: '1 '2

^1 ^^2

1; ^1

De forma practica.para calcular los Índices u. V y w operaremos teniendo presente las siguientes reglas: a) escribir los Índices de las notaciones de cada cara dos veces „„„ot.rutivas consecutivao y j en dos reglones,uno c por cara.en disposiciones ordenadas. b) separar las dos columnas extremas de las demás, y c) multiplicar en cruz los Índices y restar los productos. u

V

w

. Al Ah A .

113 u = hj.l- - 11-^2 V = li-hj - h^.K w = h,.kj - k|.h2 Evidentemente,estas reglas se aplican también para resolver el problema inverso: hallar las notaciones de una cara a partir de las notaciones de dos aristas que existan en ella. Ejemplos: a) dadas las caras (320) y (110),hallar la notación de la arista de intersección. Solución: 3 2 0 3 2 0 1 1 0 1 1 0 u = 2.0 - 1.0 = O v - 0.1 - 0.3 = O w = 3.1 - 2.1 = 1 La notación buscada sera /OOl/ . b) dadas dos aristas /T20/ y /122/ , hallar la notación de la cara en la que se encuentran. Solución: 1 2 1 2

0

T

2

0

2

1

2

2

h = 2.2 - 0.2 = A k = 0.1 - (-1.2) = 2 1 = -1.2 -1.2 = - 4 = 5 " La notación de la cara sera (422f),equivalente a (2l7),de£ pues de haber dividido por dos. 3- Deducir los simbolos de todas las posibles caras de los cristales,a partir de un pequeño numero de caras conocidas (desarrollo periódico del complejo de caras). La metodologia recibe la denominación de "Ley de la complicación" y tiene la siguiente formulación: "Si se suman ordenadamente los Índices de dos caras,los números resultantes representan a los Índices -

IK de otra,que esta en zona con las primeras y situada entre ellas.Los Índices de las caras de partida podrian estar multiplicados previamente por un numero entero". En efecto: Sea dos caras, (hjljkj) y (h2l2k2).que pertenecen a una misma zona,a la /uvw/ .Necesariamen te se cumple que: hj.u +k,.V + Ij.w = O h2.u + k2.v + l2-w = O Sumando estas ecuaciones tenemos: (hj+ h2) .u + {kj+ k2) .V + {li+ I2) .w de donde; (I1+ Ij) (kj+ kj) (hj+ h2) son los Índices de una nueva cara de la misma zona /uvw/. La representación gráfica y el calculo resulta mas cómodo realizarlo cuando tenemos cuatro caras del tetraedro fundamental.o sea.del tetraedro en que tres caras representan a los planos coordenados (100),(010) y (001), y la cuarta cara,al plano (IIDRESUMEN PARCIAL Según lo expuesto,entre las notaciones de zonas y caras se tiene una serie de relaciones: 1- Con los Índices de u na cara (hkl) y los de su zo na /uvw / ,se establece una £ , cuacion 2- Zona determinada por la intersección de dos caras (hjkjlj) y (h2k2l2) 3- Cara (hkl) determina da por intersección de dos zonas / UjVjWj/

y l-^2^2^2^ .

ecuación de las zonas: h.u + k.v + l.w = 0

kj.l2 - kj.l2 v = hj.l2 W = h,.k2 - hi.k2 u •=

h = V1.W2- ^2-^1 k = "l-"2 - "2-^1 1 = U1.V2 - U2.VJ

115 4- los números resultan tes de sumar ordenadamente los Índices de dos caras (h,k,l,) y (hjV-ylj^ represen tan a los Índices de una te£ cera cara (real o posible),tautozonal y situada entre ellas.

Ley de la complicación (hjkjlj)

(hjkolo)

h,+h2 I3 = 1^+ I2 (hok^lo) = nueva cara tautozonal entre ambas.

