PF-3921 Concreto Estructural Avanzado

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Losas en dos direcciones PF-3921 Concreto Estructural Avanzado Lección 4 Lunes 3 de setiembre 2012

Introducción

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Tipos de Losas Tipo de losa

Luz (m)

Carga (kg/m2)

Placa plana

4.5 a 6.0

200

Losa plana

6.0 a 9.0

500

7.5 a 12.0

?

Losa nervada

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Desarrollo histórico de  losas en dos direcciones

Distribución de refuerzo en la losa de hongo de C.A.P. Turner 3 setiembre 12

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Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión • Antes del agrietamiento, la losa se comporta como una placa elástica.   Para cargas de corto plazo, las deformaciones, los esfuerzos y las  deflexiones pueden calcularse con análisis elástico. • Después del agrietamiento pero antes de la fluencia del refuerzo, la losa  deja de tener rigidez uniforme y deja de ser isotrópica ya que los patrones  de grietas son diferentes dependiendo de la dirección de análisis.  Pruebas  confirman que la teoría elástica predice momentos adecuadamente. • Se inicia la fluencia del refuerzo en zonas de momento máximo y éstos se  redistribuyen a zonas todavía elásticas. • Aun cuando las líneas de fluencia forman un mecanismo plástico, las  rótulas se entraban conforme aumenta la deflexión y se forma un arco de  compresión.

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Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión

Losa apoyada sobre, y continua con, vigas rígidas o muros. Las losas que fallan en flexión son muy dúctiles. Las placas planas pueden fallar en cortante. (Falla frágil) 3 setiembre 12

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Comportamiento de una losa cargada hasta la falla a flexión

Las rótulas se entraban conforme aumenta la deflexión y se forma un arco de compresión. Esto supone una estructura rígida alrededor de la losa.

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Análisis de momentos en  losas en dos direcciones Momentos en sección A-A q12 m-Mg m 8 2 M   q 2  1 m-Mg 8 Momentos en sección B-B

m

 q   M 1b   1  2 m-Mg  2 8 2 M   q1  2 m-Mg 8 2

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Análisis de momentos en  losas en dos direcciones Momentos en sección A-A q12 m-Mg m 8 2 M   q 2  1 m-Mg 8 Momentos en sección B-B m

q 22 m-Mg m 8 2 M   q1  2 m-Mg 8

m

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Análisis de momentos en  losas en dos direcciones Análisis de momentos en losas según Nichols: Supone: 1. Panel rectangular interior típico en una estructura grande 2. Carga uniforme en todos los paneles de la estructura Esto asegura que las líneas de momento máximo coincidirán con las líneas de simetría de la estructura. Las reacciones a las cargas verticales se transmiten a la losa mediante cortante alrededor de la cara de las columnas.

3.

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Las reacciones de la columna se concentran en las cuatro esquinas de cada columna.

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Análisis de momentos en  losas en dos direcciones El momento estático total, Mo, es la suma del momento negativo M1 y el momento positivo M2 : M o  M1  M 2   q 1 2  1  qc1c2  c1  q1 2 qc1c2  c1        2 2  2 4  2 4  2  2  2c1 c2 c12    1 1   1  2 12     Con  n  1  c1 , el ACI 318 simplifica haciendo Mo 

q 2 8

 2c c c 2   2n   12 1  1  2 12  y por lo tanto: 1  21   2 q  Mo  2 n 8

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Distribución de  momentos en losas Ecuaciones básicas: mx  

Et 3   2 z    12  x 2 

my  

Et 3   2 z    12  y 2 

mxy  

Et 3   2 z    12  xy 

Figura 10-9. Relación entre curvatura de losa y momentos

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Curvatura:  M 1   r z EI 14

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Distribución de momentos en losas

Figura 10-10. Deflexión de la franja B de la figura 10-9

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Distribución de  momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas

Figura 10-11. Tipos de diagramas de momentos: losa empotrada en cuatro lados.

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre muros o vigas rígidas

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre columnas aisladas

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Distribución de momentos en losas Momentos en losas apoyadas sobre columnas aisladas

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DISEÑO DE LOSAS

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Pasos en el diseño de losas • 1. Escogencia del trazado y el tipo de losa a  usar. Los diferentes tipos de losas en dos  direcciones y sus usos han sido discutidos  brevemente en la sección 10.1. La escogencia  del tipo de losa está altamente influenciado  por consideraciones arquitectónicas y  constructivas.

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Pasos en el diseño de losas • 2. Escogencia del espesor de losa.  Generalmente, el espesor de la losa se escoge  para prevenir deflexiones excesivas ante  cargas de servicio. Igualmente importante es  escoger el espesor adecuado para resistir el  cortante tanto en las columnas interiores  como exteriores (ver Sección 10.10).

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Pasos en el diseño de losas • 3. Escogencia del método de cálculo de los  momentos de diseño. El método del pórtico  equivalente usa análisis elástico para calcular  los momentos positivos y negativos en los  diferentes paneles de la losa. El método  directo de diseño usa coeficientes para  calcular esos momentos.

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Pasos en el diseño de losas • 4. Cálculo de momentos positivos y negativos  en la losa.

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Pasos en el diseño de losas • 5. Cálculo de la distribución de momentos a través  del ancho de la losa. La distribución lateral de  momentos en un panel depende de la geometría de  la losa y de la rigidez de las vigas (si las hay). Este  procedimiento es el mismo independientemente de  si los momentos negativos y positivos se calculan con  el método directo o con el de pórtico equivalente.

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Pasos en el diseño de losas • 6. Si hay vigas, asignar una porción del  momento a las vigas.

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Pasos en el diseño de losas • 7. Escoger la cuantía de refuerzo para los  momentos obtenidos en los pasos 5 y 6.  (Nota: los pasos 3 a 7 deben ser efectuados  para ambas direcciones principales)

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Pasos en el diseño de losas • 8. Verificar la resistencia de cortante en la  sección crítica alrededor de las columnas.

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Razón de rigidez entre viga y losa, f En la norma ACI, los efectos de la rigidez de las vigas sobre las deflexiones y la distribución de momentos se expresan como una función de f, definido como la rigidez a la flexión,

4EI 

de la viga dividida por la rigidez a la flexión de un ancho de la losa limitado lateralmente por las líneas de centro de los paneles adyacentes a cada lado de la viga:

f 

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4 Ecb I b  4 Ecs I s 

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Razón de rigidez entre viga y losa, f

Figura 10-19. Secciones transversales de viga y losa para el cálculo de f

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Razón de rigidez entre viga y losa, f

Fig 10-20. Sección transversal de vigas según definición de ACI 13.2.4

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Ejemplo 10.1 • Una losa de 20 cm de espesor está apoyada  sobre una viga de borde de peralte total de 40  cm por 30 cm de ancho, como se muestra en  la figura 10‐21a. La losa y la viga fueron  coladas monolíticamente, tienen concreto de  igual resistencia, y módulo de elasticidad Ec. Calcule f. Como  y  entonces (10‐9) se reduce  a . 3 setiembre 12

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Ejemplo 10.1 •  Cálculo de Ib. La sección transversal de la  viga es como se muestra en la figura 10‐21b.  El centroide de la viga está localizado a 17.5  cm de la fibra superior de la losa. El momento  de inercia de la viga es

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Ejemplo 10.1 •  Cálculo de Is. Is se calcula para la parte  achurada de la losa según la figura 10‐21c: •

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Ejemplo 10.1 •  Cálculo de f. • 

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Figura 10-21. Losa para el Ejemplo 10-1. 3 setiembre 12

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Espesor mínimo de losas en dos  direcciones • El artículo ACI 318S‐08 9.5.3 define espesores  mínimos que generalmente son suficientes para  limitar las deflexiones de las losas en valores  aceptables. Se pueden usar losas más delgadas si se  puede demostrar que las deflexiones calculadas no  van a ser excesivas. El cálculo de deflexiones en losas  se presenta en la Sección 10.6.

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Losas sin vigas entre columnas internas • Para una losa sin vigas entre columnas internas y con  una razón de luz larga vs. luz corta de 2 o menos, el  espesor mínimo se puede tomar de la Tabla 10‐1 (ACI  Tabla 9.5(c)), pero no menor que 12.5 cm en losas sin  ábacos o 10 cm en losas con ábacos con dimensiones  definidas en el artículo ACI 318S‐08 13.2.5.

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Tabla 10‐1. Espesor mínimo de losas en dos direcciones

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Losas sin vigas entre columnas internas • El espesor calculado con la Tabla 10‐1 debe ser redondeado  hacia arriba por 1 cm para losas de 15 cm o más de espesor.  Redondeando hacia arriba se logra una losa más rígida y por  lo tanto con menores deflexiones. Estudios sobre deflexiones  en losas presentados por Thompson y Scanlon (Thompson &  Scanlon, 1988) sugieren que losas sin vigas internas deberían  tener espesores un 10% mayor que los valores mínimos  recomendados por ACI para evitar deflexiones excesivas.

