UNEFA –C.I.N.U. Matemáticas LA FACTORIZACIÓN COMO HERRAMIENTA PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Material adaptado con fines instruccionales por Teresa Gómez, de: Ochoa, A., González N., Lorenzo J. y Gómez T. (2008) Fundamentos de Matemáticas, Unidad 2: Expresiones Algebraicas, CIU 2008, UNEFA, Caracas.

En el presente trabajo, se brinda una presentación a un nivel elemental y completo de los métodos de factorización. En esta lectura trataremos algunos métodos de factorización: Factor común, Diferencia de cuadrados, Factorizando trinomios. En álgebra, la factorización consiste en expresar un objeto o un número, como producto o resultado de otros más pequeños (factores).

Este es un proceso básico en el desarrollo de las habilidades matemáticas, con el cual se logran simplificar ecuaciones y/o expresiones de alta dificultad. Para entender este proceso, se deben tener presente los conceptos vistos en el bloque 1 de esta aula: monomio, binomio, polinomio, término, grado, potencia, entre otros. Así como los números naturales se pueden expresar como el producto de dos o más números primos, los polinomios se pueden expresar como producto de factores algebraicos. Entonces el proceso de factorizar puede considerarse como el inverso al de multiplicar: consiste en identificar los factores comunes a todos los elementos y agruparlos. Es de suma importancia la adquisición de esta habilidad matemática para abordar problemas de forma rápida y sencilla. Ejemplos como: En un cubo de madera se hace un orificio de base cuadrada, de una cara a su opuesta, como muestra la figura. Encontrar la expresión algebraica para el volumen del cuerpo restante, implica trabajar con expresiones algebraicas factorizadas.

La factorización es una herramienta poderosa, no sólo para el cálculo de ejercicios matemáticos, si no también modelando una forma de pensar alimentada por la curiosidad de entender los elementos complejos, pues cada elemento complejo se puede comprender como producto de sus partes y las relaciones entre sus factores.

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UNEFA –C.I.N.U. Matemáticas FACTORIZAR Expresar un número o una expresión algebraica como producto de factores primos que, al multiplicarlos, dan como resultado dicho número o expresión. o Es convertir un número o una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores. FACTORIZAR UN NÚMERO:

He aquí un ejemplo de cómo se desglosan los factores primos del número 36: 36

Número a factorizar 36

9 Factores primos de 9

3

Factores de 36

4

3

2

2

Factores primos de 4

Ahora podemos ver fácilmente los factores primos de 36 son 3, 3, 2, y 2. Todo esto significa que si usted toma los números y los multiplica entre sí: (3) (3) (2) (2) = 36. Nota: Usted no tiene que elegir 9 y 4 como los primeros dos "ramas" del árbol. Usted puede escoger cualquiera de los dos números que se multiplican para hacer 36. Otras posibilidades son 6 y 6, 3 y 12, y 2 y 18. FACTORIZAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más expresiones, llamadas factores de ella, decimos que podemos factorizarla. Ejemplos: • Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a., luego: 3a² - 6ab = 3a(a - 2b) . •

Los términos de 5a²bx³ - 15abx² - 20b³x² tienen como factor común 5bx2 , entonces 5a²bx³ - 15abx² - 20b³x² = 5bx²(a²x - 3a - 4b²).

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El producto notable es un procedimiento (contrario) que nos permite factorizar expresiones algebraicas, consiste en transformar una expresión algebraica en un producto o multiplicación. Ejemplos:  25 + 10 y + y 2 = (5 + y ) 2  x 2 − 36 = ( x + 6) ⋅ ( x − 6)  y 3 − 6 y 2 + 12 y − 8 = ( y − 2) ⋅ ( y − 2) ⋅ ( y − 2) = ( y − 2) 3

Cuando un número o cualquier otra expresión no pueden descomponerse en factores, se dice que es primo. En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza mucho el procedimiento de la factorización, como la herramienta para simplificar y resolver los ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez. Por ejemplo: Aritméticamente:

3 3⋅5 3⋅3 1 3 3 15 9 3 3⋅5 3⋅3 + − = +5− + − = + − = 5 12 3 15 3 ⋅ 4 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 4 3 3 ⋅ 5 4

En el álgebra:

( x + 2) x( x − 5) x+2 x2 − 5x x+2 x( x − 5) + = + + = 2 2 x + 4 x + 4 x − 25 ( x + 2)( x + 2) ( x + 5)( x − 5) ( x + 2)( x + 2) ( x + 5)( x − 5) x+2 x 2 − 5x + = x 2 + 4 x + 4 x 2 − 25

1 x + ( x + 2) ( x + 5)

Veamos a continuación algunos métodos para factorizar expresiones algebraicas: Nota: Es recomendable observar la expresión algebraica y determinar, de acuerdo al orden que se está presentando en esta lectura, cuál es el método más adecuado para factorizarla.

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FACTOR COMÚN:

Consiste en transformar la expresión dada en un producto, donde uno de los factores es común entre los términos y el otro se obtiene al dividir cada término de la expresión original entre el factor común. Ejemplo 1: Factorizar la expresión 12x + 3 Cuando nos piden

3 ⋅ 4.x + 3

sacar factor común o

simplemente

factorizar

y hay

coeficientes factores

3 (3.4.x + 3) = 3

con

comunes,

se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes.

Descomponemos el número 12 en dos factores y observamos que el 3 es común en los dos términos. Multiplicamos y dividimos toda la expresión por el factor común.

 3.4.x 3  3. +  = Efectuamos el cociente de cada 3  término entre el factor común  3 3.(4 x + 1)

Esta es la expresión ya factorizada.

Ejemplo 2: Factorizar el polinomio

36 x 2 − 12 x 3 + 18 x

Ordenamos y calculamos

− 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x

el máximo común divisor entre los coeficientes de cada término, mcd(36,12,18) = 6 Como la variable x es

− 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x común

en

los

tres

términos, multiplicamos el mcd por la x elevada a la menor potencia, en este caso es elevada a la 1 (18x)

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 Se

dividen

los

coeficientes, y

(

6x . − 12 x 3 + 36 x 2 + 18 x 6x

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)

 Se aplica la ley de cociente

de

potencias de igual

Multiplicamos y dividimos toda la expresión por este factor común

 12 x 3 36 x 2 18 x   6 x. − + + 6x 6 x   6x

Efectuamos el cociente de cada término entre el

base (se copia la

factor común

base y se restan

Resolviendo

los exponentes) y

(

6 x. − 2 x 2 + 6 x + 3

)

así se obtiene la

cociente,

cada quedaría

la

expresión ya factorizada.

expresión factorizada factor común.

por

Ahora extraeremos factores comunes diferentes por agrupación de términos. Ejemplo 3: Factorizar

3 x 2 − 6 xy + 4 x − 8 y Formamos

(3x

2

dos

grupos

considerando que los dos

)

− 6 xy + (4 x − 8 y )

primeros

términos

son

divisibles entre 3x y los dos últimos entre 4

(

)

Multiplicamos y dividimos

3x 2 4 3 x − 6 xy + (4 x − 8 y ) las dos expresiones por 3x 4 estos factores comunes  3 x 2 6 xy   4 x 8 y   + 4 3 x − −  3 x   4 4   3x

Simplificando

Observa que surgió un 3 x.(x − 2 y ) + 4(x − 2 y ) nuevo factor común entre los dos términos. Se procede a multiplicar y (x − 2 y ) [3x.(x − 2 y ) + 4(x − 2 y )] dividir por el nuevo factor (x − 2 y ) común.

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(x − 2 y ) 3x.(x − 2 y ) + 4(x − 2 y ) (x − 2 y )   (x − 2 y )

Simplificando

Obtenemos la expresión ya factorizada

(x − 2 y )(3x + 4)

Otro método para factorizar es utilizando los productos notables ya conocidos:

DIFERENCIA DE CUADRADOS Consiste en transformar la expresión dada en un producto, donde se tiene expresiones de la forma: a2 – b2 :

x2 – 9

Ejemplo 4: Factorizar

Expresamos todos los términos

x 2 − 9 = x 2 − 32 Aquí

utilizamos

en cuadrados

el

producto notable: la suma por la diferencia:

Tomando en cuenta que la

x 2 − 9 = ( x + 3)( . x − 3) factorización procedimiento

(a + b )(. a − b ) =

es inverso

el a

producto notable.

a 2 − b2 Ejemplo 22: Factorizar

( )

x − 16 = x 4

2 2

−4

2

x4 – 16 Expresamos todos los términos en cuadrados Tomando en cuenta que la

(x

x 4 − 16 = 2

)(

+ 4 . x2 − 4

)

factorización procedimiento

es inverso

el a

producto notable.

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UNEFA –C.I.N.U. Matemáticas Como

(

el

segundo

factor

también es una diferencia de

x 4 − 16 =

)

= x 2 + 4 .(x + 2 )( . x − 2)

cuadrados,

se

procede

a

factorizarlo:

x 2 − 4 = x 2 − 22 FACTORIZANDO TRINOMIOS Para factorizar un trinomio consideraremos los siguientes casos: 2 Caso 1: Trinomio de la forma : x + bx + c

Dos números tales que: sumados sea igual al coeficiente de

x

y multiplicados sea igual al

término independiente, es decir,

La fórmula general viene dada por: x2 + bx + c y al factorizarlo queda expresada como (x + n).(x + m) donde n.m = c y n + m = b

Buscamos dos

Ejemplo 5: Factorizar

x 2 − 7 x + 12 -3-4=-7 (-3).(-4) = 12

cantidades, tales que su producto sea 12, éstas deben tener el

x 2 − 7 x + 12 =

mismo signo para que

= x + (− 3 − 4 )x + (− 3).(−4 )

Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación.

x 2 + 10 x + 24 = ( x − 3)( . x − 4)

Aplicando la fórmula general.

2

el producto sea positivo, y para que la suma sea -7, deben ser los dos negativos.

Bloque 2: La factorización como herramienta para la simplificación de expresiones algebraicas 7

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Ejemplo 6: Factorizar x 2 + 10 x + 24 Buscamos

6 + 4 = 10 6 . 4 = 24

dos

cantidades, tales que la suma sea 10 y su

x 2 + 10 x + 24 =

producto sea 24.

= x 2 + (6 + 4 )x + (6.4 )

Se sustituyen los coeficientes, una por una adición y la otra por una multiplicación.

x 2 + 10 x + 24 = ( x + 6 )( . x + 4)

Aplicando general.

la

fórmula

Ejemplo 7: Factorizar x 2 + 15 x − 100 Buscamos

dos 20 + (-5) = 15 20 . (-5) = -100

cantidades tales que la suma sea 15 y su producto

sea

-100.

Para que el producto sea

negativo

x 2 + 10 x + 24 = x 2 + (20 + (− 5))x + (20.(− 5))

deben

tener signos diferentes.

x 2 + 10 x + 24 = (x + 20 )( . x − 5)

Se sustituyen los coeficientes, uno por una adición y el otro por una multiplicación. Aplicando la fórmula general

Caso 2: Trinomio Cuadrado Perfecto: Se basa en las siguientes fórmulas de productos notables :

(a + b )2

(a − b )2

= a 2 + 2ab + b 2

El Cuadrado de la suma

y

= a 2 − 2ab + b 2

El cuadrado de la diferencia

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Ejemplo 8: Factorizar x 2 + 10 x + 25 Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado.

x2

ya está en forma de cuadrado y 25 = 52

10 x = 2( x.5)

También verificamos término restante se expresar como el producto de las bases cuadrados.

x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5)

si el puede doble de los

Al cumplir las condiciones, se pasa a factorizarlo según la fórmula.

2

Ejemplo 9: Factorizar 4 x − 12 x + 9 2

4 x 2 = (2 x )

Verificamos si dos de los términos se pueden expresar en forma de cuadrado. También verificamos si el término restante se puede expresar como el doble producto de las bases de los cuadrados.

2

9 = (− 3)

2

− 12 x = 2.(2 x )( . − 3)

4 x 2 − 12 x + 9 =

(2 x )2 + 2.(2 x.(− 3)) + 32 4 x 2 − 12 x + 9 = (2 x − 3)

2

Caso 3: Trinomio de segundo grado:

Expresamos el trinomio en cuadrados y productos. Factorizamos aplicando la fórmula.

ax 2 + bx + c

Cuando no se cumplen las condiciones de los dos casos anteriores, se procede de la siguiente manera:

ax 2 + bx + c = 0 x=

− b ± b − 4ac 2a 2

ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( . x − x2 )

Se iguala toda la expresión a cero (0). Se calculan los dos valores de x, utilizando la ecuación cuadrática(raíces del polinomio). Se aplica la fórmula general.

Bloque 2: La factorización como herramienta para la simplificación de expresiones algebraicas 9

UNEFA –C.I.N.U. Matemáticas Ejemplo 27: Factorizar el polinomio 2 x 2 + 5 x − 3 2 x2 + 5x − 3 = 0 a=2

x=

b=5

c = -3

− 5 ± 5 − 4.2.(− 3) 2.2 2

x=

− 5 ± 25 + 24 2.2

x=

Resolvemos lo que está dentro de la raíz: 52 = 25 -4 . 2 . (-3) = -8 . (-3) = + 24

− 5 ± 49 2.2

−5±7 x= 4

−5+7 2 1 x1 = = = 4 4 2 − 5 − 7 − 12 = = −3 x2 = 4 4

1  2 x + 5 x − 3 = 2 x − .(x + 3) 2  2

Igualamos a cero y determinamos los valores de a, b y c. Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación cuadrática

Extraemos la cantidad subradical por ser un cuadrado perfecto. Obtenemos dos valores de la x uno sumando 7 y el otro restándolo. Así obtenemos:

x1 =

1 2

y

x2 = −3

Reemplazamos los valores en la fórmula general. Recuerda que x-(-3) = x + 3

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EJERCICIOS PROPUESTOS:

Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios: 1 ) 10xy + 15xy 2 2 ) 16x 2 - 9y 2 3 ) 3m 3 + 3m 2 - 18m

4 ) 6xy - 2xz + 8yz

5 ) 64 + b 12

6 ) ax 2 - ay + 3a + b x 2 - by + 3b

7 ) 18x 3y - 9x 2y + 27x 2y 2

8 ) 64m 3 - 48m 2n + 12mn 2 - n 3

9 ) (3a + b)(2c - d) + 2 a (2c - d)2

10 ) a n+2 - a n-1

11 )

x2 + 2x + 3

12 )

x2 − a2 + x − a2 x

13 )

3 x 5 − 48 x

14 )

4 x12 + 12 x 6 + 9

15 )

x 3 − 12 x 2 + 41x − 30

16 )

3 xm 2 − x + 3m 2 − 1

17 )

3 x 2 + 15 x + 18

18 )

3x3 + 3x 2 + 3x + 3

19 )

x 2 xy y 2 + + 4 3 9

20 )

a 2 b4 − 100 9

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