MATEMÁTICAS 2º ESO APUNTES

Laura Vallés Rubio

TERCER TRIMESTRE

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

TEMA 12 SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1. Utilizar el teorema de Tales para determinar medidas.

1. Comprender y aplicar el teorema de Tales.

2. Identificar figuras semejantes.

3. Comprender el concepto de razón de semejanza.

1.2. Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes iguales.



Lingüística

1.3. Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes proporcionales.



Matemática

2.1. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos.



Social y ciudadana



Cultural y artística

2.2. Identificar polígonos semejantes.



Tratamiento de la información y competencia digital



Aprender a aprender

3.1. Calcular la razón de semejanza entre dos figuras.

 Interacción

con el mundo físico

3.2. Relacionar las áreas y volúmenes de figuras semejantes del plano y el espacio. 4. Resolver problemas métricos a través de la interpretación de planos, mapas, etc.

4.1. Utilizar la escala y la semejanza para interpretar planos y mapas.

1

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

INDICE 1 SEGMENTOS SEMEJANTES 1.1 CUARTA Y MEDIA PROPORCIONAL

2 TEOREMA DE TALES 3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES 3.1

CRITERIOS PARA DETERMINAR LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

2

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1. SEGMENTOS SEMEJANTES Los segmentos se determinan por su longitud. Supongamos que tenemos dos segmentos ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 de 3 cm y ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 de 4 cm. Se llama proporcionalidad de los segmentos al cociente de sus longitudes. Es decir, comparamos uno con el otro:

AB 3  , y decimos CD 4

que tres veces el segmento ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 es igual que cuatro veces el segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 . Supongamos que tenemos otros segmentos ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 de 9 cm y ̅̅̅̅ 𝐺𝐻 de 12 cm la proporción entre ellos sería

EF 9 3   . Por tanto, estos nuevos segmentos están en la misma GH 12 4

proporción que los anteriores y se dice: Los segmentos ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 y ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 son semejantes a los segmentos ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 y ̅̅̅̅ 𝐺𝐻 . Lo escribimos así:

AB EF  CD GH

Ejemplo: Calcula la razón entre el segmento ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 12 cm y el segmento ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 = 25 cm. AB 12  CD 25

1.1 CUARTA Y MEDIA PROPORCIONAL Dados tres segmentos de longitudes a, b y c se denomina cuarta proporcional de a, b y c a un segmento de longitud x, tal que se cumpla

a c  . b x

Dados dos segmentos de longitudes a y b se denomina media proporcional a un segmento de longitud x, tal que se verifique

a x  x b

3

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

Ejemplo: Dados los segmentos de 5cm, 4cm y 10 cm, calcula la cuarta proporcional. 5 10 4·10 40  x   8cm 4 x 5 5

Dados los segmentos de 10cm y 6cm, calcula la media proporcional. 10 x   x 2  10 · 6  x 2  60  x  60  7,75cm x 6

2. TEOREMA DE TALES El teorema de Tales nos dice: Si varias rectas paralelas cortan a dos r y s, los segmentos

que

determinan

en

ellas

son

proporcionales, esto quiere decir que: AB BC AC   A ' B ' B 'C ' A 'C '

Ejemplo: Calcula la longitud el segmento B’C’ del dibujo.

Según el Teorema de Tales tanto:

AB BC AC   , por lo A ' B ' B 'C ' A 'C '

3 6 24  x  8cm 4 x 3

4

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

3. TRIÁNGULOS SEMEJANTES Observa los triángulos ABC y A’B’C’, y fíjate en las relaciones que guardan sus ángulos y sus lados.

Decimos que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. Los ángulos que son iguales se llaman homólogos

3.1

CRITERIOS PARA DETERMINAR LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Hemos visto que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales.

Pero no es necesario comparar los tres lados y los tres ángulos de dos triángulos para determinar si son semejantes.

5

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

Hay varios criterios se semejanza de triángulos: 

Dos triángulos que tengan dos ángulos iguales son semejantes.



Dos triángulos que tengan sus tres lados proporcionales son semejantes.



Dos triángulos que tengan un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales son semejantes.

Estos criterios se demuestran comprobando que los triángulos pueden situarse en posición Tales. D OS TRIÁNGULOS QUE TENGAN DOS ÁNGULOS IGUALES , SON SEMEJANTES .

Vamos a comprobarlo con un ejemplo que harás en casa y comprobaremos en clase: 





Construye un triángulo con un lado que mida 6 cm y con los ángulos contiguos a este de 35o y 70o. Construye otro triángulo con un lado que mida 4 cm y con sus ángulos contiguos iguales a los anteriores. Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición Tales.

