Matemáticas III: Geometría Euclidiana y Trigonometría Semestre: Tercero Asignatura: Geometría Euclidiana y Trigonometría Tipo: Curso Horas por semestre: 80 horas Horas por semana : 5 horas Créditos: 8 (ocho) Horas teoría/sem: 3 Horas práctica/sem: 1 Horas de lab/sem: 1 Introducción En general, la forma de todo lo que nos rodea tiene que ver con la geometría, puntos y líneas modelan y definen figuras que la naturaleza ha creado y también las creadas por el hombre. Este fue el motivo por el cual las antiguas culturas, desarrollaron estudios sobre esos elementos y figuras geométricas. En la Geometría Euclidiana el razonamiento deductivo se antepone al inductivo como resultado de la certeza de lo propuesto, pues hay que demostrar lo que se afirma para poder aplicar en casos particulares lo generalmente demostrado. La Geometría Euclidiana por sí misma no es la solución, sin embargo, puede mostrarnos la manera de pensar de forma adecuada. De esto, se tiene la posibilidad de razonar ante una problemática adversa, concibiendo estrategias de solución que puede facilitarnos la existencia. El estudio de la Geometría Euclidiana aporta al individuo un método deductivo que le permite no sólo el trabajo en trazar figuras geométricas sino el razonamiento para justificar sus aseveraciones. Es decir, partir de lo concreto y poder concluir en lo abstracto validando así sus afirmaciones. Por otro lado, la trigonometría, como complemento de la geometría, permite el estudio de las propiedades en figuras geométricas elementales que son de aplicación en la vida cotidiana. Justificación El poner al estudiante en contacto con el método deductivo se orienta a lograr que todo bachiller haya visto, entendido y practicado en casos sencillos la forma en que la matemática valida sus proposiciones, ya que esta forma de razonamiento no sólo es útil en las matemáticas. La Geometría Euclidiana debe estudiarse para que el estudiante se enfrente con este método, no se pretende que el estudiante deba conocer profundamente un desarrollo axiomático, sino algunas deducciones que se puedan hacer suponiendo algunos hechos como conocidos. La Geometría Euclidiana también debe estudiarse para resolver problemas, además de que deben verse los temas necesarios para el estudio de la Trigonometría y de la Geometría Analítica.

El crecimiento que se da en el estudio de la Trigonometría posterior al de la secundaria va encaminado a la introducción de las funciones trigonométricas, proporciona bases para el curso de Geometría Analítica, Cálculo y para la resolución de ciertos problemas de otras materias como Física, Química, Formación Estética, etc. La materia de Matemáticas III es la tercera de un conjunto de seis que conforman el Eje Matemático del Mapa Curricular, sus antecedentes son las asignaturas de Matemáticas I y II (que corresponden al Álgebra) donde se considera que los estudiantes aprendieron las bases algebraicas para continuar sus estudios en esta parte de la matemática, donde adquirieron el lenguaje matemático que les permita plantear y resolver problemas más complejos y más cercanos a su vida diaria. Durante el curso se consolidan y se diversifican los aprendizajes y desempeños adquiridos, ampliando y profundizando los conocimientos, habilidades, actitudes y valores relacionados con el campo de las matemáticas. Las materias del Plan de Estudios mantienen una relación transversal y longitudinal entre sí, que desde el enfoque por competencias reitera la importancia de promover el trabajo colaborativo y situacional, conforme se presentan los hechos reales en la vida cotidiana. Es por esto que, todas las matemáticas de esta currícula son fundamentales para la interrelación de las materias de otros Ejes, en este caso con Física (en unidades como: Mecánica, Óptica, Acústica, etc.). Además, constituyen un apoyo para las Ciencias Sociales como en Formación Estética e Informática. Todas las asignaturas contribuyen al desarrollo de las competencias genéricas y cada una tiene participación específica. En particular, Matemáticas III contribuye a lograr el desarrollo de las distintas competencias; cuando el estudiante se autodetermina y cuidad de sí, al enfrentar las dificultades que se le presentan para plantear y resolver un problema presentado en clase; toma decisiones de acuerdo al resultado obtenido y expresa sus ideas utilizando las distintas representaciones con las que cuente y eligiendo el lenguaje e instrumentos adecuados para esto. El estudiante piensa crítica y reflexivamente, construye hipótesis, diseña y aplica modelos lineales y cuadráticos de una o más ecuaciones; aprende de forma autónoma cuando revisa sus procesos de construcción del conocimiento matemático y los relaciona con su vida cotidiana, trabaja de forma colaborativa al aportar, sus puntos de vista, sus ideas, sus soluciones para resolver un problema o ejercicio matemático. Las competencias tanto disciplinares como genéricas forman parte del perfil de egreso de nuestra Escuela de Bachilleres; en este semestre los estudiantes continúan desarrollando capacidades y habilidades básicas como la del razonamiento matemático, el uso adecuado del lenguaje y su capacidad lectora; por lo que la educación que se imparte en la aulas debe proporcionar recursos, herramientas y actitudes adecuadas que les permitan, a los egresados, participar en esta sociedad del conocimiento ya sea incorporándose al siguiente nivel educativo o en su caso al ámbito laboral.