LEY DE MILLER O DE LA RAZÓN ARMÓNICA DE LOS SENOS La ley liga los ángulos,formados por caras tautozonales,con los Índices de esas caras y con los de la zona. Recordemos que se llama razón armónica,entre 4 puntos en linea recta (A,B,C y D),al producto: AB/AC.DC/DB o lo que es lo mismo: AB A B C D AC -e G-e eDB DC Por analogia.con los senos de los ángulos de 4 caras tautozonales,se establece asimismo relaciones armonicas :

sen O 12 sen 9 13 sen 942 sen 943 cara 1 figura 27 La ley de Miller establece estas relaciones con los Índices de la zona como sigue:

116 Wi2

sen 0J2

^

^

sen 0^2

"13

^13

^13

Ihl

!^ W43

sen 9,2 sen 0/n

^43

"43

Se pueden sustituir u.v y w por sus equivalencias :

^ = ^a-^b "

^ a \

" " ^ a - H • ''a-^b Ejemplo: ,.„ existen oYíQten los siguientes polos con Supongamos que Í«J= " 6 r _ / i _ j\ «r. lina zona.cuyos simbolos se conosecutivos (a,b,c y d),en una zona.i-u/ 1 1»^ la 1 a posiuj-un nosicion exacta de b (los aneen,y se quiere calcular 1 „ mediciones moHirIones MUC Que se hicieron oon gulos ab y be),porque las „«cTin-if1fld oara el goniómetro no ofrecen segurlOao pai- esa cara,a causa j 1 K ^n olla resulta la reflexión de la de lo borrosa que en ella resuií.» nal. incógnitas datos cara á(i) b(2)

simbolos (ÓÓi) (111)

77»26' (ac)

ángulo ab ángulo be

c(3)

(110)

43216' (de)

ángulo bd

d(4)

(llT)

*

f^fVÍ?!..

Planteamiento: sen 0J2

U12

sen 10, n

"13

kil3- llk3

H'^i- 14^2

sen 0,2 sen 0,0

kil2- llk2

14^3

"43

Sustituyendo: sen ab sen 77226' sen db sen 43816'

0.1-1 .1 0.0-1 .1 l.l-(- 1),.1 1.0-(- 1) .1

-1 _2 1

I 2

se-

117 lo que implica: sen ab sen 77226"

,

sen db sen 43216"

_ 1_ 2

sen 43216' sen db

_ 1^ 2

lo que implica que: sen ab sen 77226' sen 77226" - 0"97604 sen 43216' = 0'68539 sen ab 0'97604

0'68539 sen db

1 2

0'97604 = A 0*68539 = B sen ab A

B sen db

1 2

2B sen ab = A sen db ab = 120942' - db • 2B sen (120242' - db) = A sen db sen (x-y) = sen x.cos y - eos x.sen y 2B (sen 120242'.eos db - eos 120242'.sen db)-Asendb 2B sen 120242' .eos db-2B.eos 120242' .sen db - A sen db 2B sen 120242' .eos db = A sen db+2B eos 120242'sendb sendb (A+2B eos 120242' ) = 2B sen 120242' eos db sen db eos db

tag db =

2B sen 120242' A+2B eos 120242' 2B sen 120242' A+2B eos 120242'

sen 120242' = 0'8598 eos 120242' - -0'5105

118 7.n-fe8539.0'8598 '^^

-

" 0'97604+2.0'68539.(-0'5105)

. = l'nB59b

^

0;2762569

A'2663042

db - 76081 - 76848' ab - 120»42'- db - 120»42'-76S48' - 43S54' be = 77»26' - ab - 77»26'-43=54' = 33=32' bd = 120»42'-ab = 120842' - 43»54' - 76=48

Soluciones: ángulo ángulo ángulo ángulo

db ab be bd

= =

76=48' 43=54' 33=32' 76=48'

(pedido) (pedido) (pedido)

PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE UN EJE DE ZONA CONOCIDA DOS CARAS TAUTOZONALES Se da por conocida la proyección estereográfica de las dos caras en la falsilla de Wulff.En caso contra4„_ a a nartir rio,se buscara esa proyección partii. de u datos complemen ^ _ tarios. Normas a seguir: 1- Teniendo como base una falsilla de Wulff y girando el papel transparente,en donde se encuentran situadas , , caras,buscamos • . „ el „i circuiu -círculo máximo en proyección que las dos pase por esas caras.Los circuios maximos.en la falsilla de Wulff,vienen representados por meridianos. 2- Fijamos la posición del papel transparente. 3- Buscamos el punto del circulo máximo equidistant e j .. 1 situaao c^ Miarlo aa ?« 90= a rpartir de uno de lo os de sus extremos,el extremos. 4- Desde ese punto equidistante,y a través del paralelo que pase por el.medimos 90=. 5- El punto obtenido es el polo,en proyección este-reografica,del eje de zona. Si se da el polo de una zona y deseamos deducir