6

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D OS TRIÁNGULOS QUE TENGAN SUS TRES LADOS PROPORCIONALES

SON SEMEJANTES .

Comprobamos…  



Construye un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 10 cm. Construye otro triángulo de lados proporcionales a los anteriores; por ejemplo, 3 cm, 4 cm y 5 cm. Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición Tales.

D OS TRIÁNGULOS QUE TENGAN UN ÁNGULO IGUAL Y LOS LADOS QUE LO FORMAN PROPORCIONALES SON SEMEJANTES .

7

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE  



Construye un triángulo con lados de 5 cm y 6 cm, y que formen un ángulo de 60o. Construye otro triángulo con los lados proporcionales a los anteriores, por ejemplo 10 cm y 12 cm, y que formen el mismo ángulo. Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición Tales.

Estos criterios se simplifican considerablemente para triángulos isósceles y rectángulos. Mira esta tabla y compruébalo.

Polígonos semejantes

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

Para poder construir un polígono semejante a otro dado, conociendo la razón de semejanza, se puede utilizar el teorema de Tales aplicando la división de segmentos en partes iguales. Por ejemplo: Vamos a construir un polígono semejante al ABCDE con razón de semejanza

2 , para ello seguiremos los siguientes pasos. 3

9

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

TEMA 12 SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES 1. Calcula la razón de estos segmentos. a) AB  6cm

CD  8cm

b) AB  64cm

CD  1m

AB  15dm

CD  9m

c)

d) AB  20m

2. Si la razón

a) 3. Si la razón

a)

CD  4m

AB 1  , calcula: CD 4

siendo CD  76cm

b) CD, siendo AB  3cm

AB  1,6; calcula: CD

siendo CD  9cm

b) CD, siendo AB  13,6cm

4. Calcula la longitud que debe tener el cuarto segmento proporcional a los segmentos AB, CD, y EF. a) AB  3cm

CD  6cm

EF  9cm

b) AB  2m

CD  7cm

EF  9m

10

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE c) AB  3dm

CD  5dm

EF  21dm

d) AB  10cm

CD  15cm

EF  25cm

5. La razón de dos segmentos es 4 y la diferencia de su longitudes es 7 cm. Calcula la longitud de cada segmento. 6. Halla las longitudes desconocidas.

11

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

7. En la siguiente figura, la razón

OB  0,8.CalculaOA ', AB y . OB '

8. Divide el segmento AB siendo AB = 10 cm, en a) 4 partes iguales.

B) en 6 partes iguales.

9. Divide gráficamente un segmento AB  18cm en partes proporcionales a tres segmentos de medida: a) 3 cm, 5 cm y 6 cm

c) 3 cm, 4 cm y 5 cm

b) 2cm, 4 cm y 6 cm

d) 2cm, 6 cm y 9 cm

10. Divide un segmento de 4 cm en tres partes de forma que la primera sea doble de la segunda, y esta, doble de la tercera. 11. Calcula la longitud de los lados desconocidos en los siguientes pares de triángulos semejantes.

12

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

12. Dos triángulos, ABC y A’B’C’, son semejantes. Los lados de ABC son: AB  4cm

BC  5cm

CA  6cm

Calcula los lados de A’B’C’ y la razón de semejanza, si A ' B '  7, 2cm 13. La razón de semejanza de dos triángulos, ABC y A’B’C’, es r 

1 . Calcula los lados 4

desconocidos de los dos triángulos sabiendo que: a) AB  5cm, BC  8cm y CA  10cm b) A ' B '  20cm, B ' C '  24cm y C ' A '  26cm c) AB  4cm, BC  5cm y C ' A '  16cm

13

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14. Determina si estos pares de triángulos son semejantes y explica que criterio aplicas en cada caso.

14

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15. Un árbol mide 5 metros de altura y, a una determinada hora del día proyecta una sombra de 6 m.¿Qué altura tendrá un edificio si a la misma hora proyecta una sombra de 10 metros. 16. La sombra que proyecta un padre que mide 1,8 m de altura, a las 3 de la tarde, es de 2,1 m. ¿Qué altura tendrá su hijo si la sombra que proyecta es de 1,5 m? 17. Alba está a dos metros de un precipicio y ve alineado a un pueblo por el borde del precipicio. ¿A qué distancia está el pueblo del precipicio?

18. Un edificio de cinco plantas de igual altura proyecta, en cierto instante, una sombra de 22 metros. Calcula la altura de cada planta si se sabe que en ese mismo momento un árbol de tres metros de altura proyecta una sombra de 4,5 metros. 19. Ana está situada a 5 m de la orilla de un río y ve reflejada una montaña en el agua. Si Ana mide 1,70 m y el río está a 3 km de la montaña, ¿qué altura tiene la montaña?

