ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 2. DERIVADAS DE FUNCIONES 2.1 Noción de derivada de una función en un punto. Sea una función y = f(x) , a partir de ella se puede definir otra función, y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x)", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas. Pero comencemos por la definición de derivada en un cierto punto, digamos x = xo , de la función y = f(x) es:

suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo ). A esta cantidad h se la llama "incremento de x", en muchas ocasiones se la suele representar como x (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa ("decremento"). (ATENCIÓN: Hemos dado la definición de la derivada en un punto , es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico. EJEMPLO 1: Para la función y = x² , vamos a hallar su derivada en cierto punto x=a. Según la definición de arriba tendremos:

Observe cómo hemos sustituido en f(a+h) su valor para este ejemplo, (a+h)² , así como en f(a) el valor correspondiente, a². Finalmente tenemos que hallar el consiguiente límite que por regla general suele tener la forma indeterminada 0/0, pero nosotros debemos operar en él para eliminar la indeterminación:

La derivada en el punto x=a de la función x² es 2a. Es decir, por ejemplo: f ' (2)= 2.2 = 4, f ' (3)= 2.3 = 6, f ' (4)= 2.4 = 8, etc.

Para la función y = x² , podemos decir que existe derivada en todos sus puntos, posteriormente se define la función derivada de y = x² como la función y' = 2 x. 2.2 Función derivada de una función. En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que su derivada es la función y ' = f '(x). Es decir, la función derivada de f(x) puede ser calculada mediante el límite:

EJEMPLO 2: Hallar la derivada de la función y = sin x. Aplicamos la fórmula de arriba para f(x) = sin x.

límite que en principio tiene la forma indeterminada 0/0, pero cuyo numerador puede ser desarrollado según la formula de la diferencia de dos senos (ver relaciones trigonométricas):

Por lo tanto:

donde hemos tenido en cuenta que:

En definitiva, la derivada de y = sin x es y ' = cos x .

2.3 Significado geométrico de la derivada en un punto. Supongamos una función y = f(x) , y consideremos un cierto punto x = xo .

A partir de ese punto xo, incrementamos la ordenada una pequeña cantidad h, llamada "incremento de xo" (también representado xo), y la función pasa de f(xo) a f(xo + h), entonces la función ha sufrido un incremento y en ese punto, equivalente a:

Fijémonos ahora en el triángulo rectángulo formado arriba por la recta secante a la curva (en azul) y las rectas punteadas, triángulo que reproducimos a la derecha algo más ampliado. En este triángulo, la hipotenusa es la recta PR dibujada en azul, mientras que sus catetos son los dos incrementos, y , x (en el punto xo). Por lo tanto al dividir el y entre el x , nos da la tangente del ángulo P (marcado en naranja):

se trata de la tangente que forma la recta secante que une los puntos de f(xo) y f(xo + h), ahora si hacemos tender h a 0, es decir, para desplazamientos h infinitesimales, esa recta secante se transforma en la recta tangente (dibujada en violeta), y el ángulo P se convierte en el  (en color rojo), entonces:

que es precisamente la derivada de y=f(x) en el punto xo. Geométricamente es la tangente "del ángulo formado por la recta tangente" en el punto P, llamada pendiente de la curva en P, o mejor, pendiente de y=f(x) en el punto xo. Este sentido de derivada de una función en un punto nos permite conocer el significado de un punto tal en que no exista derivada, como en la gráfica siguiente:

Observando el punto xo de la gráfica adjunta, comprobamos que ahí no puede trazarse una única recta tangente para la curva, lo cual es un indicativo de la no existencia de derivada en este punto.

