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PROBABILIDAD SIMPLE
1.1.2, 1.2.1 – 1.2.3
Resultado: Cualquier resultado posible o real de la acción considerada, como sacar un 5 en un cubo numverado estándar o salir cruz al arrojar una moneda. Evento: Un resultado o grupo de resultados deseados (o exitosos) de un experimento, tales como sacar un número impar en un cubo numerado estándar. Espacio muestral: Todos los resultados posibles de una situación. Por ejemplo, el espacio muestral de arrojar una moneda es caras y cruzes; arrojar un cubo numerado estándar tiene seis resultados posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6). Probabilidad: La probabilidad de que un evento ocurra. Las probabilidades se pueden escribir como fracciones, decimales o porcentajes. Un evento que está garantizado a pasar tiene una probabilidad de 1 o 100%. Un evento que no tiene ninguna posibilidad de ocurrir tiene una probabilidad de 0 o 0%. Eventos que “podrían ocurrir” tienen probabilidades entre 0 y 1 o entre 0% y 100%. En general, mientras más probable que un evento ocurra, mayor su probabilidad. Probabilidad experimental: La probabilidad basada en los datos recogidos en los experimentos. número de resultados positivos en el experiment Probabilidad experimental = número total de resultados en el experimento La probabilidad teórica es una probabilidad calculada basada en los resultados posibles cuando todos tienen la misma probabilidad de ocurrir. Probabilidad teórica =
número de resultados (eventos) positivos número total de resultados posibles
En el contexto de la probabilidad, “exitoso” por lo general significa un resultado (evento) deseado o especificado, tales como sacar un 2 en un cubo numerado (probabilidad de 16 ). Para calcular la probabilidad de sacar un 2, primero averigüe cuántos resultados posibles hay. Puesto que hay seis caras en el cubo numerado, el número de resultados posibles es 6. De las seis caras, sólo una de las caras tiene un 2 en él. Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de sacar un 2, usted escribiría: P(2) =
número de maneras de sacar 2 número de resultados posibles
=
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1 6
o 0.16 o aproximadamente 16.7%
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Ejemplo 1 Si usted arroja un cubo numerado justo de 6 caras, cuál es P(3), es decir ¿cuál es la probabilidad de que usted arroja un 3? Debido a que los seis lados tienen la misma probabilidad de sacar, y sólo hay un 3, P(3) =
1 6
.
Ejemplo 2 Hay 12 canicas en una bolsa: 2 claras, 4 verdes, 5 amarillas y 1 azul. Si una canica se elige al azar de la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color amarillo? P(amarillo) =
5 (amarillo) 12 (resultados)
5 = 12
Ejemplo 3 Joe arrojó una moneda 50 veces. Cuando graba sus lanzamientos, su resultado fue de 30 caras y 20 cruzes. La actividad de Joe proporcionó datos para calcular la probabilidad experimental de arrojar una moneda. a.
¿Cuál es la probabilidad teórica de que Joe saca cabezas? La probabilidad teórica es 50% o 12 , porque sólo hay dos posibilidades (cara y cruz), y cada uno es igualmente probable que se produzca.
b.
¿Cuál era la probabilidad experimental de arrojar una moneda y sacar cara basada en la actividad de Joe? 30 , La probabilidad experimental es 50 obtuvo cuando se arrojó la moneda.
3 5
o 60%. Estos son los resultados de Joe en realidad
Ejemplo 4 Decida si estas afirmaciones describen probabilidades teóricas o experimentales. a.
La posibilidad de sacar un 6 en un dado justo es
1 6
.
Esta afirmación es teórica. b.
Arrojé el dado 12 veces y 5 ocurrió tres veces. Esta afirmación es experimental.
c.
Hay 15 canicas en una bolsa; 5 azules, 6 amarillos y 4 verdes. La probabilidad de obtener una canica azul es 13 . Esta afirmación es teórica.
d.
Cuando Veronika sacó tres canicas de la bolsa sacó 2 amarillo y 1 azul, o 1 azul. 3
2 3
amarillo,
Esta declaración es experimental. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
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Problemas 1.
Hay 24 lápices de colores en una caja: 5 negras, 3 blancas, 7 rojas, 2 amarillas, 3 azules y 4 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de elegir al azar un verde? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórico?
2.
Una ruleta es dividida en cuatro secciones iguales numeradas 2, 4, 6 y 8. ¿Cuál es la probabilidad de girar un 8?
3.
Un cubo numerado justo marcado 1, 2, 3, 4, 5, y 6 es arrojado. Tyler arrojó el cubo 40 veces, y observó que 26 veces un número par mostró. ¿Cuál es la probabilidad experimental de que un número par se sacará? ¿Cuál es la probabilidad teórica?
4.
Sara está en un día de campo y mete la mano en una hielera, sin mirar, para agarrar una lata de refresco. Si hay 14 latas de naranja, 12 latas de jugo de frutas y 10 latas de cola, ¿cuál es la probabilidad de que ella toma una lata de jugo de frutas? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórica?
5.