Objetivo general Al finalizar el curso el alumno comprenderá los conceptos y resultados fundamentales de la Geometría Euclidiana y de la trigonometría sobre triángulos en relación con paralelismo, congruencia, semejanza y las funciones trigonométricas. Se espera que el alumno relacione el conocimiento teórico con la aplicación práctica de los criterios de semejanza y trigonometría para que confirme la validez de lo aprendido en el aula. Competencias genéricas Se autodetermina y cuida de sí 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Atributos: 

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.



Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.



Administra los recursos disponibles teniendo en cuenta las restricciones para el logro de sus metas.

Se expresa y comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Atributos: 

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.



Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue.



Identifica las ideas clave en un texto o discurso oral e infiere conclusiones a partir de ellas.



Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Atributos: 

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.



Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.



Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.



Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Aprende de forma autónoma 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Atributos: 

Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimiento.



Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor interés y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstáculos.



Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Atributos: 

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

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Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.



Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias disciplinares Las competencias que a continuación se enuncias buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente. 1. Propone, formula, define y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 2. Argumenta la solución obtenida de un problema mediante el lenguaje verbal y matemático. Contenido general El curso de Matemáticas III está dividido en dos unidades: Geometría Euclidiana y Trigonometría. Para dar una idea de los pesos específicos que se consideran para cada una de ellas se propone que, si el semestre consta de al menos ochenta horas de clase, cuarenta se dediquen a Geometría Euclidiana y cuarenta a Trigonometría. Con la propuesta que a continuación se presenta será necesario que el profesor diseñe sus estrategias de enseñanza para lograr efectivamente los propósitos de aprendizaje aquí planteados. Asimismo, le sugerimos apoyarse en el laboratorio con programas computacionales como el Cabri, Geogebra o Geometra para la Unidad I y el Graphmatica para la Unidad II. Se insiste en que la enseñanza debe ser, siempre que sea posible, a través de problemas y se aclara que por un problema, se entiende una situación nueva para el estudiante que tenga que resolver, este puede ser de la Matemática misma o una aplicación de la Matemática. Propuesta metodológica Esta asignatura está organizada en dos unidades de aprendizaje, con el objeto de facilitar la formulación y/o resolución de situaciones o problemas de manera integral en cada uno, y de garantizar el desarrollo gradual y sucesivo de distintos conocimientos, habilidades, valores y actitudes, en el estudiante. A continuación se desglosan los temas de Matemáticas III con algunas sugerencias metodológicas y sobre la profundidad con que debieran ser desarrollados.