2.4 Derivadas de las funciones elementales. De la misma forma que en el apartado 3.2 hemos obtenido la función derivada de y = sin x, aplicando directamente la definición, así también podríamos obtener la derivada de cualquier otra función. Pero lo que se hace es calcular esta derivada para cada función elemental y apuntarla en una tabla. * Tabla de derivadas de las funciones elementales. * Tabla de derivadas de las funciones trigonométricas. Es imprescindible que el alumno memorice el contenido de estas dos tablas, sólo así estará capacitado para obtener la derivada de cualquier función que se le presente. Observe que se está exigiendo la memorización de una tabla realmente reducida (comparando con lo que tienen que memorizar los estudiantes de Derecho ). En ellas no están incluidas las derivadas de funciones como: cosec x, sec x , pues estas pueden hallarse derivando sus equivalencias correspondientes: cosec x = 1/sin x, sec x = 1/cos x.

2.5 Propiedades de las derivadas. Sean k: una constante, f : una función, g: otra función. Entonces se dan las siguientes propiedades:

lo cual nos permite hallar derivadas de funciones compuestas de funciones elementales.

Por ejemplo: EJEMPLO 3: Hallar la derivada de la función: y = sin x . cos x Respuesta: Conocemos las derivadas (sin x) ' = cos x, (cos x) ' = -sin x, por lo tanto por la propiedad III tenemos: y' = (sin x . cos x)' = cos x . cos x + sin x . (- sin x) = = cos² x - sin² x EJEMPLO 4: Hallar la derivada de la función:

Respuesta: Conocemos las derivadas (x²)' = 2x, (sin x) ' = cos x, por lo tanto, por la propiedad IV tenemos:

EJEMPLO 5: Hallar la derivada de la función:

Respuesta: Conocemos la derivada de (cos x) ' = -sin x, entonces según la propiedad IV-b:

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO. 2.6 Teorema de Rolle. Sea y=f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b), de tal modo que en los extremos f(x) toma el mismo valor: f(a) = f(b) , entonces existe un valor

tal que f ‘ (c) = 0.

La demostración de este teorema es obvia considerando la gráfica de una función

Como y = f(x) es continua en [a, b] y en los extremos f(a) = f(b), debe existir al menos un punto c con pendiente nula (ya sea un máximo o un mínimo). 2.7 Teorema de Lagrange. Sea y=f(x) una función continua en un intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b), tal que en los extremos la función toma valores distintos: , entonces existe un valor

Gráficamente equivale a decir que que existe al menos un punto c en el que la tangente a la curva y=f(x) es paralela a la recta que une f(a) con f(b). El teorema de Lagrange también puede ser expresado obviamente en la forma: f(b) - f(a) = f ' (c) (b - a) Esta es casi la misma forma que la expresada arriba, pero atención: comúnmente se suele expresar de una manera algo distinta: Primeramente, en lugar de considerar un intervalo [a, b] se toma un intervalo en la forma: [x, x+h] , siendo “x” un punto genérico, y siendo “h” un incremento (positivo) de x. Por tanto “h” representa la longitud del intervalo [x, x+h] que se supone muy pequeña, entonces el teorema de Lagrange queda definido así: Sea y=f(x) una función continua en un pequeño intervalo [x, x+h] y diferenciable en (x, x+h), tal que en los extremos la función toma distintos valores, f(x) ≠ f(x+h), entonces existe un valor tal que: f (x + h) - f(x) = h f ' (x + θ h)

2.8 Derivadas de funciones compuestas. En general nosotros nos encontraremos con funciones más complicadas que y = cos x, sin embargo cualquier función compleja que aparezca en nuestros cálculos estará compuesta de funciones elementales. El alumno podría repasar la noción de función compuesta antes de continuar con esta cuestión Sea una función compuesta: y = f o g (x) , puede demostrarse que la derivada de esta función en un punto xo es: y '( xo) = f ' [ g (xo)] . g' (xo) es decir, es el producto de f ' por g', pero ATENCIÓN: mientras que f ' se aplica en g (xo), en cambio g' se aplica en xo. O sea que, la función derivada, en un punto genérico x de la función compuesta: y = f o g (x) es:

y '( x) = f ' [ g (x)] . g' (x).

