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INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS DE POBLACION

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NATHAN KEYFITZ

INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS DE POBLACION

Centro Latinoamericano de Demografía Santiago de Chile, 1979

CENTRO LATINOAMERICANO DE DEMOGRAFIA CELADE Edifìcio Naciones Unidas Avenida Dag Hammarskjóld Casilla 91, Santiago, CHILE Apartado Postal 5249 San José, COSTA RICA

Traducción al español de la versión inglesa "Introduction to the Mathematics of Population", Nathan Keyfitz. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Nueva Y o r k , 1 9 6 8 .

Traducción de RICARDO PARDO Revisión de la traducción: JUAN C. LERDA

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C E N T R O L A T I N O A M E R I C A N O D E D E M O G R A F I A (CELADE) Derechos cedidos por Addison-Wesley traducción y edición en español. JeróJ^JIíLyL, Santiago, Chile, 1979.

Publishing Company, Inc. para la

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PREFACIO "En estadística, al igual que en física, la inexactitud de nuestros métodos de medición no hace más que oscurecer nuestra concepción de lo que medimos." R. A. FISHER, The Genetical

Theory

of Natural

Selection

El reconocimiento público y académico de que la población es un problema práctico ha crecido en los años recientes como respuesta al aumento del número de seres humanos en nuestro planeta. Este reconocimiento no se ha visto hasta ahora expresado en una presentación unificada de las matemáticas para el estudio de la población. Sólo un breve libro de A. J. Lotka, escrito en francés y publicado en 1939,1 sugiere lo que se debería y lo que no se debería incluir del material disponible hace treinta años. El exceso anual de los nacimientos sobre las muertes en el mundo es actualmente del orden de los 70 millones, lo que significa, hablando numéricamente, que cada tres años surge a la existencia un nuevo Estados Unidos. El nuevo Estados Unidos no goza del nivel de vida del Estados Unidos existente, pero al cual aspira, y esta época de aspiración suprema puede ser también de retroceso a la miseria de los períodos más primitivos de la historia. Aunque se está haciendo mucho para limitar el crecimiento de la población, necesita hacerse mucho más para tomar el rumbo en la dirección del progreso. Sin embargo, este libro se refiere a un aspecto totalmente diferente de la empresa del progreso humano: determinar la situación demográfica. Aun dentro de este campo del conocimiento, su finalidad es limitada. Su tema no son los hechos como tales, sino cómo manejarlos. Intenta reunir, y hasta donde sea posible sistematizar, las partes más relevantes de ese vasto cuerpo de teoría matemática que se refiere a los procesos de crecimiento de las poblaciones humanas y animales. Aunque no se han escrito libros sobre ello, la riqueza del tema es evidente a juzgar por los cientos de artículos esparcidos a través de cincuenta o más revistas; por eso, para que este libro tuviera cierto grado de coherencia y fuera de una longitud razonable, fue necesario proceder a una selección. El camino elegido para la exposición comienza con la tabla de vida o modelo de población estacionaria, prosigue con el modelo más general para un sexo, con intervalos de edades discretos y luego continuos; en los capítulos 12 a 14 las poblaciones de un sexo entran en interacción entre sí. Todos estos temas están tratados de acuerdo con la forma determinística corriente en demografía, pero los capítulos 15 a 18 consideran variaciones aleatorias y deducen en algunos casos simples 1 Publicado por CELADE en castellano con el título "Teoría analítica de las asociaciones biológicas". (N. del E.1

