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unidad 1 contenidos

1. El conjunto de los números reales 2. Representación de los números reales en la recta real 3. Conjuntos en la recta real 4. Conjuntos acotados en la recta real 5. Aproximaciones decimales

6. Redondeos y truncamientos 7. Errores 8. Notación científica y orden de magnitud 9. Radicales 10. Operaciones con radicales 11. Racionalización de denominadores

Números reales

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Las Matemática que desarrollaron los griegos nos muestra que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron los primeros en descubrir los números irracionales, es decir, aquellos números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado. Además de las griegas, otras civilizaciones utilizaron los números irracionales en sus construcciones. Los árabes usaron estos números en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y la Mezquita de Córdoba, como ejemplos más significativos de sus bellas edificaciones. Así, en la Mezquita de Córdoba podemos encontrar la llamada bóveda cordobesa, que puedes observar en la imagen. La característica de esta bóveda es que en ella aparece el número cordobés, número irracional que es la relación existente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de este. El número cordobés es: 1  –  2 2 Este conocimiento de los números por parte de las civilizaciones antiguas no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G. Cantor (1845-1918), R. Dedekind (1831-1916), K. Weierstrass (1815-1897) y B. Bolzano (1781-1848) fueron quienes culminaron el estudio, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números reales.

cuestiones iniciales 1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre: 2 3 a)  y  5 5

b) 2,1 y 2,2

c) 2,01 y 2,1 3

2. Describe un procedimiento que calcule 10  utilizando solamente las teclas de las operaciones elementales de tu calculadora. 3. Ordena de menor a mayor los siguientes números: 5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201 4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad: – 3 2 2  = 6 – 2  n

5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ?

Y

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Unidad 1

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 Unión de dos conjuntos A q B es el conjunto formado por todos los elementos de A y de B.

1.1. El conjunto de los números racionales Existe una relación entre los números racionales y los números decimales:

A q B A

1. El conjunto de los números reales

B

• Cualquier número racional se puede expresar como un número decimal exacto o periódico. • Cualquier número decimal exacto o periódico se puede expresar como un número racional.

Intersección de dos conjuntos A Q B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y de B. A Q B A

B

A continuación damos la definición del conjunto de los números racionales y su equivalencia con los números decimales. • El conjunto de los números racionales se representa mediante la letra  y está formado por: a  =  a Z Z; b Z Z y b ≠ 0 b

 



• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.



 

 

decimales decimales  = decimales exactos q periódicos q periódicos puros

mixtos



1.2. El conjunto de los números irracionales La Escuela Pitagórica pensaba que todo el Universo se podía expresar mediante números enteros o racionales. El famoso Teorema de Pitágoras contradijo la doctrina básica de la Escuela al descubrir que existían números, como 2, que no eran ni enteros ni racionales. Los números que, como 2, son decimales con infinitas cifras decimales no periódicas se llaman números irracionales. • Los números irracionales son aquellos números decimales que tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos. =



decimales con infinitas cifras decimales y no periódicos



Algunos de los números irracionales más importantes y utilizados son: • El Número de Oro Φ (Número Áureo). Es la razón entre la diagonal de un pentágono regular y su lado. Para los antiguos griegos el rectángulo áureo, o rectángulo cuya razón entre sus lados es el número de oro, representaba la armonía y las dimensiones ideales de belleza. Monumento a Pitágoras en el puerto Pythagorio de Samos, Grecia.

a

1 + 5 Φ =  = 1,61803398... 2

Y

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Números reales

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• El número π. Es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es el primer número irracional que manejamos. π = 3,14159265... • El número 2 . Aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

2 = 1,41421356... Y

3

También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc.

( )

1 y= 1+— x

• El número e. Aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físi-



1 cos, etc. Es el número al que tiende la función 1 +  x a +∞ ó – ∞.

 cuando x tiende

x

x

e

+1

e = 2,71828182845904...

–1

0

X

1.3. El conjunto de los números reales El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales. • El conjunto de los números reales se representa por , y está formado por los números racionales y los irracionales.



 



números números  = racionales q irracionales =q

A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.

Enteros 

Enteros positivos  Cero 0

+

Enteros negativos 

Racionales 

Reales  Decimales

Naturales  –

Decimales exactos Decimales periódicos

Irracionales 

• Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos recta real. • Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta. Y

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Unidad 1

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2. Representación de los números reales en la recta real Hasta ahora conocemos los procedimientos geométricos que nos permiten representar números naturales, enteros y racionales en la recta real. A continuación podemos ver los procedimientos más utilizados para representar los números irracionales.

