PROBABILIDAD SIMPLE

1.1.2, 1.2.1 – 1.2.3

Resultado: Cualquier resultado posible o real de la acción considerada, como sacar un 5 en un cubo numverado estándar o salir cruz al arrojar una moneda. Evento: Un resultado o grupo de resultados deseados (o exitosos) de un experimento, tales como sacar un número impar en un cubo numerado estándar. Espacio muestral: Todos los resultados posibles de una situación. Por ejemplo, el espacio muestral de arrojar una moneda es caras y cruzes; arrojar un cubo numerado estándar tiene seis resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6). Probabilidad: La probabilidad de que un evento ocurra. Las probabilidades se pueden escribir como fracciones, decimales o porcentajes. Un evento que está garantizado a pasar tiene una probabilidad de 1 o 100%. Un evento que no tiene ninguna posibilidad de ocurrir tiene una probabilidad de 0 o 0%. Eventos que “podrían ocurrir” tienen probabilidades entre 0 y 1 o entre 0% y 100%. En general, mientras más probable que un evento ocurra, mayor su probabilidad. Probabilidad experimental: La probabilidad basada en los datos recogidos en los experimentos. número de resultados positivos en el experiment Probabilidad experimental = número total de resultados en el experimento La probabilidad teórica es una probabilidad calculada basada en los resultados posibles cuando todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Probabilidad teórica =

número de resultados (eventos) positivos número total de resultados posibles

En el contexto de la probabilidad, “exitoso” por lo general significa un resultado (evento) deseado o especificado, tales como sacar un 2 en un cubo numerado (probabilidad de 16 ). Para calcular la probabilidad de sacar un 2, primero averigüe cuántos resultados posibles hay. Puesto que hay seis caras en el cubo numerado, el número de resultados posibles es 6. De las seis caras, sólo una de las caras tiene un 2 en él. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de sacar un 2, usted escribiría: P(2) =

número de maneras de sacar 2 número de resultados posibles

=

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1 6

o 0.16 o aproximadamente 16.7%

Core Connections en español, Curso 2

Ejemplo 1 Si usted arroja un cubo numerado justo de 6 caras, cuál es P(3), es decir ¿cuál es la probabilidad de que usted arroja un 3? Debido a que los seis lados tienen la misma probabilidad de sacar, y sólo hay un 3, P(3) =

1 6

.

Ejemplo 2 Hay 12 canicas en una bolsa: 2 claras, 4 verdes, 5 amarillas y 1 azul. Si una canica se elige al azar de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color amarillo? P(amarillo) =

5 (amarillo) 12 (resultados)

5 = 12

Ejemplo 3 Joe arrojó una moneda 50 veces. Cuando graba sus lanzamientos, su resultado fue de 30 caras y 20 cruzes. La actividad de Joe proporcionó datos para calcular la probabilidad experimental de arrojar una moneda. a.

¿Cuál es la probabilidad teórica de que Joe saca cabezas? La probabilidad teórica es 50% o 12 , porque sólo hay dos posibilidades (cara y cruz), y cada uno es igualmente probable que se produzca.

b.

¿Cuál era la probabilidad experimental de arrojar una moneda y sacar cara basada en la actividad de Joe? 30 , La probabilidad experimental es 50 obtuvo cuando se arrojó la moneda.

3 5

o 60%. Estos son los resultados de Joe en realidad

Ejemplo 4 Decida si estas afirmaciones describen probabilidades teóricas o experimentales. a.

La posibilidad de sacar un 6 en un dado justo es

1 6

.

Esta afirmación es teórica. b.

Arrojé el dado 12 veces y 5 ocurrió tres veces. Esta afirmación es experimental.

c.

Hay 15 canicas en una bolsa; 5 azules, 6 amarillos y 4 verdes. La probabilidad de obtener una canica azul es 13 . Esta afirmación es teórica.

d.

Cuando Veronika sacó tres canicas de la bolsa sacó 2 amarillo y 1 azul, o 1 azul. 3

2 3

amarillo,

Esta declaración es experimental. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

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Problemas 1.

Hay 24 lápices de colores en una caja: 5 negras, 3 blancas, 7 rojas, 2 amarillas, 3 azules y 4 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un verde? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórico?

2.

Una ruleta es dividida en cuatro secciones iguales numeradas 2, 4, 6 y 8. ¿Cuál es la probabilidad de girar un 8?

3.

Un cubo numerado justo marcado 1, 2, 3, 4, 5, y 6 es arrojado. Tyler arrojó el cubo 40 veces, y observó que 26 veces un número par mostró. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que un número par se sacará? ¿Cuál es la probabilidad teórica?

4.

Sara está en un día de campo y mete la mano en una hielera, sin mirar, para agarrar una lata de refresco. Si hay 14 latas de naranja, 12 latas de jugo de frutas y 10 latas de cola, ¿cuál es la probabilidad de que ella toma una lata de jugo de frutas? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórica?

5.

Un promedio de bateo de béisbol es la probabilidad de que un jugador de béisbol golpea la pelota cuando batea. Si un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 266, significa que la probabilidad de que el jugador consegue un hit es 0.266. ¿Es un promedio de bateo de una probabilidad experimental o teórico?

6.

En 2011, 39 personas perdieron la vida al ser alcanzado por un rayo, y 241 personas resultaron heridas. Había 310,000,000 personas en los Estados Unidos. ¿Cuál es la probabilidad de ser una de las personas alcanzadas por un rayo?

7.

En un estudio médico, 107 personas se les dio una nueva píldora de vitaminas. Si un participante se enfermó, fue retirado del estudio. Diez de los participantes se enfermaron con un resfriado común, 2 padecieron de la gripe, 18 se enfermaron del estómago y 77 nunca se enfermaron. ¿Cuál era la probabilidad de enfermarse si usted participó en este estudio? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórica?

8.

Las compañías de seguros utilizan probabilidades para determinar la tasa que van a cobrar por una póliza de seguro. En un estudio de 300 personas que tenían pólizas de seguro de vida, una compañía de seguros encontró que 111 personas eran mayores de 80 años cuando murieron, 82 personas murieron cuando tenían entre 70 y 80 años de edad, 52 murieron entre 60 y 70 años de edad y 55 murieron cuando eran menores de 60 años de edad. En este estudio cuál era la probabilidad de morir más joven de 70 años de edad? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórica?

Respuestas 1. 5.

1 6

; teórico

2.

1 4

experimental

6.

39+241 310,000,000

3. ≈

0.000000903 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

7.

26 ; 3 40 6

4.

≈ 0.28 experimental 10+2+18 107

8.

1; 3

teórico

≈ 35.7% experimental 55+52 300

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1.1.3 y AM de 1.1.4

Medidas de tendencia central son los números que sitúan o se aproximan al “centro” de un conjunto de datos, es decir, un valor “típico” que describe el conjunto de datos. La media y la mediana son las medidas más comunes de tendencia central. (Modo no será cubierto en este curso.) La media es el promedio aritmético de un conjunto de datos. Sume todos los valores de un conjunto y divida esta suma por el número de valores en el conjunto. La mediana es el número intermedio de un grupo de datos organizados en orden numérico. Un valor atípico es un número que es mucho más pequeña o más grande que la mayoría de los otros en el conjunto de datos. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre los valores más altos y más bajos del conjunto de datos. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 1.1.3 y 1.1.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.

La media se calcula hallando la suma del conjunto de datos y dividiéndolo por el número de elementos en el conjunto.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Halle la media de este conjunto de datos: 34, 31, 37, 44, 38, 34, 42, 34, 43 y 41.

Halle la media de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95 y 77.

•

•

•

34 + 31 + 37 + 44 + 38 + 34 + 42 + 34 + 43 + 41 = 378 378 10

= 37.8

La media de este conjunto de datos es 37.8.

•

92 + 82 + 80 + 92 + 78 + 75 + 95 + 77 = 671 671 8

= 83.875

La media de este conjunto de datos es 83.875.

Problemas Halle la media de cada conjunto de datos. 1.

29, 28, 34, 30, 33, 26 y 34.

2.

25, 34, 35, 27, 31 y 30.

3.

80, 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 81 y 123.

4.

116, 104, 101, 111, 100, 107, 113, 118, 113, 101, 108, 109, 105, 103 y 91.

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Core Connections en español, Curso 2

La mediana es el número intermedio de un conjunto de datos organizados en orden numérico. Si hay un número par de valores, la mediana es la media (promedio) de los dos números centrales.

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Halle la mediana de este conjunto de datos: 34, 31, 37, 44, 38, 34, 43 y 41.

Halle la mediana de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95, 77 y 77.

•

Ponga los datos en orden: 31, 34, 34, 37, 38, 41, 43, 44.

•

Ponga los datos en orden: 75, 77, 77, 78, 80, 82, 92, 92 y 95.

•

Encuentre el valor intermedio(s): 37 y 38.

•

•

Puesto que hay dos valores intermedios, encuentre su media: 37 + 38 = 75, 75 = 37.5. Por lo tanto, la mediana de 2 este conjunto de datos es de 37.5.

Encuentre el valor intermedio(s): 80. Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es 80.

Problemas Halle la mediana de cada conjunto de datos. 5. 29, 28, 34, 30, 33, 26 y 34.

6. 25, 34, 27, 25, 31 y 30.

7. 80, 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 81 y 123.

8. 116, 104, 101, 111, 100, 107, 113, 118, 113, 101, 108, 109, 105, 103 y 91.

El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más alto y el valor más bajo.

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Halle el rango de este conjunto de datos: 114, 109, 131, 96, 140 y 128.

Halle el rango de este conjunto de datos: 37, 44, 36, 29, 78, 15, 57, 54, 63, 27 y 48.

• El valor más alto es 140.

• El valor más alto es 78.

• El valor más bajo es 96.

• El valor más bajo es 27.

• 140 – 96 = 44.

• 78 – 27 = 51.

• El rango de este conjunto de datos es 44.

• El rango de este conjunto de datos es 51.

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Problemas Halle el rango de cada conjunto de datos en problemas 5 a 8. Los valores atípicos son números en un conjunto de datos que sea mucho mayor o mucho menor que los otros números en el conjunto.

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 88, 90 96, 93, 87, 12, 85 y 94.

Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 67, 54, 49, 76, 64, 59, 60, 72, 123, 44 y 66.

• El valor atípico es 12.

• El valor atípico es 123.

Problemas Identifique el valor atípico en cada conjunto de datos. 9. 70, 77, 75, 68, 98, 70, 72 y 71.

10. 14, 22, 17, 61, 20, 16 y 15.

11. 1376, 1645, 1783, 1455, 3754, 1790, 1384, 1643, 1492 y 1776.

12. 62, 65, 93, 51, 55, 14, 79, 85, 55, 72, 78, 83, 91 y 76.

Respuestas 1.

30.57

2.

30. 3

3.

86.13

4.

106. 6

5.

mediana: 30; rango: 8

6.

mediana: 28.5; rango: 9

7.

mediana: 82; rango: 47

8.

mediana: 107; rango: 27

9.

98

10.

61

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11.

3754

12.

14

Core Connections en español, Curso 2

ESCOGIENDO UNA ESCALA

AM de 1.2.2

El eje (o ejes) de una gráfica tiene que estar marcado por tamaños iguales llamados intervalos. Marcando los intervalos en el eje se llama la escala de los ejes. La diferencia entre los marcados consecutivos nos dice el tamaño (escala) de cada intervalo. Note que cada eje de una gráfica bidimensional puede usar un escala diferente. A veces el eje o ejes no es provisto. Un estudiante debe contar el número de espacios utilizable en el papel cuadriculado. Cuantos espacios hay utilizable depende en que tan grande la gráfica estará y cuanto espacio se necesitará para etiquetar cada eje. Siga estos pasos para escalar cada eje en la gráfica. 1. Encuentre la diferencia entre el número más pequeño y el más grande (el rango) que necesita poner en el eje. 2. Cuente el número de intervalos (espacios) que tiene en el eje. 3. Divida el rango por el número de intervalos para encontrar el tamaño del intervalo. 4. Etiquete las marcas en el eje usando el tamaño del intervalo. A veces dividir el rango por los números de intervalos produce un tamaño de intervalo que hace difícil de interpretar la ubicación de puntos en la gráfica. El estudiante puede hacer uso del juicio y redondear el intervalo (siempre hacia arriba, si se tiene que redondear) a un número conveniente de usar. Las marcas de intervalos como 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, etc., funcionan bien. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 1.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1 1. La diferencia entre 0 y 60 es 60. 2. La línea de números es dividida en 5 intervalos iguales. 3. 60 dividido por 5 como 12.

0

12

24

36

48

60

4. Las marcas son etiquetados con múltiples del tamaño del intervalo de 12.

Ejemplo 2

300

1. La diferencia entre 300 y 0 es 300.

225

2. Hay 4 intervalos.

150

3. 300 ÷ 4 = 75 4. El eje es etiquetado con múltiples de 75. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

75 0 Core Connections en español, Curso 2

Ejemplo 3 750

1. La diferencia en el eje vertical es 750 – 0 = 750. (El origen es (0, 0)). En el eje horizontal el rango es 6 – 0 = 6.

600 450

2. Hay 5 espacios verticalmente y 3 horizontalmente.

300

3. El tamaño del intervalo vertical es 750 ÷ 5 = 150. El intervalo horizontal es 6 ÷ 3 = 2.

150

4. Los ejes son etiquetados apropiadamente.

2

4

6

Ejemplo 4 A veces los ejes se extienden al lado negativo. 1. El rango es 20 – (–15) = 35. –15 –10

2. Hay 7 intervalos en la línea. 3.

–5

0

5

10

15

20

35 ÷ 7 = 5

4. Etiquete los ejes con múltiples de cinco.

Problemas Escale cada eje: 1.