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las varianzas de las distribuciones de cuyos valores esperados tratan los capítulos precedentes. El argumento es completo hasta donde lo permiten las limitaciones de espacio; para el lector cuya formación es más demográfica que matemática, se explican con algún detalle las matrices, ecuaciones diferenciales y la Transformada de Laplace, desarrollándose también ejemplos acerca de su uso. Yo no he supuesto un conocimiento de cadenas de Markov, por lo que introduje algunas de dichas ideas cuando se necesitaban. Mi técnica pedagógica consistió en usar sólo una fracción del manuscrito con alguna clase. Para un curso trimestral (30 horas de exposición) con estudiantes interesados en resultados numéricos, he permanecido en el modelo discreto (principalmente los capítulos 1 al 4) incluyendo algo de programación Fortran del modelo matricial y seleccionando técnicas de los capítulos 10 y 11. Para estudiantes con mayor interés teórico, he trabajado la ecuación de renovación (capítulos 5, 6 y 8) y luego he ido a los capítulos 12 y 13. Para estudiantes más avanzados, he dictado un curso con énfasis en poblaciones con dos sexos y probabilidad, consistente en los capítulos 12 a 14 y 16 a 18. Por tanto, están contenidos en este libro, por lo menos, tres cursos considerablemente separados, cada uno de los cuales requiere un trimestre o un semestre. Aunque se desarrolló en cursos y seminarios, el libro se diseñó principalmente para el lector que estudia por su cuenta. He tratado de desafiarlo mediante preguntas diseminadas a través de la exposición. Se ha tratado de que las demostraciones sean completas y autosuficientes en el sentido de que se puedan seguir sin conocimiento matemático extenso o referencia a otros libros. Pero se supone que el lector tiene lápiz y papel a mano y que él mismo debe llenar lo que va desde una fórmula a la siguiente. Los ejemplos numéricos se pueden verificar con una calculadora de escritorio. El lector interesado en desarrollar programas de computación encontrará datos y resultados de muestra, que le deberían permitir someter a prueba sus programas (y los míos). Los resultados que aparecen aquí fueron redondeados a ocho lugares decimales en forma separada de las computaciones. La teoría se vuelve comprensible, tanto al autor como a los lectores, mediante su aplicación a datos. He hecho lo posible por ilustrar la teoría con datos reales concernientes a poblaciones humanas y he evitado los ejemplos hipotéticos. Cuando la fuente de cualquier conjunto de datos es una sola publicación, ésta es citada. Sin embargo, para la mayoría de las tablas entra una variedad de fuentes, y citarlas todas habría tomado mayor espacio que el que se podría permitir en un libro más interesado en la lógica que en resultados sustantivos. Para la obtención de datos básicos han sido importantes los Demographic Yearbooks de las Naciones Unidas desde 1948 a 1956; también lo han sido las publicaciones oficiales nacionales contenidas en la biblioteca de la Universidad de Chicago y la correspondencia con agencias estadísticas nacionales. Se hicieron dos conjuntos de estimaciones para los Estados Unidos: uno a partir de los registros de nacimientos tal como se publicaron, proviniendo el otro de los registros corregidos por la fuente oficial, el National Center for Health Statistics; este último se individualiza por una nota al pie de la página. Las fuentes detalladas de todos los datos están contenidas en los archivos del autor. Una serie mucho más extensa de estimaciones, con la cual son consistentes las aquí contenidas, aparece en World Population, del presente autor y Wilhelm Flieger, publicado por University of Chicago Press en 1968.