 Representación en la recta real del número de oro Φ

2.1. Números irracionales de la forma n  con n natural Estos números los representamos en la recta real utilizando procedimientos geométricos basados en el teorema de Pitágoras, como podemos ver en el ejemplo siguiente:

5

0

1

2 1+ 5 Φ= 2

3

2

4

3

1+ 5

1

1. Se dibuja 5  como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos de longitud 1 y 2. 2. Se busca el punto de intersección de la recta real con la circunferencia de radio 5  y centro en 1. El punto obtenido es 1 +  5. 3. Se busca el punto medio del segmento [0, 1 + 5 ], para obtener: 1 +  5  2

–1

0

1

2

3

2

5

6

El método se basa en construir triángulos rectángulos tales que su hipotenusa mida el número irracional que queremos representar: • 2 =  12 + 12

• 3 =  12 + ( 2)2

• 5 =  12 + 22

• 6 =  12 + ( 5)2

2.2. Números irracionales cualesquiera Un número irracional cualquiera se puede representar de forma aproximada en la recta real mediante aproximaciones decimales sucesivas. 3,1 3,2

3

4

Por ejemplo, vamos a representar el número π: π = 3,14159265... Para ello, utilizamos el siguiente procedimiento:

3,14 3,15

3,1

3,2

• Aproximación a centésimas. Dividimos el segmento entre 3,1 y 3,2 en diez partes iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,14 y 3,15 como muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de 1 centésima.

3,141 3,142

3,14

• Aproximación a décimas. Dividimos el segmento entre 3 y 4 en diez partes iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,1 y 3,2 como muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de 1 décima.

3,15

• Continuando con este procedimiento obtenemos la aproximación de π que deseemos.

Y

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Números reales

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3. Conjuntos en la recta real Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en la relación de orden de los números reales.

 El símbolo B Este símbolo se lee «si y sólo si» e indica equivalencia. Ejemplo: •

n = 2 B n termina en 0 ó en cifra par

• Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y gráficamente: a ≤ b ⇔

ó a

b

a=b

A continuación definimos y simbolizamos los subconjuntos más importantes de la recta real. CONJUNTOS EN LA RECTA REAL SUBCONJUNTOS

SÍMBOLO

Intervalo abierto

(a, b)

Intervalo cerrado

DEFINICIÓN (a, b) = {x Z  | a < x < b} El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

a

b

a

b

[a, b] = {x Z  | a ≤ x ≤ b} [a, b]

El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos.

[a, b)

[a, b) = {x Z  | a ≤ x < b}

(a, b]

(a, b] = {x Z  | a < x ≤ b}

Entorno simétrico

E (a, r)

El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es el intervalo abierto de extremos a – r y a + r.

a–r

a

a+r

Entorno reducido

E *(a, r)

E*(a, r) = E(a – r) – {a}

a–r

a

a+r

Entorno lateral a la izquierda

E (a, r)

–

E –(a, r) = (a – r, a)

a–r

a

Entorno lateral a la derecha

E (a, r)

+

E +(a, r) = (a, a + r)

Intervalo semiabierto o semicerrado

a

E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z  | |x – a| < r}

b

r

r

a

a+r

Y

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4. Conjuntos acotados en la recta real 4.1. Conjuntos acotados superiormente



Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de forma que todos los números del conjunto estén a la izquierda de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado superiormente.

Acotación superior Los elementos de A están a la izquierda de la BARRERA

• Un conjunto A de números reales está acotado superiormente por un número real S si todos los elementos de A son menores o iguales que S. A está acotado superiormente por S B x ≤ S, ∀x Z A

S

El número S se llama cota superior de A. Si A está acotado superiormente, existen infinitas cotas superiores.

«BARRERA» o cota superior

• La más pequeña de las cotas superiores se llama supremo del conjunto A, sup A. Si el supremo pertenece al conjunto A se le llama máximo del conjunto A, máx A.

4.2. Conjuntos acotados inferiormente



Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de forma que todos los números del conjunto estén a la derecha de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado inferiormente.

Acotación inferior Los elementos de A están a la derecha de la BARRERA

I

• Un conjunto A de números reales está acotado inferiormente por un número real I si todos los elementos de A son mayores o iguales que I. A está acotado inferiormente por I B x ≥ I, ∀x Z A El número I se llama cota inferior de A. Si A está acotado inferiormente, existen infinitas cotas inferiores.

«BARRERA» o cota inferior

• La más grande de las cotas inferiores se llama ínfimo del conjunto A, ínf A. Si el ínfimo pertenece al conjunto A se le llama mínimo del conjunto A, mín A.

