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MATEMÁTICAS II Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje

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Con la colaboración de : Juan Carlos Recéndiz Medina Cuauhtémoc Jiménez Olivares Víctor Morales Hernández Georgina Castillo de Hoyos

EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR A DISTANCIA

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¿Qué voy a aprender?

MATEMÁTICAS II Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje Con la colaboración de: Juan Carlos Recéndiz Medina Cuauhtémoc Jiménez Olivares Víctor Morales Hernández Georgina Castillo de Hoyos 2

Coordinación de Educación Media Superior a Distancia Martha Elena Fuentes Torres Departamento de Diseño de Material Didáctico y Capacitación: Antonio Cadena Magaña Revisión y asesoría académica a cargo de: Víctor Manuel Mora González Diseño Gráfico: Rebeca García Peña Mildred Ximena Uribe Castañón Corrección de estilo: Antonio Cadena Magaña ©Secretaría de Educación Pública. México, 2007. Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato Educación Media Superior a Distancia ISBN: En trámite Derechos Reservados

ÍNDICE

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ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

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POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

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LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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LAS LEYES DE SENOS Y COSENOS

RESPUESTAS

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PRESENTACIÓN La asignatura de Matemáticas II, tiene como propósito introducirte en el estudio de la Geometría y la Trigonometría; su estudio te ayudará a visualizar y analizar geométricamente los problemas que se presentan en tu entorno, así como hacerte hábil en la construcción de modelos matemáticos para su estudio y posible solución. Desde el punto de vista práctico, el estudio de la Geometría y la Trigonometría te proporciona herramientas útiles para estudiar diversas situaciones o fenómenos desde una o ambas perspectivas, según la información disponible y la conveniencia de tales representaciones. De esta forma, su inclusión en el segundo semestre del plan de estudios del bachillerato general, posibilita que apliques dichos conocimientos en la modelación de fenómenos, en la asignatura de Física I y en el estudio del la Geometría Analítica del tercer semestre, así como del Cálculo Diferencial e Integral, del V y VI semestres. Por otra parte, además de que los conocimientos que obtengas al estudiar Matemáticas 2 te servirán para emprender el estudio de otras asignaturas, también te servirá para resolver problemas parecidos a los que afrontan los Ingenieros civiles cuando tienen que diseñar puentes o carreteras, o a los que tienen frente a sí los Arquitectos cuando quieren conjugar belleza con funcionalidad al diseñar casas o edificios. Los Geógrafos, por su parte, se benefician de estos conocimientos cuando estudian los diversos accidentes geográficos y sus implicaciones; los marinos logran calcular con exactitud el rumbo mediante la aplicación de conocimientos trigonométricos, etc. La Asignatura de Matemáticas II comprende cuatro Unidades que van de lo más simple a lo relativamente complejo. En la primera Unidad: Ángulos y triángulos, revisarás los aspectos básicos de estos dos temas y sus aplicaciones más simples, además de servirte como punto de partida para el estudio de las siguientes Unidades. La Unidad 2: Polígonos y Circunferencia te llevará por el estudio de las propiedades de estas figuras geométricas para identificar con exactitud todos sus elementos distintivos. En la Unidad 3: Funciones trigonométricas, estudiarás los conceptos básicos de las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo conocidas como funciones trigonométricas, utilizando tanto el circulo unitario como las coordenadas cartesianas rectangulares; con ello sentarás las bases necesarias para el abordaje de diversos fenómenos físicos. Por útlimo, en la Unidad 4 titulada Las leyes de senos y cosenos, verás la definición

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¿Qué voy a aprender? de cada una de ellas y su aplicación para determinar diversos elementos de triángulos que no poseen ningún ángulo recto y que de manera genérica se describen como triángulos oblicuángulos. Se abordarán así, problemas del medio circundante (económicos, sociales, ambientales, demográficos, etc.) y de diferentes campos del saber, que propicien el desarrollo del pensamiento crítico y reflexivo (en el ámbito matemático y en el contexto social) así como una actuación comprometida del alumno. Resumiendo, los contenidos a revisar en este programa serán los siguientes: Unidad I. Ángulos y triángulos Unidad II. Polígonos y circunferencia Unidad III. Las funciones trigonométricas Unidad IV. Las Leyes de Senos y Cosenos