Contenidos Unidad I. Geometría Euclidiana (40 horas) Los propósitos principales del estudio de la Geometría Euclidiana en este nivel son:  que el alumno haga construcciones geométricas con regla y compás;  que distinga, al leer una proposición o teorema, las hipótesis y la conclusión;  que verifique con regla y compás un teorema de Geometría Euclidiana;  que se acerque al método deductivo de la matemática;  se considera que la Geometría Euclidiana es un gran lugar para ejemplificar lo que es una demostración y que el alumno entienda los pasos que la componen;  efectúe algunas demostraciones sencillas y entienda, algunas otras más complicadas;  adquiera los elementos y el lenguaje necesario para estudiar después Trigonometría y Geometría Analítica. Es indispensable, además de formativo, hacer obligatorio que el alumno acuda a las clases donde se vean construcciones con regla y compás con los instrumentos necesarios para que pueda trabajar, como son: tabla para apoyarse, regla sin graduación, compás de precisión, lápiz adecuado, goma, sacapuntas y papel blanco. La forma en que se propone llevar a cabo esta parte del curso es la siguiente: Plantear a los alumnos un problema de la Geometría Euclidiana que resulte interesante para ellos. Aquí mencionamos tres teoremas cuya demostración no es trivial, lo hacemos a modo de ejemplo y el planteamiento sería pedir la verificación y demostración de uno de ellos al que llamaremos meta. La idea es desarrollar posteriormente los conceptos necesarios para poder llegar a verificarlo con regla y compás y demostrarlo. Los tres teoremas son: Teorema 1. Triángulo de Napoleón (ver anexo). Teorema 2. Circunferencia de los Nueve Puntos (ver anexo). Teorema 3. Poliedros Regulares (ver anexo). Una vez marcada la meta, se empezará con construcciones con regla y compás. Hay que tener cuidado de que a medida que se avance se compruebe si los términos usados son conocidos por los estudiantes, de no ser así habrá que introducirlos. Se verán construcciones básicas como son: bisectriz de un ángulo; mediatriz de un segmento; perpendicular a una recta dada que pasa por un punto dado; recta paralela a una recta dada que pasa por un punto dado; copiado de un ángulo, etc.

Se enunciarán algunos teoremas y se pedirá que se verifiquen con regla y compás, por ejemplo: las bisectrices en un triángulo son concurrentes; las alturas de un triángulo son concurrentes, las medianas en un triángulo son concurrentes, las mediatrices en un triángulo son concurrentes; un ángulo que subtiende un diámetro es recto. Se terminará verificando el teorema que se haya enunciado como meta. Es importante señalar que se pretende que el estudiante además de adquirir la destreza para operar con estos instrumentos, entienda los elementos que componen una proposición y distinga las hipótesis y la conclusión. Habrá que hacer ver que verificar no es demostrar, pues depende de la figura, de los instrumentos, etc. y hacer ver en consecuencia la necesidad de la demostración. Los programas de geometría dinámica han abierto nuevas posibilidades para la geometría. La principal novedad es que las figuras dejan de se estáticas y saltan a la pantalla de la computadora para presentarse en forma de animaciones para que podamos observarlas desde distintos puntos de vista. Pero no es sólo el movimiento de las figuras lo que les proporciona interés para el aprendizaje de las matemáticas, lo realmente innovador es que los diseños pueden ser concebidos para que podemos modificar ciertos parámetros en la construcción y comprobar los efectos de nuestros cambios. Cabri Géometre, Geometra y Geogebra son programas de geometría con una serie de características que lo han ido convirtiendo en un recurso muy especial para las clases de matemáticas de este nivel. Para esta parte es recomendable llevar a cabo las nueve primeras Practicas con las que se cuenta en el Manual para esta materia. En el salón de clases se continúa hablando sobre los postulados, definiciones, teoremas, lemas, corolarios, hablar sobre los postulados de Euclides. Se hará un estudio sobre triángulos, se verán algunos resultados sobre triángulos congruentes y semejantes, se hará hincapié en razones y proporciones, aquí se puede hablar sobre la razón áurea. Es importante mencionar que algunos de estos temas fueron estudiados en secundaria sin demostración y que incluso debieron haber visto demostraciones del Teorema de Pitágoras, por lo que hay que hacer participar al estudiante activamente. No es necesario demostrar absolutamente todos los teoremas que se enuncien, la elección, de cuáles sí y cuáles no, queda a cargo del profesor que con su experiencia y sensibilidad irá marcando un ritmo y una profundidad de acuerdo al grupo con el que esté trabajando. Por ejemplo, se puede demostrar aquí que las bisectrices en un triángulo concurren y después, en Matemáticas IV (Geometría Analítica), probar que las medianas en un triángulo concurren. Se terminará este tema trabajando con polígonos en general.

