MATEMÁTICAS 2º BACH CC. y TECN.

DERIVADAS Profesor: Fernando Ureña Portero

I.E.S. “Albariza”

1 . D E R I V A D A D E U N A F U NC I Ó N EN U N P U NT O

Def i n i ci ó n : Sea f una función definida en un intervalo

a,bDom (f) . Se llama tasa de variación media de f en dicho intervalo al cociente ( )

( )

( )

Definición: Sea f una función definida en un entorno de un punto x = a de su dominio. Decimos que f es derivable en dicho punto si existe y es finito: ( ) ( ) En tal caso, a este límite se le llama tasa de variación media o derivada de la función en el Punto x=a. Se escribe: ( ) ( ) ( ) Al cociente

( )

( )

se le llama cociente incremental.

Nota: Sin más que hacer el cambio de variable h = x - a, podemos obtener una definición equivalente y que fue la primera que apareció históricamente:

( )

( )

( )

(

)

( )

 Ambas definiciones son válidas y dependerá del caso la idoneidad de emplear una u otra. Def i n i ci ó n : L a d er ivad a d e la f u n ció n f (x) e n e l p u n t o x= a e s e l valo r d e l lím it e , si e xist e , d e u n co cie n te in cr e m e nt al cu and o e l in cre me nt o d e la va r ia b le t ien d e a cero :

( )

(

)

( )

1

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Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = 3x 2 en el punto x = 2.

Calcular la derivada de la función f(x) = x 2 + 4x − 5 en x = 1.

2 . I N T E R P R ET A C I Ó N G E O MÉ T R IC A D E L A D E R I V A D A

Cu a n d o h 0 , e l co n f un d irse co n e l se ca n t e t ien d e a ser f u n ción f (x) e n P, y t ie nd e a se r β .

p u n to Q t ie nde a P. E n t o n ce s la re ct a la re ct a t an ge nt e a la p o r t ant o e l án gu lo α

( ) La p e nd ien t e d e la re ct a t an ge nt e a la cu r va e n un pu nt o e s igu al a la d e rivad a d e la f un ció n e n e se pun t o . m t = f '(a) Ejemplos:

Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m= 1. Como

las

dos

rectas

son

paralelas

tendrán

la

misma

pendiente, así que: f'(a) = 1. Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

;

2

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3. DERIVADAS LATERALES

Def i n i ci ó n : Un a fun ció n e s d eri vab l e e n u n p un to si, y só lo si, e s d e r iva b le p o r la iz q u ie rd a y p o r la d e re ch a e n d icho p u n to y la s d e r iva d as late rale s co in cid e n . ( ) ( ) ( ) Der i vad a p o r l a iz qu i er d a

Der i vad a p o r l a d erec h a

En las f u n ci o n es d efin i d as a t r o zo s es necesario estudiar las d erivad as l at er al es en los p un t o s de separación de los distintos tro z o s . Ejemplos: 1.-Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|. Definimos, primero, f(x):

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto. Las derivadas laterales n o coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada. 2.-Idem para la función:

No es derivable en x = 0. Definición: Se dice que una función es derivable en un intervalo cuando lo es en todos sus puntos, entendiendo derivadas laterales en los extremos cerrados del intervalo si es que el intervalo es cerrado.

3

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4. REGL A S DE DERI VA CI ÓN Derivada de una constante

Derivada de x

f(x)=k  f’(x)=0

f(x)=x  f’(x)=1

Derivada de la función lineal

Derivada de un monomio

f(x)=kxn  f’(x)=kn·xn-1

f(x)=ax+b  f’(x)=a Si u y v son derivación así:

a

su

vez

funciones

podemos

Derivada de una suma

generalizar

Derivada de un producto (dos o más funciones)

Derivada de una potencia

( )

( )

√

( )

( )

Derivada de una raíz n-ésima

( )

√

Derivada de la función exponenci al

( )