2.

3.

4. 150

9

–12

14

0

5. 48

–8

–13

6. –16 70

–6

–12

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Core Connections en español, Curso 2

7.

8.

y

y

20 16

10

x

9.

12

x

1

x

10. Use fracciones. y

y

200

1

300

x

Respuestas 1.

2, 4, 6, 8, 10, 12

2.

–9, –6, –3, 0, 3, 6

3.

86, 102, 118, 134

4.

–2, 8, 18, 28, 38

5.

–12, –11, –10, –9

6.

–18, –14, –12, –10, –8

7.

x: 2, 4, 6, 8, 12 y: 4, 8, 12, 16, 24

8.

x: 3, 6, 9, 15, 18 y: 4, 8, 12, 20, 24

9.

x: 60, 120, 180, 240, 360 y: 40, 80, 120, 160, 240

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10.

x: y:

1 4 1 2

, 12 , 43 ,1 14 ,1 12 ,1 12 , 2, 2 12 , 3

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FRACCIONES EQUIVALENTES

1.2.4 y 1.2.5

Fracciones que nombran el mismo valor se llaman fracciones equivalentes, como 23 = 69 . Un método para encontrar fracciones equivalentes es usar la identidad multiplicativa (Propiedad de identidad de la multiplicación), es decir, multiplicar la fracción por una forma del número 1 como 22 , 55 , etc. En este curso, llamamos estas fracciones el “Uno Gigante.” Multiplicar por 1 no cambia el valor del número. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 1.2.8 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1 Halle tres fracciones equivalentes a 1⋅2 2 2

=

2 4

1 2

.

⋅ 33 =

1 2

1⋅4 2 4

3 6

=

4 8

Ejemplo 2 Use el Uno Gigante para hallar una fracción equivalente a usando fracciones en que los denominadores son 96:

7 12

7 ? 12 ⋅     = 96

¿Cuál Uno Gigante” va a usar? 96 12

Como

= 8 , el Uno Gigante es

8 8

7 ⋅8 12 8

:

=

56 96

Problemas Use el Uno Gigante para hallar la fracción equivalente especifica. Su respuesta debe incluir el Uno Gigante que use o el numerador equivalente. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Respuestas 1.

5 5

, 20

2.

4 4

, 20

3.

19 19

, 171

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4.

4 4

, 12

5.

6 6

, 30

6.

3 , 3

18

Core Connections en español, Curso 2

OPERACIONES CON FRACCIONES

1.2.6 y 1.2.8

SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Antes de que las fracciones se puedan sumar o restar, las fracciones deben tener el mismo denominador, es decir, un denominador común. Le presentaremos dos métodos para sumar y restar fracciones.

MÉTODO DE MODELO DE ÁREA Paso 1:

Copie el problema.

Paso 2:

Dibuje y divida los rectángulos en partes iguales para cada fracción. Un rectángulo es marcado verticalmente en partes iguales basado en el primer denominador (abajo). El otro es marcado horizontalmente usando el segundo denominador. El número de rectángulos sombreados está basado en el numerador (arriba). Etiquete cada rectángulo con la fracción que representa.

Paso 3:

1  +  1 3 2

+ 1 3

Sobrepongamos las líneas de un rectángulo sobre el otro rectángulo como si uno fuera puesto sobre el otro.

Paso 4:

Renombre las fracciones en sextas, porque los nuevos rectángulos se dividen en seis partes iguales. Cambie los numeradores para igualar el número en sextos en cada figura.

Paso 5:

Dibuja un rectangulo vacío con sextos, luego cambie todos los sextos sombreados al mismo número de sextos en el rectángulo nuevo como el total que se sombrearon en los dos rectángulos en el paso anterior.

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1 2

+

+ 2 6

+

3 6

5 6

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Ejemplo 1

1  +  2 2 5

se puede modelar como: 1 2

5+4 10 10

+ 5 10

2 5

así que 9 10

4 10

De este modo,

1  +  2  =  9 2 5 10

.

Ejemplo 2 1  +  4 2 5

seria:

+

+ 1 2

5 10

4 5

8 10

Problemas Use el método de modelo de área para sumar las siguientes fracciones. 1.

3  +  1 4 5

2.

1  +  2 3 7

3.

2  +  3 3 4

Respuestas 1.

19 20

2.

13 21

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3.

17 12

5 = 1 12

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