GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 3. Cálculo vectorial.

3. El teorema de Green. En esta sección estudiamos el teorema de Green, que relaciona la integral de línea de un campo plano en una curva del plano con la integral doble de su rotacional en la región que encierra la curva. El teorema de Green para regiones simplemente conexas. Consideremos una región plana D que es simultáneamente X -proyectable e Y -proyectable. Sea F ( x, y ) = ( P( x, y ), Q( x, y ) ) un campo vectorial con verivadas parciales continuas. Denotemos por C la curva frontera de la región D y supongamos que C está formada por arcos regulares. Vamos a calcular la integral de línea

∫ F ⋅ dC = ∫ Pdx + Qdy. Para ello, descomponemos C

C

F ( x, y ) = ( P( x, y ), 0 ) + ( 0, Q( x, y ) ) = F1 ( x, y ) + F2 ( x, y ).

∫ F ⋅ dC = ∫ F ⋅ dC + ∫ F ⋅ dC. Comenzamos calculando ∫ F ⋅ dC. Puesto que la re-

Entonces

1

C

2

C

1

C

C

gión D es X -proyectable podemos escribir D := {( x, y ) ∈ \ 2 : a ≤ x ≤ b, y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x)} , siendo y1 = y1 ( x) e y2 = y2 ( x) dos funciones con derivas continuas en el intervalo [a, b]. Vamos a parametrizar los cuatro arcos de curva que componen la curva C :

C1 : x ∈ [a, b] → C1 ( x) = ( x, y1 ( x)) ∈ \ 2 ,

C1′( x) = (1, y1′( x)), C2′ ( y ) = (0,1),

C2 : y ∈ [ y1 (b), y2 (b)] → C2 ( y ) = (b, y ) ∈ \ , 2

C3′ ( x) = (1, y2′ ( x)), C4′ ( y ) = (0,1).

C3 : x ∈ [a, b] → C3 ( x) = ( x, y2 ( x)) ∈ \ 2 , C4 : y ∈ [ y1 (a ), y2 (a)] → C4 ( y ) = (a, y ) ∈ \ 2 ,

Observemos que las parametrizaciones C1 y C2 tienen la orientación adecuada mientras que las parametrizaciones C3 y C4 tienen orientación opuesta y, por tanto, debemos tener cuidado al usarlas para calcular las correspondientes integrales. Además tenemos que F1 (C1 ( x)) ⋅ C1′( x) = ( P( x, y1 ( x)), 0) ⋅ (1, y1′ ( x)) = P ( x, y1 ( x)), F1 (C2 ( x)) ⋅ C2′ ( x) = ( P(b, y ), 0) ⋅ (0,1) = 0, F1 (C3 ( x)) ⋅ C3′ ( x) = ( P ( x, y2 ( x)), 0) ⋅ (1, y2′ ( x)) = P( x, y2 ( x)), F1 (C4 ( x)) ⋅ C4′ ( x) = ( P(a, y ), 0) ⋅ (0,1) = 0.

Entonces

∫

C

F1 ⋅ dC =

∫

b

P( x, y1 ( x))dx −

a

=−

∫

b

P( x, y2 ( x))dx = −

a

⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ b

a

y2 ( x )

y1 ( x )

⎤ Py ( x, y )dy ⎥ dx = − ⎦

∫ ( P( x, y ( x)) − P( x, y ( x)) ) dx b

2

1

a

∫∫ P ( x, y)dxdy. y

D

Análogamente, usando ahora que la región D es Y -proyectable, podemos obtener que

∫ F ⋅ dC = ∫∫ Q ( x, y)dxdy. 2

C

x

D

1

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En consecuencia, obtenemos la igualdad

v∫ Pdx + Qdy = ∫∫ (Q − P ) dxdy, x

C

y

que se conoce como

D

fórmula de Green para la región D.