√

√

Derivada de la función exponencial de base e

f(x)=au  f’(x)=Lna · au · u’

f(x)=eu  f’(x)=eu · u’ Derivada del seno y coseno

Derivada de un logaritmo

f(x)=sen u  f’(x)=u’·cos u

( )

f(x)=cos u  f’(x)=-u’·sen u

Derivada de la tangente

Derivada de la cotangente

( )

( ) (

(

)

Derivada de la cosecante

( )

( )

Derivada del arco-seno

( )

Derivada del arco-coseno

( )

( )

√

Derivada del arco-tangente

( )

( )

)

Derivada de la secante

( )

( )

Derivada del arco-cotangente

( )

( )

Derivada del arco-secante

( )

( )

Derivada de una cte. entre una función

Derivada de una raíz cuadrada

( )

de

Derivada de un cociente

f(x)=un  f’(x)=n·un-1·u’

( )

reglas

f(x)=ku f’(x)=ku’

f(x)=u·v f’(x)=u’·v+u·v’

( )

demás

Derivada de una constante po r una función

f(x)=uv f’(x)=u’v’

( )

las

√

( )

Derivada del arco-cosecante

( )

√

Derivada de la función potencial -exponencial

f(x)=uv f’(x)=v·uv-1·u’+uv·Lnu·v’

( )

( )

√

Regla de la cadena

(g ◦ f)’(x)=g’[f(x)]·f’(x)

4

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Nota: Además de las derivadas de funciones elementales y de las reglas de derivación, es bastante importante que tengamos en cuenta algunas de las propiedades de los logaritmos que pasamos a recordar a continuación, ya que, al transformar productos y divisiones en sumas y restas, además de potencias en productos, facilitan bastante el cálculo de derivadas logarítmicas aplicando las propiedades antes de derivar. Pasamos a recordarlas: )

(

)

)

( )

)

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

A menudo, existen funciones que no se ajustan a ninguna de las derivadas de funciones elementales y deben ser llevadas a cabo con otros métodos no elementales. Este es el caso de funciones como, por ejemplo, f (x ) = xsenx, a la que no se le puede aplicar la fórmula de la potencia (el exponente no es constante) ni la de la exponencial (la base no es constante). Para derivar este tipo de funciones y otras en las que se pueda aplicar, vamos a ver un procedimiento llamado derivación logarítmica: 1. Consideremos una función del tipo y = f(x)g(x) . 2. Si tomamos logaritmo neperiano en ambos miembros nos quedará la igualdad: ln y = ln [f(x)g(x)] 3. Aplicando ahora las propiedades de los logaritmos, se transforma en: ln y = g(x)·lnf(x) 4. Si ahora derivamos ambos miembros queda: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Con lo que, basta despejar: ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ( ) Como es lógico, no tiene ningún sentido memorizar esta última fórmula y, en los ejemplos concretos podemos proceder como en el caso general que acabamos de ver. Ejemplo: y=xsenx L n y = l n x s e n x ; l n y = s e n x· l n x ; y ’ / y =c o s x · l n x + se n x · 1 / x ; y ’ = x s e n x · [ c os x · l n x +s e n x · 1 / x ] DERIVADAS SUCESIVAS. DERIVADA N -ÉSIMA

S i d e rivamo s la d erivad a de u n a fu n ció n , f ’ (x) , d eri vad a p r i mer a , o b t en e mo s un a n u eva f un ció n qu e se llama d eri vad a segu n d a, f '' (x). S i vo lve m o s a d erivar o b t en e mo s la d eri vad a t er c er a, f '''(x) . Si d e rivam o s o t r a vez o bt e ne mo s la c u ar t a d erivad a f I V y así su ce sivame nt e o b t en dríamo s la de rivad a n- ési ma f ’ n (x). Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:

;

;

5

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E n algun o s caso s, p o de mo s en co nt rar u n a f ó rmu la ge n e ral p a r a cu a lq u ie ra d e las d e rivad as su ce sivas (y p ara t o d as e llas) . E st a f ó rmu la r e cib e el no mb re de d er i vad a en ési ma, f ' n (x). Calcula la derivada enésima de:

;

;

;

…

D E R I V A C I Ó N I MP L Í C I T A Funciones implícitas :

Un a co rre sp ond e n cia o u na fu n ción e st á d ef in id a e n f o r ma i mpl í ci t a cu an d o n o ap ar ec e d esp ej ad a l a “ y” sin o q u e l a r el ac i ó n en tr e x e y vi en e d ad a p o r u n a ec u ac i ó n d e d o s i n c ó gn i t as c u yo s egu n d o mi emb r o es c er o . Para hallar la derivada en forma implícita no e s n e ce sario d e sp ejar y. Basta d er i var mi emb r o a mi e mb r o , utilizando las reglas de la derivación y teniendo presente que x '= 1 . E n gen er al y'≠ 1 . Po r l o q u e o mi ti remo s x' y d ej ar emo s y' . Ejemplos: a) 6x-2y=0  6-2y’=0; y’=3 b) x2+y2-7=0  2x+2yy’=0; y’= Cu a n d o las f un cio nes so n más co mp le ja s, d e l t ip o F x + F y = 0 , vamo s a u t iliz a r u n a r e gla p ara f acilit ar e l cálcu lo : Ejemplo:

5 . D I F E R E NC I A L D E U N A F UN C I Ó N

S e a f (x) u n a fu n ció n d e rivab le . Di f er en c i al de una fu n ci ón c o r r espo n di en t e al i n c r emen t o h d e l a var i ab l e i n d ep end i en t e, es el p r o du c t o f '(x) · h. Se r ep r esen t a p o r d y. d y= f ’ (x)· h ; d y= f’ (x)·d x ( ) La d if e ren cial e n u n p u n to re p re se nt a el i n c r emen t o d e l a o r d en ad a d e l a t an gen t e , co rre sp o nd ie nt e a un in cre me nt o d e la variable . Ejemplos: Calcular la diferencial de las funciones: f(x)=3x2+5x-6; df(x)=(6x+5)dx f(x)=etgx; df(x)=(1+tg2x)·etgx·dx Ejemplo: Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 1mm su lado. S = x2 dS = 2x dx (S)= 2·2· 0.001 = 0.004 m2

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6 . D E R I V A B I L I D A D Y C O N T I NU ID A D

Proposición 1: Si f(x) es derivable en el punto x = a , entonces () es continua en x = a . Consecuencia 1: Si una función f(x) no es continua en un punto x=a, entonces () no puede ser derivable en dicho punto. Nota: El recíproco de la proposición 1 no es cierto, es decir, una función continua en un punto no tiene porqué ser derivable. Definición: Se dice que una función f tiene un punto anguloso en x = a si f es continua en x = a y no derivable, siendo derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto, es decir, si es continua y existen las derivadas laterales pero no coinciden. Gráficamente, un punto anguloso es aquel en el que las tangentes “saltan” de la izquierda a la derecha del punto. Por el contrario, las funciones derivables son “redondeadas” y sus tangentes no dan “saltos”. Ejemplos:

Estudiar

la continuidad

y

deriv abilidad

de

las

funciones:

1.-

En

primer

lugar

estudiamos

la

cont inui dad en x=0. La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

2.En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 0. 3.-f(x) = x2, estudiar la derivabilidad en x = 0. La

función

es

continua

en

x=

0,

por

tanto

podemos

estudiar

la

derivabilidad.

En x=0 la función es continua y derivable.

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APLICACIONES 1 . R E G L A D E L ' HÔ P I T A L Si

( )

( ) ( )

existe

( )

, en donde f y g son derivables en un entorno de a y ( )

, este límite coincide con

( ) ( )

( ) ( )

Para

( )

.

aplicar la regla de L'HÔPITAL hay que tener un límite ( ) , donde a puede ser un número o infinito, y ( ) indeterminaciones:

de

la

forma

aparecer

las

Ejemplos

1. 2.