Por ejemplo, sea la función y = cos (x² + 1), hallemos su derivada. Esta función compuesta está formada por las dos funciones simples: f(x) = cos x , g(x) = x²+1 cuyas derivadas son: f '(x) = - sin x , g' (x) = 2x La derivada de esta función compuesta es: y '( x) = f ' [ g (x)] . g' (x) = - sin (x²+1) . 2x Observe cómo f ' la aplicamos en g(x) -es decir, en (x²+1)- mientras que la g' es aplicada en x. Algunas personas, sobre todo los principiantes en el tema de derivadas (todos somos principiantes "al principio" ) suelen realizar estas derivadas de funciones compuestas en dos pasos, mediante la introducción de una variable intermedia: Partiendo de la función: y = cos (x² + 1), a la función más interna la identifican con una variable intermedia, u, es decir, haciendo u = x²+1, les queda: y = cos u cuya derivada es: y = - sin u . u' y como u' = 2x, finalmente llegan al mismo resultado:

y '( x) = - sin (x²+1) . 2x En definitiva se trataría de derivar una función: y = f[ g(x) ], introduciendo la variable intermedia u = g(x), con lo que nos queda la función: y = f(u), cuya derivada es: y ' = f '(u) . u' Por este motivo, algunas tablas de derivadas son dadas así: Función

Derivada

y = sen u y = cos u

y ' = cos u . u' y ' = -sen u . u' etcétera

Por supuesto, también podemos hablar de funciones compuestas de tres o más funciones elementales: y = f o g o h(x) , es decir, y = f [ g[ h(x)]] En este caso, hacemos t = h(x), con lo que tenemos: y = f [ g(t) ], y su derivada no es diferente del caso anterior, si hacemos u = g(t): y ' = f '(u) . u' claro, que u' ahora es: u ' = g'(t) . t' , y por tanto: y ' = f ' [ g[ h(x)]] . g' [ h(x)] . h'(x) EJEMPLO 6: Vamos a hallar la derivada de la función:

Esta función compuesta la podemos expresar: y = sin u siendo u =

, y siendo t = x²+1. Su derivada es: y ' = cos u . u'

claro que aquí u' es la derivada de

, o sea, la derivada de

:

mientras que t' es la derivada de x²+1, o sea, t' = 2x. Por lo tanto la derivada es:

2.9 Diferencial de una función. Consideremos una función y = f(x) que sea continua en las proximidades de un punto x = xo , y al mismo tiempo que sea derivable en ese punto. Podemos recordar la gráfica que hemos visto anteriormente en donde hacíamos una alusión al "incremento de la función" en un punto (llamémosle genéricamente "x", en lugar de xo) : y = f (x + x) - f (x) Debido al Teorema de Lagrange: Para una función continua en [a, b] y derivable en el interior de dicho intervalo, hay siempre un punto c dentro de [a, b] que verifica: f (b) - f (a) = (b - a) f '(c) Si consideramos el intervalo cerrado [x, x + x] , según este teorema existe un punto c entre x y x + x que cumple: y = f (x + x) - f (x) = x f '(c) Ahora consideremos un x infinitesimal, es decir, tal que tienda a ser 0, entonces se habla de "diferencial" en lugar de "incremento", y la expresión de arriba puede expresarse: dy = f '(x) dx La diferencial en un punto específico x=a, es:

EJEMPLO 7: Hallar la diferencial de la función y = x³ . Hallar esta diferencial en el punto x=3. Para la diferencial de la función hay que tener en cuenta: dy = f '(x) dx . Para nuestro caso tenemos: dy = 3x² dx En el caso concreto del punto x=3, tenemos:

2.10 Derivadas de orden superior. Dada una función y = f(x), podemos calcular su derivada:

a continuación, podemos calcular la derivada de f '(x):

a esta derivada se la llama derivada segunda de f(x), y se expresa por f "(x). Por ejemplo, para la función y = x³ , tenemos que su derivada primera es: y ' = 3x² y su derivada segunda es: y " = 6x También se habla de derivadas terceras (la derivada de la derivada segunda), derivadas cuartas (la derivada de la derivada tercera), etc. En estos casos se expresan mediante números romanos como superíndices de la función: