MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Números y proporcionalidad 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Empezaremos este curso de preparación PSU revisando los diferentes conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media. Números naturales: son aquellos que utilizaste desde pequeño(a) para contar:

Números enteros: este conjunto está conformado por los negativos, los positivos y el cero, que no es positivo ni negativo:

Números racionales: son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros:

Ejemplos de racionales, son:

3 1

•

Los números naturales: 3 =

•

Los números enteros: 0 =

•

Los números decimales finitos: 0,23 =

•

Los números decimales infinitos periódicos: 0,45 =

•

Los números decimales infinitos semiperiódicos: 0,32 =

0 -3 ; -3 = 1 1

1

23 100 45 99

32 − 3 90

Números irracionales: son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se designa con la letra .

2 = 1,4142... π = 3,1415926... 0,010010001... Números reales: es el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este conjunto se designa con la letra

.

Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:

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A continación puedes ver un mapa conceptual relativo a los conjuntos numéricos:

OPERATORIA EN a) Adición y sustracción de fracciones:

a c ad + bc + = b d bd a c ad − bc − = b d bd b) Multiplicación de fracciones:

a c ac ⋅ = b d bd c) División de fracciones:

a c a d : = ⋅ b d b c

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d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna, alineando la coma decimal. 0,23 + 1,4 = 0,23 +1,4 1,63 e) Multiplicación de decimales: Se multiplican tal como si fueran números enteros, y al resultado le colocamos tantas cifras decimales como tengan los factores: 0,2 . 1,54 = 2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lo tanto el resultado debe tener tres decimales: 0,2 . 1,54 = 0,308 f) División de decimales: Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en el divisor, de modo que ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, se efectúa la división entre estos enteros. 0,02 : 0,5 = Corremos la coma dos lugares a la derecha: 2 : 50 = La división resulta: 200 : 50 = 0,04 COMPARACIÓN ENTRE RACIONALES Si queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras decimales y comparar como si fueran enteros, olvidándonos de la coma:

Sean x = 0,23 ; y = 0,23 ; z = 0,23

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Agregamos cifras decimales para poder comparar: x = 0,23 | 0... y = 0,23 | 2... z = 0,23 | 3... Por lo tanto: x < y < z Si queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzado en forma ascendente y comparar los productos resultantes: Ordenar de menor a mayor:

3 4 y 5 7

Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20:

Como 21 > 20 se deduce que

3 4 > 5 7

Si las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luego multiplicar cruzado con los números positivos. Si se tiene que comparar más de dos fracciones, se pueden comparar transformando las fracciones a decimal, o bien, igualando denominadores determinando su mínimo común múltiplo. Ejemplo: Ordenar:

a=

4 3 2 ;b= ;c= 5 4 3

El m.c.m entre los denominadores es 60, amplificando las fracciones:

a=

4 48 3 45 2 40 ;b= = ;c= = = 5 60 4 60 3 60

Se deduce que:

40 45 48 , por lo tanto: c < b < a < < 60 60 60

En la siguiente dirección, encontrarás una presentación que trata de los números reales (clasificación) y conocimientos básicos de potencias. http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93043.html

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2. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO Por definición, se tienen las siguientes igualdades: 1

⎛a⎞ a ⎜b⎟ = b ⎝ ⎠ 0

⎛a⎞ ⎜ ⎟ =1 ⎝b⎠ −1

b ⎛a⎞ ⎜b⎟ = a ⎝ ⎠ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

−n

⎛b⎞ =⎜ ⎟ ⎝a⎠

n

Ejemplo: −2

−1

⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎜2⎟ +⎜3⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ ⎜2⎟ ⎝ ⎠

−2

−1

=2 =4 2

3 ⎛2⎞ y ⎜ ⎟ = 2 ⎝3⎠ −2

−1

3 11 1 ⎛ 1⎞ ⎛2⎞ Por lo tanto: ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 4 + = =5 2 2 2 ⎝2⎠ ⎝3⎠

3. REGULARIDADES NUMÉRICAS En los ejercicios de regularidades numéricas se trata de encontrar cuál es el patrón o regla de formación de una sucesión. La sucesión puede estar dada en un contexto geométrico. Ejemplo 1:

fig.1

fig.2

fig.3

¿Cuántos palitos se necesitan para formar la figura 23?