En general, el teorema de Green establece la igualdad anterior, es decir, bajo ciertas condiciones que debe cumplir la región D, donde la curva C es la frontera de dicha región D. Veamos cuales son estas condiciones. OBSERVACIÓN. Para la validez de la igualdad se necesitan dos tipos de hipótesis. En primer lugar, hipótesis sobre P y Q que garanticen la existencia de las integrales que aparecen. Habitualmente se supone que P y Q tienen derivadas parciales continuas. En segundo lugar hay que imponer condiciones de tipo geométrico sobre el recinto D y su curva frontera C , concretamente supondremos que C es una curva de Jordan (o sea, cerrada y simple) formada por arcos regulares. Puede demostrarse (y no es nada elemental aunque sea intuitivamente muy claro) que toda curva de Jordan descompone el plano en dos conjuntos conexos y disjuntos que tienen a la curva C como frontera común. Uno de dichos conjuntos no es acotado y se llama región exterior a C. El otro sí es acotado y se llama región interior a C , esta región interior junto con su frontera C será la región acotada que representaremos por D. Finalmente, hay otro detalle que debemos tener en cuenta en el enunciado del teorema de Green, la orientación de la curva C debe ser la orientación positiva; es decir, C debe ser recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Esto quiere decir que la parametrización considerada debe recorrer la curva dejando a la izquierda la región interior. Nos conformaremos con esta formulación intuitiva. TEOREMA (GREEN). Sea C una curva de Jordan formada por arcos regulares recorrida en sentido positivo. Sean P y Q dos campos escalares con derivadas parciales continuas en la región acotada D cuya frontera es C. Entonces se verifica que

∫∫ (Q − P ) dA = v∫ Pdx + Qdy. x

y

D

C

x2 y 2 + = 1 y consideremos el campo F ( x, y ) = (− y, x). a 2 b2 Vamos a comprobar, para la curva C y el campo F , la igualdad que establece el teorema de Green. La curva C se puede parametrizar por las funciones x(t ) = a cos t e y (t ) = b sen t con t ∈ [0, 2π ]. En este caso tenemos que P ( x, y ) = − y y Q( x, y ) = x, con lo que se verifica Qx ( x, y ) − Py ( x, y ) = 2.

EJEMPLO. Sea C la elipse de ecuación

Entonces tenemos, por una parte, que (denotando por D el interior de la elipse)

∫∫ (Q − P ) dA = ∫∫ 2dxdy = 2área(D) = 2π ab. x

y

D

D

Y por otra parte tenemos que

v∫

C

Pdx + Qdy =

∫

2π

(−b sen t (− a sen t ) + a cos t (b cos t )) dt =

0

∫

2π

(ab sen 2 t + ab cos 2 t )dt = 2π ab.

0

En general, aplicando el teorema de Green al campo vectorial F ( x, y ) = (− y, x), obtenemos que

v∫ xdy − ydx = ∫∫ 2dxdy = 2área(D), C

D

2

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lo que nos permite calcular el área de un recinto plano mediante una integral de línea en su contorno. COROLARIO. Sea C una curva de Jordan formada por arcos regulares y sea D la región acotada cu1 ya frontera es C. Entonces se tiene que área( D) = xdy − ydx. 2 C

v∫

EJEMPLO. Usando el teorema de Green, vamos a calcular la siguiente integral de línea

∫ (e cos y + xy )dx − (e sen y + x y)dy x

x

2

2

C

⎡ π⎤ en el arco de la lemniscata C dada por la ecuación polar r 2 = a 2 cos(2θ ), con θ ∈ ⎢0, ⎥ . Una pa⎣ 4⎦ rametrización del arco de lemniscata está dada por ⎡ π⎤ C1 : θ ∈ ⎢0, ⎥ → C1 (θ ) = a cos(2θ ) cos θ , a cos(2θ ) sen θ ∈ \ 2 . ⎣ 4⎦

(

)