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TEMA 13 GEOMETRÍA PLANA. TEOREMA DE

PITÁGORAS OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Identificar las figuras planas que se presentan en la realidad analizando sus características.

1.1. Reconocer, dibujar y describir las figuras planas en ejercicios y en su entorno inmediato distinguiendo sus elementos característicos.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.2. Clasificar polígonos. 1.4. Identificar ejes de simetría en figuras planas. 2. Reconocer el triángulo como el polígono más sencillo a partir del cual se pueden obtener relaciones geométricas en las demás figuras planas.

2.1.

Identificar y construir triángulos iguales, usando los criterios de igualdad de forma adecuada.

 Lingüística  Matemática  Interacción con el mundo físico  Cultural y artística  Tratamiento de la información y

3. Distinguir las rectas y puntos notables de un triángulo, y usar sus propiedades para resolver problemas geométricos.

4. Emplear el teorema de Pitágoras y las fórmulas adecuadas para obtener distancias, perímetros o áreas de figuras planas.

3.1. Trazar y obtener las rectas y los puntos notables de un triángulo cualquiera y utilizarlos para resolver problemas geométricos sencillos.

competencia digital  Autonomía e iniciativa personal

4.1 Calcular de la forma más sencilla y rápida el perímetro de las figuras planas. 4.2. Estimar y calcular medidas indirectas utilizando el teorema de Pitágoras.

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

4.3. Reconocer triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras. 4.4 Utilizar las fórmulas y procedimientos adecuados para el cálculo directo del área de las figuras planas más elementales. 4.5 Reconocer, dibujar y describir las figuras planas como resultado de la composición de otras más sencillas. 5. Resolver problemas geométricos relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan longitudes, perímetros y áreas, utilizando los procedimientos y estrategias adecuados.

5.1. Aplicar las fórmulas del cálculo de distancias, perímetros y áreas de figuras planas elementales para resolver problemas relacionados con el entorno.

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INDICE 1

TEOREMA DE PITÁGORAS

2

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

3

PERÍMETROS Y ÁREA DE POLÍGONOS

4

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

5

ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

1. TEOREMA DE PITÁGORAS. Un

triángulo

rectángulo tiene un ángulo recto

 90 

.

Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, b y c, y el lado mayor se llama hipotenusa, a. Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a 2  b2  c 2

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS En cualquier triángulo, siendo “a” el lado mayor: 

Si a 2  b 2  c 2  El triángulo es rectángulo.



Si a 2  b 2  c 2  El triángulo es acutángulo.



Si a 2  b 2  c 2  El triángulo obtusángulo.

Cálculo de la diagonal de un rectángulo Por ser rectángulo, dos lodos contiguos

y

forman

un

la

diagonal triángulo

rectángulo. Por tanto: d 2  302  602  67,1cm

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

Altura de un triángulo isósceles Por ser un triángulo isósceles, la altura sobre el lado desigual lo divide

en

dos

triángulos

rectángulos iguales. Por tanto h 2  52  42  3cm

Lado desconocido en un trapecio rectángulo El lado desconocido es la hipotenusa de un triángulo de catetos 15 y 15 cm . Por tanto: x 2  152  152  21, 2cm

Lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia Se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa el radio de la circunferencia y de catetos la mitad del lado del

cuadrado, 2

x.

Por

tanto:

2

x2 x  x 2   5  2   25  x 2  50  x  7,1cm     2 2 4    

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

Calcular la apotema de un polígono regular Se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa el radio 8 y los catetos la apotema y la mitad del lado 4. Por tanto: 82  42  a 2  a 2  82  42  a  48

2. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS Nombre

Triángulo

Dibujo

Perímetro P = Suma de los lados P=b+c+d

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Área

p = semiperímero

P=4·a

A = a2

P = 2(b + a)

A=b·a

P=4·a

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

Romboide

P = 2(b + c)

Trapecio

P=B+c+b+d

Trapezoide

P=a+b+c+d

A=b·a

A = Suma de las áreas de los dos triángulos

Polígono regular

3. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene siempre el mismo número decimal. Este número se designa por la letra griega  y sus cifras decimales son ilimitadas. Su valor es  = 3,141592…. La longitud de una circunferencia de radio r es: L  2 r Longitud de un arco: En una circunferencia de radio r , la longitud de un arco de n grados es

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

4. ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES Área del círculo Un círculo podría ser un polígono regular de muchos lados, en el que el perímetro sería la longitud de la circunferencia, y su apotema el radio. A   r2

Área del sector circular Un sector circular es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco que definen. Por tanto:

A

 r 2n 360

Área de la corono circular Una

corona

circular

es

la

parte

comprendida entre dos circunferencias con el mismo centro. Su área se obtiene restando el área del círculo menor al mayor. A   R 2    r 2     R 2  r 2 

5. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS Como sabemos, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 . Un cuadrilátero puede descomponerse en dos triángulos. La suma de sus ángulos es 180 . 2 = 360® De forma similar un pentágono se descompone en tres triángulos. La suma de sus ángulos será 180 .3 = 540 y así con todos los polígonos.