119 esa zona en proyección,operaríamos inversamente. MEDIDA DEL ÁNGULO FORMADO POR DOS ZONAS El ángulo formado por dos zonas esta definido por el existente entre los ejes de las zonas respectivas. Normas a seguir: 1- Hallamos los polos de las dos zonas en la falsi-11a de Wulff. 2- Giramos el papel transparente hasta que esos

dos

polos se encuentren situados sobre un mismo meridiano,© paralelo,de la falsilla de Wulff. 3- Medimos los grados que separan a esos dos polos,con lo que obtenemos la medida incógnita. CALCULO ESTEREOGRÁFICO DE UNA CARA COMÚN A DOS ZONAS Operatividad: 1- A partir de caras dadas,dibujamos sobre el

papel

transparente las dos zonas (meridianos en donde se ubican las caras tautozonales). 2- El punto de intersección de las zonas correspon-den a la cara pedida. LA DEDUCCIÓN La deducción desarrolla el proceso de

deriva--

cion de caras posibles en la proyección estereográfica, a partir de las cuatro caras de un tetraedro. El numero minimo de caras que puede tener un po liedro es cuatro,ya que con menos no se cerraría el espacio.El poliedro cristalino mas sencillo corresponde,en -consecuencia,a un tetraedro irregular.cuyas caras origí-nan seis aristas no paralelas.Cada dos caras estaran de-terminando una zona,por lo cual,las caras del poliedro d£ ran lugar a seis zonas.En proyección estereográfica,estas corresponden a otras tantas círcunsferencias de

círculos

máximos. Las seis zonas determinan,con sus interseccío--

120 nes,otras caras reales o posibles en el mismo cristal ( o que existen en otros individuos cristalinos de la misma sustancia).En total tendriamos diez caras. Si combinamos ahora.dos a dos.las diez caras ya identificadas.surgirán nuevas zonas.que a su vez traducirán nuevas caras posibles.Podriamos continuar el

proceso

hasta obtener las infinitas caras.teóricamente posibles.del cristal. Estas infinitas caras posibles quedan restringí das en la Naturaleza a unas cuantas.en función de que.según la ley de Haüy.sus parámetros han de ser racionales y „4iir.o np esta ademas números enteros y sencillos.ue esua forma,estarian eliminadas las caras cuyos parámetros no se ajustaran a la anterior condicionante.

121

PRACTICAS CON LOS SOLIDOS CRISTALOGRÁFICOS ESQUEMA

Metodología. . . , jen la1 asociación • ^^r,puncuai niinMialucde«=elementos de sime La unicidad _ tria en un solido cristalográfico. METODOLOGÍA Los pasos mas aconsejables a seguir.con cada so lido,serian: 1- Solido numero 2- Elementos de simetria: 3- Grupo (A o B ) : U- Clase de simetria: 5- Sistema cristalino: 6- Formas (simples o compuestas): 7- Nomenclatura de Ids formas geométricas: . 8- Proyección estereográfica: 9- Notaciones de las diferentes caras: , ^morrHfls externas no dependeductmos que las geometrías exi-c j las , i«r.innp& ae de elementos de sime — den solamente de aosciaciones !„„_ Ap un determinado sistema, tria,ya que de una misma clase,de un uci. obtenemos distintas formas. .or^.^T*rTnN FUNiuftu PUNTUAL DE ELEMENTOS DE SIME LA UNICIDAD EN LA ASOCIACIÓN TRIA EN UN SOLIDO CRISTALOGRÁFICO En un solido cristalografico.o en un macrocristal.encontramos una asociación puntual de elementos de si — metria.asi como una ..ofT-Mrrura estructura cristalina formada por traslaciones de particulas,tra8laciones que también afectan a la asociación puntual.Entonces. ¿como es que el solido cristalográfico no traduce las traslaciones de la asociacion puntual ?.

122 En realidad hay un enmascaramiento.En efecto, las caras.aristas y vértices de un solido cristalográfico, que revelan la clase simétrica,son elementos, geométricos trasladados,y a veces integrados,a partir de un motivo primitivo,localizado en el origen del cristal y controlado por una asociación simétrica unitaria.£1 solido

seria

un conjunto de motivos,cada uno con sus elementos simetri. eos,que estarian camuflados por concepciones puramente geométricas.externas de los solidos cristalograficos,olvi^ dándonos de sus estructuras internas.

