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LECTURA N° 6: TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Tomado con fines instruccionales de: Gómez, B., Gómez, T., González, N., Moreno, E., Rojas M., (2006). Expresiones Algebraicas, Caracas: UNEFA.
Las expresiones algebraicas son de gran utilidad para expresar matemáticamente comportamientos de carácter económico, físico, químico, biológico, entre otros. Cada comportamiento tiene una expresión algebraica que lo representa. Algunos ejemplos son: a) El crecimiento de una bacteria puede estar dado por la expresión
ex
2
+1
, observe que el
exponente es una expresión que contiene a la variable x . b) El costo total para construir una cerca para un área rectangular con ciertas condiciones dadas, esta representada por la expresión algebraica 3 x +
43200 . x
En virtud de lo expuesto y de las características propias de cada expresión algebraica, éstas se clasifican en: Enteras, Racionales, Radicales y Combinadas. Expresiones Algebraicas Enteras o Polinómicas. Son también llamadas polinómicas y se definen como toda expresión algebraica en la que las potencias son de exponente natural, es decir, los exponentes de las variables son números enteros positivos. Ejemplos: 3 x 2 + 5 y 3 , 4 x 2 y,
2 ( z + x) 3 b 3
Las expresiones algebraicas enteras, a su vez se clasifican en monomios, binomios, trinomios y polinomios, dependiendo del número de términos que posea.
Monomio, expresión que consta de un solo término, por ejemplo: 3 x 2 ,
Binomio, expresión que consta de dos términos, ejemplos:
(2 x
(x − 3 y ),
2
)
− 4 y3 ,
2 2 a b 3
⎛1 2 5⎞ ⎜ a b + 2b ⎟ ⎝2 ⎠
Trinomio consta de tres términos, así como en los siguientes ejemplos:
(x 2 − 3x + 2)
,
(5 y 2 + 2 y − 1/ 2)
,
⎛1 2⎞ ⎜ xy − 3x + 2 y ⎟ ⎝2 ⎠ 51
Así, en general podemos definir, que un Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: b + x − 4 y,
x 3 + 6 x 2 − 9 x + 6, x 2 − 2 x + 1 , en el conteo de
términos sólo se cuentan los términos que no tienen como coeficiente el número cero.
NOTA: Observe que de acuerdo a la definición de polinomio, los binomios y los trinomios son polinomios.
Ejemplo 1:
Determinar si la expresión algebraica P( x) = 2 x −3 + 3x 2 − 2 x es un polinomio.
Justifique su respuesta. Solución: No es un polinomio, porque tiene un exponente negativo en 2 x −3 . Los exponentes deben ser enteros y no negativos. Ejemplo 2:
Determinar si la expresión algebraicas P( x) = 3 x − 2 x 2 es un polinomio.
Justifique su respuesta. Solución:
P ( x ) = 3 x − 2 x 2 equivale a
P ( x) = 3 x 1 / 2 − 2 x 2
No es un polinomio porque tiene un exponente fraccionario. Los exponentes deben ser enteros y no negativos.
NOTA:
Si bien es cierto, los ejemplos 3 y 4 no son considerados como polinomios, pero sí son expresiones algebraicas
Características de los Polinomios •
Un polinomio posee términos y sus componentes, recuerde que todo polinomio es una expresión algebraica.
•
El Grado de un Polinomio, se define como el mayor exponente que tiene la variable del polinomio.
•
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Los términos de un polinomio se clasifican en:
Término Independiente, es aquel que no está acompañado de la variable. Así, para el polinomio Q( x) =
5ax 3 + 8bx 2 + ab , el término independiente del polinomio Q es el
término ab . Término Dependientes, son aquellos que están acompañados de la variable. Así, para el polinomio Q( x) = 5ax 3 + 8bx 2 + ab , los términos dependientes del polinomio Q( x) son:
5ax 3 , •
8bx 2 .
Un Polinomio Completo, es aquel que con relación a la variable contiene todos los exponentes sucesivos, desde el más alto hasta el más bajo o viceversa. Así, el polinomio:
P( x) = x 5 − 5 x 4 + 3x 3 + x 2 − x + 6 es completo con respecto a su variable x , porque contiene todos los exponentes sucesivos desde el más alto (5), hasta el más bajo (0), ( 6 = 6 x 0 ). El polinomio Q(a ) = a 3 + a 2 b − 2ab 2 + b 3 es completo con respecto a la variable “a”. Note que si definimos como variable del polinomio Q a " b" , Q(b) = a 3 + a 2 b − 2ab 2 + b 3 , éste también es un polinomio completo. El polinomio R( x) = x 4 − 3 x 3 + 2 x + 6 no es un polinomio completo, ya que el término x 2 no está, es decir el coeficiente de x 2 es cero. NOTA:
Podemos decir entonces que un polinomio es completo, si contiene todos los exponentes sucesivos de la variable y todos los coeficientes del polinomio son diferentes de cero. •
Diremos que un polinomio está ordenado, si los exponentes de la variable están en orden ascendente o descendente.
Así por ejemplo: a) El polinomio
P( x) = x 3 − 4 x 2 − 3x + 12 , es un polinomio ordenando en forma
descendente, b) El polinomio Q( x) = 3 x 4 − 3 x 3 + 5 x 6 + 4 x 5 − 3 x + 1 , es un polinomio no ordenado. c) El
polinomio
R ( x) =
3 − 4 x + 6 x 2 + 5 x 3 + x 4 − x 5 , es un polinomio ordenado
ascendente. En general, si tenemos la siguiente expresión
P ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + Κ Κ Κ + a n x n en donde:
an ≠ 0
a 0 , a1 , a 2 , a3 ,Κ Κ Κ a n etc. son números reales “ n ” es un entero no negativo 53
Se puede considerar P( x) como un polinomio en “ x ” de grado “ n ” y: •
Las cantidades a 0 , a1 , a 2 , a 3 , Κ Κ Κ a n son los coeficientes del polinomio.
•
“ x ” es la variable o parte variable del polinomio
•
“ n ” es el mayor exponente de “ x ” y determina el grado del polinomio (entero no negativo).
•
a0 es el término independiente
Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 3:
Determinar las características del polinomio P( y ) = 2 y 5 − 4 y 4 + 2 y 6 + 3 y 2 .
Solución: a) Términos dependientes: 2 y 5 ,
− 4 y 4 , 2 y6 , 3y 2
b) Variable: y
c) Grado: 6
d) Coeficientes: 2 (de y 5 ), -4 (de y 4 ), 2 (de y 6 ), 3 (de y 2 ), 0 (de y 3 ), 0 (de y ) e) Término independiente: 0
f) Polinomio Ordenado: No.
g) Polinomio Completo: No, ya que existen coeficientes, el de y 3 y el de y , que son iguales a cero. Ejemplo 4:
Determinar las características del polinomio P ( x) =
2 3 4 2 3 x − x + 2x + . 3 5 4
Solución: a) Términos dependientes:
2 3 4 x , − x 2 , 2x ; 3 5
b) Variable: x ; d) Coeficientes:
c) Grado: 3;
2 4 (de x3), − (de x2), 2 (de x), 3 5
f) Polinomio Ordenado: Si.
e)Término independiente:
3 4
g) Polinomio Completo: Si.
A continuación estudiaremos las expresiones algebraicas racionales, con radicales y las combinadas, entre ellas no podemos distinguir las mismas características como en el caso de las expresiones polinómicas. Estas expresiones no poseen las características mencionadas para los polinomios.
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Expresiones Algebraicas Racionales Es el cociente de dos expresiones algebraicas enteras, donde el denominador es diferente de cero. Ejemplos:
4x 2 + y 5y + x
5y3 , 7 xy + y 2
Expresiones Algebraicas Radicales Son expresiones algebraicas donde las variables están dentro de una raíz. Ejemplos:
5
3 x 2 + 2 x , 53 y 2 + 3 ,
2 2 z +y 3
Expresiones Algebraicas Combinadas Son expresiones algebraicas que contienen expresiones enteras, racionales y/o radicales. Ejemplos:
3x 5 + 5 x 3 + 9 ; 2x 2
x2 +
3x3 + 5 ; 2x + 1
4
y2 + 3 +
5x ; 1− x
4 x3 − 3x 2 + 1 3 + x − 4 y2 + 5 x+3 Ejercicios propuestos: 5. Para cada una de las siguientes expresiones, señale: tipo de expresión y sus características a) P ( x) = 3 x 4 + 5 x 2 −
4 x + 12 , 3
c) R( x) = 12 x 3 + 5 x − 1
b) Q( x) =
2 3 x− 5 4
d) T ( x) = 23x 4
6. Señale el tipo de expresión al cual pertenecen cada uno de los ejercicios propuestos, en la Lectura Nº 5.
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