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En la primera figura se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 . 1 + 1 En la segunda figura se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 . 2 + 1 En la tercera figura se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 . 3 + 1 Por lo tanto, para figura 23 se necesitarán 2 . 23 + 1= 47 fósforos. El ejercicio de regularidad numérica puede estar dado mediante relaciones numéricas. Ejemplo 2: Dadas las siguientes igualdades: 32 = 12 + 4 . 1 + 4 42 = 22 + 4 . 2 + 4 Entonces 1002 = Según las igualdades dadas en el resultado, en la derecha aparece el cuadrado de un número que tiene 2 unidades menos que la base de la potencia cuadrática de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 982; a continuación viene la multiplicación de 4 con el mismo número obtenido anteriormente (es decir: 4 . 98) y finalmente le agregamos el número 4, por lo tanto: 1002 = 982 + 4 . 98 + 4 Puedes ejercitar tus conocimientos acerca de patrones numéricos con figuras en la siguiente página: http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd99/ed99-022404/patronesconpalillos.htm 4. RAZONES Y PROPORCIONES Una razón entre dos cantidades es una comparación por cuociente. Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12 4 . Si simplificamos por tres obtenemos: 15 5

La igualdad entre dos razones se denomina proporción. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

12 4 = es una proporción, lo que se 15 5

puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12 . 5 = 4 . 15

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La propiedad:

a c = ⇔ ad = bc , se denomina propiedad fundamental de b d

las proporciones. 5. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables están en proporcionalidad directa si su cuociente permanece constante: x e y están en proporcionalidad directa ⇔

x =k y

k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen.

Ejemplo: Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Efectuamos la razón entre las variables: distancia – consumo de bencina:

16 km 192 km = 1 litro x litros Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos: 16 x = 192 . 1 ⇒ x =

192 = 12 litros 16

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6. PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante: x e y están en proporcionalidad inversa ⇔ x ⋅ y = k

k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? Por estar en proporcionalidad inversa el producto entre las variables: número de obreros – tiempo, es constante: 3.5=4.x ⇒ x=

15 = 3,75 días 4

7. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA En la proporcionalidad compuesta hay variables que se relacionan mediante proporcionalidad directa y otras a través de proporcionalidad inversa. Para resolver los ejercicios de este tema, en primer lugar se debe dilucidar qué tipo de proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad. Ejemplo: Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros se necesitan para pavimentar 5 km en 10 días?

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En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables: Obreros (O) – longitud del camino (L): están en proporcionalidad directa (entre más obreros, más km de camino se pavimentarán), por lo tanto:

O = cons tan te . L Por otra parte, las variables: Obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa (entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino), por lo tanto: O . T = constante. De lo anterior se deduce que:

O⋅T = cons tan te . L

Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos:

O ⋅ T 20 ⋅ 5 x ⋅ 10 = = L 2 5 Multiplicando cruzado en esta última proporción y despejando x obtenemos: x = 25 obreros. 8. PORCENTAJE El porcentaje es una proporcionalidad directa, considerando la totalidad como un 100%. Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido en un 5% significa que ha subido 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte. Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción, por ejemplo, el 12% de 600 es:

12 ⋅ 600 = 72 100 El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa:

600 x = 100% 12%

⇒ x=

12 ⋅ 600 = 72 100

Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y pérdida.

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Ejemplo: El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. ¿Qué % de descuento se le aplicó? En este caso, se considera el precio antiguo ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó: $15.000 - $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo tanto:

15.000 1.500 = 100% x%

⇒ x=

1500 ⋅ 100 = 10% 15.000

Veamos ahora otro ejemplo: ¿Qué % es 0,2 de 4? En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción:

4 0,2 = 100% x%

⇒ x=

0,2 ⋅ 100 = 5% 4

Ejercita porcentajes visitando las siguientes páginas: http://www.geocities.com/chilemat/basica/porcent.htm www.pntic.mec.es/Descartes/3_eso/Fracciones_decimales_porcentajes/Frac ciones_indice. htm www.monografias.com/Matematicas/index.shtml

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