123

figura 28 Aparente unicidad de la clase cristalina Leyenda: O o

eje senario primitivo ejes senarios trasladados caras que,una vez trasladas .actúan de enmascaramiento

124

CRISTALOGRAFÍA ESTRUCTURAL ESQUEMA Concepto de estructura cristalina. La celdilla unidad. Redes de Bravais. Las redes espaciales: Concepto. Operadores de la traslación. Nomenclatura. Formación de los grupos espaciales. Los 230 grupos espaciales. Particulariedades. CONCEPTO DE ESTRUCTURA CRISTALINA La regularidad y si.etria.observadas - los PO" • fatst-aniones externas liedros cristalinos,son simples manifestacx ^ del orden interno espacial de sus particulas "^"^^^^J^/; _ En efecto.como demuestra la aplicación de los

. '

cristales.estos se encuentran constituidos por P ^ ^ J - ^ " ' ,ue ocupan unas posiciones - ^ ^ ^ / ^ J / ^ J J l i r e s ;arale: dos.posiciones que orxg.nan 1« «P^'^^"

controlado

lepipedicas.en donde cada paralelepipedo esta por una misma simetria puntual. ^^^^^__ Estas redes paralelepipedicas se p 1 ™or,t-flles como tantos distintos ti blar en tantas redes elementales cora a^ í-ristal .Cada tipo ue pos de átomos o iones existan en el cri ,. , _ ,^ . 1o^ rpd con la condición de particulas forman su particular red.con »Hn í.sten ordenadas conforme a una mis que estas,por separado.estén uiu ^ ^. j 1 ,.« diferentes redes constitutivas de ma simetria puntual.Las ditereni-c / , j onrre si.determinan la estructura un cristal.desplazadas entre si.u del mismo.

, , , i.^. n u o Ejemplo: Consideremos el caso de la haUta.ClNa. LOS iones Cl" y Na* constituyen un paralelepipedo cubico.

figura 29

Estructura cristalina del sistema exagonal

125 en donde se sitúan alternativamente cloros y sodios.Si

-

ahora observamos los cloros.estos constituyen asi mxsmo.e »,=ioioninedo cubico,lo mismo independientemente,un paralelepipeao ro estoi. estos u dos simples paralelepipe ocurre con los sodios.Pero r ^ j->o„i arados entre si.Como resul_ dos aparecen regularmente desplazados enu tado de ello.la estructura de la balita esta formada por dos diferentes redes cubicas,desplazadas entre si. aunque •ijj A se „o detina ripflna pu por una única red la estructura en su totalidad paralelepipedica cubica. LA CELDILLA UNIDAD Se entiende por celdilla unidad el paralelepipe do que resulta de unir.tridimensionalemnte.los nudos de la estructura cristalina,mediante las rectas mas ' ^ " t " " posibles.Este paralelepipedo sera valido " « " " P " .^^"^^^'°'^ diferentes tipos de particulas.por separado.se ajus una

simetria puntual. El paralelepipedo estaria definido por sexs pa

rametros: Longitudes de las aristas: parámetro

a^» a (longitud paralela al eje x o U ^

parámetro

a,= b (longitud paralela al eje y o

parámetro

83= c (longitud paralela al eje

ángulos entre las aristas: -^ .entre c y b

c

^ .entre c y a V .entre a y b

_b figura

30

126 Como las ordenaciones de los nudos en las redes, conforme a una simetría puntual.determinan las formas de los paralelepípedos,por la propiedad transitiyaylos valores de los parámetros de los paralelepípedos serán una consecuencia de la clase de simetría a la que pertenezca el cristal. Las clases cristalinas imponen unas determina-das condiciones en los parámetros de la celdilla unidad, como muestra el siguiente cuadro: CONDICIONES NECESARIAS Y

SUFI-

CIENTES QUE IMPONEN LAS CLASES

SISTEMA

SIMÉTRICAS EN LOS PARÁMETROS. triclinico

va lores cualesquiera

monoclinico

ok

=

rómbico

^

= P = 908

trigonal

a

=

b = c = 90e ,, \ = 120e

=

b ^ = >( = 902

a

=

ai.

s:

b 4 c ^ " 908

a

= =

tetragonal

exagonal

regular

.j.

í

- 90e

b =: c f> =

i '

t 9

i

1208

90e

Hemos basado las determinaciones de las diferen tes celdillas unidades en criterios simétricos,y no sim-plemente geométricos (dimensiones y ángulos del paralelepípedo),por la objeción de que aristas,que parecen ser -iguales.podrían hacerse desiguales,si cambiaran las cond^ cíones físicas ambientales.como la temperatura,a menos que hubiera alguna garantía de que las direcciones experi^ mentaran,por ejemplo,la misma expansión térmica.Estos

e-

fectos físicos podrían originar también la desviación

de

127 los ángulos del paralelepípedo. Por el contrario.al basar nuestros criterios en • ^ dificultad.bi ,ii f i pul rad.Sia dos direcciola 8in.etria.no tendremos esta ^n,avalentes por simetría,necesaria nes en un cristal son equivalentes y • -,^o pfipficientes de expansión termí, mente tendrán los mismos coeticienu ,Hv«lentes al cambiar la temperatura, ca y permanecerán equivalentes REDES DE BRAVAIS A^^ paraieie^ naralelepipedo de menor volu En la elección del y i ^ m a uniaa unidad,puede ocurrir dos men de una estructura,celdilla ,w circunstancias: „ort-irPK ^«.rirulares solo en los vértices 1- Que haya puntos retlcuiaie» . ^»«o la celdilla se llama pridel paralelepípedo.En este caso,la cei mitiva y se simboliza por una P. ^araleleni 2- Que haya puntos reticulares dentro del paralelepi pedo.Ahora la celdilla se llama ""«^'^^. .^„,,, . LOS centrados se clasifican en los siguientes ^^^°^'' A A B B C C F I I

^ ^„n las caras (100) centradas. = naralelepipedos con las cato» paraieiep H ^„„ ,._ caras (010) centradas. - naralelepipedos con las caía paraiei H P caras (001) centradas. = naralelepipedos con las caía» - paraieiep F ^^„ .-Has las caras centradas. = paralelepípedos con todas = paralelepípedos centrados en el interior. = paraieiep v unidades,en relación La variedad de celdillas uní io« diferentes sistemas,constituye las a su centrado,en los diferen 3^ ,3,„g, . redes de Bravais.El conjunto de posio en este otro cuadro. TIPO DE CELDILLA SISTEMA p (celdilla primitiva) trícliníco monoclinico

IP **. 1^ ,_ ,-, ip .. ic .. if^ '• ^^

rómbico , tetragonal trigonal regular

IP ,. II IP

romboédrica IK;

128

¿y

/F7\

¿/

lAF

/

/

A7

o

o o

[)

o

rv A7

¿y 4

Viy

/L-7

lA

\ty

y:sy 11

10

LU\ 12

13

figura 31 Redes de Bravals

14

129 En total se describen 14 redes de Bravais. LAS REDES ESPACIALES 1- CONCEPTO. Podemos representar a una red espacial como una forma geométrica infinita,que se construye a partir de un paralelepipedo,determinado por la simetria puntual.Este paralelepipedo se desplaza mediante traslaciones parale-las a las aristas y debido a planos de deslizamiento y

a

ejes helicoidales.En definitiva,se obtiene un conjunto de paralelepipedos iguales,que llenan el espacio sin intervji los. El paralelepipedo que sufre traslaciones ha sido ya definido como celdilla unidad y pertenece a uno

de

los tipos diferentes de redes de Bravais. Por muy distintas que sean sus formas,en una red espacial se mantienen constantes: a) el numero de paralelepipedos por

-

unidad

de volumen, b) la suma.de las superficies de las caras, y c) el volumen de las celdillas

elementales

o paralelepipedos que la componen. 2- LOS OPERADORES DE LA TRASLACIÓN. En la formación de las redes espaciales inter-vienen nuevos elementos de simetria,a saber: - planos de deslizamiento, - ejes helicoidales, y - traslaciones. a) Planos de deslizamientos; Un plano de deslizamiento lleva asociado una re^ flexión y una traslación paralela a su superficie.Si se efectúa la operación dos veces,se vuelve a alcanzar una -