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MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO

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Limitaciones en el uso del método de  diseño directo • 1. Debe haber un mínimo de tres luces continuas en  cada dirección. De esta forma, la estructura mas  pequeña a considerar será una de nueve paneles (3  por 3). Si hay menos de tres paneles, los momentos  negativos internos provenientes del método directo  de diseño tienden a ser muy pequeños

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Limitaciones en el uso del método de  diseño directo • 2. Los paneles rectangulares deben tener una razón  de largo vs. ancho no mayor que 2. Cuando esta  razón es mayor que 2, el comportamiento  unidireccional se torna predominante

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Limitaciones en el uso del método de  diseño directo • 3. Las longitudes de luces sucesivas en cada dirección  no deberán diferir en más de un tercio de la longitud  de la luz mayor. Este límite es exigido para incentivar  el uso de ciertos detalles de corte de barras  estandarizados

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Limitaciones en el uso del método de  diseño directo • 4. Las columnas pueden estar sesgadas de la  cuadricula rectangular del edificio hasta por un 10%  de la luz paralela al sesgo. En un edificio con una  disposición como ésta, se debe usar la ubicación real  de las columnas para determinar las luces de la losa  utilizadas en el cálculo de los momentos de diseño

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Limitaciones en el uso del método de  diseño directo • 5. Todas las cargas deben ser únicamente  gravitacionales y uniformemente distribuidas  en todo el panel. El método directo de diseño  no puede ser usado para pórticos no  arriostrados, losas de fundación o losas  preesforzadas

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Limitaciones en el uso del método de  diseño directo • 6. La carga viva de servicio (no mayorada) no  deberá ser mayor que dos veces el valor de la  carga muerta de servicio. Solicitaciones de  tablero o de franja con razones de carga viva  vs. carga muerta muy grandes pueden  conducir a momentos más grandes que los  supuestos por este método de análisis

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Limitaciones en el uso del método de  diseño directo • 7. Para un panel con vigas en las dos direcciones  entre apoyos, la rigidez relativa de las vigas en las   f 1 22  f 2  12 dos direcciones perpendiculares dadas por                no deberá ser menor que 0.2 ni mayor que 5. El  término f se define más adelante y 1 y 2 son las  luces en las dos direcciones

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Distribución interna de momentos en paneles— Losas sin vigas entre apoyos

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Ejemplo 10‐2 Cálculo de momento estático, Mo

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Momentos positivos y negativos en  paneles

Figura 10-24. Asignación de regiones de momento positivo y negativo 3 setiembre 12

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Figura 10-25. Definiciones de franjas central y de columna

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Suponiendo un coeficiente de Poisson de cero, G = E/2 y por tanto la razón de rigidez torsional será

t 

EcbC 2 Ecs I s

 x  x3 y  C   1  0.63   y 3  

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Ejemplo 10‐3

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MÉTODO DE PÓRTICO EQUIVALENTE 3 setiembre 12

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Método de Pórtico Equivalente • Más alcance que el Método de Diseño Directo • Se emplea un analisis de rigidez del portico  columna‐losa para determinar la distribucion longitudinal de los momentos flexionantes,  incluyendo posibles patrones de carga. • Se usa la misma distribución transversal de  momentos según franjas central y de columna. • Método propuesto por Corley y Jirsa en 1970. • En ACI 318‐83 y subsiguientes se incluye el  análisis para cargas laterales. 3 setiembre 12

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Metodo Clásico para Cargas Verticales • Se divide la losa en una serie de pórticos equivalentes en las dos direcciones de la  edificación:

Fig. 3.20 División de la losa en pórticos para diseño.

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Cálculo de la rigidez, acarreo y  momentos de empotramiento • Es necesario calcular la rigidez a la flexión, K;  factor de acarreo COF; factor de distribución,  DF; y momentos de empotramiento, FEM para  cada elemento de la estructura. • Para un elemento prismático empotrado en el  extremo y sin cargas axiales se tiene: K 3 setiembre 12

kEI L

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Método de Distribución de Momentos: Hardy Cross x (ft) 0 25 55 85

A B C D

‐104.2

0.44 104.2 20.4

10.2 8.3 4.2 1.4 0.7 0.6 0.3 0.1 0.0 ‐88.8

Tramo A‐B B‐C C‐D

0

135.0

0.56 ‐150.0 25.5 ‐18.8 10.4 ‐3.2 1.8 ‐1.3 0.7 ‐0.2 0.1 ‐0.1 ‐135.1

Longitud Inercia Rigidez Carga 25 20 0.8 2 30 30 1 2 30 30 1 20

0.50 150.0 ‐37.5 12.7 ‐6.4 5.2 ‐2.6 0.9 ‐0.4 0.4 ‐0.2 0.1 122.2

0.50 ‐75.0 ‐37.5

75.0

FEM Dist 1

‐18.8 ‐6.4

Dist 2 ‐3.2

‐2.6

Dist 3 ‐1.3

‐0.4

Dist 4 ‐0.2

‐0.2

Dist 5 ‐0.1 51.5

‐122.1

Total

20k 2 k/ft

A

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B

C

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D

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Figura 13-31 Variación de la rigidez a lo largo de la luz.