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

Si el polígono es regular…..

Figura

Lados

Suma de los ángulos interiores

Triángulo

3

180°

60°

Quadrilátero

4

360°

90°

Pentágono

5

540°

108°

Hexágono

6

720°

120°

...

...

..

Cualquier polígono

n

(n-2) × 180°

Cada ángulo interior de un polígono regular mide

Forma

Cada ángulo

...

... (n-2) × 180° / n

180   n  2  n

Cada ángulo central de un polígono regular es el formado por dos radios consecutivos. La amplitud de un ángulo central de un polígono regular de n lados es: 360 n

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TEMA 13 GEOMETRÍA PLANA.TEOREMA DE PITÁGORAS 1. En los siguientes casos se da la medida de los catetos de un triángulo rectángulo. Calcula el valor de la hipotenusa. a) b = 12 cm

c= 35 cm

b) b = 112 cm

c = 15 cm

c) c = 28 cm

b = 45 cm

2. Calcula la diagonal de un rectángulo de 16 m de longitud y 12 m de ancho. 3. Indica si los triángulos con estas medidas son rectángulos, acutángulos u obtusángulos. a) 10 cm, 11 cm y 20 cm

b) 4 cm, 5 cm y 6 cm

c) 48 cm, 55 cm y 73 cm

4. Clasifica los siguientes triángulos. a) a = 11 b = 60 c = 61

b) a = 8 b = 4 c = 8

c) a = 15 b = 18 c = 8

5. Carla quiere hacer una estructura con listones de aluminio. Comienza construyendo un rectángulo que debe ser rectángulo con listones de longitudes 1,05, 0,88 y 1,37 metros. ¿Podrá hacerlo? 6. Halla cuánto mide el lado de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 18 cm, respectivamente. 7. Calcula el lado de un cuadrado si su diagonal mide 18 cm.

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

8. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 7 cm. 9. Halla la apotema.

10. Determina la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm y su base 6 cm, 11. Halla la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide 12 cm. 12. Calcula el lado de un hexágono regular de apotema 10 cm. 13. Calcula el perímetro de un trapecio isósceles de bases 8 y 14 cm y de altura 4 cm. 14. Halla el perímetro y el área del cuadrado circunscrito en una circunferencia de radio 5 cm. 15. Halla el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 15 y 8 cm, respectivamente. 16. Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyo perímetro mide 36 metros, y su base, 10. 17. Un rectángulo tiene de perímetro 240 metros y su altura es de 20 metros. Calcula la medida de su diagonal. 18. Determina la longitud x de estos triángulos.

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

19. Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

20. Halla la distancia del punto P al punto A, para que se verifique que CP  DP

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FIJATE EN EL EJEMPLO ¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA CONOCIENDO SUS LADOS?

21. Calcula la altura de un triángulo con lados. a) AB  4cm , b) AB  6cm , c) AB  5cm ,

BC  7cm y

BC  10cm y BC  11cm y

CA  9cm CA  14cm CA  15cm

22. Un cubo tiene de arista 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara y de la diagonal del cubo.

28

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

23. Un ortoedro tiene aristas de 5 cm, 7 cm y 9 cm. Halla la longitud de las diagonales de las caras y de la diagonal del ortoedro. 24. Un cubo tiene una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de la arista y de la diagonal del cubo. 25. Halla la longitud de una circunferencia de: a) Radio de 2,5 cm.

b) Diámetro de 15 cm.