130 posición congruente con la de partida.De aqui.se deduce que en una estructura cristalina,que admite planos de de£ lizamiento.la componente

de

traslación

ha de ser siem-

pre igual a la mitad de la distancia T que existe entre dos puntos vecinos congruentes,que se hallen en la dirección en la cual el movimiento se verifica;Do8 reflexiones deslizantes sucesivas equivalen,por lo tanto,a una trasl¿ cion T de la red. Se dice que dos puntos están en congruencia cuando permiten una traslación T. Cuando el deslizamiento tiene lugar según las direcciones de los ejes a,b y c.los planos de deslizamien to se simbolizan mediante las letras "a","b" y "c" respe£ tivamente. Si el deslizamiento va desde el vértice al centro de una cara de la celdilla unidad,es decir,con magnitud vectorial l/(a+b)/2

,,

l/(b4-c)/2

o

l/{a+c)/2,el -

plano del deslizamiento tendria por simbolo la letra m. Y por ultimo,si el deslizamiento vale 1/4 de la diagonal de la cara paralela al plano,con magnitud vectorial l/(a+b)/4 .,,

l/(b+c)/4

o

l/(c+a)/4,el plano se -

designa por la letra d. Cuando no se precisa el plano de deslizamiento, este se simbolizaria mediante una m,con un punto

' sobre-

puesto (A). En resumen:

SÍMBOLO

MAGNITUD TRASLACIÓN

DIRECCIÓN DE LA TRASLACIÓN

a

.... 1/2 distancia reticular .....

eje a

b

.... 1/2 distancia reticular

eje b

c

.... 1/2 distancia reticular

eje c

m

1/2 distancia reticular

d

.... 1/4 distancia reticular

diagonal de las caras diagonal de las caras

b) Ejes helicoidales: Se trata de ejes que conllevan rotaciones de 360s/n,seguidas por traslaciones simultaneas p/n,en la di.

131 reccion del eje.La letra n define el orden del eje o el numero de giros.La letra p traduce el numero de veces que esta contenido,en la traslación,el parámetro, longitudinal paralelo al eje de la celdilla unidad.Los ejes tienen

la

simbologia "n ". Ejemplos: un eje 2j implica una rotación de 180e seguida por una traslación de magnitud equivalente a la mitad del parámetro paralelo de la celdilla unidad.Para un eje 3^ la rotación es de 120s y la traslación vale

un

tercio,mientras que un eje Sj implica una rotación de 1202 y una traslación de 2/3. Al cerrar el ciclo de 3602,88 alcanza un

punüo

congruente con el de partida.Estos dos puntos,a su vez,se relacionan mediante una traslación T.de amplitud equivalente al parámetro,o un múltiplo de este,de la celdilla u nidad paralelo al eje. Ejemplos: con un eje 2^ se realizan 2

giros de

180» con una traslación 1/2 cada uno,en un ciclo de 360e. La traslación total realizada seria 1/2+ 1/2- 1.equivalen te al valor del parámetro paralelo al eje,y en consecuencia,los dos puntos congruentes se relacionan mediante una traslación de amplitud = 1 . Con un eje 32.8e realizan 3 giros de 120»,con una traslación 2/3 cada uno,en un ciclo de 360».La traslación total realizada seria 2/3+2/3+2/3 = - 6/3 - 2,equivalente al doble del valor del parámetro pa ralelo al eje,con lo que los dos puntos congruentes se re lacionan mediante una traslación T.de amplitud - 2. Si se repiten los giros helicoidales indefinida mente.las nuevas posiciones que toma el punto de partida, en los ciclos sucesivos.se derivan de las correspondientes al primer ciclo por traslación T,paralela al eje.En este intervalo T queda.por lo tanto.representado el fenómeno helicoidal n del eje. Los ejes helicoidales de un mismo orden

pueden

tener diferentes sentidos de giro: dextrogiros o levogi-ros.Los ejes helicoidales dextrogiros se indican con el signo +,colocado delante del simbolo.Los levógiros,con el signo negativo.Otra alternativa seria colocar sobre el