Un promedio de bateo de béisbol es la probabilidad de que un jugador de béisbol golpea la pelota cuando batea. Si un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 266, significa que la probabilidad de que el jugador consegue un hit es 0.266. ¿Es un promedio de bateo de una probabilidad experimental o teórico?
6.
En 2011, 39 personas perdieron la vida al ser alcanzado por un rayo, y 241 personas resultaron heridas. Había 310,000,000 personas en los Estados Unidos. ¿Cuál es la probabilidad de ser una de las personas alcanzadas por un rayo?
7.
En un estudio médico, 107 personas se les dio una nueva píldora de vitaminas. Si un participante se enfermó, fue retirado del estudio. Diez de los participantes se enfermaron con un resfriado común, 2 padecieron de la gripe, 18 se enfermaron del estómago y 77 nunca se enfermaron. ¿Cuál era la probabilidad de enfermarse si usted participó en este estudio? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórica?
8.
Las compañías de seguros utilizan probabilidades para determinar la tasa que van a cobrar por una póliza de seguro. En un estudio de 300 personas que tenían pólizas de seguro de vida, una compañía de seguros encontró que 111 personas eran mayores de 80 años cuando murieron, 82 personas murieron cuando tenían entre 70 y 80 años de edad, 52 murieron entre 60 y 70 años de edad y 55 murieron cuando eran menores de 60 años de edad. En este estudio cuál era la probabilidad de morir más joven de 70 años de edad? ¿Respondió con una probabilidad experimental o teórica?
Respuestas 1. 5.
1 6
; teórico
2.
1 4
experimental
6.
39+241 310,000,000
3. ≈
0.000000903 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
7.
26 ; 3 40 6
4.
≈ 0.28 experimental 10+2+18 107
8.
1; 3
teórico
≈ 35.7% experimental 55+52 300
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.1.3 y AM de 1.1.4
Medidas de tendencia central son los números que sitúan o se aproximan al “centro” de un conjunto de datos, es decir, un valor “típico” que describe el conjunto de datos. La media y la mediana son las medidas más comunes de tendencia central. (Modo no será cubierto en este curso.) La media es el promedio aritmético de un conjunto de datos. Sume todos los valores de un conjunto y divida esta suma por el número de valores en el conjunto. La mediana es el número intermedio de un grupo de datos organizados en orden numérico. Un valor atípico es un número que es mucho más pequeña o más grande que la mayoría de los otros en el conjunto de datos. El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre los valores más altos y más bajos del conjunto de datos. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 1.1.3 y 1.1.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.
La media se calcula hallando la suma del conjunto de datos y dividiéndolo por el número de elementos en el conjunto.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Halle la media de este conjunto de datos: 34, 31, 37, 44, 38, 34, 42, 34, 43 y 41.
Halle la media de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95 y 77.
•
•
•
34 + 31 + 37 + 44 + 38 + 34 + 42 + 34 + 43 + 41 = 378 378 10
= 37.8
La media de este conjunto de datos es 37.8.
•
92 + 82 + 80 + 92 + 78 + 75 + 95 + 77 = 671 671 8
= 83.875
La media de este conjunto de datos es 83.875.
Problemas Halle la media de cada conjunto de datos. 1.
29, 28, 34, 30, 33, 26 y 34.
2.
25, 34, 35, 27, 31 y 30.
3.
80, 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 81 y 123.
4.
116, 104, 101, 111, 100, 107, 113, 118, 113, 101, 108, 109, 105, 103 y 91.
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La mediana es el número intermedio de un conjunto de datos organizados en orden numérico. Si hay un número par de valores, la mediana es la media (promedio) de los dos números centrales.
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Halle la mediana de este conjunto de datos: 34, 31, 37, 44, 38, 34, 43 y 41.
Halle la mediana de este conjunto de datos: 92, 82, 80, 92, 78, 75, 95, 77 y 77.
•
Ponga los datos en orden: 31, 34, 34, 37, 38, 41, 43, 44.
•
Ponga los datos en orden: 75, 77, 77, 78, 80, 82, 92, 92 y 95.
•
Encuentre el valor intermedio(s): 37 y 38.
•
•
Puesto que hay dos valores intermedios, encuentre su media: 37 + 38 = 75, 75 = 37.5. Por lo tanto, la mediana de 2 este conjunto de datos es de 37.5.
Encuentre el valor intermedio(s): 80. Por lo tanto, la mediana de este conjunto de datos es 80.
Problemas Halle la mediana de cada conjunto de datos. 5. 29, 28, 34, 30, 33, 26 y 34.
6. 25, 34, 27, 25, 31 y 30.
7. 80, 89, 79, 84, 95, 79, 78, 89, 76, 82, 76, 92, 89, 81 y 123.
8. 116, 104, 101, 111, 100, 107, 113, 118, 113, 101, 108, 109, 105, 103 y 91.
El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más alto y el valor más bajo.
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Halle el rango de este conjunto de datos: 114, 109, 131, 96, 140 y 128.
Halle el rango de este conjunto de datos: 37, 44, 36, 29, 78, 15, 57, 54, 63, 27 y 48.
• El valor más alto es 140.
• El valor más alto es 78.
• El valor más bajo es 96.
• El valor más bajo es 27.
• 140 – 96 = 44.
• 78 – 27 = 51.
• El rango de este conjunto de datos es 44.
• El rango de este conjunto de datos es 51.
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Problemas Halle el rango de cada conjunto de datos en problemas 5 a 8. Los valores atípicos son números en un conjunto de datos que sea mucho mayor o mucho menor que los otros números en el conjunto.
Ejemplo 7
Ejemplo 8
Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 88, 90 96, 93, 87, 12, 85 y 94.
Halle el valor atípico de este conjunto de datos: 67, 54, 49, 76, 64, 59, 60, 72, 123, 44 y 66.
• El valor atípico es 12.
• El valor atípico es 123.
Problemas Identifique el valor atípico en cada conjunto de datos. 9. 70, 77, 75, 68, 98, 70, 72 y 71.
10. 14, 22, 17, 61, 20, 16 y 15.
11. 1376, 1645, 1783, 1455, 3754, 1790, 1384, 1643, 1492 y 1776.
12. 62, 65, 93, 51, 55, 14, 79, 85, 55, 72, 78, 83, 91 y 76.
Respuestas 1.
30.57
2.
30. 3
3.
86.13
4.
106. 6
5.
mediana: 30; rango: 8
6.
mediana: 28.5; rango: 9
7.
mediana: 82; rango: 47
8.
mediana: 107; rango: 27
9.
98
10.
61
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11.
3754
12.
14
Core Connections en español, Curso 2
ESCOGIENDO UNA ESCALA
AM de 1.2.2
El eje (o ejes) de una gráfica tiene que estar marcado por tamaños iguales llamados intervalos. Marcando los intervalos en el eje se llama la escala de los ejes. La diferencia entre los marcados consecutivos nos dice el tamaño (escala) de cada intervalo. Note que cada eje de una gráfica bidimensional puede usar un escala diferente. A veces el eje o ejes no es provisto. Un estudiante debe contar el número de espacios utilizable en el papel cuadriculado. Cuantos espacios hay utilizable depende en que tan grande la gráfica estará y cuanto espacio se necesitará para etiquetar cada eje. Siga estos pasos para escalar cada eje en la gráfica. 1. Encuentre la diferencia entre el número más pequeño y el más grande (el rango) que necesita poner en el eje. 2. Cuente el número de intervalos (espacios) que tiene en el eje. 3. Divida el rango por el número de intervalos para encontrar el tamaño del intervalo. 4. Etiquete las marcas en el eje usando el tamaño del intervalo. A veces dividir el rango por los números de intervalos produce un tamaño de intervalo que hace difícil de interpretar la ubicación de puntos en la gráfica. El estudiante puede hacer uso del juicio y redondear el intervalo (siempre hacia arriba, si se tiene que redondear) a un número conveniente de usar. Las marcas de intervalos como 1, 2, 5, 10, 20, 25, 50, 100, etc., funcionan bien. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 1.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 1. La diferencia entre 0 y 60 es 60. 2. La línea de números es dividida en 5 intervalos iguales. 3. 60 dividido por 5 como 12.
0
12
24
36
48
60
4. Las marcas son etiquetados con múltiples del tamaño del intervalo de 12.
Ejemplo 2
300
1. La diferencia entre 300 y 0 es 300.
225
2. Hay 4 intervalos.
150
3. 300 ÷ 4 = 75 4. El eje es etiquetado con múltiples de 75. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
75 0 Core Connections en español, Curso 2
Ejemplo 3 750
1. La diferencia en el eje vertical es 750 – 0 = 750. (El origen es (0, 0)). En el eje horizontal el rango es 6 – 0 = 6.
600 450
2. Hay 5 espacios verticalmente y 3 horizontalmente.
300
3. El tamaño del intervalo vertical es 750 ÷ 5 = 150. El intervalo horizontal es 6 ÷ 3 = 2.
150
4. Los ejes son etiquetados apropiadamente.
2
4
6
Ejemplo 4 A veces los ejes se extienden al lado negativo. 1. El rango es 20 – (–15) = 35. –15 –10
2. Hay 7 intervalos en la línea. 3.
–5
0
5
10
15
20
35 ÷ 7 = 5
4. Etiquete los ejes con múltiples de cinco.
Problemas Escale cada eje: 1.
2.
3.
4. 150
9
–12
14
0
5. 48
–8
–13
6. –16 70
–6
–12
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7.
8.
y
y
20 16
10
x
9.
12
x
1
x
10. Use fracciones. y
y
200
1
300
x
Respuestas 1.
2, 4, 6, 8, 10, 12
2.
–9, –6, –3, 0, 3, 6
3.
86, 102, 118, 134
4.
–2, 8, 18, 28, 38
5.
–12, –11, –10, –9
6.
–18, –14, –12, –10, –8
7.
x: 2, 4, 6, 8, 12 y: 4, 8, 12, 16, 24
8.
x: 3, 6, 9, 15, 18 y: 4, 8, 12, 20, 24
9.
x: 60, 120, 180, 240, 360 y: 40, 80, 120, 160, 240
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10.
x: y:
1 4 1 2
, 12 , 43 ,1 14 ,1 12 ,1 12 , 2, 2 12 , 3
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FRACCIONES EQUIVALENTES
1.2.4 y 1.2.5
Fracciones que nombran el mismo valor se llaman fracciones equivalentes, como 23 = 69 . Un método para encontrar fracciones equivalentes es usar la identidad multiplicativa (Propiedad de identidad de la multiplicación), es decir, multiplicar la fracción por una forma del número 1 como 22 , 55 , etc. En este curso, llamamos estas fracciones el “Uno Gigante.” Multiplicar por 1 no cambia el valor del número. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 1.2.8 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 Halle tres fracciones equivalentes a 1⋅2 2 2
=
2 4
1 2
.
⋅ 33 =
1 2
1⋅4 2 4
3 6
=
4 8
Ejemplo 2 Use el Uno Gigante para hallar una fracción equivalente a usando fracciones en que los denominadores son 96:
7 12
7 ? 12 ⋅ = 96
¿Cuál Uno Gigante” va a usar? 96 12
Como
= 8 , el Uno Gigante es
8 8
7 ⋅8 12 8
:
=
56 96
Problemas Use el Uno Gigante para hallar la fracción equivalente especifica. Su respuesta debe incluir el Uno Gigante que use o el numerador equivalente. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Respuestas 1.
5 5
, 20
2.
4 4
, 20
3.
19 19
, 171
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4.
4 4
, 12
5.
6 6
, 30
6.
3 , 3
18
Core Connections en español, Curso 2
OPERACIONES CON FRACCIONES
1.2.6 y 1.2.8
SUMAS Y RESTAS DE FRACCIONES Antes de que las fracciones se puedan sumar o restar, las fracciones deben tener el mismo denominador, es decir, un denominador común. Le presentaremos dos métodos para sumar y restar fracciones.
MÉTODO DE MODELO DE ÁREA Paso 1:
Copie el problema.
Paso 2:
Dibuje y divida los rectángulos en partes iguales para cada fracción. Un rectángulo es marcado verticalmente en partes iguales basado en el primer denominador (abajo). El otro es marcado horizontalmente usando el segundo denominador. El número de rectángulos sombreados está basado en el numerador (arriba). Etiquete cada rectángulo con la fracción que representa.
Paso 3:
1 + 1 3 2
+ 1 3
Sobrepongamos las líneas de un rectángulo sobre el otro rectángulo como si uno fuera puesto sobre el otro.
Paso 4:
Renombre las fracciones en sextas, porque los nuevos rectángulos se dividen en seis partes iguales. Cambie los numeradores para igualar el número en sextos en cada figura.
Paso 5:
Dibuja un rectangulo vacío con sextos, luego cambie todos los sextos sombreados al mismo número de sextos en el rectángulo nuevo como el total que se sombrearon en los dos rectángulos en el paso anterior.
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1 2
+
+ 2 6
+
3 6
5 6
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Ejemplo 1
1 + 2 2 5
se puede modelar como: 1 2
5+4 10 10
+ 5 10
2 5
así que 9 10
4 10
De este modo,
1 + 2 = 9 2 5 10
.
Ejemplo 2 1 + 4 2 5
seria:
+
+ 1 2
5 10
4 5
8 10
Problemas Use el método de modelo de área para sumar las siguientes fracciones. 1.
3 + 1 4 5
2.
1 + 2 3 7
3.
2 + 3 3 4
Respuestas 1.
19 20
2.
13 21
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3.
17 12
5 = 1 12
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PROBLEMAS DE DIAMANTE
2.1.1 producto
En cada Problema de diamante, el producto de los dos números a los lados (izquierda y derecha) es el número arriba y la suma es el número de abajo. Los Problemas de diamantes son una excelente manera de practicar sumas, restas, multiplicación y división de números enteros positivos y negativos, decimales y fracciones. Tienen el beneficio adicional de preparar a los estudiantes para la factorización de binomios en álgebra.
ab a
b a+b suma
Ejemplo 1 –20
10
El número de arriba es el producto de –20 y 10, o –200. El número de abajo es la suma de –20 y 10, o –20 + 10 = –10.
–200 –20 10 –10
Ejemplo 2 El producto del número de la derecha y –2 es 8. Entonces si usted divide 8 por –2 resulta –4, el número de la derecha. La suma de –2 y –4 es –6, el número de abajo.
8 –2
8 –2
–4 –6
Ejemplo 3 4
Para obtener el número de la izquierda, reste 4 de 6, 6 – 4 = 2. El producto de 2 y 4 es 8, el número de arriba.
8 2
4 6
6
Ejemplo 4 –8 2
La manera más fácil de encontrar los números a los lados en esta situación es buscar todos los pares de factores de –8. Son:
–8 –2
4 2
–1 y 8, –2 y 4, –4 y 2, y –8 y 1. Solamente uno de estos pares tiene una suma de 2: –2 y 4. Entonces los números a los lados son –2 y 4.
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Problemas Complete cada Problema de diamante. 1.
2. 4
3.
8
–8
4.
–6
–1
–2
–7
5.
6. 3.8
7.
1.2
8.
8.1
9.6 3.2
3.4 3.1
9.
5
6.8
10.
11.
12. 1
13.
14. x
15.
16.
a
y
3a
8b
7a
2b
Respuestas 1.
–32 y –4
2.
–4 y –6
3.
–6 y 6
4.
6 y –1
5.
4.56 y 5
6.
5 y 40.5
7.
3.4 y 11.56
8.
3 y 6.2
9.
1 5 – 14 y − 14
10.
13 10
11.
13. xy y x + y
y
13 50
14. a y 2a
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1 2
y
7 5
12.
15. –6b y –48b2
1 3
y
1 3
16. 4a y 12a2
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OPERACIONES CON DECIMALES
2.1.1
OPERACIONES ARITMÉTICAS CON DECIMALES SUMANDO Y RESTANDO DECIMALES: Escriba el problema en forma de columna con los puntos de una columna vertical. Escriba ceros para que todos los puntos decimales del número tengan los mismos dígitos. Sume o reste como con números enteros. Escriba el decimal en la respuesta alineada con los de arriba. MULTIPLICANDO DECIMALES: Multiplique como con números enteros. El producto tiene el número de lugares decimales igual al total de número de lugares decimales de los factores (los números que multiplicó). A veces se debe agregar ceros para poner el punto decimal. DIVIDENDO DECIMALES: Cuando se divide un decimal por un número entero, ponga el punto decimal en la respuesta directamente arriba del punto decimal en el número siendo dividido. Divida como con números enteros. A veces es necesario agregar ceros al número siendo dividido para completar la división. Cuando se dividen decimales o números enteros por un decimal, el divisor se debe multiplicar por un poder de diez para hacerlo en número entero. El dividendo se debe multiplicar por el mismo poder de diez. Después divida siguiendo las mismas reglas para las divisiones por números enteros. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 3.3.2 y 3.3.3 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Suma 47.37, 28.9, 14.56 y 7.8.
Reste 198.76 de 473.2. Multiplique 27.32 por 14.53. 27.32 (2 puntos decimales) 473.20 ×14.53 (2 puntos decimales) − 198.76 8196 ––––––––––––––– 13660 274.44 10928 2732
47.37 28.90 14.56 + 7.80
––––––––––––
Ejemplo 3
–––––––––––––––
98.63
396.9596
(4 puntos decimales)
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Multiplique 0.37 por 0.0004. 0.37 (2 puntos decimales) × 0.0004 (4 puntos decimales)
Divida 32.4 por 8. 4.05 8) 32.40 32
Divida 27.42 por 1.2. Primero multiplique cada número por 101 o 10.
––––––––––––––
0.000148 (6 puntos decimales)
–––––––––––––
0 40 40 –––––––
0 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
22.85 1.2 27.42 ⇒ 12 274.2 ⇒ 12 274.20 24 34 24 10 2 96 60 60 0
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Problemas 1.
4.7 + 7.9
2.
3.93 + 2.82
3.
38.72 + 6.7
4. 58.3 + 72.84
5.
4.73 + 692
6.
428 + 7.392
7. 42.1083 + 14.73
8.
9.87 + 87.47936
9.
9.999 + 0.001
10. 0.0001 + 99.9999
11. 0.0137 + 1.78
12. 2.037 + 0.09387
13. 15.3 + 72.894
14. 47.9 + 68.073
15. 289.307 + 15.938
16. 476.384 + 27.847
17. 15.38 + 27.4 + 9.076
18. 48.32 + 284.3 + 4.638
19. 278.63 + 47.0432 + 21.6
20. 347.68 + 28.00476 + 84.3
21. 8.73 – 4.6
22. 9.38 – 7.5
23. 8.312 – 6.98
24. 7.045 – 3.76
25. 6.304 – 3.68
26. 8.021 – 4.37
27. 14 – 7.431
28. 23 – 15.37
29. 10 – 4.652
30. 18 – 9.043
31. 0.832 – 0.47
32. 0.647 – 0.39
33. 1.34 – 0.0538
34. 2.07 – 0.523
35. 4.2 – 1.764
36. 3.8 – 2.406
37. 38.42 – 32.605
38. 47.13 – 42.703
39. 15.368 + 14.4 – 18.5376
40. 87.43 – 15.687 – 28.0363
41. 7.34 ⋅ 6.4
42. 3.71 ⋅ 4.03
43. 0.08 ⋅ 4.7
44. 0.04 ⋅ 3.75
45. 41.6 ⋅ 0.302
46. 9.4 ⋅ 0.0053
47. 3.07 ⋅ 5.4
48. 4.023 ⋅ 3.02
49. 0.004 ⋅ 0.005
50. 0.007 · 0.0004
51. 0.235 ⋅ 0.43
52. 4.32 ⋅ 0.0072
53. 0.0006 · 0.00013
54. 0.0005 ⋅ 0.00026
55. 8.38 ⋅ 0.0001
56. 47.63 · 0.000001
57. 0.078 ⋅ 3.1
58. 0.043 ⋅ 4.2
59. 350 ⋅ 0.004
60. 421 ⋅ 0.00005
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Divida. Si es necesario, redondee las respuestas a la centésima. 61. 14.3 ÷ 8
62. 18.32 ÷ 5
63. 147.3 ÷ 6
64. 46.36 ÷ 12
65. 100.32 ÷ 24
66. 132.7 ÷ 28
67. 47.3 ÷ 0.002
68. 53.6 ÷ 0.004
69. 500 ÷ 0.004
70. 420 ÷ 0.05
71. 1.32 ÷ 0.032
72. 3.486 ÷ 0.012
73. 46.3 ÷ 0.011
74. 53.7 ÷ 0.023
75. 25.46 ÷ 5.05
76. 26.35 ÷ 2.2
77. 6.042 ÷ 0.006
78. 7.035 ÷ 0.005
79. 207.3 ÷ 4.4
80. 306.4 ÷ 3.2
Respuestas 1.
12.6
2.
6.75
3.
45.42
4.
131.14
5.
696.73
6.
435.392
7.
56.8383
8.
97.34936
9.
10.000
10. 100.0000
11. 1.7937
12. 2.13087
13. 88.194
14. 115.973
15. 305.245
16. 504.231
17. 51.856
18. 337.258
19. 347.2732
20. 459.98476
21. 4.13
22. 1.88
23. 1.332
24. 3.285
25. 2.624
26. 3.651
27. 6.569
28. 7.63
29. 5.348
30. 8.957
31. 0.362
32. 0.257
33. 1.2862
34. 1.547
35. 2.436
36. 1.394
37. 5.815
38. 4.427
39. 11.2304
40. 43.7067
41. 46.976
42. 14.9513
43. 0.376
44. 0.15
45. 12.5632
46. 0.04982
47. 16.578
48. 12.14946
49. 0.000020
50. 0.0000028
51. 0.10105
52. 0.031104
53. 0.000000078 54. 0.000000130
55. 0.000838
56. 0.0004763
57. 0.2418
58. 0.1806
59. 1.4
60. 0.02105
61. 1.7875 o 1.79
62. 3.664 o 3.66
63. 24.55
64. 3. 863 o 3.86
65. 4.18
66. 4.74
67. 23,650
68. 13,400
69. 125,000
70. 8400
71. 41.25
72. 290.5
73. 4209.09
74. 2334.78
75. 5.04
76. 11.98
77. 1007
78. 1407
79. 47.11
80. 95.75
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EQUIVALENTES DE FRACCIÓN-DECIMAL-PORCENTAJE 2.1.1 y 2.1.2 Fracciones, decimales y porcentajes son diferentes maneras de representar a la misma porción o número. fracción
palabras o imágenes porcentaje
decimal
Representaciones de una porción Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 2 en Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplos De decimal a porcentaje: Multiplique el decimal por 100. (0.81)(100) = 81%
De porcentaje a decimal:
De fracción a porcentaje:
De porcentaje a fracción:
Escriba la proporción para encontrar la fracción equivalente usando 100 como el denominador. El numerador es el porcentaje.
Use el 100 como denominador. Use el porcentaje como el numerador. Simplifique según sea necesario.
4 5
=
x 100
así que
4 5
=
80 100
= 80%
Divida el porcentaje por 100. 43% ÷ 100 = 0.43
22 = 22% = 100 56 = 56% = 100
11 50 14 25
De decimal a fracción:
De fracción a decimal:
Use los dígitos en decimal como el numerador. Use el valor del lugar como denominador. Simplifique cuando sea necesario.
Divida el numerador por el denominador.
2 = a. 0.2 = 10
1 5
17 b. 0.17 = 100
3 8 3 11
= 3 ÷ 8 = 0.375
5 8
= 5 ÷ 8 = 0.625
= 3 ÷ 11 = 0.2727… = 0.27
Para ver el proceso para convertir decimales periódicos a fracciones, ver problema 2-22 del texto Core Connections en español, Curso 2 o el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
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Problemas Convierta las fracciones, decimales o porcentajes como sea indicado. 1.
Cambie
3.
1 4
2.
Cambie 50% a una fracción a sus términos más bajos.
Cambie 0.75 a una fracción a sus términos más bajos.
4.
Cambie 75% a un decimal.
5.
Cambie 0.38 a un porcentaje.
6.
Cambie
1 5
a un porcentaje.
7.
Cambie 0.3 a una fracción.
8.
Cambie
1 8
a un decimal.
9.
Cambie
10.
Cambie 0.08 a un porcentaje.
11.
Cambie 87% a un decimal.
12.
Cambie
13.
Cambie 0.4 a una fracción a sus términos más bajos.
14.
Cambie 65% a una fracción en sus términos más bajos.
15.
Cambie
1 9
a un decimal.
16.
Cambie 125% a una fracción en sus términos más bajos.
17.
Cambie
8 5
a un decimal.
18.
Cambie 3.25 a un porcentaje.
19.
1 a un decimal. Cambie 16 Cambie el decimal a un porcentaje.
20.
Cambie
21.
Cambie 43% a una fracción. Cambie la fracción a un decimal.
22.
Cambie 0.375 a un porcentaje. Cambie el porcentaje a una fracción.
23.
Cambie 87 a un decimal. Cambie el decimal a un porcentaje.
24.
Cambie 0.12 a una fracción.
25.
Cambie 0.175 a una fracción.
1 3
a un decimal.
a un decimal.
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3 5
1 7
a un porcentaje.
a un decimal.
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Respuestas 3.
3 4
4.
0.75
20%
7.
3 10
8.
0.125
10.
8%
11.
0.87
12.
60%
2 5
14.
13 20
15.
0. 11
16.
5 4
17.
1.6
18.
325%
19.
0.0625; 6.25%
20.
0.142859
21.
43 100
; 0.43
22.
37 12 %;
23.
0.875; 87.5%
24.
12 99
=
25.
1.
0.25
2.
5.
38%
6.
9.
0.33
13.
4 33
1 2
3 8
o 1 14
175 999
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OPERACIONES CON ENTEROS
2.2.1 – 2.2.3
SUMA DE ENTEROS Los estudiantes repasan las sumas de enteros usando dos modelos concretos: el movimiento de un número a través de una recta númerica y azulejos de enteros negativos y positivos. Para sumar dos números enteros usando una recta númerica, empiece con el primer número y después mueva el número apropiado de espacios hacia la derecha o izquierda dependiendo si el segundo número es positivo o negativo. Su ubicación final es la suma de los dos números enteros. Para sumar dos números usando azulejos, un número positivo es representado por el número apropiado de azulejos positivos (+) y un número negativo está representado por el número apropiado de azulejos negativos (–). Para sumar los dos enteros empieza con la representación de azulejos del primer entero en un diagrama y luego ponga la representación de azulejos del segundo número en el diagrama. Cualquier número igual de azulejos (+) y azulejos (–) iguala a cero y pueden ser quitado del diagrama. Los azulejos que quedan representa la suma. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 2.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
–4 + 6
–2 + (–4)
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –4 + 6 = 2
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –2 + (–4) = –6
Ejemplo 3
Ejemplo 4
5 + (–6)
–3 + 7
Empiece con los azulejos representando el primer número. + + + + + Añada al diagrama los azulejos representando el segundo número. + + + + + – – – –– – Circule los pares de azulejos de suma cero. –1 es la respuesta.
+ −
+ −
+ −
+ −
+ −
+ –
+ –
+ –
+ + + +
–3 + 7 = 4
–
5 + (–6) = –1 © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
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SUMA DE ENTEROS EN GENERAL Cuando suma enteros usando el modelo de azulejos, los pares de azulejos de suma cero son formados solamente si los dos números tienen diferentes signos. Después que encierre en un círculo los pares de azulejos de suma cero, cuente los azulejos que no están circulados para encontrar la suma. Si los signos son iguales, no se forman pares de azulejos de suma cero y encuentra la suma de azulejos. Los enteros se pueden sumar sin hacer un modelo y siguiendo las siguientes reglas. •
Si los signos son iguales, suma los números y deje el mismo signo.
•
Si los signos son diferentes, ignore los signos (es decir, use el valor absoluto de cada número). Reste el número más cerca al cero del número más lejos del cero. El signo de la respuesta es el mismo que el número que está más lejos del cero, es decir, el número con más valor absoluto.
Ejemplo Para –4 + 2, –4 está más lejos del cero en la recta númerica que el 2, así que reste: 4 – 2 = 2. La respuesta es –2, ya que “4,” es decir, el número más lejos del cero, es negativo en el problema original.
Problemas Use cualquier modelo o las reglas anteriores para encontrar estas sumas. 1.
4 + (–2)
2.
6 + (–1)
3.
7 + (–7)
4.
–10 + 6
5.
–8 + 2
6.
–12 + 7
7.
–5 + (–8)
8.
–10 + (–2)
9.
–11 + (–16)
10.
–8 + 10
11.
–7 + 15
12.
–26 + 12
13.
–3 + 4 + 6
14.
56 + 17
15.
7 + (–10) + (–3)
16.
–95 + 26
17.
35 + (–6) + 8
18.
–113 + 274
19.
105 + (–65) + 20
20.
–6 + 2 + (–4) + 3 + 5
21.
5 + (–3) + (–2) + (–8)
22.
–6 + (–3) + (–2) + 9
23.
–6 + (–3) + 9
24.
20 + (–70)
25.
12 + (–7) + (–8) + 4 + (–3)
26.
–26 + (–13)
27.
–16 + (–8) + 9
28.