26. ¿Qué longitud de arco tiene un ángulo de 50 ͦen una circunferencia de 7,8 cm de radio? 27. Determina el área de un círculo de radio 25 cm. 28. Halla el área de un círculo de diámetro 12 cm. 29. Obtén el área de una corona circular comprendida entre dos circunferencias de radio 100 mm y 7 cm. 30. Se ha dividido una tarta de 14 cm de radio en 4 partes iguales. Calcula el área de cada parte. 31. Calcula la suma de los ángulos interiores de un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular. 32. Halla, en un eneágono regular: la suma de sus ángulos interiores, un ángulo interior y la medida del ángulo central. 33. Calcula el valor del ángulo central y del ángulo interior de un dodecágono regular. 34. Halla el ángulo inscrito en una circunferencia que abarca un ángulo de: a) 50 ͦ

b) 140 ͦ

35. Calcula el ángulo interior de una circunferencia que abarca dos arcos de: a) 90 ͦ y 30 ͦ b) 50 ͦ y 74 ͦ

29

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

36. Calcula la longitud del arco marcado en azul.

1. Halla el diámetro de una circunferencia sabiendo que la longitud de un arco de 50 ͦ es 5,23 cm. 2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuya longitud de un arco de 110 ͦ es 57,57 cm? 3. Halla el área de un círculo delimitado por una circunferencia de 321,5 cm. 4. Calcula el área de los círculos con estas longitudes de arco.

5. Halla el área de estos sectores circulares.

6. Determina el área de los sectores coloreados.

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

7. Halla el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas de radios: a) R = 10 cm y r = 6 cm

c) R = 3r y r = 2,4 cm

b) R = 12,5 cm y r = 5 cm

d) R + r = 31 m y R – r = 5 m

31

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

TEMA 14 ESTADÍSTICA OBJETIVOS

1.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Comprender

significado

el del

lenguaje estadístico.

2. Identificar en una población

los

caracteres y variables estadísticas objeto de estudio.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1. Clasificar los tipos de caracteres y las variables estadísticas

para

una

determinada población. 2.1.

Elaborar

tablas

frecuencias

de

absolutas,

relativas y acumuladas de una

distribución

estadística, interpretando los resultados obtenidos. 3.1. Representar mediante

3.

Obtener

las

gráficos

(diagramas lineales

o

de

frecuencias absolutas,

barras,

relativas y acumuladas

sectores;

de los valores de una

etc.)

distribución

correspondientes a una

estadística.

distribución

     

 

Lingüística Matemática Interacción con el mundo físico Social y ciudadana Cultural y artística Tratamiento de la información y competencia digital Aprender a aprender Autonomía e iniciativa personal

de

histogramas, los

datos

estadística

sencilla.

32

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

4. Aprender a tratar la información estadística

y

a

representar conjuntos de

datos

mediante

tablas y gráficas.

4.1.

Interpretar

estadísticas

gráficas

relacionadas

con el entorno cotidiano, analizando críticamente su contenido.

5. Conocer el significado de los parámetros de 5.1. Determinar la media, la centralización

y

de

dispersión,

y

comprender

su

mediana y la moda para un conjunto

de

datos

agrupados y no agrupados.

utilidad. 5.2. Calcular e interpretar los parámetros de dispersión para un conjunto de datos agrupados y no agrupados. 6.

Calcular

parámetros

los de

centralización (media, mediana y moda) de una

distribución

estadística y valorar su eficacia para describir la

distribución

en

6.1. Utilizar el coeficiente de variación comparación

en

la de

distribuciones.

función del contexto y de la naturaleza de los datos.

33

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

6.2. Resolver problemas de la vida

cotidiana

que

impliquen caracterizar la tendencia central y la dispersión de un conjunto de datos. 3.

Calcular

los

parámetros dispersión

de (rango,

desviación respecto a la media, varianza y 3.1. Utilizar la calculadora desviación típica) de

para

una

cálculos de los parámetros

distribución

estadística

y

simplificar

los

estadísticos.

relacionarlos con los parámetros

de

centralización de una manera elemental.

34

MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

INDICE 1

POBLACIÓN Y MUESTRA ESTADÍSTICA

2

CARACTERÍSTICAS Y VARIABLES ESTADÍSTICAS

3

FRECUENCIAS RELATIVAS, ABSOLUTAS Y ACUMULADAS

3.1 TABLA DE FRECUENCIAS

4 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 4.1 BARRAS E HISTOGRAMAS 4.2 SECTORES Y LINEALES

5 MEDIA ARITMÉTICA Y MODA 6 MEDIANA 7 VARIANZA Y DESVICIÓN TÍPICA

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1. POBLACIÓN Y MUESTRA ESTADÍSTICA Se llama estadística al conjunto de procedimientos destinados a recopilar, procesar y analizar la información que se obtiene con una muestra para inferir las características o parámetros de una población o de un problema determinado.