Si echamos un vistazo a la parametrización de la curva, observamos que será complicado integrar directamente este campo en la lemniscata. Por esto, intentaremos calcular esta integral usando el teorema de Green. Llamemos F ( x, y ) = ( e x cos y + xy 2 , −(e x sen y + x 2 y ) ) al campo vectorial que queremos integrar. Es fácil comprobar que para el campo F se verifica que Qx − Py = −4 xy. Ahora consideramos el segmento rectilíneo que une el origen de coordenadas con el punto ( a, 0). Llamemos a este arco de curva C2 y observemos, puesto que en este arco y = 0, que F ( x, 0) = ( e x , 0 ) ,

luego se verifica que

∫

F ⋅ dC =

∫ e dx = e a

x

a

− 1. La curva C := C1 ∪ C2 es cerrada y podemos apli-

0

C2

car el teorema de Green al campo F en el interior de esta curva, que llamaremos D. El teorema de

∫∫ (Q − P ) dxdy = v∫ F ⋅ dC = ∫ F ⋅ dC + ∫ F ⋅ dC = ∫ F ⋅ dC + e −1, luego ∫ F ⋅ dC = ∫∫ (Q − P ) dxdy + 1 − e = −∫∫ 4xydxdy + 1 − e . Basta calcular entonces la integral ∫∫ 4 xydxdy. Para ello realizaremos un cambio a coordenadas polares. Entonces a

Green establece que

x

y

D

C

C1

a

x

C1

C2

C1

a

y

D

D

D

⎡ x = r cos θ ⎤ 4 xydxdy = ⎢ ⎥= D ⎣ y = r sen θ ⎦

∫∫

=

∫

π 4

0

π

⎡ ⎢ ⎣

∫ ∫ 4

0

⎡cos θ sen θ r 4 ⎤ a ( ⎦0 ⎢⎣

Finalmente tenemos que

∫

C1

a cos(2θ )

0 cos(2θ )

F ⋅ dC = −

⎤ 4r cos θ r sen θ rdr ⎥ dθ = 4 ⎦

⎤ dθ = a 4 ⎥⎦

∫

∫

π 4

0

⎡ ⎢cos θ sen θ ⎣

π 4

0

cos θ sen θ cos 2 (2θ )dθ =

∫

a cos(2θ )

0

⎤ r 3 dr ⎥ dθ ⎦

a4 . 12

a4 + 1 − ea . 12

El teorema de Green para regiones múltiplemente conexas. Observa que no podemos aplicar el

3

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v∫

x y dx + 2 dy, siendo C una curva regular 2 x + y2 C x + y x y que rodee al origen de coordenadas porque las funciones P ( x, y ) := 2 y Q( x, y ) := 2 no 2 x +y x + y2 son diferenciables en el origen. Necesitamos estudiar la validez del teorema de Green en otras regiones más generales. Ahora extenderemos el teorema de Green a regiones con agujeros. El nombre que reciben estos conjuntos es el de región múltiplemente conexa. De forma precisa, tenemos la siguiente teorema de Green para calcular la integral

2

DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto conexo U ⊆ \ 2 es simplemente conexo si para toda curva de Jordan C contenida en U , la región acotada V cuya frontera es C verifica V ⊆ U . Gráficamente, un conjunto simplemente conexo es un conjunto que no tiene agujeros. Se dice que un conjunto es múltiplemente conexo si es conexo pero no es simplemente conexo. Si queremos extender el teorema de Green para este tipo de regiones, a la integral de línea sobre la frontera exterior que aparece debemos añadir integrales a lo largo de curvas que aíslen los agujeros. Por simplicidad, enunciaremos el teorema para el caso de un recinto con un solo agujero. TEOREMA (GREEN). Sea U ⊆ \ 2 un conjunto conexo con un agujero V , cuya frontera exterior es una curva de Jordan C1 formada por arcos regulares y su frontera interior es una curva de Jordan C2 , formada por arcos regulares. Supongamos que P y Q son dos campos escalares con derivadas parciales continuas en U − V . Entonces se verifica que

∫∫

U −V

(Q

x

− Py ) dA =

v∫

Pdx + Qdy −

C1

v∫

Pdx + Qdy,

C2

donde las dos curvas C1 y C2 son recorridas en sentido positivo. DEM. Observemos la siguiente figura y dividamos la región U − V = D1 ∪ D2 tal como se muestra en ella. La frontera de D1 (que denotaremos por ∂D1 ) está formada por los arcos C11 , L2 , C21 y L1. Igualmente, la frontera de D2 (que denotaremos por ∂D2 ) está formada por los arcos C12 , L1 , C22 y L2 , salvo que ahora los arcos L1 y L2 se recorren en sentido opuesto al anterior. Entonces, aplicando simultáneamente el teorema de Green en las regiones D1 y D2 se verifica la siguiente cadena de igualdades que establece el resultado.