4.3. Conjuntos acotados



Si todos los elementos de un conjunto de números reales se encuentran entre dos barreras afirmamos que el conjunto está acotado.

Acotación Los elementos de A están entre las BARRERAS

• Un conjunto A de números reales está acotado si lo está superior e inferiormente. A está acotado por S e I B I ≤ x ≤ S, ∀x Z A • Todo conjunto de números reales acotado tiene supremo e ínfimo.

"BARRERAS"

Cuando afirmamos que un conjunto no está acotado puede ocurrir: • Que no esté acotado ni superior ni inferiormente. • Que esté acotado superiormente pero no inferiormente. • Que esté acotado inferiormente pero no superiormente.

Y

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Números reales

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ACTIVIDADES RESUELTAS 1. Define y representa cada uno de los siguientes conjuntos: E(1, 3)

E +(–1, 3)

[–1, 3]

(–∞, 3]

E*(1, 3)

A partir de las definiciones dadas en el epígrafe 3, obtenemos: DEFINICIÓN

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

E(1, 3) = (1 – 3, 1 + 3) = (–2, 4)

–2

4

[–1, 3] = {x Z  | – 1 ≤ x ≤ 3}

–1

3 r=3

E + (–1, 3) = (–1, –1+3) = (–1, 2) –1

–1 + 3 = 2

(– ∞, 3] = {x Z  | x ≤ 3}

3 r=3

r=3

E*(1,3) = (1 – 3, 1+3) – {1} = (–2, 4) – {1} 1–3=–2

1

1+3=4

2. Estudia la acotación de cada uno de los siguientes conjuntos y halla en los casos que sea posible el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo. a) A = {x Z  | x ≤ –4} q {x Z  | x > –3} • Para calcular la intersección o la unión de dos conjuntos es conveniente representar cada conjunto en una recta real y en otra la unión o intersección de ellos. • En la representación gráfica adjunta observamos que A no está acotado superior ni inferiormente. –4 –4 –4

–3

A

–2

–1

0

1

2

–2

–1

0

1

2

… … …

b) B = [–5, 3] q (1, + ∞) • El conjunto B no está acotado, puesto que está acotado inferiormente pero no superiormente. • El ínfimo de B es: ínf B = –5. Como pertenece a B es mínimo de B, mín B = –5. –5

3 1

–5

B

c) C = E[0, 5] Q E*(3, 3) El conjunto C, en virtud de la definición de entornos es: C = (–5, 5)  [(0, 6) – {3}] • El conjunto C está acotado. • El ínfimo de C es ínf C = 0, y el supremo es sup C = 5. No tiene máximo ni mínimo. –5

5 0

3

0

3

6 5

C Y

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Unidad 1

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5. Aproximaciones decimales Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas cifras decimales por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos.



El número irracional π es: El número π Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra:

π = 3,14159265358979323846... por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades: 3 –5}

b) B = {b ∈  | b < 0 y b > –7}

e) E(5, 2)

c) (–∞, –5]

f) Los números enteros menores que –2

5. Expresa de forma simbólica los siguientes conjuntos; estudia su acotación y la existencia de supremo, ínfimo, máximo y mínimo: a) b) c)

d)

1 –2 –4

e)

2 –1

1

4

f)

–1

0

–3

1

2

3

3

–5

5 5

7

6. Estudia la acotación de los siguientes conjuntos; determina si existen supremo, ínfimo, máximo y mínimo: a) E(5, 6)

e)

E + (–5, 1) ∪ E – (–5, 1) ∪ {–5}

b) (–3, 1) ∩ [0, 3]

f)

F = {f ∈  | f < 0 ó f < 5}

c) [–3, 0) ∪ (–1, 3]

g)

E *(2, 5) ∩ E(5, 4)

d) D = {n ∈  | n > 3 y n < 9}

h)

1 I=  n

 n ∈  y n ≠ 0

7. Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos; estudia su acotación y la existencia de máximo y mínimo: a) E (–2, 4) ∩ E(2, 2) b) {x ∈  | x ≤ 2 y x ≥ –2} ∪ {x ∈  | x > 0}

Y

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Números reales

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8. Rellena la tabla siguiente en tu cuaderno:

Valor exacto

Aproximación decimal a milésimas por defecto y cota de error

Aproximación decimal a centésimas por exceso y cota de error

Redondeo a décimas y cota de error

Truncamiento a centésimas y cota de error

2,236067... 3,421 0,001 0,80 0,05 32,42 0,01 9. Dado el número 1 724,157203... Indica cuáles de las siguientes aproximaciones decimales del número anterior son redondeos. En los casos en que lo sean, anota la cota de error. 1 725