2. CARACTERÍSTICAS Y VARIABLES ESTADÍSTICOS

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MATEMÁTICAS 2º ESO 3º TRIMESTRE

3. FRECUENCIAS RELATIVAS , ABSOLUTAS Y ACUMULADAS Frecuencia absoluta: el número de veces que aparece un valor, se representa con fi donde el subíndice representa cada uno de los valores. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, representado por N

Equivalente

Frecuencia relativa: el resultado de dividir la frecuencia absoluta de un determinado valor entre el número total de datos, se representa por ni. La suma de la frecuencias relativas es igual a 1

3.1

TABLA DE FRECUENCIAS

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4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 4.1 BARRAS E HISTOGRAMAS El diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

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Los histogramas se utilizan para representar datos cuantitativos agrupados en clases. Las clases se suelen tomar de la misma amplitud. ¿Cómo se construye? PASO 1: En el eje de abscisas se representan los extremos de las clases. PASO 2: Se construyen rectángulos cuya base sea la amplitud del intervalo y la altura la frecuencia absoluta.

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4.2 SECTORES Y LINEALES Un diagrama de sectores es un gráfico que consiste en un círculo dividido en sectores de amplitud proporcional a la frecuencia de cada valor. Se utiliza con datos cualitativos y cuantitativos. Un compañero de Marta decidió preguntar a sus compañeros por su deporte favorito y obtuvo los datos, que aparecen en la tabla siguiente:

Observa: la suma de todas las amplitudes es 360º, la amplitud total del círculo.

Para calcular la graduación de los sectores podemos usar tres procedimientos: Grados del sector = frecuencia relativa · 360º Usando la proporción con las frecuencias absolutas:

O bien usando la proporción con porcentajes:

El gráfico lineal (gráfico de líneas o diagrama lineal) se compone de una serie de datos representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante este gráfico se puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.

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El diagrama lineal se suele utilizar con variables cualitativas, para ver su comportamiento en el transcurso del tiempo. Por ejemplo, en las series temporales mensuales, anuales, trimestrales, etc.

5. MEDIA ARITMÉTICA Y MODA La media x (también llamada promedio o media aritmética) de un conjunto de datos (X1,X2,…,XN) es una medida de posición central. La definimos como el valor característico de la serie de datos resultado de la suma de todas las observaciones dividido por el número total de datos. EJEMPLO

Tenemos las edades de los once jugadores de un equipo de fútbol y queremos calcular su media.

Para ello, sumamos todas las edades y las dividimos por el número total de elementos, o sea once jugadores.

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La moda (Mo(X)) es el valor más repetido del conjunto de datos, es decir, el valor cuya frecuencia relativa es mayor. En un conjunto puede haber más de una moda.

EJEMPLO

Tenemos una muestra de las once edades de los jugadores de un equipo de fútbol.

Hacemos recuento del elemento que más se repite en el conjunto.

La edad que más se repite es 26, por lo que la moda del conjunto es 26.

6. MEDIANA La mediana (Me(X)) es el elemento de un conjunto de datos ordenados (X1,X2,…,XN) que deja a izquierda y derecha la mitad de valores.

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Si el conjunto de datos no está ordenado, la mediana es el valor del conjunto tal que el 50% de los elementos son menores o iguales y el otro 50% mayores o iguales. CÁLCULO DE LA MEDIANA

Sea (X1,X2,…,XN) un conjunto de datos ordenado. El cálculo de la mediana depende de si el número de elementos N es par o impar. Si N es impar, la mediana es el valor que está al medio, es decir:

Si N es par, la mediana es la media de los dos valores del centro, N/2 y N/2+1:

EJEMPLO

Suponemos que tenemos una muestra con las edades de los once jugadores de un equipo de fútbol.

Para calcular la mediana necesitaríamos ordenar los elementos de menor a mayor y ver cuál es el elemento que deja a izquierda y derecha el mismo número de elementos.

Como el número de elementos del conjunto es impar, la mediana es el sujeto número 6, que se encuentra en el medio del conjunto. Por lo tanto Mediana(X)=26.

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7. VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA La varianza (S2) mide la dispersión de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) respecto a la media (x), calculando la media de los cuadrados de las distancias de todos los datos.

Al elevar las diferencias al cuadrado se garantiza que las diferencias absolutas respecto a la media no se anulan entre si. Además, resaltan los valores alejados. Siempre se cumple que la varianza es mayor o igual que cero (S2 ≥ 0). La varianza es cero cuando todos los datos son el mismo (ejemplo: {1,1,1,1,1}). Si en vez de tratarse de una muestra, la varianza se refiere a la población, el denominador será N. EJEMPLO

Un médico de un instituto quiere realizar un estudio para ver si los alumnos de un centro tienen sobrepeso. Le interesaría calcular la varianza para ver como difieren los pesos

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respecto a la media. Para ello, se selecciona una muestra de doce alumnos de 14 o 15 años.

