Poliedros y politopos por Francisco Santos Leal, Universidad de Cantabria

" ...the recent development of combinatorics is somewhat of a cinderella story: It used to be looked down on by "mainstream"mathematicians as being somehow less respectable than other areas, in spite of many services rendered to both pure and applied mathematics. Then along came the prince of computer science with its many mathematical problems and needs — and it was combinatorics that best fitted the glass slipper held out". A. Björner, R. P. Stanley, 1999

1. Introducción Los polígonos (dimensión dos), poliedros (dimensión tres) y politopos (el análogo en dimensión arbitraria) están entre los objetos geométricos más básicos que existen. Desde pequeños estamos acostumbrados a trabajar con ellos. De hecho, las primeras "formas" que se enseñan en los "curricula" preescolares son círculo, cuadrado y triángulo. Por decirlo así, se trata de la distinción entre "suave" y "lineal a trozos", así como la distinción entre distintos tipos combinatorios de objetos del último tipo. Siendo esto así, es un poco llamativo cómo estos objetos luego desaparecen de los currículos de la enseñanza superior. Muchos de nuestros estudiantes, incluso de matemáticas, desconocen incluso los aspectos más básicos de la teoría de poliedros, como puede ser el hecho de que sólo existen cinco poliedros regulares (los llamados sólidos platónicos). Esto en realidad responde a un mismo patrón que ocurre con toda, o casi toda, la matemática discreta, o combinatoria. Se enseña, algo, en los niveles elementales, pero desaparece después de los niveles avanzados. En el fondo, como se 65

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dice en el párrafo de Björner y Stanley que encabeza este escrito, hay un cierto menosprecio hacia la combinatoria. Es una rama "bonita y elemental", adecuada para los aspectos más recreativos de la matemática y para su divulgación, pero no es "matemática seria". Y, sin embargo, la combinatoria es hoy día una de las ramas más importantes y activas en el ámbito de la investigación matemática más avanzada. Basten como ejemplo los siguientes datos: - Tres de los cuatro últimos madallistas Fields, que fueron galardonados en el Congreso Internacional de Matemáticos de Madrid, lo fueron por sus trabajos en (entre otras cosas) combinatoria. Si el lector piensa que esta interpretación es sesgada, no tiene más que comprobar lo que Terence Tao (http://www.math.ucla.edu/∼tao/) y Andrei Okounkov (http://math.berkeley.edu/∼okounkov/) dicen de sí mismos en sus páginas web. El primero usa la palabra "combinatoria" en tres de los siete "descriptores" con los que enumera su trabajo y el segundo dice literalmente que trabaja en "teoría de la representación (con un sabor combinatorio) y sus aplicaciones". El tercero es Wendelin Werner (http://www.math.u-psud.fr/ werner/) quien no dice nada de sí mismo en su página pero cuyo trabajo se puede clasificar como "teoría de probabilidad (con un sabor combinatorio) y sus aplicaciones". - En el mismo ICM o, más bien, en la reunión del comité IMU que lo antecedió en Santiago de Compostela, se renovaron los cargos de dirección de la IMU. Fue elegido presidente László Lovász y vicepresidente Martin Grötschel. Lovász y Grötschel son, quizá, los mayores exponentes de investigación reciente en combinatoria, respectivamente en sus vertientes más puras y aplicadas, respectivamente. Pero me estoy desviando del tema de esta charla/resumen. Porque el objetivo de la misma sí que es divulgativo y (espero) recreativo.

2. Poliedros Un poliedro convexo es la envolvente convexa de un subconjunto finito del espacio Euclídeo R3 . Equivalentemente, es un sólido convexo delimitado por caras planas. Un poco más delicada es la definición exacta de poliedro no convexo. De hecho, pendiendo de lo que uno quiera hacer con sus poliedros, necesita una definición más amplia o más restrictiva. Por ejemplo, la famosa fórmula de Euler caras + vértices = aristas + 2, es válida para poliedros no convexos siempre que no tengan "agujeros". (De manera técnica, siempre que tanto la superficie del poliedro como cada una de las caras

sí que es divulgativo y (espero) recreativo.

Poliedros Un poliedro convexo es la envolvente Poliedros convexa de un subconjunto finito del espacio 3 Euclídeo R . Equivalentemente, es un sólido convexo delimitado por caras planas. Un Un poliedro convexo la envolvente de un subconjunto finito del espacio poco más delicada es laesdefinición exactaconvexa de poliedro no convexo. De hecho, pendiendo 3 de lo que uno quiera hacer con sus definición amplia o más Euclídeo R . Equivalentemente, es poliedros, un sólido necesita convexo una delimitado pormás caras planas. Un restrictiva. Por ejemplo, la famosa fórmula de Euler poco más delicada es la definición exacta de poliedro no convexo. De hecho, pendiendo Poliedros y politopos 67 caras vértices =necesita aristas +una 2 definición más amplia o más de lo que uno quiera hacer con sus +poliedros, esrestrictiva. válida para convexos siempre que no tengan "agujeros". (De manera Por poliedros ejemplo, lanofamosa fórmula de Euler técnica, siempre que tanto la superficie del poliedro como cada una de las caras sean caras + vértices = aristas + 2 cuando sean "simlemente conexas"). Pero en este escrito, decimos "poliedro" "simlemente conexas"). en este siempre escrito, que cuando decimos"agujeros". "poliedro"(Deestaremos es válida para poliedros Pero no convexos no tengan manera estaremos siempre refiriéndonos a "poliedros convexos". siempre "poliedros convexos". técnica,refiriéndonos siempre que atanto la superficie del poliedro como cada una de las caras sean "simlemente conexas"). Pero en este escrito, cuando decimos "poliedro" estaremos siempre refiriéndonos a "poliedros convexos".