Si se usa el EI del centro, k es mayor que 4, COF es mayor que ½, y FEM es mayor que 1/12. Se puede usar la analogía de la columna propuesta por Hardy Cross. 3 setiembre 12

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Analogía de la Columna • Cross notó una analogía entre las ecuaciones usadas para calcular esfuerzos en una columna asimétrica sujeta a fuerzas axiales y  momentos, y las ecuaciones usadas para  calcular momentos en una viga doblemente empotrada. 

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Propiedades de viga‐losa • Los elementos horizontales en el pórtico equivalente se denominan vigas‐losa. • Consisten de losa, ábaco, viga paralela. (ACI  318S‐11, Art. 13.7.3).

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Figura 10‐32 Valores de EI para una losa con ábaco.

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Figura 10‐33 Valores de EI para una losa con viga.

Ejemplo 10‐5 • Cálculo de los coeficientes para distribución de momentos para un entrepiso de placa plana – La Figura 10‐34 muestra la planta de un entrepiso de placa plana sin vigas de borde. El entrepiso es de 7 in de espesor. Calcular las constantes para  distribución de momentos para las vigas‐losa en el  pórtico equivalente a lo largo del eje 2.

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Figura 10‐34 Planta de un entrepiso de placa plana—Ejemplos 10‐5, 10‐7, 10‐9 y 10‐10.

Table A‐14

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Ejemplo 10‐6 • La Figura 10‐35 muestra la planta de un losa en dos direcciones con vigas entre todas las columnas. El entrepiso es de 7 in de espesor y  todas las vigas son de 18in de ancho por 18 in  de peralte. Calcular las constantes para  distribución de momentos para las vigas‐losa en el pórtico equivalente a lo largo del eje B.

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Figura 10‐35 Losas en dos direcciones con vigas—Ejemplos 10‐6 y 10‐8.

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Figura 10‐36 Luz B1‐B2—Ejemplo 10‐6

Propiedades de Columnas • Se establece lo siguiente para rigideces y  factores de acarreo: • Momento de inercia basado en area bruta de  concreto • Se supone infinito dentro del peralte de la losa en la junta.

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Figura 10‐37 Secciones para los cálculos de rigidez de columna, Kc.

Table A‐17

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Elementos en torsión y columnas equivalentes

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Figura 10‐38 Acción de pórtico y torsión de elemento de borde.

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Torque unitario aplicado a la columna equivalente .

Suponemos variación lineal del Torque unitario.

C = constante torsional G = módulo de rigidez

Figura 10‐39 Cálculo de Kt.

La distorsión total de un extremo del brazo relativo a la columna es la suma de las distorsiones por unidad de longitud y es igual al área del diagrama del ángulo de distorsión por unidad de longitud. Como es parabólica, el ángulo en el extremo del brazo es un tercio de la altura por la longitud del diagrama:

1 1  c2  2    2  c2    2 1  c2  2   1     3 2CG 6CE  2   2  2

t ,end 

3

Esta es la rotación en el extremo del brazo. La rotación promedio la tomamos como un tercio de la rotación en el extremo:

t ,end

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 1  c2  2   2 18CE

3

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Finalmente, la rigidez torsional de un brazo se calcula como:

K t  M t ,avg 

9 EC  2 1  c2  2 

3

El comentario de la Sección 13.7.5 del ACI indica:

Kt  

9 Ecs C

 2 1  c2  2 

3

 x  x3 y  C   1  0.63   y 3   3 setiembre 12

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Table A‐17

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Figura 10‐40 Elementos en torsión.

Figura 10‐41 Elementos torsionales para Ejemplo 10‐7

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Figura 10‐42 Columnas exteriores en junta de losa en B1 para Ejemplo 10‐8.

Figura 10‐43 Elementos en torsión en B1 y B2 para Ejemplo10‐8.

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Disposición de cargas vivas para análisis estructural • Para momento positivo máximo—carga muerta factorizada en todos los paneles más 0.75 veces la carga viva factorizada en el panel en cuestión y  en los alternos • Para momento negativo máximo en panel  interior—carga muerta factorizada en todos los  paneles más 0.75 veces la carga viva factorizada en el panel en cuestión y el adyacente • Los momentos finales de diseño no deberán ser  menores que para el caso de carga muerta más viva factorizadas en todos los paneles. 3 setiembre 12

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Figura 10‐44 Secciones críticas para momento negativo.

Momentos en las caras de los apoyos

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Si la losa cumple con los requisitos para Diseño Directo se permite la reducción tal que:

 M1  M 2   M3   Mo  2  

Figura 10‐45 Momentos negativos y positivos en una viga‐losa.

Distribución de momentos hacia franjas de  columna, franjas centrales y vigas • Los momentos positivos y negativos obtenidos anteriormente son distribuidos a las franjas centrales y de columna según ACI 13.6.4 y  13.6.6 de la misma forma en que se hizo para el método directo. • Esto es válido para 0.2