1 724,16

1 724,2

1 724,1

1 720

1 724,158

1 724,1572

221 10. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al tomar  como valor aproximado de π. 71 11. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro Φ a centésimas. 12. Expresa en notación científica las siguientes cantidades, y determina el orden de magnitud: a) b) c) d)

Distancia Tierra-Luna: 384 000 km Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m Radio del protón: 0,000 000 000 05 m

e) f) g) h)

57 billones 623 cienmilésimas 0,035 millones 12 centésimas

13. Un año-luz es la distancia recorrida por la luz en un año: 1 año-luz = 9,4605 · 1012 km Sabiendo que: distanciaTierra-Luna = 384 403 km y distanciaTierra-Sol = 1,5 · 108 km Calcula con redondeo a centésimas la distancia de la Tierra a la Luna en segundos-luz, y la distancia Tierra-Sol en minutos-luz. 14. En un supermercado nos presentan la cuenta a cobrar en euros. Los productos que hemos comprado tienen los siguientes precios: a) 1,325 euros b) 0,477 euros c) 25,008 euros

d) 122,553 euros e) 82,572 euros f) 7,634 euros

El supermercado redondea a centésimas de euro. ¿Cuántos euros pagaremos si el supermercado primero redondea y luego suma? ¿y si primero suma y luego redondea?

Y

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 30

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Unidad 1

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ACTIVIDADES FINALES 15. Efectúa las siguientes operaciones haciendo uso de la calculadora: a) 1,57 · 10–5 + 4,325 · 10–2

d) 2,32 · 106 · 7,2 · 10–2

b) 6,215 · 105 : 3,25 · 10–1

e) 9,7 · 107 · (8,3 · 10–4 – 5,2 · 10–5)

c) 2,9 · 104 + 3,25 · 10–2 – 7,2 · 103

f) 5 · 107 · 4,5 · 10–3 : 1,5 · 102

16. Calcula las siguientes raíces: 2 4 b a) 25a 

3

e) 81a 8

4

4

f)  8x3 y 6

c)  64a6 b3

5

15 b) 32x 

3

d) 625z 8

17. Expresa en forma de potencia las raíces, o en forma de raíz las potencias siguientes: 3 4 1 c) a5 e)  a) a a3 

–2 ––

–3 ––

1 ––

2 ––

h) a 3

f) 5 2

d) 5 2

b) 2 3

1 g)  3 2 a 

18. Pon las siguientes expresiones bajo un único radical: a)

 8

b)

a b 

3

3

c)

3 3 3

e)

 a 

d)

a b  

f)

a a

5

2

3

3

4

4

3

8

19. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes: a)  1 000

3

5 7 e) 16a b 

4

f)  xy 5 z 7

c) 8a 5

3

4 3 b) a b

5

d)  x8 y 5

20. Introduce los factores en el radical: 4

a) 42  3

b) 2aba2

3

c) 3 32

e) 3 a

d) a2b4 2ab3

2 f) 4aa b

3

21. Calcula, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia: 3

3

5

5

a) 2  · 22

c) 2a 4 : 2a 3

b) a · a2

d) a–1 · a

3

22. Efectúa las siguientes operaciones: 4 2 a) 32  –  2 + 52 –  2 3 5 3 4 1 4 1 4 b)   3 +   3 –  3  3 4 2 3 4 7 c)   8 –  50 +   18 –  98  5 2 4 3 3 1 3 d) 2 16 – 5 54 +   250 5 e) 54x  – 336x  + 25x  – 6x 3

3

3

f) 6  x7 + x2x – 3x2 27x 

6

6

e) 3 5 : 33 f) a : a

2 g) 4a +4  

h)  a2 – a2b 

Y

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Números reales

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23. Realiza las siguientes operaciones simplificando lo más posible los resultados: a)

2 2 –  2 

b)

(27 + 3)

c)

(2 + 2 ) (2 – 2 ) – (2 + 2 )

i)

(32 + 3)

d)

(418  – 212  + 32  ) · 22

j)

(75  – 27  + 212 ) : 33

e)

(3 + 22 ) (2 – 3 ) 3

k)

(463  – 528  ) : (343  – 175 )

f)

(72  – 20  – 2 ) (2 + 28 + 25 )

l)

 3 45 – 2 20 · 3 125

2

2

g) 212  · 15  · 20 

– 47  (7 + 3)

h) 3  (23 – 5) – 5 (25 –3) 2

2

2

2

– 3(2  – 3)