;

;

3.

4.

;

;

;

;

;

1 . 1 . I n d e t e r m i n a c i ó n :  - En la indeterminación infinito – infinito (∞-∞), si son fracciones, se ponen a común denominador.

;

1.2. Indeterminación:

0·

La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:

8

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;

; 1.3. Indeterminaciones: En las indeterminaciones 0 operaciones:

0

00; 0; 1 ,0 y 1 se realiza en primer lugar las siguientes

v

v

Si Lim uv; Hacemos A=u ; lnA=ln u ; lnA=vlnu; A=e

vlnu

Ejemplos

;

;

;

;

;

;

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2 . P E N D I E N T E DE L A R E C T A T A NG E NT E

La p en di en t e de la re ct a t an ge nt e a u na cu r va e n un p un to e s la de rivad a d e la f u n ción e n d ich o pun t o .

La r ec t a t an gen t e a u n a cu rva e n u n p un t o e s a q u e lla qu e p asa p o r e l p u nt o (x 0 , f (x 0 )) y cu ya p en d ien t e e s igu al a f '(x 0 ). y- f (x 0 )= f (x 0 )· (x - x 0 ) Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 - 5x + 6 paralela a la recta 3x + y -2 =0. Sea el punto de tangencia (a, f(a))

m = −3

f'(a) = 2a – 5

2a − 5 = −3a = 1

P(1, 2)

y − 2= -3 (x − 1)

y = -3x + 5

3 . P E N D I E N T E DE L A R E C T A N O RM A L

La p en d i en t e d e l a r ec t a n o r mal a un a cu rva e n un p u nt o e s la o pu e st a d e la in ve rsa d e la p e nd ie nt e d e la r e ct a t an gen t e , p o r se r re ct a s p e rp e nd icu lare s e n t re sí. E s d e cir, e s la o pu est a d e la in ve rsa d e la d e rivad a d e la fu n ció n en d ich o p u nt o . (

)

La r e ct a n o rmal a un a cu rva e n u n pu n to e s aq u e lla q ue p asa p o r e l p u nt o (x 0 , f (x 0 )) y cu ya p en d ien t e e s igu al a la in ve rsa d e la op ue st a de f '(a). (

)

(

)

(

)

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1 ; f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1) Recta tangente: y − 1 = x y = x +1 Recta normal: m= 1P(0, 1) y − 1 = −x

y = −x + 1

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4. ESTUDI O DE L A S FUN CI ON ES 4.1. Monotonía y extremos relativos Función estrictamente creciente

Función creciente

Función estrictamente decreciente

Función decreciente

MONOTONÍA:

Proposición: Sea una función f(x) derivable en x = a. Entonces: a) Si f ’(a ) > 0  f es creciente en x = a. b) Si f ‘(a) < 0  f es decreciente en x = a. Nota: En general, el recíproco de la proposición anterior, no es cierto, es decir, no todas las funciones derivables en un punto y crecientes (o decrecientes) en el punto tienen porqué tener derivada positiva (o negativa). Lo único que podemos asegurar es que si una función es derivable y creciente (decreciente), entonces f ‘ (a) ≥ 0 (f ‘ (a) ≤ 0). *Ver un contraejemplo: f(x)=x3 en x=0 Análogamente se obtiene un resultado para intervalos, entonoces: a) Si f ’(x) > 0, x(a,b)  f es creciente en el intervalos (a,b). b) Si f ‘(x) < 0, x(a,b)  f es decreciente en el intervalo (a,b). A partir de esta proposición, el estudio de la monotonía de una función derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su función derivada en dicho dominio. * Ver un ejemplo en: f(x)=x3 -3x2.

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4.2. Extremos relativos o locales

Definición: a) Se dice que una función f(x) alcanza un máximo relativo en un punto (a, f(a)), si existe un entorno (a-, a+) del punto x=a tal que f(x) < f(a), x(a-, a+)-{a}. b) Se dice que una función f(x) alcanza un mínimo relativo en un punto (a, f(a)), si existe un entorno (a-, a+) del punto x=a tal que f(x)>f(a), x(a-, a+)-{a}. Proposición: (Condición necesaria de extremo relativo) Sea una función f(x) derivable en un punto x = a. Si f tiene, en dicho punto x=a, un extremo relativo, entonces f ‘(a)=0. Nota: La condición anterior no es suficiente, es decir, puede darse que una función con derivada nula en un punto no tenga extremo relativo en dicho punto. Como contraejemplo nos sirve el ejemplo f(x)=x3. Proposición: Sea una función f(x) dos veces derivable en x=a, siendo f ‘(a)=0 y f ‘’(a)≠0, entonces: a) Si f ‘’(a) < 0  f(x) presenta en (a,f(a)) un máximo relativo. b) Si f ‘’(a) > 0  f(x) presenta en (a,f(a)) un mínimo relativo. Ejemplo: f(x)=x3 -3x2. Nota: Si f ‘(a)=0 y f ‘’(a)=0 pero la primera derivada no nula en x=a en de orden par, el criterio sigue siendo válido con el signo de dicha derivada. Otra forma de establecer si un extremo es máximo o mínimo relativo es estudiar su monotonía a la izquierda y derecha del punto en cuestión. Nota: Al igual que la monotonía, se puede observar la estrecha relación entre el estudio analítico y el gráfico ya que, como se puede observar, las rectas tangentes en puntos en los que la función es derivable son horizontales, es decir, de pendiente nula, cosa que no es de extrañar puesto que la pendiente es la derivada. Nota: Hay que tener en cuenta que hay puntos (singulares) en los que una función no es derivable. Así que si queremos ver si un punto “singular” es o no un extremo, hemos de actuar de forma distinta (sin usar la derivada). Lo más habitual es evaluar la función en puntos genéricos de la forma a - y a + y ver lo que ocurre con sus imágenes.  Ejemplo: C á l c u l o d e m á x i m o s y m í n i m o s . Estudiar los máximos y mínimos de: f(x) = x3 − 3x + 2 Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

f'(x) = 3x2 − 3 = 0

x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

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DERIVADAS Profesor: Fernando Ureña Portero f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.

f''(x) = 6x 3.

f''(−1) = −6 Máximo

Calculamos

la

imagen

(en

I.E.S. “Albariza”

f''(x) < 0 Tenemos un máximo. f'' (1) = 6 Mínimo la

función)

de

los

extremos

relativos.

f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 Máximo (−1, 4)

f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0

Mínimo (−1, 0)

4.3. Extremos absolutos

Definición: Sea f(x) una función definida en un dominio D. Decimos que f(x) tiene en (a, f(a)) a) Un Máximo absoluto si f(x) < f(a) xD. b) Un Mínimo absoluto si f(x) > f(a) xD. Nota: Los extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos. Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos

Nótese que los conceptos de extremos relativos y absolutos son similares pero distintos. Mientras que el extremo relativo se centra en lo que ocurre “alrededor” del punto en un entorno cerca de él, los extremos absolutos abarcan un dominio mayor. En resumen, los extremos relativos son los mayores (menores) de los valores que toma la función cerca de ellos mientras que los absolutos son los mayores (o menores) de todo el dominio estudiado.

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5. CURVA TU RA : CON CA VI DA D Y CON VEXI DA D . PUN TOS DE I N FL EXI Ó N Definición: a) Se dice que una función f(x) es convexa en (a, f(a)) si existe un entorno del punto (a - ,a + ) en el que la recta tangente a la curva está situada por debajo de la gráfica de la función (). Es convexa en un intervalo si lo es en todos sus puntos. b) Se dice que una función f(x) es cóncava en (a, f(a)) si existe un entorno del punto (a - ,a + ) en el que la recta tangente a la curva está situada por encima de la gráfica de la función (). Es cóncava en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

Nota: Hemos tomado el criterio que el valle () tiene forma convexa y la montaña () forma cóncava.

Proposición: (Curvatura) Sea f una función dos veces derivable en x=a, entonces: a) Si f ‘’(a) > 0  f(x) es convexa () en x=a. Es convexa en un intervalo si lo es en todos sus puntos

b) Si f ‘’(a) < 0  f(x) es cóncava () en x=a. Es cóncava en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

Nota: En general, el recíproco de la proposición anterior, no es cierto, es decir, no todas las funciones dos veces derivables en un punto y convexas (o cóncavas) en el punto tienen porqué tener derivada segunda positiva (o negativa). Lo único que podemos asegurar es que si una función es dos veces derivable y convexa (cóncava), entonces f ‘’(a) ≥ 0 (f ‘’(a) ≤ 0). Contraejemplo: f(x)=x4 El estudio de la curvatura de una función dos veces derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su derivada segunda en dicho dominio. E j emp l o : E stu d io de lo s int e rvalo s de con cavid ad y co n ve xidad f(x) = x3 − 3x + 2

P a r a e s t u d i a r l a co n c a v i d a d y l a c o nv ex i d a d , e f e c t u a re m o s l o s s i g u i e n t e s pasos: 1 . Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. f ' ' ( x ) = 6 x ; 6x = 0; x = 0. 2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese). 3 . Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda. S i f ' ' ( x ) > 0 e s c o n v e xa . S i f ' ' ( x ) < 0 e s c ó n c av a . Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo. f''(−1) = 6(−1) < 0 Cóncava. Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1, por ejemplo.

4 . E sc r i b i m o s l o s i n t er v a l o s :

f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.

C o nv e x i d a d : ( 0 , ∞ )

C o nc a v i da d : ( − ∞ , 0 )

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Ejemplo: Calcular los intervalos de concavidad y convexidad de:

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( )

2

(

)

Dominio: (x-1) =0x=1; D(f)= -{1}

; x=0

;

Convexa (): (0,1) U (1,) ;

Cóncava () : (-,0)

PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN

Definición: Se dice que una función tienen un punto de inflexión en (a,f (a)) si la función cambia de curvatura en x=a es decir, si pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. N o e s c ó n c a v a n i convexa.

Geométricamente, en un punto de inflexión, la recta tangente pasa de estar por debajo de la gráfica a estar por encima o viceversa.

Proposición: Sea una función f(x) tres veces derivable en x=a. Si f ‘’(a)=0 y f ‘’’(a)≠0  f(x) tiene un punto de inflexión en (a, f(a)). Nota: En la situación de la proposición anterior, si f’’(a)=0 y f ‘’’(a)=0 pero la primera derivada no nula en x=a es de orden impar, el criterio sigue siendo válido con el signo de dicha derivada. Ejemplo: Calcular los puntos de inflexión de:

f(x) = x3 − 3x + 2

P a r a h a l l a r lo s p u n t o s d e i n f l e x ió n , se g u i r e m o s lo s s i g u i e nt e s pa s o s: 1 . Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces: f''(x) = 6x = 0; x = 0. 2 . R e a l i z am o s l a d e r i v a d a t e r c er a , y c a l c ul a m o s e l s i g n o q u e t o m a n e n e l l a l o s c e ro s de d e r iv a d a s e g u n d a y s i : f ' ' ' ( x ) ≠ 0 T e ne m o s u n p u n t o d e i n f le x ió n . f ' ' ' ( x ) = 6 S e r á u n p u nt o d e i n f l e x ió n . 3 . Ca l c u l a m o s la im a g e n ( e n l a f u n c i ó n ) de l p u n t o d e i n f le x ió n . f ( 0 ) = (0 ) 3 − 3 ( 0 ) + 2 = 2 Punto de inflexión: (0, 2)

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O P T I M I Z A C I ÓN D E F U NC I O NE S