Poliedro convexo

Poliedro convexo

Poliedro no convexo

Poliedro no convexo

Algunos polieros particulares aparecen menudo no en convexo nuestras vidas. Uno de ellos es Poliedro convexomuy a Poliedro Algunos polieros aparecen muy a menudo el icosaedro truncado,particulares al cual dedican diariamente cinco o en dieznuestras minutosvidas. todos Uno los telediarios. Sus caras son truncado, 20 pentágonos regulares (habitualmente de color negro) y 30 Algunos particulares aparecen muy a menudo en nuestras vidas. Uno deminutos ellos es de ellos espolieros el icosaedro al cual dedican diariamente cinco o diez hexágonos regulares (habtualmente blancos). También es muy usado con fines el icosaedro truncado, al cual dedican diariamente cinco o diez minutos todos los todos los telediarios. Sus caras son 20 pentágonos regulares (habitualmente de recreativos regular: telediarios.elSus caras son 20 pentágonos regulares (habitualmente de color negro) y 30 color negro) cubo y 30 hexágonos regulares (habtualmente blancos). También es muy hexágonos regulares (habtualmente blancos). También es muy usado con fines usado con fines recreativos recreativos el cubo regular: el cubo regular:

Diversos usos recreativos del cubo. Los dados de la primera imagen son babilonios. Diversos usos recreativos del cubo. Los dados de la primera imagen son babilonios.

Diversos usos recreativos del cubo. Los dados de la primera imagen son babilonios En este escrito vamos a estudiar por un lado los "poliedros" (de dimensión tres) y los llamados "politopos" (el concepto análogo en dimensión superior), centrándonos en dos cuestiones: a) ¿Cuántas caras puede tener un poliedro o politopo? b) ¿Qué poliedros o politopos regulares existen?

3. ¿Cuántas caras puede tener un poliedro? Hay una primera respuesta muy sencilla: Respuesta 1: De cuatro en adelante, un poliedro puede tener todas las caras que uno quiera. En efecto, si construimos una pirámide sobre un polígono con n lados, tendremos un poliedro con n + 1 lados, y esto funciona para todo n a partir de 3.

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Vale, ¿y si llamamos caras a las "cosas" de cualquier dimensión? Es decir, llamamos 0-caras a los vértices, 1-caras a las aristas y 2-caras a las caras (valga la redundancia). Podemos entonces repetir la pregunta como sigue: ¿Qué ternas (v, a, c) de números naturales pueden representar los vértices, aristas y caras de un poliedro P? Al vector (v, a, c) se le suele llamar el "vector de caras" o f -vector del poliedro P. La f proviene de la palabra inglesa face. Casi todos los lectores conocerán una primera condición que el f -vector de un poliedro debe satisfacer: la fórmula de Euler. En todo poliedro convexo se tiene que a + 2 = v + c. Ejemplos Tetraedro Cubo Icosaedro Pirámide Prisma Icosaedro truncado

v a c 4 6 4 8 12 6 12 30 20 n+1 2n n+1 2n 3n n+2 60 90 32

Esa fórmula permite reescribir el parámetro a en términos de v y c, de modo que los vectores (v, a, c) que nos interesan están todos en un "plano". Por otro lado, es obvio que tanto v como c han de ser al menos cuatro. Pero aún hay una restricción más. Lema: El f -vector (v, a, c) de cualquier poliedro satisface: (1) 3c ≤ 2a, con igualdad si y sólo si todas las caras son triángulos. (2) 3v ≤ 2a, con igualdad si y sólo si todos los vértices son trivalentes, es decir, tienen tres aristas. Para demostrar la primera ecuación, obsérvese que si sumamos los números de lados de todas las caras estaremos contando cada arista dos veces, porque cada arista pertenece a dos caras. Es decir: 2a = a1 + a2 + ... + ac , donde ai es el número de lados de la i-ésima cara. Como ai es al menos tres (con igualdad si y sólo si la cara es un triángulo) tenemos la desigualdad del enunciado (1). Del mismo modo, si sumamos las valencias de todos los vértices también habremos contado cada arista dos veces, porque cada arista incide en dos vértices, y de ahí deducimos el apartado (2). El hecho de que tanto las dos ecuaciones como sus demostraciones sean análogas no es casual. Es reflejo del concepto de dualidad entre poliedros. Para cada

2 a = a 1 + a 2 + ... + a c , donde a i es el número de lados de la i-ésima cara. Como a i es al menos tres (con igualdad si y sólo si la cara es un triángulo) tenemos la desigualdad del enunciado (1). Del mismo modo, si sumamos las valencias de todos los vértices también habremos contado cada arista dos veces, porque cada arista incide en dos vértices, y de ahí deducimos el apartado (2). Poliedros y politopos 69 El hecho de que tanto las dos ecuaciones como sus demostraciones sean análogas no es casual. poliedro, Es reflejocon delvector concepto de (v, dualidad entre poliedros. de caras a, c), existe un poliedro dualPara con cada vectorpoliedro, de caras con vector de caras (v, a, c), existe un poliedro dual con vector de caras (c, a, v). (c, a, v). Para enunciar y demostrar el siguiente teorema nos conviene reescribir las dos Para enunciar y demostrar siguientesólo teorema convienea = reescribir desigualdades anteriores el en términos de v y c,nos sustituyendo v + c − 2.las El dos desigualdades anteriores términos sólo deequivalentes v y c, sustituyendo a = v + c(c−4) - 2. El resultado resultado es que lasendesigualdades son a que el cociente : (v−4) es que las estádesigualdades entre 1/2 y 2. son equivalentes a que el cociente (c - 4) : (v - 4) está entre 1/2 y 2. Teorema (Steinitz, 1906): el vector entero (v, a, c) es el f -vector de algún poliedro si y sólo si a = v + c − 2 y el cociente (c − 4) : (v − 4) está entre 1/2 y 2. Teorema (Steinitz, 1906): el vector entero (v, a, c) es el f-vector de algún poliedro si y ya está ha sido establecido. sólo si a = vQue + clas -2 condiciones y el cocienteson (c necesarias - 4) : (v - 4) entre 1/2 y 2. Para ver la suficiencia, dibujemos primero el espacio de soluciones de las ecuaciones del enunciado, el plano v − c:son necesarias ya ha sido establecido. Para ver la suficiencia, Que lasencondiciones dibujemos primero el espacio de soluciones de las ecuaciones del enunciado, en el plano v-c:

El "vértice" del dibujo corresponde al f-vector (4, 6, 4), que es el del tetraedro. Más generalmente, los puntos de la diagonal son los f-vectores (n, 2n-2, n) de las pirámides "vértice"Dejamos del dibujo al f -vector (4, 4), cualquier que es el del con base unEln-gono. al corresponde lector la comprobación de6,que otrotetraepunto de dro. Más generalmente, los puntos de la diagonal son los f -vectores (n, 2n − 2, la figura se puede obtener de uno de la diagonal sumándole un múltiplo de o bien n) (2, -3, de(1, las-2, pirámides con base un n-gono. Dejamos al lectorellacambio comprobación de que 1) o bien 3). Estos dos vectores son, respectivamente, producido en el fcualquier otro punto de la figura se puede unogrado de la diagonal sumándole un vector de un poliedro cuando "cortamos unobtener vérticedede tres¨ o ¨insertamos múltiplo de o bien −3, 1)triangular o bien (1, −2, EstosPor dos vectores son, respectivértice un subdividiendo una (2,cara en 3). tres". tanto, para terminar la vamente, el cambio producido f -vectoroperaciones de un poliedro "cortamos un demostración basta convencerse de en queel ambas se cuando puden iterar un número vértice de grado tres" o "insertamos un vértice subdividiendo una cara triangular indefinido de veces comenzando con una pirámide. en tres". Por tanto, para terminar la demostración basta convencerse de que ambas operaciones se puden iterar un número indefinido de veces comenzando con una pirámide. ¿Cuántos poliedros regulares hay? (Y ¿por qué?)

4. ¿Cuántos poliedros regulares hay? (Y ¿por qué?)

Un poliedro regular es un poliedro cuyos vértices tienen todos la misma valencia y cuyas Untodas poliedro regular es un poliedro vértices tienen de todos la misma valencia y que caras son polígonos regulares concuyos el mismo número lados. Es bien sabido todas polígonos regulares el mismo númeroplatónicos: de lados. Estetraedro, bien existen cuyas sólo caras cincosonpoliedros regulares, los con llamados sólidos octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro. sabido que existen sólo cinco poliedros regulares, los llamados sólidos platónicos: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro.

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Los sólidos platónicos y su asociación con los elementos

Los sólidos platónicos y su asociación conplanetarias los elementos (izquierda) y las órbitas (derecha).(izquierda) y las órbitas planetarias (derecha). ilustraciones originales de Kepler AmbasAmbas ilustraciones son originalesson de Kepler. Escurioso curioso la lista de poliedros querido relacionarse desde Es queque la lista de poliedros regularesregulares ha queridoha relacionarse desde muy antiguo con propiedades profundas del mundo físico. Platón identificó cuatro de ellos con los muy antiguo con propiedades profundas del mundo físico. Platón identificó cuatro cuatro "elementos" fuego, tierra, aire y fuego, reservando el quinto (el dodecaedro) para de ellos con los cuatro "elementos" agua,y su tierra, airecony los fuego, reservando el quinto Los sólidos platónicos asociación elementos representar el cosmos ("usado por los dioses para colocar las constelaciones en la esfera (izquierda) y las órbitas planetarias (derecha). (el dodecaedro) para representar el cosmos ("usado portiempo, los dioses para colocar las celeste"). Kepler, la mayor autoridad en astronomía de su durante algún tiempo Ambas ilustraciones son originales de Kepler. constelaciones en la esfera celeste"). Kepler, la mayor autoridad en astronomía pensó que las órbitas de los seis planetas conocidos en su época (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jupiter que y Saturno) podían situarse en seis esferas radiosantiguo eran de su tiempo, algún tiempo pensó que las concéntricas órbitas de cuyos los seis Es curiosodurante la lista de poliedros regulares ha querido relacionarse desde muyplanetas precisamente los justos para del quemundo la segunda, tercera, cuarta cuatro y quinta estuvieran con propiedades profundas físico. Platón identificó de ellos con los conocidos en su época (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jupiter y Saturno) podían simultáneamente circunscrita atierra, un poliedro regularreservando e inscrita al siguiente. (Auque hay que cuatro "elementos" fuego, aire y fuego, el quinto (el dodecaedro) para situarse en esferas que concéntricas radios eran orbitales precisamente los justos para decir en seis su defensa cuandopor suscuyos le mostraron queesfera su representar el cosmos ("usado losdescrubrimientos dioses para colocar las constelaciones en la quemodelo la celeste"). segunda, tercera, cuarta y quinta estuvieran simultáneamente circunscrita no era muy adecuado, entre otras cosas porque las órbitas son elípticas y no Kepler, la mayor autoridad en astronomía de su tiempo, durante algún tiempoa circulares, abandonó un poliedro regular e esta inscrita al siguiente. (Aunque que decir enVenus, su defensa pensó que las órbitas deidea). los seis planetas conocidos en suhay época (Mercurio, Tierra, Marte, Jupiter y Saturno) podían situarse en seis esferas concéntricas cuyos radios eran quePero cuando sus descrubrimientos orbitales le mostraron que su modelo no era vamos a demostrar que para estos cinco los únicos posibles poliedros regulares. Para precisamente los justos que lasonsegunda, tercera, cuarta y quinta estuvieran muyello, adecuado, entrecircunscrita otras cosas las órbitas son elípticas noq),circulares, a cada poliedro regular leaasociamos par dee inscrita números enteros y (p, donde p simultáneamente unporque poliedroun regular al siguiente. (Auque hay que representa la valencia de cada vértice (número de aristas que confluyen en él) y abandonó esta idea). decir en su defensa que cuando sus descrubrimientos orbitales le mostraron que qsu representa elnonúmero de lados de cada cara. Es cosas bien que ánguloson depoliedros cada vértice modelo muy adecuado, entre otras porque las elórbitas elípticas y no Pero vamos aera demostrar que estos cinco son sabido los únicos posibles reen un polígonoabandonó regular de lados es 180 – 360/q. Por otro lado, si tenemos un poliedro circulares, estaq idea). gulares. Para ello, a cada poliedro regular le asociamos un par de números enteros regular, los p polígonos que coinciden en un vértice dado se pueden “desarrollar” en el (p, q), donde p representa laque valencia de son cada (número de aristas quea qué conplano, modo la suma de los pcinco ángulos en ellos es posibles menor que 360. Veamos Perodevamos aque demostrar estos losvértice únicos poliedros regulares. Para ello, a cada poliedro regular le asociamos un par de números enteros (p, q), donde p conduce esta restricción geométrica: fluyen en él) y q representa el número de lados de cada cara. Es bien sabido que el representa la valencia de cada vértice (número de aristas que confluyen en él) y q ángulo de cada vértice en un polígono regular de q lados es 180 − 360/q. Por otro representa el número lados de pcada Es bienpor sabido queha el ángulo de cada vértice - Con triángulos (q=3), de el número de cara. triángulos vértice de ser tres, cuatro o lado, sientenemos un regular poliedro polígonos quelado, coinciden en unpoliedro vértice un polígono eslos 180yp–la 360/q. otro si tenemos cinco, porque cada ángulo de es qregular, delados 60 grados suma Por de ángulos alrededor de un un vértice regular, los p polígonos que coinciden en un vértice dado se pueden “desarrollar” en el dado en el plano, de modo que la suma de los p ángulos ha se de pueden ser menor"desarrollar" que 360: plano, de modo que la suma de los p ángulos en ellos es menor que 360. Veamos a en ellos es menor que 360. Veamos a qué conduce esta restricción geométrica:qué conduce esta restricción geométrica: - Con triángulos (q = 3), el número p de triángulos por vértice ha de ser tres, - Con triángulos (q=3), el número p de triángulos por vértice ha de ser tres, cuatro o cuatro o cinco, porque cada ángulo es de 60 grados y la suma de ángulos cinco, porque cada ángulo es de 60 grados y la suma de ángulos alrededor de un vértice alrededor de un vértice ha de ser menor que 360: ha de ser menor que 360: - Del mismo modo, con cuadrados y pentágonos sólo es posible colocar tres alrededor de cada vértice, porque 90 por 4 es ya igual a 360 y 108 por 4 es aún mayor:

- Del mismo modo, con cuadrados y pentágonos sólo es posible colocar tres alrededor de cada vértice, porque 90 por 4 es ya igual a 360 y 108 por 4 es aún mayor:

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- Del mismo modo, con cuadrados y pentágonos sólo es posible colocar tres alrededor de cada vértice, porque 90 por 4 es ya igual a 360 y 108 por 4 es aún mayor:

- Con hexágonos o con más lados no es posible colocar ni siquiera tres.

- Con hexágonos o con más lados no es posible colocar ni siquiera tres.

Aunque el lector puede considerar que la "existencia" de estos cinco poliedros es obvia, pues los habrá visto con sus propios ojos innumerables veces, vamos a detenernos un Aunque en el lector puede considerar "existencia" de estos cinco momento un argumento general porque el la cual dicha existencia puede ser poliedros garantizada "a es priori". obvia, Para puesfijar los ideas, habrácentrémonos visto con sus propios ojos innumerables veces, vamos en el dodecaedro, aunque la demostración vale para todos ellos. a detenernos un momento en un argumento general por el cual dicha existencia

puede ser garantizada "a priori". Para fijar ideas, centrémonos en el dodecaedro, Nuestra descripción del dodecaedro como el poliedro con (p, q) = (3,5) nos dice que para aunque la demostración vale para todos ellos. construirlo necesitamos colocar tres pentágonos alrededor de cada vértice. Imaginemos Nuestra descripción del dodecaedro comocon el lado poliedro con (p,unidad, q) = (3, 5) nos de los primeros tres pentágonos, todos regulares de longitud colocados dice que para construirlo necesitamos colocar tres pentágonos alrededor de cada cuál manera simétrica incidentes a un vértice inicial. No sabemos, ni nos importa mucho, es el ángulo diédricolos conprimeros el que debemos colocar cadatodos uno respecto al siguiente, vértice. Imaginemos tres pentágonos, regulares con ladopero de un argumento de simetría nos garantiza quesimétrica esto se puede hacer. Por longitud unidad, colocados de manera incidentes a unejemplo, vérticecomencemos inicial. los pentágonos dispuestosmucho, en el plano simétrica, como última figura, Nocon sabemos, ni nos importa cuál de es manera el ángulo diédrico conenellaque debey levantemos el vértice central poco a poco sin romper la simetría hasta que los lados de mos colocar cada uno respecto al siguiente, pero un argumento de simetría nos pentágonos consecutivos coincidan. Extendamos la construcción a los vértices vecinos, y garantiza que esto sevecinos, puede hacer. Porinfinitum". ejemplo, comencemos con los pentágonos a los vecinos de los y así "ad dispuestos en el plano de manera simétrica, como en la última figura, y levanPero el surge una pregunta: ¿quién nos garantiza que al esto hasta los diferentes temos vértice central poco a poco sin romper la hacer simetría que lospentágonos lados hemos ido colocando "pegarán bien" cuando lleguemos a las antípodas del punto de que pentágonos consecutivos coincidan. Extendamos la construcción a los vértices inicial? ¿No puede ser que se solapen unos con otros en vez de darnos un poliedro? Por vecinos, y a los vecinos de los vecinos, y así "ad infinitum". poner una analogía, supongamos que queemos hacer esta misma construcción para Pero surge una pregunta: ¿quién nos garantiza que al hacer esto los diferentes obtener los polígonos regulares. La idea sería disponer "ad infinitum" segmentos en el pentágonos hemos ido cada colocando "pegarán bien" cuando lleguemos a las an-Si el plano uno que detrás de otro, uno con el mismo ángulo con respecto al anterior. típodas inicial?obtenemos ¿No puedeunser que se solapen unos con otros en vezesde180 ángulodel es punto de 90 grados, cuadrado. Más generalmente, si el ángulo 360/nunobtenemos regular. Pero con un ánguloque de,queremos digamos, 100 darnos poliedro? un Porn-gono poner una analogía, supongamos hacergrados, esta lo que obtenemos es una curva poligonal que da cinco vueltas sobre sí misma produciendo misma construcción para obtener los polígonos regulares. La idea sería disponer "polígono segmentos estrellado deen18ellados". en de el caso dodecaedro, el que al "aduninfinitum" plano ¿Por uno qué detrás otro,del cada uno con en el misángulo diédrico no lo elegimos sino que viene dado por la construcción, no puede moocurrir ángulo con respecto al anterior. Si el ángulo es de 90 grados, obtenemos un algo así? cuadrado. Más generalmente, si el ángulo es 180 - 360/n obtenemos un n-gono regular. Perorespuesta con un topológica. ángulo de, Obsérvese digamos, 100 lo queanterior obtenemos es una Hay una que grados, en el párrafo pedimos que la construcción repita infinitum". estesímodo lo que obtenemosunes"polígono una superficie curva poligonalseque da "ad cinco vueltas De sobre misma produciendo abstractade sólo ésta podría, a priori, de varias (¿infinitas?) estrellado 18que lados". ¿Por qué en elconstar caso del dodecaedro, en elhojas que entremezcladas al ángulo

unas con otras. En términos de topología, si proyectamos centralmente esta superficie sobre una esfera circunscrita a toda la construcción, lo que obtendríamos sería un "espacio recubridor no trivial de la esfera de dimensión dos". Pero el lector que haya estudiado algo de topología algebraica sabe que la esfera de dimensión dos no posee recubrimientos no triviales, por ser "simplemente conexa". En cambio, la circunferencia sí posee recubrimientos no triviales, lo cual da pié a la existencia de los polígonos estrellados como el del ejemplo. (Nota: en dimensión tres existen poliedros estrellados, pero no con caras que sean polígonos "puros", sino polígonos estrellados a su vez. En el contexto topológico eso

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diédrico no lo elegimos sino que viene dado por la construcción, no puede ocurrir algo así? Hay una respuesta topológica. Obsérvese que en el párrafo anterior pedimos que la construcción se repita "ad infinitum". De este modo lo que obtenemos es una superficie abstracta sólo que ésta podría, a priori, constar de varias (¿infinitas?) hojas entremezcladas unas con otras. En términos de topología, si proyectamos centralmente esta superficie sobre una esfera circunscrita a toda la construcción, lo que obtendríamos sería un "espacio recubridor no trivial de la esfera de dimensión dos". Pero el lector que haya estudiado algo de topología algebraica sabe que la esfera de dimensión dos no posee recubrimientos no triviales, por ser "simplemente conexa". En cambio, la circunferencia sí posee recubrimientos no triviales, lo cual da pié a la existencia de los polígonos estrellados como el del ejemplo. (Nota: en dimensión tres existen poliedros estrellados, pero no con caras que sean polígonos "puros", sino polígonos estrellados a su vez. En el contexto topológico eso hace que el espacio recubridor sea "ramificado". La conexión simple de la impide no la existencia espacios recubridores ramificados no triviales). esfera impide ladeexistencia de espacios recubridores ramificados no triviales). Antes de abandonar el mundo de dimensión tres mencionemos también los Antes de abandonar el mundo de dimensión tres mencionemos también los poliedros poliedros "semiregulares", o "sólidos arquimedianos". En palabras de Pappus (S. "semiregulares", o "sólidos arquimedianos. En palabras de Pappus (S. IV a.C.) son "los IV a.C.)trece sonen "los sólidos, trece en descubiertos porcontenidos Arquímedes, que están sólidos, total, descubiertos portotal, Arquímedes, que están por polígonos contenidos por polígonos equiláteros y equiangulares, pero no similares": equiláteros y equiangulares, pero no similares":

5. ¿Cuántos politopos regulares hay,hay, y por ¿Cuántos politopos regulares y porqué? qué? Un de dimensión es la convexade deun un subconjunto subconjunto Un politopo politopo (convexo) (convexo) de dimensión dd es la envolvente envolvente convexa d finito S del espacio Euclídeo Rd . Envolvente convexa quiere decir el convexo más finito S del espacio Euclídeo R . Envolvente convexa quiere decir el convexo más pequeño que contiene a S o, equivalentemente, el conjunto de puntos que pueden pequeño que contiene a S o, equivalentemente, el conjunto de puntos que pueden escribirse comocombinación combinación depuntos los puntos de coeficientes S con coeficientes escribirse como afínafín de los de S con positivos positivos o nulos. o nulos. Sea Sea como sea, sea, los d-politopos poseen caras de dimensiones 0, 1, ...0,hasta Lasd −1. de como los d-politopos poseen caras de dimensiones 1, ...,d-1. hasta dimensiones 0, 1 d-2 y d-1 se llaman, respectivamente, vértices, aristas, crestas y facetas. Las de dimensiones 0, 1, d − 2 y d − 1 se llaman, respectivamente, vértices, aristas, Las demás no tienen un nombre específico.

El término politopo lo inventó Alicia Boole Scott (1860 - 1940), hija de George Boole (el de las "álgebras de Boole") y geómetra aficionada. Alicia Boole tenía una magnífica "visión" del espacio 4-dimensional, y construyó modelos de los seis politopos regulares de dimensión 4, de los que vamos a hablar ahora. Pero primero será bueno que demos la definición precisa de politopo regular. La traducción literal de la definición que dimos en dimensión tres sería que un d-politopo regular es un politopo de dimensión d cuyos vértices son todos incidentes al mismo

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crestas y facetas. Las demás no tienen un nombre específico. El término politopo lo inventó Alicia Boole Scott (1860 - 1940), hija de George Boole (el de las "álgebras de Boole") y geómetra aficionada. Alicia Boole tenía una magnífica "visión" del espacio 4-dimensional, y construyó modelos de los seis politopos regulares de dimensión 4, de los que vamos a hablar ahora. Pero primero será bueno que demos la definición precisa de politopo regular. La traducción literal de la definición que dimos en dimensión tres sería que un dpolitopo regular es un politopo de dimensión d cuyos vértices son todos incidentes al mismo número de facetas y cuyas facetas son todas (d-1)-politopos regulares iguales. Pero hay una cosa que no es automática y que deseamos incluir en la definición. En dimensión tres, el que el número de caras sea el mismo en todos los vértices granatiza una "simetría" absoluta entre todos ellos. En cambio, en dimensión cuatro podría ocurrir que si tenemos seis tetraedros con un vértice común la simetría local del vértice sea "sólo" la de una bipirámide triangular. (La bipirámide triangular es el poliedro cuyas caras son seis triángulos equiláteros. La imagen "local" de este supuesto 4-politopo regular sería la de un cono sobre dicha bipirámide; podríamos visualizarlo como la partición de la bipirámide en seis tetraedros obtenida uniendo cada cara al baricentro). Para evitar este tipo de objetos, que no son del todo regulares, introduzcamos el concepto de "figura de vértice". Dado un vértice v de un politopo P, consideremos un hiperplano afín H muy cercano a v y que separe a v de todos los demás vértices de P. Llamamos figura de vértice de P en v al politopo (de dimensión d − 1) que se obtiene como intersección de H y P. Para aclarar el concepto, observemos que la figura de vértice de un poliedro regular de tipo (p, q) es un polígono de p lados. Además, si H es elegido adecuadamente, dicho polígono resulta regular. Dicho esto ya podemos dar una definición recursiva de politopo regular: Un politopo regular de dimensión d es un politopo cuyas facetas son todas politopos regulares e iguales y cuyas figuras de vértice son todas (con una elección adecuada de los hiperplanos H) politopos regulares e iguales. Fijémonos entonces en dimensión cuatro. Atendiendo a esta definición, un 4-politopo regular de dimensión cuatro debería estar caracterizado por cuatro números ((p, q), (r, s)), donde (p, q) es el par que caracteriza a cada figure de vértice como poliedro regular, y (r, s) el que caracteriza a cada faceta. Pero hay una restricción combinatoria. Teorema: la figura de vértice de una faceta coincide con una faceta de la figura de vértice. La demostración de este hecho es inmediata, si observamos que las operaciones de tomar una "faceta" y una "figura de vértice" en un politopo consisten ambas en "intersecar con un hiperplano" y que, por tanto, conmutan. Es decir, en la descripción anterior de los politopos de dimensión 4, se tiene que q = r. Más generalmente:

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Un Paseo por la Geometría

Teorema (Schläfli, 1860): A todo poliedro regular P de dimensión d se le puede asociar un vector (s1 , s2 , ..., sd−1 ) de números naturales, de modo que (s1 , s2 , ..., sd−2 ) y (s2 , s3 , ..., sd−1 ) son los vectores asociados a sus figuras de vértice y a sus facetas, respectivamente. El vector de Schläfli de un n-gono es (n), y el de un poliedro regular es el par (p, q) que hemos utilizado para su clasificación. El Teorema de Schläfli restringe automáticamente el número de posibles politopos regulares de dimensión 4 a tan sólo 11. A saber, los que tienen como símbolos de Schläfli: fig. de vértice tetraedro tetraedro tetraedro octaedro octaedro octaedro icosaedro icosaedro icosaedro cubo dodecaedro

3-cara (faceta) tetraedro cubo dodecaedro tetraedro cubo dodecaedro tetraedro cubo dodecaedro octaedro icosaedro

símbolo de Schläfli {3, 3, 3} {3, 3, 4} {3, 3, 5} {4, 3, 3} {4, 3, 4} {4, 3, 5} {5, 3, 3} {5, 3, 4} {5, 3, 5} {3, 4, 3} {3, 5, 3}

Pero hasta ahora sólo hemos usado una "compatibilidad combinatoria". Nos Pero hasta ahorauna sólo"compatibilidad hemos usado unageométrica". "compatibilidad combinatoria". Nos queda por queda por usar usarLema: una "compatibilidad geométrica". Sean F y V dos politopos regulares de dimensión d − 1. Para que exista un politopo facetaregulares F y figura de vértice V Para es necesario, además de Lema: Sean Fregular y V doscon politopos de dimensión d-1. que exista un politopo la "compatibilidad combinatoira", que el ángulo sólido en cada vértice de F sea regular con faceta F y figura de vértice V es necesario, además de la "compatibilidad combinatoira", que el ángulo en cada vértice seadesde menorsu que al ángulo con el menor que al ángulo con elsólido que cada faceta de VdeseF ve baricentro. que Dicho cada faceta de V modo, se ve desde su baricentro. de otro es necesario que sea posble disponer, alrededor de un mismo punto del espacio de dimensión d−1, tantas copias de F como facetas tenga Dicho de otro modo, es necesario que sea posble disponer, alrededor de un mismo punto V. ejemplo, en el caso dimensión y tomando lo delPor espacio de dimensión d-1,de tantas copias detres F como facetas como tenga F V. un Portriángulo, ejemplo, en que estamos diciendo es que el tetraedro, octaedro e icosaedro son posibles porque el caso de dimensión tres y tomando como F un triángulo, lo que estamos diciendo es que eluno tetraedro, son porque cada uno de es losmayor ángulosque en 60 el cada de los octaedro ángulos eenicosaedro el centro deposibles los siguientes polígonos centro de los siguientes polígonos es mayor que 60 grados. grados.

Con un argumento topológico ("la esfera de dimensión d-1 es simplemente conexa, para todo d≥3") es fácil concluir que la compatibilidad combinatoria (símbolo de Schläfli) y geométrica (ángulo sólido), además de ser necesarias, son suficientes para la existencia de un politopo regular. Por tanto, la clasificación de los politopos regulares de dimensión cuatro queda reducida a medir ciertos ángulos (o, equivalentemente, ciertas longitudes) en los poliedros de dimensión tres. Por ejemplo:

Poliedros y politopos

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Con un argumento topológico ("la esfera de dimensión d − 1 es simplemente conexa, para todo d ≥ 3") es fácil concluir que la compatibilidad combinatoria (símbolo de Schläfli) y geométrica (ángulo sólido), además de ser necesarias, son suficientes para la existencia de un politopo regular. Por tanto, la clasificación de los politopos regulares de dimensión cuatro queda reducida a medir ciertos ángulos (o, equivalentemente, ciertas longitudes) en los poliedros de dimensión tres. Ejemplo (la 600-celda): El politopo regular de símbolo (p, 3, 3) existe si, y sólo si, en el poliedro regular de símbolo (p, 3) la longitud del lado es mayor que la distancia de cada vértice al baricentro. Con p = 3 y p = 4 es obvio que la respuesta es sí. Con p = 5 podemos hacer un sencillo cálculo. Es bien sabido que cada pareja de aristas opuestas de un icosaedro regular son lados de un rectángulo aúreo. Sea 1 el lado de la arista y r = 1,618... la razón aúrea, que satisface r2 = r + 1. Entonces, el diámetro del icosaedro es la raíz cuadrada de 1 + r2 = r + 2 = 3,618 ≈ 1,92 . La distancia del vértice al centro es la mitad de eso, o sea, ligeramente menor que uno. Por tanto, el politopo (5, 3, 3) existe. Ahora bien, el hecho de que esos dos parámetros (lado y distancia al centro) sean casi iguales (la razón es de 1 : 0,95 más o menos) significa que cuando coloquemos 20 tetraedros alrededor de un vértice de R4 el resultado va a tener "muy poca curvatura". Es decir, vamos a necesitar muchos tetraedros para poder cerrar el politopo completo sobre sí mismo. La realidad es que el politopo regular con símbolo (5, 3, 3) tiene nada más y nada menos que 600 facetas. Por esa razón se le conoce como la 600 celda. Con estas herramientas y teniendo un poco de familiaridad con los poliedros regulares, se deja al lector la comprobación de que los únicos politopos regulares de dimensión 4 que existen son los de la siguiente lista. Obsérvese que el método que usamos nos dice cuál es el número de Schläfli, pero no cuántas caras tendrá el poliedro final. Del mismo modo, la construcción tal como la explicamos en dimensión tres no permite predecir que el dodecaedro (o sea, el poliedro obtenido pegando tres pentágonos en cada vértice) resultaré tener 12 caras). Este dato sólo se puede obtener con métodos geométricos más finos. Nombre fig. de vértice símplice tetraedro hipercubo tetraedro 120-celda tetraedro hiperoctaedro octaedro 600-celda icosaedro 24-celda cubo