Se hablará de los ángulos y sus medidas en grados y en radianes para después hacer un estudio de la circunferencia. Se estudiarán teoremas sobre: ángulos en la circunferencia, tres puntos no colineales determinan una circunferencia, puntos concíclicos, rectas secante, radio, diámetro, tangente y se puede empezar a introducir el concepto de límite para ver la tangente a una circunferencia como un caso límite. En esta unidad se finaliza con los teoremas necesarios para llegar a la demostración del teorema meta. Unidad II. Trigonometría (40 horas) El estudio de la Trigonometría se inició en tercero de secundaria, únicamente se han visto razones trigonométricas y se han aplicado a la solución de problemas. Aquí se pretende avanzar hacia las funciones trigonométricas, hacer un análisis de ellas, de sus gráficas y aplicaciones en la resolución de ecuaciones trigonométricas y adquirir los conocimientos y el lenguaje necesarios para otros cursos como Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e Integral y Física. Se inicia recordando las definiciones de razones trigonométricas para resolver los primeros problemas que involucren resolución de triángulos rectángulos y hay que revisar las razones trigonométricas de ángulos especiales (30º, 45º, 60º y sus múltiplos). Para la resolución de triángulos oblicuángulos se aborda la ley de los senos y ley de los cosenos. Se introducirán ángulos positivos y negativos así como ángulos coterminales para hablar del círculo trigonométrico y dar las definiciones de las funciones trigonométricas. Se estudian los signos de estas funciones en cada cuadrante y se inicia un análisis de los intervalos de valores de las mismas. Se enlistan las identidades trigonométricas usuales. Se demuestran a manera de ejemplo algunas de ellas y se ven sus aplicaciones. Se estudian las funciones trigonométricas compuestas para hablar de frecuencia y amplitud, tales como y  4  2 sec3x    .

El utilizar el Laboratorio de Matemáticas en esta parte es de gran ayuda, ya que permite visualizar las graficas de las funciones trigonométricas y sus propiedades así como trabajar con graficas de funciones compuestas, en particular se debe llevar a cabo la práctica diez del Manual.

Contenido programático por unidad Unidad I. Geometría Euclidiana                       

Puntos, rectas, segmentos y rayos Definición de ángulo y triángulo Copiar un segmento, un ángulo y un triángulo dado Bisecar un ángulo dado Construcción de una paralela a una recta dada Dividir un segmento en n partes iguales. Construir el punto medio de un segmento dado Construir una perpendicular a una recta dada. Construir la mediatriz de un segmento Construcciones de puntos y líneas importantes en un triángulo Construcción del teorema – meta. Concepto de congruencia. Congruencia de triángulos. Postulados Demostraciones. Razones y proporciones. Concepto de semejanza. Semejanza de triángulos. Postulados Demostraciones. Solución de problemas con aplicación de los conceptos de congruencia y semejanza. Polígonos (clasificación y teoremas acerca de polígonos) Circunferencia (radio, diámetro, tangente, etc.) Tipos de ángulos dentro de la circunferencia Teoremas en la circunferencia.

Unidad II. Trigonometría 

Ángulos  Positivos, negativos y coterminales  Unidades y sus conversiones  Razones trigonométricas  Razones trigonométricas  

Valores exactos de las razones trigonométricas en 0 ,  ,  ,  ,  y sus múltiplos

Triángulo rectángulo  Resolución de triángulos rectángulos.  Problemas de aplicación.

6 4 3 2



Triángulo oblicuángulo  Resolución de triángulos utilizando Ley de Senos  Resolución de triángulos utilizando Ley de Cosenos  Planteo y resolución de problemas de aplicación  Funciones trigonométricas  Concepto  Gráfica de funciones trigonométricas simples  Gráficas de funciones trigonométricas compuestas  Identidades trigonométricas  Ecuaciones Trigonométricas

Evaluación y acreditación La evaluación del aprendizaje es inherente al proceso educativo, por lo que su diseño debe verse como un componente aparte; ya que a través de aquella se emite un juicio de valor respecto a los aprendizajes desarrollados por el estudiante, con base en los parámetros establecidos en los programas de estudio. Sobre la evaluación se señala lo siguiente: 1. La evaluación debe ser continua y además de darle un peso para la acreditación, debe diseñarse de tal manera que también permita ser una estrategia de enseñanza. 2. Bajo el enfoque por competencias, la evaluación del aprendizaje busca valorar (cualitativamente) el nivel de desarrollo de las competencias establecidas, las cuales integran un conjunto de saberes en un contexto determinado; organizados en unidades de competencias e indicadores de desempeño. Bajo este esquema se busca que los estudiantes tomen conciencia de sus logros y dificultades en el proceso de aprendizaje de tal manera que puedan corregirlos y superarlos; y que los docentes cuenten con información objetiva que le permita valorar la efectividad de las secuencias didácticas, recursos y/o materiales seleccionados, para estar en la posibilidad de retroalimentar constructivamente a cada uno de los involucrados respecto al nivel de desarrollo de las competencias alcanzado. 3. Cuando se habla de desarrollar competencias se tiene que hablar de evaluar desempeños en contextos reales lo que debe llevar a los estudiantes a realizar tareas no sólo algorítmicas o de planteamiento de problemas planteados en los libros sino más bien buscar la manera de realizar tareas que puedan embonar con sus otras actividades y de esta manera propiciar habilidades y conocimientos que utilicen en otros contextos, estas tareas pueden ser proyectos para una exposición escolar, presentaciones en el salón de clases utilizando las TIC’s, reportes de investigación, etc. Para la evaluación de estas tareas se recomienda la conformación de un portafolio de evidencias de aprendizaje que contenga aquellos productos de aprendizaje que permitan identificar el nivel de desarrollo de las competencias.

4. Se busca, mediante actividades de evaluación, que el alumno y el docente desarrollen procesos de reflexión crítica sobre si mismo y su manera de actuar y además que promueva la toma de decisiones para proseguir, conservar o transformar su actuar en su vida diaria. 5. Crear espacios de reflexión y discusión donde intervengan docentes, alumnos y la misma institución con la finalidad de mejorar la actividad de evaluación. 6. El profesor debe recomendar el uso de los bancos de reactivos de la academia con la finalidad de que el alumno aplique los conocimientos adquiridos y desarrolle habilidades, aptitudes y destrezas en la resolución de ejercicios y problemas. Estos reactivos deben ser resueltos por los alumnos fuera del horario de clases. 7. Se propiciará trabajo colaborativo que permita al estudiante desarrollar los conocimientos, habilidades, valores, actitudes, colaboración, claridad de ideas, honestidad, tolerancia, respeto, compromiso con el trabajo que contribuyan al desarrollo individual y de la sociedad. 8. Las técnicas que se pueden utilizar son: a) observación (llevar registros de comportamiento, participación, desempeño, etc.); b) comprobación (pruebas orales, escritas, tareas, practicas de laboratorio, etc.); c) proyectos (investigación, trabajo en equipo, presentaciones, etc.); d) entrevistas, encuestas, etc. 9. Las rúbricas y listas cotejo se utilizan para recopilar la información generada por las técnicas de evaluación realizadas durante el periodo. En cuanto a la acreditación: 1. La calificación mínima aprobatoria de 6 (seis) 2. La asistencia igual o mayor al 80%, así como el 80% en trabajos entregados, es requisito indispensable para tener derecho a presentar los exámenes parciales. En relación a las prácticas de laboratorio el alumno debe cubrir al menos el 80% de las prácticas realizadas durante el curso. 3. Los exámenes parciales se realizan por lo regular dos días después de finalizar la unidad correspondiente.

4. Las dudas generales del curso, se resolverán tanto en clase como en asesorías. 5. Para exentar la materia deberá de tener un promedio numérico mínimo de 8 (ocho) siempre y cuando todos los parciales estén acreditados. 6. Para presentar el examen final, el alumno deberá de contar con al menos el 80% de asistencias de las sesiones programadas según el calendario escolar. 7. Un examen con fines de acreditación debe incluir problemas, ejercicios y preguntas teóricas que relacionen conceptos y aplicaciones. En el caso de trabajos de investigación, se evaluarán los contenidos, la puntualidad de la entrega, la presentación, la ortografía y la limpieza del mismo. Bibliografía

MOISE - DOWMNS, Moise. 2003. Geometría Moderna. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana FUENLABRADA, S. 1994. Geometría y Trigonometría. España. Ed. McGraw-Hill. BALEY – SARELL. 2004. Trigonometría. México. Ed. McGraw-Hill. ORTIZ, Campos Francisco.2005. Matemáticas geometría y trigonometría. México. Ed. Grupo Patria Editorial Para la parte computacional: Paquetes: Graphmatica, Geogebra, Geometra y Cabri. Manual de Prácticas de Laboratorio: Geometría y Trigonometría. Academia de Matemáticas de la Escuela de Bachilleres UAQ. 2009.

Anexo Teorema 1 (Circunferencia de los 9 puntos). Los puntos medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices al ortocentro de un triángulo cualquiera son concíclicos (están en una misma circunferencia).