Definición: Optimizar una función consiste en determinar sus máximos y/o mínimos absolutos de dicha función en un dominio concreto. Para ello los pasos recomendados son los siguientes: 1º) Comprender bien el enunciado del problema y extraer la información necesaria para escribir la expresión algebraica de la función a optimizar y su dominio. Es bastante frecuente que la función de una variable pueda expresarse a partir de una función de dos variables y de unas restricciones. 2º) Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable. 3º) Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable. 4º) Determinar los extremos relativos a los que se refiera el problema (máximos y/o mínimos), derivando la función y se iguala a cero (aplicando lo visto anteriormente) para hallar los extremos locales. 5º) Comprobar el resultado obtenido, si es el máximo o el mínimo solicitado, evaluando todos los candidatos extraídos. Ejemplo: De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima. La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables: 2 x + 2 y = 12 ; x = 6 − y Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.

Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.

Por lo que queda probado que en y=2 hay un máximo. La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triángulo de área máxima sería un triángulo equilátero.

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA 1.

Calcular

los

intervalos

de

crecimiento

y

decrecimiento

de

las

funciones

siguientes: 1.f(x)=4+15x+6x2-x3 ; 2.f(x)=3x4-20x3-6x2+60x-8 3.f(x)=x·Lnx

4.

; 5.

; 6.

;

2. Calcular los máximos y mínimos de las funciones siguientes: 1.f(x)=x4-8x2+3; 2.f(x)ex·(2x2+x-8)3.f(x)=x+Ln(x2-1); 4.f(x)=sen 2x 3. Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones: 1.

; 2.

; 3.

4. La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300 1.

Determinar

las

cotizaciones

máxima

y

mínima,

así

como

los

días

en

que

ocurrieron, en días distintos del primero y del último. 2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron. 5. Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por: r = 300t (1−t). Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide: 1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? 2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? 3. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? 6. Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 − 6x

2

+ 4 en su

punto de inflexión. 7. Determinar a, b y c para que la función f(x) = x

3

+ ax2 + bx + c tenga un

máximo para x=−4, un mínimo, para x=0 y tome el valor 1 para x=1. 8. Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = a x

3

+ bx

2

+ cx + d

tenga un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0). 9. Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax 4 + bx3 + c x2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0). 1 0 . La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

1 1 . Dada la función: Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas. 12. Hallar a y b para qué la función: f(x) =a·ln x +bx 2+x tenga extremos en los puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

1.f(x)=4+15x+6x 2-x3; f’(x)=15+12x-3x2; 15+12x-3x2=0; x=-1,x=5

;

;

2. f(x)=3x4-20x3-6x2+60x-8 f’(x)=12x3-60x3-12x+60; 12(x3-5x2-x+5)=0; x=1; x=5

; 3.f(x)=x·Lnx; x>0; D=(0,) f’(x)=Lnx +1; Lnx+1=0; Lnx=-1; x=e-1

;

; ; x2+x-2=0;

4.

x=-2, x=1; D=-{-2,1}

;

; Sin soluciones en 

; ;

5.

;

; 6.

;

;

;

;

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2. Calcula los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

1.

;

2.

; ;

; 3.

;

;

;

4. f(x) = sen 2x; f’(x)=2cos 2x; 2cos 2x=0; x 1= /4 +k ; x2=3 /4 +k  f’’(x)=-4sen 2x

;

;

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3. Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:

1.

;

; ; 2.

;

; ;

3.

;

;

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4. La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = 0 . 0 1 x 3 − 0 . 4 5 x 2 + 2 . 4 3 x + 3 0 0 4.1.

Determinar las cotizaciones , máxima y mínima, ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

así

como

los

días

en

que

; ;

4.2.

Determinar

los

períodos

de

tiempo

en

el

que

las

acciones

subieron

o

bajaron.

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

5. Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora viene dado por:

r = 300t (1−t); Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide: 1. ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?

r = 300 t − 300 t²; r′ = 300 − 600 t;

300 − 600 t = 0 t = ½

; 2. ¿En qué momentos el rendimiento es nulo? 300 t (1−t) = 0 t = 0 t = 1 El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).

3. ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?

r″ (t) = − 600 ; r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75 Rendimiento máximo: (½, 75)

6.Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x3 − 6x 2 + 4 en su punto de inflexión. f′(x) = 6x 2− 12x; f′′(x) = 12x − 121; 2 x − 12 = 0; x = 1 f′′′(x) = 12; f′′′(1) ≠ 0; f(1) = 0; f′(1) = 6 − 12= − 6 = m;

Punto de inflexión: (1, 0)

y − 0 = −6(x − 1);

7.Determinar a, b y c para que la función f(x) = x

3

y = −6x + 6

+ ax 2 + bx + c tenga un máximo para

x =−4, un mínimo, para x =0 y tome el valor 1 para x =1. f(x) =x3 + ax2 + bx + c f′(x) = 3x2 + 2ax + b 1 = 1 + a + b + c a + b + c = 0; 0 = 48 − 8a +b 8a − b = 48 0 = 0 − 0 + b; b = 0 ;

a = 6 b = 0 c = −6

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8.Determinar el valor de a, b, c y d para que la función f(x) = ax

3

+ bx

2

+ cx + d tenga

un máximo en (0, 4) y un mínimo en (2, 0). f(x) = ax

3

+bx

2

+cx +d; f′(x) = 3ax

2

+ 2bx + c

f(0) = 4 d = 4; f(2) = 0 8a + 4b + 2c = 0; f′(0) = 0 c = 0; f′(2) =0 12a + 4b + c = 0 a = 1; b = −3; c = 0; d = 4 9. Determinar a, b, c, d y e, de modo que la curva f(x) = ax4 + bx3 + c x2 + dx + e, tenga un punto crítico en (1, 3) y un punto de inflexión con tangente de ecuación y = 2x en (0, 0). f′(x) = 4ax3 + 3 bx2 + 2cx + d; f′′(x) = 12ax2 + 6bx + 2c f(1) = 3a + b + c + d = 3; f(0) = 0; e = 0; f′(1) = 0; 4a + 3 b + 2c + d = 0; f′(0) = 2; d = 2;

f′′(0) = 0; 2c = 0; c=0. a = −5; b = 6; c = 0; d = 2; e = 0

10. La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c. f(x)=x3+ax2+bx+c; f’(x)=3x2+2ax+b; f’’(x)=6x+2a; f(3)=0; 27+9a+3b+c=0

;

; a=-2; b=-262/63; c=9/7

11.Dada la función: Calcula a, b y c, de modo que f(x) tenga en (2, −1) un extremo local y que la curva pase por el origen de coordenadas.

;

;

; 12.Hallar a y b para qué la función: f(x) = a · ln x + bx

2

+ x tenga extremos en los

puntos x1 = 1 y x2 = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tienen la función en 1 y en 2?

f’(1)=0; a+2b+1=0; ; f’(2)=0; a/2+4b+1=0; a=-2/3; b=-1/6

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A PL I CA CI ON ES FÍ SI CA S DE L A DERI VA DA VELOCIDAD MEDIA La

velocidad

media

es

el

cociente

entre

el

espacio

recorrido

(Δe )

y

el

tiempo transcurrido (Δt).

VELOCIDAD INSTANTÁNEA La

velocidad

instantánea

es

el

límite

de

la

velocidad

media

cuando

Δt

tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA La

aceleración

instantánea

es

la

derivada

de

la

velocidad

respecto

al

tiempo.

Por

tanto,

la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al

tiempo.

El espacio recorrido por un móvil viene dado por la función e(t) = 3t² - t +1. El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos. Hallar la ecuación de la velocidad.

v(t)= e′(t) = 6t -1

Hallar la velocidad en el instante t = 0. Hallar la ecuación de la aceleración.

v(0)= -16 · 0 − 1 = −1 m/s

a(t) = v′(t) = e′′(t) = 6 m/s 2

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