Se calcula la media de los pesos de los alumnos, y se obtiene que x = 53,5kg. Una vez se sabe la media, se halla la diferencia de cada elemento respecto a esta, para calcular la dispersión de los datos.

Una vez se ha calculado el cuadrado de la diferencia de cada elemento con la media, ya se puede determinar la varianza (S2):

El valor alto de la varianza confirma una de sus características: que es sensible a los valores que se separan bastante de la media. A continuación se puede observar un gráfico de las diferencias del peso de cada alumno respecto a la media:

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La desviación típica es la medida de dispersión (S) asociada a la media. Mide el promedio de las desviaciones de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) de la media (x) en las mismas unidades de los datos. Dicho de otra forma, es un indicador de cómo tienden a estar agrupados los datos respecto a la media.

El cuadrado de la desviación típica es la varianza.

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Cuando se trata de la desviación típica de una población, el denominador es N. Si se trata de una muestra, serà N-1.

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TEMA 14 ESTADÍSTICA 1. El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 010032140011201 120112130021235 a) Efectúa el recuento. b) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada. c) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y un polígono de frecuencias absolutas. d) ¿Qué porcentaje de alumnos son hijos únicos? e) ¿Cuántos alumnos tienen más de un hermano? 2. El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 010232130010301 100112120121535 a) Elabora una tabla con las cuatro frecuencias y el porcentaje. b) Calcula la moda, la media de goles por partido. c) ¿Qué porcentaje de partidos han metido al menos un gol? d) ¿Cuántos partidos han jugado? e) Haz una representación gráfica.

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3. En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas viven en la casa, obteniéndose las siguientes respuestas: 44813213422703801564 33456862533546204361 a) Elabora una tabla en la que se recojan las cuatro frecuencias. b) ¿Cuántas viviendas fueron objeto de estudio? ¿En cuántas de ellas no vive nadie? c) ¿Qué porcentaje de viviendas está ocupado por más de cinco personas? d) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y un polígono de frecuencias absolutas. 4. En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una determinada marca se obtuvieron los siguientes datos: 10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9 a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias y porcentajes. b) Representar los datos en un diagrama de barras y en un diagrama de sectores. 5. Se ha lanzado un dado 20 veces y se han obtenido los siguientes resultados: 3, 4, 5, 2, 1, 4, 6, 1, 3, 2, 5, 5, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 5, 6 a) Construir la tabla de frecuencias. b) Representar los datos con un diagrama de barras y un diagrama de sectores. c) ¿Cuál ha sido la puntuación media obtenida?

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6. Estos son los datos sobre ocupación de la población por sectores económicos: Agricultura

1.870.000

Industria

2.587.000

Construcción

789.000

a) ¿Cuántos trabajadores hay en total? b) Calcula la frecuencia relativa en porcentaje de cada sector económico c) Representa estos datos en un diagrama de barras 7. La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de Matemáticas: nota

2

4

5

6

7

8

9

10

Nº alumnos

2

5

8

7

2

3

2

1

a. ¿Cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo un 7? ¿Cuántos sacaron como mínimo un 6? b. Calcular la nota media, la moda y la mediana 8. Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3º de ESO en una prueba de Matemáticas vienen dadas por la siguiente tabla: Nota

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Alumnos 1

2

4

5

4

6

5

4

1

a) Elabora la tabla de frecuencias completa. b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba la materia? c) ¿Qué porcentaje obtiene más de 8 puntos? d) Dibuja un diagrama de barras de frecuencias relativas. e) Dibuja un polígono de frecuencias acumuladas.

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9. En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año. Nº

de Nº

de

a)

¿Cuántas personas han ido el médico 7

visitas al personas

veces en el último año?¿Cuántas han ido 4 veces?

médico

b)

¿Qué porcentaje de personas ha ido al

médico más de 6 veces? 1

10

3

25

5

43

7

31

10

12

12

4

c)

Calcular la moda y el número medio de

visitas al médico en el ambulatorio. d)

Dibujar un diagrama de barras.

10. Las temperaturas recogidas en un determinada ciudad durante el mes de Enero se muestran en la siguiente tabla: Temperatura en ºC

19

20

21

22

23

24

Número de días

7

9

6

4

3

2

a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21ºC? ¿Cuántos por debajo de 23ºC? ¿Cuántos días hizo la temperatura máxima? b. Calcula la media, la moda y la mediana.

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11. Se realizó una encuesta a un grupo de personas para comprobar si habían visto la película que obtuvo más premios Goya ese año. Los resultados se reflejan en la gráfica:

Nº de respuestas

200 150

175 125

100 50 0 SI

NO OPINIÓN

a) ¿Cuántas personas contestaron a la encuesta? b) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente. 12. A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos: 6 5 4 3 2 1 0 atletismo

ciclismo

baloncesto

natación

a) Calcular la tabla de frecuencias. b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo?