faceta tetraedro cubo dodecaedro tetraedro tetraedro octaedro

Schläfli (3, 3, 3) (3, 3, 4) (3, 3, 5) (4, 3, 3) (5, 3, 3) (3, 4, 3)

f -vector (5, 10, 10, 5) (16, 32, 24, 8) (600, 1200, 720, 120) (8, 24, 32, 16) (120, 720, 1200, 600) (24, 96, 96, 24)

Obsérvese que esta tabla es compatible con el hecho de que el dual de un

hipercubo finos. 120-celda Nombre hiperoctaedro símplice 600-celda hipercubo 24-celda

tetraedro tetraedro fig. de vértice octaedro tetraedro icosaedro cubotetraedro

cubo dodecaedro faceta tetraedro tetraedro tetraedro cubo octaedro

(3, 3, 4) (3, 3, 5) Schläfli (4, 3, 3) (3, 3, (5, 3,3)3) (3, 3, 4) (3, 4, 3)

(16, 32, 24, 8) (600, 1200, 720, 120) f-vector (8, 24, 32, 16) (5,(120, 10, 10, 5) 1200, 600) 720, (16, 32, 24, 8) (24, 96, 96, 24)

120-celda tetraedro dodecaedro (3, 3, 5) (600, 1200, 720, 120) hiperoctaedro octaedro tetraedro (4, 3, 3) (8, 24, 32, 16) Obsérvese que esta icosaedro tabla es compatible con el hecho de que el dual720, de 1200, un politopo 600-celda tetraedro (5, 3, 3) (120, 600) regular 76 Un Paseo por la Geometría es regular. Los pares (hipercubo, hiperoctedro) y (120-celda, 600-celda) son duales. El 24-celda cubo octaedro (3, 4, 3) (24, 96, 96, 24)

hipersímplice y la 24-celda son duales de sí mismos. Obsérvese que estaestabla es compatible el hecho de que el dual dey un politopo regular politopo regular regular. Los parescon (hipercubo, hiperoctedro) (120-celda, 600es regular. Los pares (hipercubo, hiperoctedro) y (120-celda, 600-celda) son duales. El He aquí algunos "modelos tridimensionales" de los 4-politopos regulares: celda) son duales. El hipersímplice y la 24-celda son duales de sí mismos. hipersímplice y la 24-celda son duales de sí mismos. He aquí algunos "modelos tridimensionales" de los 4-politopos regulares: La 24-celda: Consta"modelos deConsta 24 octaedros, 8 incidentes en cada en uno de sus La algunos 24-celda: de 24 octaedros, 8 incidentes cada uno24devértices. sus 24 Estos He aquí tridimensionales" de los 4-politopos regulares: 24 vértices se Estos pueden dividir se (ypueden de diferentes además) en los 16 de un vértices. 24 vértices dividir (ymaneras, de diferentes maneras, además) hipercubo más los 8 de un hiperoctaedro. Esto es lo que quiere representar la siguiente La de 24 octaedros, incidentes en cada uno Esto de suses24lovértices. Estos en 24-celda: los 16 deConsta un hipercubo más los 88 de un hiperoctaedro. que quiere vértices se pueden dividir (y de diferentes maneras, además) en los 16 de un figura:24 representar la siguiente figura: hipercubo más los 8 de un hiperoctaedro. Esto es lo que quiere representar la siguiente figura:

La 120-celda: Consta de 120 dodecaedros, 4 incidentes en cada uno de sus 600 vértices: La 120-celda: Consta de 120 dodecaedros, 4 incidentes en cada uno de sus 600 vértices: La 120-celda: Consta de 120 dodecaedros, 4 incidentes en cada uno de sus 600 vértices:

Bathsheba Grossman, The 120-cell, www.bathsheba.com La 600-celda: 600 tetraedros, 20 incidentes en cada uno de sus 120 vértices:

La 600-celda: Poliedros y politopos600 tetraedros, 20 incidentes en cada uno de sus 120 vértices: 77

Politopos regulares en dimensión 5 o más: de la clasificación de los 4Politopos regulares en dimensión o más: de de Schläfli la clasificación los 4-politopos politopos regulares se deducen 11 posibles5 símbolos para los de de diregulares se deducen 11 posibles símbolos de Schläfli para los de dimensión 5. A saber: mensión 5. A saber: (3, 4, 3, 3), (3, 3, 4, 3) y (p, 3, 3, q), con 3 ≤ p , q , ≤ 5. Pero la restricción geométrica ahora sólo permite tres poliedros regulares. A saber:

(3, 4, 3, 3),

Nombre

(3, 3, 4, 3)

fig. de vértice

y

(p, 3, 3, q),

faceta

con

3 ≤ p, q ≤ 5.

