Matemáticas I

Expresiones Algebraicas y Funciones

Módulo 1 2021

Oficina de Educación

Virtual USTA

Matemáticas I

Módulo 1 Expresiones Algebraicas y Funciones

Autores Marcos Alejo Sandoval Serrano Javier Fernando Pineda Gachama

2021

Oficina de Educación

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DIRECTIVOS SANTO TOMÁS fr. José Gabriel Mesa Angulo, O.P. Rector General fr. Eduardo González Gil, O.P. Vicerrector Académico General fr. Wilson Fernando Mendoza Rivera, O.P. Vicerrector Administrativo y Financiero General fr. Javier Antonio Castellanos, O.P. Decano División de Educación Abierta y a Distancia Carlos Eduardo Balanta Reina Decano Facultad de Ciencias y Tecnologías AUTOR DISCIPLINAR División de Educación Abierta y a Distancia Facultad de Ciencias y Tecnologías Administración de empresas Abril 14 de 2021 Matemáticas I Módulo1: Expresiones Algebraicas y Funciones Autores: Marcos Alejo Sandoval Serrano Javier Fernando Pineda Gachama ASESORÍA Y PRODUCCIÓN Mg. Carlos Eduardo Álvarez Martínez Coordinador Oficina de Educación Virtual Mg. Wilson Arley Sánchez Pinzón Asesor tecnopedagógico, corrector de estilo y diseñador instruccional Prof. Diego Fernando Jaramillo Herrera Diseñador gráfico Oficina de Educación Virtual Universidad Santo Tomás Sede Principal - Bogotá

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Expresiones Algebraicas y Funciones

Módulo 1

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Contenido del Módulo 1 Problematización - Situación de aprendizaje - Contexto

2

Preguntas orientadoras

3

Análisis instruccional (Síntesis de contenido)

4

Introducción – Presentación

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1. Expresiones Algebraicas

7

1.1 Polinomios

8

1.2 Factorización

8

1.3 Simplificación de expresiones Algebraicas

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1.4 Solución de ecuaciones

11

2 . Funciones

12

2.1 Definición de función

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2.2 Tipos de funciones

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2.3 Construcción de gráficas de funciones

21

2.4 Funciones a Trozos o por sub intervalos

22

2.5 Composición de funciones

23

2.6 Traslación y reflexión de funciones

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2.7 Actividades de autoaprendizaje

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Bibliografía / Webgrafía

34 Páginas

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Problematización Situación de aprendizaje – contexto Un modelo es una cosa que se parece a la cosa. Una persona se suele modelar con un maniquí (para el vendedor de ropa) con una foto (para quien comenta y guarda recuerdos) por un cerdo (para quien estudia medicina y quiere abrir un corazón). De forma semejante, en administración y economía se modelan situaciones mediante expresiones matemáticas, se pueden usar diferentes formas de representación que permitirán describir, analizar y proyectar lo que ocurre o está por ocurrir. Los ingresos, egresos y costos de productos se pueden asociar a modelos matemáticos para facilitar su análisis y no caer en resultados de solo ensayo y error. Las formas de representación de una función pueden dar diferentes tipos de vista para facilitar el análisis y modelación de situaciones.

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Preguntas orientadoras Teniendo en cuenta, las necesidades de modelar situaciones socioeconómicas que resuelvan problemas de demanda, oferta e interés para las empresas, se proponen las siguientes preguntas orientadoras: ¿Cuál es el aporte de las ciencias en el desarrollo del pensamiento para aplicarlo en la elaboración de modelos para resolver problemas de la realidad? ¿Cómo resolver situaciones problémicas mediante el tratamiento de información digital?