-

simbolo del eje una flecha arqueada,que indique el senti-

132 do de giro. c) Traslaciones: Todo

nudo

de

la

red espacial se le puede -

hacer coincidir con su posición inicial.mediante una operación de traslación.El nudo se desplazaria.uno o

varios

intervalos,a lo largo de la fila. La traslación tiene carácter tridimensional y periódico,y se efectúa paralelamente a cualquier fila

de

nudos. La operación de un eje helicoidal monario equivale a una traslación.En realidad,para las redes espaciales,las traslaciones se deben a los ejes helicoidales y a los planos de deslizamiento. 3- NOMENCLATURA DE LAS REDES. En la designación de un determinado grupo espacial debemos hacer cosntar: a) el paralelepipedo,red de Bravais, objeto de la traslación,mediante, su correspondiente simbologia,b) los elementos de simetría puntual,que d£ terminan al paralelepipedo,según la notación de Hermann-Mauguin, y c) los elementos simétricos que implican la traslación del paralelepipedo. Ejemplo: la simbologia

P2j/m define un grupo -

espacial,en donde: P = tipo de red de Bravais , 2/m « asociación puntual de elementos de simetría,y 2j= existencia de un eje helicoidal,coincidente con el eje de rotación sencilla,que determina la trasl£ clon. 4- FORMACIÓN DE LOS GRUPOS ESPACIALES. Se trata de un problema de combinatoria matemática,concretamente de unas restringidas combinaciones bl-

133 narias,entre determinadas redes .respecto al centrado y a-i sociaciones puntuales,en donde

los ejes

de rotación sim

pie y los planos tienen la posibilidad de ser coincidentes con ejes helicoidales y planos de deslizamientos respectivamente . Hemos indicado que las combinaciones tienen carácter restringido dado que es una condición indispensa-ble que,en cada combinación obtenida,exista una de las po sibles redes de Bravais. Sea el sistema monoclinico.Tendriamos.los

si--

guientes elementos en juego: P , C , 2 , 2j, m , A . 2/m , 2j/m , 2/m , 2^/4 y las distintas combinaciones binarias,para formar los

-

distintos grupos espaciales serian: P2 , P2j .Pm , PA , P2/m , P2j/m , P2/A , P2j/m , C2 . C2j , Cm , CA ,C2/m . C2j/m . C2/A , C2j/m De estas combinaciones se excluye: C2j , C2j/m , C2j/* al estar duplicadas. Las duplicidades las deducimos mediante conside raciones geométricas,por ejemplo,cambiando de origen.En las redes espaciales,los nudos se expresan según sus coor denadas.En principio,dos grupos espaciales,cuyos nudos

-

tengan diferentes coordenadas,traducen dos redes espaciales diferentes,pero si cambiamos el origen de coordenadas en uno de estos grupos,podria ocurrir que los nudos

ad-

quieran unas coordenadas equivalentes a las del grupo con un origen inmóvil.De esta manera,demostrariamos la posibi lidad de que los dos casos pertenezcan a una misma red es^ pacial. Como anexo a las anteriores deduceiones,indique mos ejemplos de coordenadas para algunos nudos de una red espacial: Sea el nudo

1, que por la existencia de un eje

de simetria Aj,engendra las posiciones o nudos 2,3 y A

-

(figura 32).De partida,las coordenadas de los nudos consi derados serian:

13¿. nudo 1

(x,y,z)

nudo 2

(x^, y^, z + 1/2)

nudo 3

-2 -2 (x,y,z)

nudo A

( 3x ,—3 y,z+l/2)

Por otra parte,de la gráfica deducimos,en valores absolutos ,que: y1 = X x2 = x 2 y

=y

Teniendo presente estas equivalencias,y considerando ademas el signo,obtenemos las siguientes coordenadas definitivas: nudo nudo nudo nudo

1 2 3 4

, .. .•

(x,y,z) (y,x,z + 1/2) (x,y,z) (y,x,z + 1/2)

En el caso particular de que: X y z 1

= O'l = 0'2 - 0'3 "• distancias entre los origenes de los paralelepipedos consecutivos en las dire£ ciones x,y,z (valor T de la periodici-dad). Las coordenadas serian:

135

,-1 -2 . (x ,y ,z)

« ( x ^ y ^ z + 1/2) y =b

(x^.y^.z + 1/2) (x.y.z)