Schläfli

f-vector

Pero lasímplice restricción geométrica permite tres(3, poliedros saber: símplice ahora sólo símplice 3, 3, 3) regulares. (6, 15,A20, 15, 6) hipercubo símplice hipercubo hiperoctaedro hiperoctaedro símplice

(3, 3, 3, 4) (4, 3, 3, 3)

(32, 80, 80, 40, 10) (10, 40, 40, 80, 32)

Nombre fig. de vértice faceta Schläfli f -vector símplice símplice símplice (3, 3, 3, 3) (6, 15, 6) es "obvio": El Que estos tres existen, no sólo en dimensión cinco sino 15, en 20, cualquiera, d hipercubo símplice hipercubo (3, 3, 3, 4) (32, 80, 80, 40, 10) hipercubo es el politopo [-1,1] , el hiperoctaedro es su dual, con dos vértices en cada eje hiperoctaedro hiperoctaedro (4, 3, 3,como 3) (10, 40, 40, 80, 32) de coordenadas, y el símplice símplice se puede construir pirámide sobre el símplice de una dimensión menor. Pero, lo que es más curioso, el hecho de que en dimensión cinco sólo existan estos tres, implica la misma propiedad para cualquier otra dimensión mayor. Es Que estos tres existen, no sólo en dimensión cinco sino en cualquiera, es "obdecir: d

vio": El hipercubo es el politopo [−1, 1] , el hiperoctaedro es su dual, con dos vértices en de coordenadas, y el símplicedesetodas puede comoconsta pirámide La cada lista eje completa de politopos regulares lasconstruir dimensiones de: sobre -elLos símplice de una dimensión menor. Pero, lo que es más curioso, el hecho polígonos regulares de dimensión dos. de que- El ensímplice, dimensión cinco sólo existan estosdetres, implicaarbitraria. la misma propiedad hipercubo e hiperoctaedro dimensión - Los cinco "politopos esporádicos" de dimensiones tres y cuatro: icosaedro, dodecaedro, para cualquier otra dimensión mayor. Es decir: 120-celda y 24-celda. La600-celda, lista completa de politopos regulares de todas las dimensiones consta de: ¿Cuántas carasdos. puede tener un politopo? - Los polígonos regulares de dimensión

describiendo brevemente qué sabe (o, más bien, qué no se sabe) sobre los - Terminamos El símplice, hipercubo e hiperoctaedro de se dimensión arbitraria. posibles f-vectores de caras de poliedros de dimensión 4 o mayor.

- Los cinco "politopos esporádicos" de dimensiones tres y cuatro: icosaedro, En cualquier dimensión se tiene, en primer lugar, la fórmula de Euler-Poincaré: la suma dodecaedro, 600-celda, 120-celda y 24-celda. alternada de los números de caras de cada dimensión es 0 o 2 dependiendo de que la dimensión del politopo sea par o impar. Es decir: f0 - f1 + f2 - f3 + … = 1 + (-1)

d

Pero, por ejemplo, no existe hasta la fecha ninguna clasificación completa de los fvectores de politopos de dimensión 4.

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Un Paseo por la Geometría

6. ¿Cuántas caras puede tener un politopo? Terminamos describiendo brevemente qué se sabe (o, más bien, qué no se sabe) sobre los posibles f -vectores de caras de poliedros de dimensión 4 o mayor. En cualquier dimensión se tiene, en primer lugar, la fórmula de Euler-Poincaré: la suma alternada de los números de caras de cada dimensión es 0 o 2 dependiendo de que la dimensión del politopo sea par o impar. Es decir: f0 − f1 + f2 − f3 + · · · = 1 + (−1)d . Pero, por ejemplo, no existe hasta la fecha ninguna clasificación completa de los f -vectores de politopos de dimensión 4. Sí se conoce la respuesta para politopos simpliciales (un politopo se llama simplicial si todas sus fcetas son símplices) y, por dualidad, para politopos simples (un politopo se dice simple si todas sus figuras de vértice son símplices). Teorema (Stanley, Billera, Lee, 1980): un vector ( f0 , f1 , . . . , fd−1 ) con coordenadas naturales es el f -vector de un d-politopo si y sólo si satisface: (1) Las d/2 (si d es par) o (d + 1)/2 (si d es impar) "ecuaciones de DehnSomerville". Se trata de igualdades lineales que generalizan, e incluyen, a la de Euler-Poincaré. (2) Las d − 1 "ecuaciones de McMullen": son desigualdades, la mitad de ellas lineales y la otra mitad de grado hasta d/2. Su demostración precisa conceptos avanzados de geometría y topología algebraicas. Una pregunta abierta: ¿Existen 4-politopos en los que sea arbitrariamente grande el cociente ( f1 + f2 )/( f0 + f3 )? Al parámetro ( f1 + f2 )/( f0 + f3 ) (con unas constantes de normalización) G. Ziegler lo llama "fatness" ("gordura"). No se conocen 4-politopos que lo tengan gordura mayor que 9, pero tampoco se conoce ninguna cota superior. Es bastante ilustrativo el siguiente esquema, tomado de [Ziegler, 2002]. El esquema representa los politopos de dimensión 4 mediante dos parámetros X e Y "homogéneos", de modo que si dos politopos tuvieran f -vectores (más o menos) uno múltiplo del otro aparecerían como el mismo punto en el esquema. Esto tiene sentido porque se posible pegar politopos de modo que el f -vector del resultado sea (más o menos) la suma de los f -vectores pegados.

arbitrariamente grande? Al parámetro (f1 + f2 )/(f0 + f3 ) (con unas constantes de normalización) G. Ziegler lo llama "fatness" ("gordura"). No se conocen 4-politopos que lo tengan gordura mayor que 9, pero tampoco se conoce ninguna cota superior. Es bastante ilustrativo el siguiente esquema, tomado de [Ziegler, 2002]. El esquema representa los politopos de dimensión 4 mediante dos parámetros X e Y "homogéneos", de modo que si dos politopos tuvieran fvectores (más o menos) uno múltiplo del otro aparecerían como el mismo punto en el esquema. Esto tiene sentido porque se posible pegar politopos de modo que el f-vector Poliedros y politopos 79 del resultado sea (más o menos) la suma de los f-vectores pegados. Y = (f0 -5)/(f1 + f2-20) cíclicos simpliciales subdivisiones del símplice poco fat (fat=2.5) truncados del símplice simples

muy fat (¿existen?)

Francisco Santos Leal Universidad de Cantabria Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación Av. de los Castros s/n, 39005 Santander e-mail: [email protected] http://personales.unican.es/santosf/

X = (f0 -5)/(f1 + f2-20)