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Análisis Instruccional (Síntesis de contenido) 1. Expresiones Algebraicas 2. Funciones Módulo 1. Expresiones Algebraicas y funciones 1. Expresiones Algebraicas 1.1 Polinomios 1.2 Factorización 1.3 Simplificación de expresiones Algebraicas 1.4 Solución de ecuaciones

2. Funciones 2.1 Definición de función 2.2 Tipos de funciones 2.3 Construcción de gráficas de funciones 2.4 Funciones a Trozos o por sub intervalos 2.5 Composición de funciones 2.6 Traslación y reflexión de funciones 2.7 Actividades de autoaprendizaje

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Introducción – Presentación Bienvenido estimado estudiante, a continuación, se presentan las temáticas y desarrollo del módulo 1 del espacio académico Matemáticas I, desde este módulo se abordan temáticas relacionadas con expresiones algebraicas y funciones. Como diría Galileo “El universo está escrito en lenguaje matemático'', para entender el mundo en el que habitamos y las tendencias futuras, es conveniente identificar y crear leyes las cuales están asociadas con ecuaciones y funciones. En la primera parte se trabajará con las expresiones algebraicas identificando operaciones básicas y solución de ecuaciones. Posteriormente se pasa al estudio funcional en el cual se verifican diferentes formas de representarlas.

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Conceptualización y problematización 1. Módulo 1. Expresiones Algebraicas y funciones Por Marcos Alejo Sandoval & Javier Pineda Previo al trabajo de este módulo, y según resultados de evaluación diagnostica realizado por los programas, se recomienda que estudiantes que requieran fortalecer las bases matemáticas exploren los 5 OVA disponibles en https://cienciasbasicas.usta.edu.co/index.php/servicios-academicos/neotomasin os-video-y-material-de-trabajos

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1. Expresiones Algebraicas El álgebra es la parte de las matemáticas que trata de cantidades en general, representadas por medio de letras o variables. Por expresión algebraica entenderemos una combinación de letras y números ligados por signos de operaciones. Las expresiones algebraicas permiten modelar algunas relaciones entre objetos y medidas de la vida real, ejemplo: Longitud de la circunferencia: L =2πr, donde r es el radio de la circunferencia Ingreso: I=pq , donde p es el precio unitario y q el número de unidades. El doble de un número: 2x , donde x es el número inicial.

1.1 Polinomios Un polinomio en una variable es una expresión de la forma

donde a_0,a_1,…,a_n son números reales, y n es un entero no negativo. Si a_n≠0, entonces el polinomio es de grado n. Los monomios, son expresiones de la forma a_k x^k . Cada monomio que conforma el polinomio recibe el nombre de términos del polinomio. Ejemplo:

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Suma y resta de polinomios Se usan las propiedades de los números reales, se combinan los términos semejantes. Ejemplo1:

Multiplicación de expresiones Algebraicas Para determinar el producto de polinomios o de otras expresiones algebraicas, es conveniente utilizar repetidamente la propiedad distributiva y las leyes de los exponentes. Ejemplo 1:

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Productos Notables Son los productos que se presentan con mucha frecuencia. Se puede verificar las fórmulas al realizar las multiplicaciones y simplificar:

1.2 Factorización La factorización de polinomios es de utilidad para solución de ecuaciones y problemas de aplicación. También será de utilidad en el cálculo de límites y determinación de valores extremos de módulo 2. Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios. Algunos de los casos de factorización:

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La factorización de polinomios es de utilidad para solución de ecuaciones y problemas de aplicación. También será de utilidad en el cálculo de límites y determinación de valores extremos de módulo 2.

1.3 Simplificación de expresiones Algebraicas Simplificar la expresión consiste en escribirla de la forma más sencilla posible. Normalmente factorizamos y simplificamos para simplificar las expresiones. Las reglas de manejo en expresiones racionales (cocientes de polinomios) son semejantes a las reglas de manejo de fraccionarios

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1.4 Solución de ecuaciones Entendiendo una ecuación como la igualdad de dos expresiones algebraicas, solucionar una ecuación es encontrar el o los valores de las variables en los cuales la igualdad se cumple.

12. https://www.youtube.com/watch?v=EKA-ckveWGs

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Para solución de ecuaciones cuadráticas, puedes usar la fórmula cuadrática o factorización.

Por fórmula cuadrática

Por factorización Se factoriza la expresión y se identifica el o los valores en los cuales los factores valen cero.

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2. Funciones 2.1 Definición de función La función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos a través de la cual cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto. Al primer conjunto se le suele llamar dominio y al segundo conjunto o de llegada se le suele llamar codominio o rango. La palabra función fue introducida en matemáticas por Leibniz, que utilizaba ese término para designar cierto tipo de fórmulas matemáticas. Para (Apóstol, 1988), define función como una correspondencia que asocia a cada objeto de un conjunto X uno y sólo un objeto de un conjunto Y, y da la siguiente definición: “Una función f es un conjunto de pares ordenados (x, y) ninguno de los cuales tiene el mismo primer elemento”. Si f es una función, el conjunto de todos los elementos x que aparecen como primeros elementos de pares (x, y) de f se llama el dominio de f. El conjunto de los segundos elementos y se denomina recorrido de f, o conjunto de valores de f. Es costumbre escribir y=f(x) en lugar de (x, y) f para indicar que el par (x, y) pertenece al conjunto f. Para (Stewart, 2008), una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto E. A menudo, se consideran funciones para las cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. El conjunto D se llama dominio de la función. El número f(x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x), conforme x varía en todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se llama variable dependiente. En tanto (Zill, 2011) define; Una función de un conjunto X en un conjunto Y es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x en X exactamente un elemento y en Y. Plantea que las funciones suelen denotarse por una letra f, g o h. Entonces se puede representar una función f de un conjunto X en un conjunto Y por medio de la notación f: X Y. Las funciones se representan de varias formas: Módulo 1

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• Analítica, es decir, por medio de una fórmula como f(x)=x2 • Verbal, es decir mediante una descripción con palabras • Numérica, es decir, mediante una tabla de valores numéricos • Visual, es decir, con una gráfica El dominio de una función f es el mayor subconjunto del conjunto de números reales para los que f(x) es real.

2.2 Tipos de funciones Algunas de las funciones que se utilizan en matemáticas se describen a continuación: Función constante; una función cuyo recorrido consta de un solo número se llama función constante. En la figura 2 se muestra un ejemplo, en donde f(x)=2 para todo x real. La gráfica es una recta horizontal que corta al eje y en el punto (0, 2).

Ilustración 1, La función constante

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Función Lineal: Una función g definida para todo real x mediante una fórmula de la forma g(x)=mx+b se llama función lineal porque su gráfica es una recta. El número b es la ordenada en el origen, es la coordenada y del punto (0, b) en el que la recta corta al eje y. El número m es la pendiente de la recta. Un ejemplo g(x)=2x+1 se muestra en la figura 2

Ilustración 2; La función lineal

Funciones Potenciales: Para un entero positivo n, sea f la función definida por f(x)=xn para todo real x. Cuando n=1, ésta es la función identidad. Para n=2 la gráfica es una parábola, ver figura 3. Para n=3 la gráfica es una curva que se puede ver en la figura 4

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Ilustración 3; Función cuadrática

Ilustración 4; Función cúbica

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Funciones polinómicas; Una función polinómica P es la definida para todo real x por una ecuación de la forma

Los números c0, c1, c2,…,cn son los coeficientes del polinomio y el entero no negativo en su grado. Quedan incluidas en este tipo, las funciones constantes y las potenciales. Los polinomios de grados 2, 3 y 4 se denominan polinomios cuadráticos, cúbicos y cuadráticos respectivamente. La figura 6, presenta la gráfica de una función polinómica cuadráticos dada por P(x)=x4-2x2

Ilustración 5; Función polinómica de grado 4

Función exponencial; Una función exponencial y=f(x) tiene la forma f(x)=ax, el número a se llama base y x es el exponente. La base se restringe a números positivos, para garantizar que ax siempre sea un número real. El dominio de una función exponencial es el conjunto de todos los números reales (-∞, ∞). En la figura 7, se presenta la gráfica de la función exponencial f(x)=2x . Cuando en una función exponencial se cambia la base a por la base e, la función se transforma en f(x)=ex y se llama función exponencial natural