Objetivo de la asignatura: Resolverás problemas geométricos y trigonométricos de carácter teórico o de aplicación práctica, provenientes del ámbito escolar o de su vida cotidiana, mediante el uso de técnicas, conceptos y procedimientos de la geometría plana y la trigonometría, que favorezca la deducción delcomportamiento gráfico de las figuras formadas por líneas en el plano (Geometría Euclidiana) y una aplicación correspondiente a la medición de triángulos (Trigonometría), mostrando interés científico y actitudes críticas, reflexivas y responsables, que le permitan su desenvolvimiento.

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ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Objetivo de la unidad: Resolverás problemas geométricos de tipo teórico o práctico de distintos ámbitos, mediante la aplicación de técnicas de medición de ángulos en el plano y su clasificación, así como las correspondientes a la medición de triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos para recuperar los conceptos de semejanza y congruencia, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes UNIDAD de responsabilidad, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

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Iniciamos el estudio de la asignatura de Matemáticas II ¡Recibe la más cordial bienvenida! A lo largo de este curso aprenderás temas y adquirirás habilidades que te servirán para crecer como persona y también para tu preparación posterior. Por supuesto que es necesaria tu dedicación y empeño desarrollando todas las actividades de aprendizaje y siguiendo atentamente las indicaciones de tu Asesor. Te sugerimos conseguir un cuaderno de cuadrícula para resolver todos los ejercicios y un juego de geometría para efectuar los trazos necesarios. ¿Qué estudiaremos en esta Unidad? Como el título nos lo indica, veremos dos grandes temas: los ángulos y los triángulos. Dentro del tema ángulos recordarás –o aprenderás, si es el caso- qué es un ángulo, cuáles tipos hay, cómo se miden y pasarás de la teoría a la práctica al construir ángulos y medirlos con el auxilio de un transportador. Mención aparte merecen los ángulos que se forman por dos rectas paralelas y una secante que se estudian en la parte final de este apartado; su estudio será de mucha utilidad en temas o asignaturas posteriores. En el tema triángulos, se revisará su definición y clasificación; cuáles son las rectas notables que existen en ellos y cómo se determinan; asimismo, verás como se calculan sus perímetros y áreas, y cómo se determinan los ángulos interiores o exteriores de cualquier tipo de triángulo. Como temas especiales aprenderás qué es la congruencia y la semejanza de los triángulos y aplicarás el célebre Teorema de Pitágoras en la resolución de diversos problemas. Para guiar tu estudio de los contenidos de la Unidad te sugerimos orientarte por las siguientes preguntas: ¿Cuál es la definición de ángulo? ¿Qué elementos lo constituyen? ¿En qué se distingue un ángulo cóncavo de un ángulo convexo? ¿Bajo que condiciones dos ángulos son suplementarios?

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¿Qué voy a aprender? ¿Qué condición debe cumplirse para afirmar que dos ángulos son complementarios? ¿Cómo se clasifican los triángulos? ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo? ¿Cuánto vale la suma de sus ángulos exteriores? ¿Bajo qué condiciones dos triángulos son congruentes? ¿Cuándo son semejantes dos triángulos? ¿Cuál es el enunciado del Teorema de Pitágoras? ¿Para qué tipos de triángulos funciona este teorema?