X = a

figura 32 Coordenadas de algunos números

136 nudo 1

(0'10'2 0'3)

nudo 2

(0'2 O'l 0'3+0'5) - (0'2 O'l 0'8)

nudo 3

(0'10'2 0'3)

nudo h

(0'2 O'l 0'3+0'5) = (0*2 O'l 0'8)

Pero si las coordenadas negativas las consideramos re8pe£ to a los orígenes de los paralelepípedos,se establecen las siguientes equivalencias: 0'2 - 1 - 0'2 = 0'8 O'l = 1 - O'l = 0'9 Y en definitiva,1 as coordenadas de los A nudos serian: nudo 1 (0'10'2 0'3) nudo 2 (0'8 0'10'8) nudo 3 (0'9 0'8 0'3) nudo 4 (0-2 0'9 0'8) En el calculo de los grupos espaciales.practica-mente operaremos en dos fases: a) En la primera formaremos todas las posibles combinaciones entre los diferentes tipos de redes de Bravais y las asociaciones puntuales de elementos de sim£ tria,sin considerar la posibilidad de que sean los elemen tos simétricos puntuales coincidentes con ejes helicoidales y con planos de deslizamiento. b) En la segunda consideraremos esas posl-bles coincidencias. Ejemplo ilustrativo: Volvamos a considerar el si£ tema monoclinlco.Operaremos con los siguientes elementos: P = retículo primitivo C = retículo con las caras (001) centradas 2 ,, m ,, 2/m Calculo de los grupos espaciales:

137 SEGUNDA FASE

PRIMERA FASE P2

P2

P2j

Pm

Ptn

PA

P2/ni

F2j/m

C2

C2

C2j (duplicado)

Cm

Cm

Cm

C2/m

P2/ih

P2j/rh

C2j/m(duplicado)

C2/ili

C2/m C22/m(duplicado) De forma análoga y considerando todas las

clases

de simetria.deduciriamos los 230 grupos espaciales.Estos, dentro de los sistemas,se distribuyen en numero,de la siguiente manera: sistema triclinico

2

sistema monoclinico

13

sistema rómbico

^^

sistema trigonal

25

sistema tetragonal

^^

sistema exagonal

^^

sistema regular

^^

230 Los 230 grupos espaciales.teóricamente posibles,constituyen los armazones geométricos,a los cuales tienen que ajustarse necesariamente los edificios cristalinos, que crean la Naturaleza. 5- PARTICULARIEDADES DE LA SIMETRÍA EN LAS REDES ESPACIALES. La simetria de las redes espaciales se

distingue

por las siguientes particulariedades: a) Una recta paralela al eje de simetria,y que pase por un nudo de la red,coincide con un eje de simetria del mismo orden para dicha red.

138 b) Un plano paralelo al plano de simetría, y que pase por un nudo,también se trata de un plano de simetria de la misma red. c) El eje de simetría,que pase por un nudo de la red,coincide con una fila de la red. d) El plano que pase por un nudo de la red,y sea perpendicular al eje de simetría de la misma,equiv£ le a un plano reticular de dicha red. e) La red espacial siempre tiene un numero infinito de centros de simetría.Estos son los nudos,los centros de los paralelepípedos y los de las caras,y los puntos medios de las aristas.Y f) si en la red hay un eje de simetría de o£ den n (mayor a dos),en la misma red hay también n ejes bi. narios,perpendiculares al eje E .

139

ÍNDICES DE FIGURAS figuras j

plano de simetría

2 3 ¿^'5'"/.

ejes de reflexión

e'.T'.s'.Q

ejes de inversión

13

'/.*."/.".'.*.'.'.".

.................

1¿^ 15 j^ j7 jg ^ „. 19,20,21,22,23,24 25 26 .. *. 27 '*/_ 28 ..................•

jer teorema de simetria 3er teorema de simetria 42 teorema de simetria ejes cristalográficos (s.trigo nal y exagonal) notaciones de las caras (s.tri gonal y exagonal) goniómetro de contacto de m e d í cion directa goniómetro de contacto de m e d í cion indirecta propiedades de la proyección estereográfica r„-nvecciones estereográficas proyeccxoi falsilla de Wulff Índices de u n eje de zona ley de Miller unicidad aparente..de la asocia cion puntual de elementos de simetria estructura cristalina del sis-

29

tema exagonal ejes cristalográficos [

redes de Bravais coordenadas de algunos nudos

140

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