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Ilustración 6; Función exponencial

Función logarítmica; la función logarítmica con la base b>0, b≠1, se define por y=logb x si y sólo si x=by. El dominio de una función logarítmica y=logbx es el conjunto de los números reales positivos (0, ∞). En la figura 8, se presenta la gráfica de la función f(x)=log5x Los logaritmos con base b=10 se llaman logaritmos base 10 o logaritmos comunes y a los logaritmos con base b=e se les llama logaritmos naturales y se escriben como lnx, de modo que y=lnx si y sólo si x=e y . Es importante tener en cuenta las siguientes estructuras:

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Ilustración 7; Función logarítmica

Funciones trigonométricas; las funciones trigonométricas son importantes en cálculo, no sólo por su relación con los lados y los ángulos de un triángulo, sino más bien por las propiedades que poseen como funciones. Las seis funciones trigonométricas tienen en común una propiedad importante llamada periodicidad. Las funciones seno y coseno son periódicas de período 2π. Muchos problemas en ciencias tratan fenómenos periódicos (ondas, oscilaciones, movimiento planetario, señales electromagnéticas, etc.) y las funciones seno y coseno constituyen la base para el análisis matemático de tales problemas. En las figuras 8 y 9, se presentan las gráficas de las funciones seno y coseno

Módulo 1 Ilustración 8; Función seno

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Ilustración 9; Función coseno

2.3 Construcción de gráficas de funciones Por la gráfica de una función y=f(x), se entiende los puntos (x, y) que satisfacen la igualdad. Cuando la función es continua, una forma de bosquejar la gráfica es ubicar puntos y unir con una curva suave. Para el caso de la función cuadrática, en el siguiente vídeo se presenta una estrategia para graficar con el método de los 5 puntos:

https://www.youtube.com/watch?v=daPzXbcFATM

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Las gráficas de una función pueden ser de utilidad para estimar intervalos donde crece, decrece, tendencias y valores extremos. Para funciones que representan utilidad e ingresos puede ser de interés determinar valores máximos. Para funciones que representen costos pueden interesar determinar los valores mínimos Definiciones:

2.4 Funciones a Trozos o por sub intervalos En la vida real, se suelen aplicar reglas dependiendo de la situación o intervalo en el cual estemos ubicado. Ejemplo, en algunas ciudades si gastas menos de 10 metros cuadrados de agua te aplican una regla de cobro, pero si el consumo es superior se aplican otro valor por cada metro cuadrado de agua. Para los rendimientos que gana un CDT, los bancos pueden aplicar reglas diferentes, tasas de interés diferentes dependiendo del valor x que se desea invertir. Las funciones a trozos se presentan cuando existe una fórmula o ecuación para cada subintervalo. Ejemplo: Módulo 1

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2.5 Composición de funciones Sean f y g funciones, diremos que (fo g)(x)=f(g(x)) Donde el dominio de f o g estadía dado por todos los valores x en el dominio de g y cuyas imágenes g(x) están en el dominio de f.

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2.6 Traslación y reflexión de funciones Partiendo de funciones conocidas, se pueden generar nuevas funciones mediante desplazamientos, reflexiones, alargamientos o contracciones.

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2.7 Actividades de autoaprendizaje ACTIVIDAD 1; Relacionar la función dada con su recta y su respectiva pendiente:

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ACTIVIDAD 2; Relacionar la función dada con su gráfica, su dominio y su rango

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ACTIVIDAD 3: Ingresar al simulador programado en Scratch e intentar llegar al máximo nivel:

https://scratch.mit.edu/projects/287013148/

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Bibliografía / Webgrafía

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Bibliografía / Webgrafía

Apóstol, T. (1988). Cálculo con funciones de una variable. Bogotá: Reverté. Haussller, E., Paul, R., & Murrieta, J. (2015). Matemáticas para administración y economía. México: Pearson. Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable. México D. F.: Cengaje Learning. Zill, D. G. (2011). Cálculo de una variable. México D.F: McGraw-Hill.

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