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En el Novum Organum Bacon dice: "La verdad emerge más fácilmente del error que de la confusión". No se en qué medida mi trabajo evita la confusión, pero indudablemente contiene errores. Quedaré muy agradecido si me informan de éstos. Durante los cinco años en que este libro fue mi preocupación casi exclusiva, he recibido la ayuda de muchas personas. Fred Mosteller no sólo promovió todo el proyecto, sino que leyó la sucesión de borradores e hizo numerosos comentarios, todos los cuales contribuyeron a darle consistencia lógica y claridad. Los capítulos fueron reescritos muchas veces en un esfuerzo por ajustarlos a su patrón de exposición. Divakar Sharma verificó muchas de las demostraciones, e hizo preguntas que me llevaron a darme cuenta mejor acerca de qué suposiciones refuerzan mis argumentos. Otras personas a quienes estoy agradecido por sus sugestiones son Cari Bajema, R. N. Battacharya, Arthur A. Campbell, Norman Carrier, Chin Long Chiang, Ansley J. Coale, Wilhelm Flieger, Leo A. Goodman, Morris H. Hansen, P. Das Gupta, R. W. Hodge, Barbara Keyfitz, Leslie Kish, Evelyn Kitagawa, John S. Lew, R. C. Lewontin, Alvaro López, David McFarland, Paul Meier, Walter Mertens, Félix Moore, E. M. Murphy, Jay Palmore, Andrei Rogers, Norman Ryder, Mindel C. Sheps, Mortimer Spiegelman, León Tabah y William Taylor. En la última búsqueda de errores en la etapa de prueba, tuve la valiosa ayuda de Robert Retherford. Estudiantes de Chicago, Duke y Berkeley proporcionaron resultados numéricos sobre datos reales y de ese modo evaluaron la corrección como asimismo la aplicabilídad de algunas partes de la teoría. Los que hicieron cantidades sustanciales de programación, cuyos resultados no siempre aparecen explícitamente, fueron Eduardo Arriaga, Roger Avery, Frank Bean, Beth Berkov, Linda Bourque, Chen-Tung Chang, Jere Cohén, William Cummings, Thomas G. Donnellv, Linda Drass, Jeffery Evans, Wilhelm Flieger, Prithwis Das Gupta, Barbara Hevns, Joginder Kumar, Ronald Lee, William Lindeman, George Masnick, Susan McDougall, Maurice Moore, Effat Moussa, James Mulherin, E. M. Murphy, Dhruva Nagnur, Pierre Nakache, Terry Nichols, Frank Oechsli, A. Okorafor, Jay Palmore, James Porter, Robert Retherford, Hardeo Sahai, Diego Salazar, R. S. S. Sarma, Susan Borker Schwarz, J. M. Sehgal, William J. Serow, S. N. Sinha, Peter Smith, Shannon Stokes. P. P. Talwar, William Taylor, Andrea Tyree, Eliezer Uche, Daniel Vandeportaele y Nancy Wang. Aun en los casos en que el resultado de la programación sirvió meramente para convencerme de que no había en vista ninguna aplicación útil a los datos reales, de modo que retiré la teoría del volumen, estoy agradecido por resultados que ayudaron sustancialmente a mi pensamiento. La National Science Foundation apoyó financieramente dicho trabajo de cálculo. Muchos gastos incidentales fueron cubiertos por una subvención del Population Council. Una subvención de la Fundación Ford me aligeró de la carga docente usual. La deuda fundamental de cualquier autor es con los clásicos de su tema. Lotka, Voltérra, Leslie, Feller, Kendall, Coale, Goodman y otros forjaron las materías expuestas en este libro. Ninguno de ellos, haya sido su ayuda por escrito u oral, es responsable por el uso que aquí se hace de su trabajo. Aun cuando la mayor parte del libro expone un conjunto de materiales relativamente bien conocidos, se han llenado algunos vacíos y se ha desarrollado algo de teoría y técnicas nuevas. Aquellas partes de diversos capítulos que contienen lo que es original en el argumento, han sido presentadas en forma pre-

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liminar en Behavioral Science, Biometrics, Dernography, Human Biology, The Journal of the American Statistical Association, The Journal of the Rojal Statistical Society, Population, Population Studies, y The Review of the International Statistical Institute. Vayan mis agradecimientos a los editores de estas revistas por sugerir puntos substantivos así como de exposición, y por permitir volver a usar el material. La mayor parte del trabajo se realizó en la Universidad de Chicago. Yo no fui el primer recién llegado a dicha comunidad que sintió, bajo el estímulo de colegas y estudiantes, un descontento con lo que pensaba que ya sabía. De tal descontento se desarrolla en forma natural el impulso a investigar más profundamente, aun en individuos para quienes en otros medios el conocimiento nuevo no era de gran importancia. De todas mis deudas, la mayor es con la Universidad de Chicago. N. K. Berheley, California Febrero de 1968

RECONOCIMIENTOS El capítulo 1, sección 1.2, págs. 23-28, es una versión drásticamente modificada de "A Life Table that Agrees with the Data", Journal of the American StatisticalAssociation 61, Parte I, págs. 305-312, junio de 1966. Los capítulos 2 y 3 tienen partes comunes con los siguientes artículos: "Matrix Multiplication as a Technique of Population Analysis", The Milbank Memorial Fund Quarterly 42, N9 4, págs. 68-84, octubre de 1964; "The Population Proyection as a Matrix Operator", Demography 1, N? 1, págs. 57-73, 1964; "Estimating the Trayectory of a Population", Proceeding of the Fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability 4, págs. 81-113, 1966. El capítulo 4, sección 4.4, págs. 94-96, contiene una técnica publicada por primera vez en "Criteria for Data Adjustment", Conferencia Mundial de las Naciones Unidas sobre Población, Belgrado, 1965, B.6/I/E/323 (con E. M. Murphy). El capítulo 5 incluye algunos de los métodos de "The Intrinsec Rate or Natural Increase and the Dominant Root of the Projection Matrix", Population Studies 18, N