Otras Fuentes de Consulta ¿En qué puedes apoyarte para aprender lo más y mejor posible sobre los temas de esta unidad? En cualquier libro que tengas a tu alcance y que trate sobre Geometría Plana y Trigonometría. Si te es posible, te recomendamos la consulta de los siguientes textos que además de ser actualizados, desarrollan todos los temas del curso:

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• García, Miguel y Manuel Rodríguez. Matemáticas 2, Bachillerato. México. ST Editorial. 2005 • Ruiz Basto, Joaquín. Matemáticas II, Bachillerato General. México. Publicaciones Cultural, 2005 • Ortiz Campos, Francisco. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México. Publicaciones Cultural, 2005 Artículos de la Enciclopedia Encarta Si cuentas con este software en tu centro de servicios, consulta los siguientes artículos que te servirán para profundizar en los temas de la Unidad: Ángulo Área Cuadrado (geometría) Curvas Demostración matemática Equivalencia Euclides (matemático) Geometría Triángulo (figura) Trigonometría

Geometría del espacio Geometría plana Ortocentro Polígono Proporción Semejanza Simetría René Descartes Teorema de Pitágoras

Sitios web recomendados http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm Un sitio muy interesante donde encontrarás información de los polígonos, cuerpos

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con volumen, biografías y fichas de trabajo. http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm que contiene un tutorial de Geometría plana elemental. http://platea.pntic.mec.es/%7eablanco/gi/index.htm es un sitio en el que puedes interactuar manipulando las figuras y observando cómo se ubican los diferentes elementos, rectas notables de triángulos construcción, etc. Te lo recomendamos ampliamente. http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-triangulos.htm Formularios, tablas y constantes matemáticas. Programas de televisión educativa De la serie de programas de televisión educativa para apoyar la Asignatura de Matemáticas 2 te recomendamos observar los siguientes para profundizar en los contenidos que revisarás: Programa 1.- Área, volumen y unidades de medición Este programa te ayudará a entender algunos de los conceptos básicos y aplicaciones de la Geometría y del Sistema Métrico Decimal. Programa 2.- Longitud y generación de curvas Los contenidos de este programa tienen como propósito que aprendas a identificar los tipos básicos de curvas, a conocer los métodos de medición de curvas y sus aplicaciones así como el surgimiento de la geometría fractal. Programa 7.- La recta. El programa de televisión educativa “La recta” te ayudará a conocer las formas para medir la pendiente de una recta y la función de los triángulos dentro de la medición de una recta. Te invitamos a observarlo con atención en tu Centro de Servicios Programa 8.- “Clasificación del triángulo” El triángulo tiene múltiples y varios usos en la vida cotidiana. Para conocer más de este tema te invitamos a observar el programa de televisión educativa “Clasificación del triángulo” Programa 9.- “Medición de ángulos y lados del triángulo” ¿Te cuesta trabajo entender que es el “seno” o el “coseno” de un ángulo? ¿Cuál fue la mayor aportación de Pitágoras a las Matemáticas? Estas y otras preguntas podrás contestarlas al observar el programa de televisión educativa “Medición de ángulos y lados del triángulo”.

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¿Cómo aprendo? Iniciamos el estudio de los temas de esta primera Unidad haciéndote las recomendaciones siguientes: • Consigue un cuaderno de cuadrícula y un juego de geometría (escuadras, compás y transportador) para que realices todos los trazos que se piden en las actividades. Esto te será de mucha utilidad para lograr aprendizajes efectivos. • Consulta a tu Asesor para resolver las dudas que puedan surgirte y en un ambiente cordial y de respeto, trabaja con tus compañeros las actividades que te sean asignadas. La finalidad es que el grupo se vuelva una comunidad de aprendizaje.

1.1. ÁNGULOS EN EL PLANO Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos relacionados con ángulos en el plano, mediante la identificación, clasificación y medición de los mismos.

1.1.1. Definición de ángulo Investiga en la bibliografía a tu alcance la definición de ángulo y anótala en las líneas siguientes. Acompaña la definición con un esquema que muestre los elementos de un ángulo y la forma de nombrarlos. 10

Un ángulo es: _______________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

Esquema de un ángulo, sus elementos y su notación

Tomando como referencia los puntos, traza los ángulos que se solicitan: C A

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