3

2

24. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor las raíces de cada apartado: 5

d) 10 , 100 

3

4

6

e) 2 , 2, 2

3

9

a) 2 , 5

5

4

b) 4 , 6 c) 2 , 3, 5

f)

3

4

–1 –3 , 5 3 

25. Opera: 3

4

4

a) 5  · 2 · 6 6

5

8

e) 3  · 27  · 243 

10

b)  a 5 ·  a 3 : a 4

3 c) 2ab b  : 8a 

8

ab3 ·  2a2 b2 

g)

3 3 3

3

4

6

f)

2

4

6

4 · 8 · 2 h)  2

4 d)  12 64  26. Racionaliza las siguientes fracciones:

5

2 a)  2

1 d)  2 5

2 g)  5 3

7 b)  3 7 · 3

3 e)  2 +  2

3 h)  3 – 23 

5 – 2 c)  5 + 2

f)

11  3 5 – 2 7

i)

7 + 1  2 7+5

27. Realiza las operaciones racionalizando previamente:

 35 –  53

3 5 a)  96 – 189  2 7

c)

3 + 2 2 1 b)  –  3 – 2 2 2

2 2 d)  –  1 +  3 1 –  3

Y

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ACTIVIDADES FINALES 28. Calcula, simplificando al máximo el valor de: 4

4 2 4 243 a)  – 51875  + 4 4 32 16  

b)



c)



3 4 245  + 580  –  125   5 5



3

3 2 64 + 5 281  ·  3 3 9 3

 5

8 2 5 2 : –  256 5 2 3 972 

d)





c)

5 5  +  2 5 2 5–4

29. Racionaliza, efectúa y simplifica la expresión: 2 2 3 a)  – (6  – 2) 4 3 – 3 2

7 d)  – 7 + 2

2 2 3–3 3+3 b)  –  2 3+3 2 3–3

 4  7

30. Efectúa y simplifica: a)

4 9 72 9   

b)

+  7 – 8 1 14 

3

4

c)

5  5   5 5 

e)

(250  – 16  ) · 4

d)

7 – 2 6 7+2  ·  6 

f)

  

5

31. Elevando al cuadrado ambos miembros, comprueba que 32. Demuestra la identidad: 2 +  3  2 + 6  =  2 4 33. Racionaliza las siguientes fracciones:

5 – 3 – 2 b)  5 + 3 – 2

2 a)  2 +  3



34. Efectúa la siguiente operación:



5 + 2 1–  5 – 2



2

35. Halla dos números racionales positivos x e y tales que: 11 + 112    = x + y

36. Calcula el valor de la siguiente expresión:



1 +  6  1 –  6

  2

–

1 –  6  1 +  6



2

3

3

3–1  3+1

4+2 – 2 3 3 – 4  = 2. 

3

Y

UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 33

Números reales

33

AUTOEVALUACIÓN 1. El redondeo a diezmilésimas del número e = 2,71828182... es: a) 2,7182

b) 2,7183

c) 2,718

d) 2,71828

c) 4 + 113 

d) 28 + 273 

2. El valor de la expresión 327  – (23 –4)2 + 12  es: a) 28 – 273 

b) –28 + 273 

3. La representación gráfica

corresponde a:

a) [–5, 4) ∩ (–7, 2]

b) E(1, 6)

c) (–5, 4) ∪ [2, 6)

d) (–5, 4) ∩ (–7, 2]

4. La distancia al universo observable es 2,5 · 1010 años-luz. Si sabemos que 1 año-luz son 9,4 · 1012 km, la distancia dada en kilómetros es: a) 2,35 · 1022

b) 2,35 · 1023

c) 2,35 · 1024

d) 23,5 · 1023

c) 29

d) 34 + 122 

6 c)  4 2

d) 6

c) 7 

d) –7 

b) 123 

c) 3

d) 207 

b) 1

c) 3 

3 2+4 5. El resultado de racionalizar  es: 3 2–4 a) 17 + 122 

b) 17 + 242  4

4

4

6. La operación ( 3 32  + 2162  ) : (22 ) vale: 4

4

a) 102 

b) 62  21 1 –  –  obtenemos: 4 16 7

7. Al calcular 4

b) 7 – 37 

a) 0 8. El producto  12 – 3 7 · 4

a)

12 + 3 7 es igual a:  4

12 – 3 7 

9. El valor de 4

4

  4

9

3

1  es: 9

a) 3 

3

d) 3

10. La expresión  3 : 33 · 32 equivale a: 3

12

a) 3 

4

3

b) 3

4

c) 27 

–5 ––

d) 3 4

Z