∫∫

U −V

(Q

x

− Py ) dxdy =

∫∫ (Q − P ) dxdy + ∫∫ (Q − P ) dxdy = v∫ Pdx + Qdy + v∫ = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy − ∫ = Pdx + Qdy − Pdx + Qdy. ∫ ∫ x

y

x

D1

C11

L2

C12

C1

y

∂D1

D2

∂D2

L1

L2

Pdx + Qdy

C21

L1

Pdx + Qdy

C22

C2

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COROLARIO. Sean P y Q dos campos escalares con derivadas parciales continuas en un conjunto conexo U ⊆ \ 2 tales que Qx = Py en U . Sean C1 y C2 dos curvas de Jordan regulares a trozos, contenidas en U , que no se cortan y tales que C1 rodea completamente a C2 . Supongamos que la región anular comprendida entre C1 y C2 se queda contenida en U . Entonces se tiene

v∫

Pdx + Qdy =

C1

v∫

Pdx + Qdy

C2

si ambas se recorren en el mismo sentido.

v∫

x y dx + 2 dy en una curva C1 que ro2 x + y2 C1 x + y dea al origen de coordenadas. Como hemos comentado anteriormente, podemos aplicar directamente el teorema de Green en el interior de la curva C1. Para calcular la integral consideraremos una circunferencia C2 de radio pequeño como para que esté contenida en C1. Observemos que podemos aplicar el teorema de Green en la región comprendida entre estas dos curvas. Como se verifica que Qx − Py = 0 en todo punto distinto del origen llegamos a que EJEMPLO. Vamos a calcular la integral de línea

v∫

C1

x y dx + 2 dy = 2 x +y x + y2 2

2

v∫

C2

x y dx + 2 dy. 2 x +y x + y2 2

Para calcular esta última integral consideramos la parametrización C2 : t ∈ [0, 2π ] → C2 (t ) = (r cos t , r sen t ) ∈ \ 2 , siendo r > 0 suficientemente pequeño. Entonces

v∫

C2

x y dx + 2 dy = 2 2 x +y x + y2

∫

2π

0

r sen t ⎛ r cos t ⎞ ⎜ 2 (−r sen t ) + 2 r cos t ⎟ dt = 0. r ⎝ r ⎠

Cálculo vectorial en el plano. El teorema de Green admite varias interpretaciones y tiene varias consecuencias que afectan a diferentes maneras de considerar las derivadas de los campos vectoriales. Este conjunto de interpretaciones y fórmulas se conoce como cálculo vectorial en el plano.

Sea F = ( P, Q) : U ⊆ \ 2 → \ 2 un campo vectorial con derivadas parciales continuas en U y supongamos que C es una curva de Jordan regular cuya región interior D está contenida en U , de forma que podemos aplicar el teorema de Green. Sea C : t ∈ [a, b] ⊆ \ → C (t ) := ( x(t ), y (t ) ) ∈ \ 2 una parametrización de C que la recorre en sentido positivo. En cada punto P = ( x(t ), y (t )) de la curva existen el vector tangente unitario T ( P ) y el vector normal exterior unitario N ( P) dados, ( x′(t ), y′(t )) ( y′(t ), − x′(t )) respectivamente, por T ( P ) = y N ( P) = . En las condiciones dadas y con ( x′(t ), y′(t )) ( x′(t ), y′(t )) la notación introducida, la fórmula de Green puede reescribirse de las siguientes formas: 1) La forma de Stokes del teorema de Green:

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∫∫ rot Fdxdy = ∫∫ (Q − P ) dxdy = v∫ Pdx + Qdy = v∫ F ⋅ T ds. x

D

y

D

C

C

2) La forma de Gauss del teorema de Green:

∫∫ div Fdxdy = ∫∫ ( P + Q ) dA = v∫ −Qdx + Pdy = v∫ F ⋅ N ds. x

D

y

D

C

C

Para obtener esta última fórmula consideremos el campo G ( x, y ) := (−Q( x, y ), P( x, y )), con lo que rot G = div F . Entonces

∫∫

div( F )dA =

D

∫∫

rot(G )dxdy =

D

⎡C (t ) = ( x(t ), y (t )) ⎤ G ⋅ dC = ⎢ ⎥ C ⎣a ≤ t ≤ b ⎦

v∫

∫ (−Q( x(t ), y(t )) x′(t ) + P( x(t ), y(t)) y′(t))dt = ( P( x(t ), y (t )), Q( x(t ), y (t ))) ⋅ ( y′(t ), − x′(t ))dt ∫ = F (C (t )) ⋅ N (t ) C ′(t ) dt = ∫ v∫ F ⋅ N ds. b

=

a

b

a

b

a

C

TEOREMA (FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES). Sea C una curva regular contenida en un conjunto U del plano y denotemos por D a la región interior a la curva. Sean f : U ⊆ \ 2 → \ un campo escalar y F : U ⊆ \ 2 → \ 2 un campo vectorial, ambos con derivadas parciales continuas en U . Entonces

∫∫

f div Fdxdy =

D

v∫

f F ⋅ N ds −

C

∫∫ F ⋅ Df dxdy. D

DEM. Sabemos que

v∫

f F ⋅ N ds =

C

∫∫ div( fF )dxdy = ∫∫ ( f div F + F ⋅ Df ) dxdy = ∫∫ D

D

f div Fdxdy +

D

∫∫ F ⋅ Df dxdy. D

De aquí sigue la fórmula que queremos probar. EJERCICIO 1. Sea D el semianillo contenido en el semiplano superior entre las circunferencias

x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 4. Sea C la frontera del semianillo D. Calcula la integral

v∫

y 2 dx + 3 xy dy

C

donde C se recorre en sentido positivo. EJERCICIO 2. Sea g un campo escalar con derivadas parciales segundas continuas en \ 2 . Demues-

tra que

v∫ ∇g ⋅ N ds = ∫∫ ( g C

xx

+ g yy ) dxdy donde N es el campo de vectores normales unitarios

D

exteriores a la curva C. Calculando ambas integrales, comprueba que se verifica la igualdad dada antes en el caso particular en que C es la circunferencia unidad y g ( x, y ) = x3 + x 2 + y 2 .

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EJERCICIO 3. Comprueba que se da la igualdad establecida por la forma de Gauss del teorema de Green en los siguientes casos.

(1) F ( x, y ) = ( x,1), en el cuadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1,1) y (0,1). (2) F ( x, y ) = (2 xy − x 2 , x + y 2 ), en el rectángulo de vértices (0, 0), (0, 2), (1, 2) y (1, 0). (3) F ( x, y ) = ( x 2 + y 2 ) −1 (− y, x), en el anillo 0 < a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 . EJERCICIO 4. Consideremos la región plana dada por

D = {( x, y ) ∈ \ 2 : 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2}. Calcula su área de las siguientes formas: (1) Calculando (sin hacer cambios de variables) la integral

∫∫ dxdy. D

(2) Calculando la integral anterior; haciendo un cambio a coordenadas polares. (3) Aplicando el teorema de Green al campo vectorial F ( x, y ) = ( x 2 + y 2 − y, 2 xy ). EJERCICIO 5. Usa el teorema de Green para calcular

v∫ ( 2 y + C

) (

)

9 + x3 dx + 5 x + e y dy, siendo C 2

la circunferencia centrada en el origen y de radio 4 orientada positivamente.

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