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13. La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas

Nº de pares vendidos

en una tienda a lo largo del día: 35 30 25 20 15 10 5 0 36

37

38

39

40

Nº de zapato

a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido? b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas. c) ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado? d) ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40? e) Dibuja un polígono de frecuencias absolutas acumuladas. 14. En una encuesta a 35 personas se les preguntaba sobre sus preferencias a la hora de leer novelas. Los resultados se recogieron en la siguiente gráfica:

Preferencias de tipos de novelas 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 aventuras

amor

misterio

cienciaficción

humor

a) Construye la tabla de frecuencias. b) Dibuja sobre el gráfico un diagrama de barras.

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c) ¿A qué porcentaje de las personas encuestadas les gustan las novelas de amor? ¿Y las de ciencia-ficción? d) ¿Cuál es la moda? 15. En el siguiente estudio se analizan los sueldos que ganan las mujeres en la industria en diversos países del mundo, en porcentaje sobre lo que gana los hombres:

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60

64 65 67

68 68

79 73 74 77

79 84 89

43

Suecia

Dinamarca

Grecia

Francia

Holanda

Bélgica

Alemania

Reino Unido

Suiza

España

Estados Unidos

Australia

Luxemburgo

Corea del Sur

Japón

%

a) Si una mujer en Suiza gana 1300 francos, ¿cuánto gana un hombre en el mismo puesto y con la misma categoría profesional? b) Un hombre, por término medio, gana en España un sueldo mensual de 1102 euros netos. ¿Cuánto ganaría si fuese mujer? 16. Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes: 1 4 2 4

7 5 6 5

9 6 4 2

2 7 6 4

5 6 5 3

4 4 2 5

4 3 2 6

3 1 8 5

7 5 3 2

8 9 6 4

Calcula la nota media. 17. En una clase de un IES hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas, en cm, son:

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167 151 160

159 173 159

168 175 158

165 164 174

150 153 164

170 158

172 157

158 164

163 169

156 163

Elabora una tabla que represente estos resultados con sus frecuencias absolutas, relativas y porcentajes. Toma intervalos de amplitud 5 cm comenzando por 150. 18. En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla: Calificaciones [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10)

Nº alumnos 2 2 3 6 7 6 1 1 1 1

Halla la varianza y la desviación típica. 19. En una clase de 25 alumnos hemos preguntado la edad de cada uno, obteniendo estos resultados: 14, 14, 15, 13, 15, 14, 14, 14, 14, 15, 13, 14, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 13, 14, 14, 14, 15, 14 Haz una tabla donde aparezcan las frecuencias absolutas acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas.

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20. Halla el número medio de hijos por mujer en 1998 en España a partir de los datos de las comunidades autónomas: Andalucía Aragón Asturas (Principado de) Baleares (Islas) Canarias Cantabria Castilla y León Castilla-La Mancha Cataluña Comunidad Valenciana Extremadura Galicia Madrid (Comunidad de) Murcia (Región de) Navarra (C. Foral de) País Vasco Rioja (La) Ceuta y Melilla

1,28 1,05 0,8 1,44 1,24 0,94 0,91 1,24 1,21 1,17 1,2 0,9 1,19 1,41 1,7 0,97 1,12 1,87

(Fuente: INE)

21. Calcula la media de viajeros en establecimientos hoteleros durante 1999. Después calcula la desviación típica para ver si esa media es representativa de todos los meses del año. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Viajeros 2.775.738 3.205.892 4.143.343 4.931.385 5.724.555 5.834.331 6.415.298 6.986.211 6.349.504 5.447.890 3.570.715 3.204.082

(Fuente: INE)

22. Haz un diagrama de sectores que represente la procedencia de los extranjeros residentes en España, en diciembre de 1999, recogidos en la siguiente tabla:

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Procedencia Europa América Asia África Oceanía Desconocida

353.556 166.709 66.340 213.012 1.013 699

(Fuente: INE)

23. Representa mediante un diagrama de barras las ciudades más pobladas (en 1995):

Habitantes (en millones) Ciudad Tokio (Japón) 26,8 Sao Paulo (Brasil) 16,4 Nueva York (EE.UU.) 16,3 C. De México (México) 15,6 Bombay (India) 15,1 Shangai (China) 15,1 12,4 Los Ángeles (EE.UU.) Pekín (China) 12,4 Calcuta (India) 11,7 Seúl (Corea del Sur) 11,6 (Fuente: Naciones Unidas)

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