Demostración. Sea H el ortocentro del  ABC. Sean L, M y N los puntos medios de BC, CA y AB, respectivamente; sean D, E y F los pies de las alturas de BC, CA y AB, respectivamente; y sean P, Q, y R los puntos medios de los segmentos BH, CH y AH, respectivamente. Sea c la circunferencia que pasa por L, M y N. El cuadrilátero LMND es un trapecio isósceles: LM = ND ya que cada uno es igual a la mitad de AB. Dicho trapecio es concíclico por lo que D está sobre c. Análogamente para E y F. Si P es punto medio de BH, al considerar el  ABC y al unir P con L se tiene CH es paralela a PL (ambos son puntos medios) y como HC es perpendicular a AB, también HC es perpendicular a LM. Luego MLP=  /2, por lo que P está en c. Análogamente para Q y R .

Corolario 1. El centro de la circunferencia de los nueve puntos es el punto medio del segmento que une al ortocentro y el circuncentro. Demostración. Sea O el circuncentro del

 ABC,

O es el ortocentro del

 LMN y dado que

 ABC es semejante al  LMN con una razón de semejanza 2, se obtiene que BH=2OM. Luego, PH es igual a OM, y como son paralelos se tiene que PHOM es un paralelogramo. Como las diagonales de un paralelogramo se intersectan en el punto medio, se obtiene que HO y PM se intersectan en el punto medio, el cual es el centro de la circunferencia de los nueve puntos ya que PM es diámetro . Corolario 2. El ortocentro, el circuncentro, el centroide y el centro de la circunferencia de los nueve puntos son colineales. La línea a la cual pertenecen es conocida como Línea de Euler. Demostración. Sea G la intersección de BM con HO. Dado que BH es paralela a OM se obtiene que

 BHG es semejante al  MOG y como BH = 2OM, se tiene que BG=2GM. Luego, G es el centroide ya que BM es mediana y G es su punto de trisección. 

Teorema 2. (Triángulo de Napoleón). Sea ABC un triángulo, sobre cada lado de éste, constrúyase un triángulo equilátero exterior al triángulo y de lados iguales al lado considerado entonces el triángulo cuyo vértices son los circuncentros de los triángulos construidos es un triángulo equilátero el cual se llama el Triángulo de Napoleón del triángulo dado.

Demostración. Sean L, M, N puntos tales que los triángulos,

 ABL,  ACM y  BCN son

 BCN equiláteros. Sean E,F,G los circuncentros de los triángulos,  ABL,  ACM y respectivamente. Sea H el punto de intersección distinto de A de la circunferencia circunscrita del  ABL con la circunferencia circunscrita del  ACM. El ángulo  BLA = 60° porque el  ABL es equilátero, luego BHA= 120°. Análogamente, se tiene  CHA = 120° y como BNC = 60° entonces B,H,C,N son concíclicos. Por lo que la circunferencia circunscrita del  BCN pasa por H. Sean S y T la intersecciones de BH y EG y de AH y EF respectivamente, BH es perpendicular a EG lo cual implica que ESH = 90°. Similarmente  ETH = 90°. Por lo tanto SET = GEF = 60°. Análogamente EFG = FGE = 60°.

A B

C

Teorema 3. Poliedros Regulares. Supóngase que el tetraedro, el octaedro, el icosaedro, el cubo y el dodecaedro son poliedros convexos regulares entonces no puede haber otros poliedros convexos regulares distintos de ellos. Demostración: En un vértice de un poliedro convexo deben de incidir por lo menos tres caras y el ángulo poliedro que se forma es menor que 360°, por lo que procedemos de la siguiente manera: 1°. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, por lo que sólo pueden formarse ángulos poliedros juntando tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros, ya que para seis su suma es de 360°, por lo que no hay poliedros convexos regulares de caras triangulares distintos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro. 2°. Puesto que cada ángulo de un cuadrado mide 90°, puede formarse un ángulo poliedro sólo con tres cuadrados, por lo que el único poliedro convexo regular que se puede formar con caras cuadradas es el cubo. 3°. Para un pentágono regular se tiene que cada uno de sus ángulos mide 108° y sólo puede formarse un ángulo poliedro con tres pentágonos, por lo que el único poliedro convexo regular que se puede formar con caras pentagonales es el dodecaedro. 4°. Para polígonos regulares con más de cinco lados se tiene que la suma de tres veces la medida de sus ángulos es mayor o igual que 360°, por lo que no pueden haber poliedros convexos regulares cuyas caras sean cualquiera de esos polígonos. Luego, el teorema se sigue.