12 + (–13) + 18 + (–16)
29.
50 + (–70) + 30
30.
19 + (–13) + (–5) + 20
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Core Connections en español, Curso 2
Respuestas 1.
2
2.
5
3.
0
4.
–4
5.
–6
6.
–5
7.
–13
8.
–12
9.
–27
10.
2
11.
8
12.
–14
13.
7
14.
73
15.
–6
16.
–69
17.
37
18.
161
19.
60
20.
0
21.
–8
22.
–2
23.
0
24.
–50
25.
–2
26.
–39
27.
–15
28.
1
29.
10
30.
21
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OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
2.2.4
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Multiplique y divida dos números enteros a la misma vez. Si los signos son igual es producto será positivo. Si los signos son diferentes, el producto será negativo. Siga las mismas reglas para fracciones y decimales. Recuerde de aplicar el orden correcto de las operaciones cuando esté trabajando con más de una operación. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 3.2.4 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplos a.
2⋅3=6 o 3⋅2=6
b.
–2 ⋅ (–3) = 6 o (+2) ⋅ (+3) = 6
c.
2÷3=
d.
(–2) ÷ (–3) =
e.
(–2) ⋅ 3 = –6 o 3 ⋅ (–2) = –6
f.
(–2) ÷ 3 = − 23 o 3 ÷ (–2) = − 23
g.
9 ⋅ (–7) = –63 o –7 ⋅ 9 = –63
h.
–63 ÷ 9 = –7 o 9 ÷ (−63) = −
2 3
o 3÷2=
3 2
2 3
o (–3) ÷ (–2) =
3 2
1 7
Problemas Use las reglas de arriba para encontrar cada producto o cociente. 1.
(–4)(2)
2.
(–3)(4)
3.
(–12)(5)
4.
(–21)(8)
5.
(4)(–9)
6.
(13)(–8)
7.
(45)(–3)
8.
(105)(–7)
9.
(–7)(–6)
10.
(–7)(–9)
11.
(–22)(–8)
12.
(–127)(–4)
13.
(–8)(–4)(2)
14.
(–3)(–3)(–3)
15.
(–5)(–2)(8)(4)
16.
(–5)(–4)(–6)(–3)
17.
(–2)(–5)(4)(8)
18.
(–2)(–5)(–4)(–8)
19.
(–2)(–5)(4)(–8)
20.
2(–5)(4)(–8)
21.
10 ÷ (–5)
22.
18 ÷ (–3)
23.
96 ÷ (–3)
24.
282 ÷ (–6)
25.
–18 ÷ 6
26.
–48 ÷ 4
27.
–121 ÷ 11
28.
–85 ÷ 85
29.
–76 ÷ (–4)
30.
–175 ÷ (–25)
31.
–108 ÷ (–12)
32.
–161 ÷ 23
33.
– 223 ÷ (–223)
34.
354 ÷ (–6)
35.
–1992 ÷ (–24)
36.
–1819 ÷ (–17)
37.
–1624 ÷ 29
38.
1007 ÷ (–53)
39.
994 ÷ (–14)
40.
–2241 ÷ 27
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Respuestas 1.
–8
2.
–12
3.
–60
4.
–168
5.
–36
6.
–104
7.
–135
8.
–735
9.
42
10.
63
11.
176
12.
508
13.
64
14.
–27
15.
320
16.
360
17.
320
18.
320
19.
–320
20.
320
21.
–2
22.
–6
23.
–32
24.
–47
25.
–3
26.
–12
27.
–11
28.
–1
29.
19
30.
7
31.
9
32.
7
33.
1
34.
–59
35.
83
36.
107
37.
–56
38.
–19
39.
–71
40.
–83
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OPERACIONES CON FRACCIONES
2.2.5 y 2.2.6
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES La multiplicación de fracciones es revisada usando un área de modelo rectangular. Las líneas que dividen el rectángulo para representar una fracción se hacen verticalmente, y el número correcto de las partes se sombrea. Las líneas que dividen el rectángulo para representar la segunda fracción se hacen horizontalmente y parte del espacio sombreado se oscurece para representar el producto de las dos fracciones.
Ejemplo 1 1⋅5 2 8
(es decir, 12 de 58 )
Paso 1:
Dibuje un rectángulo genérico y divídalo en 8 partes verticales. Ligeramente sombree 5 de esas partes y etiquetelas como 58 .
Paso 2:
Use una línea horizontal y divida el rectángulo genérico. Sombree 1 de 5 y etiquetelo. 2 8
Paso 3:
Escriba una oración en números.
1 5 ⋅ 2 8
5 = 16
La regla para multiplicar fracciones derivada por el modelo arriba es para multiplicar los numeradores, luego multiplicar los denominadores. Simplifique el producto cuando sea posible. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 2.2.5 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 2 a.
2 ⋅ 2 ⇒ 2 ⋅ 2 ⇒ 4 3 7 3 ⋅ 7 21
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b.
3 ⋅ 6 ⇒ 3 ⋅ 6 ⇒ 18 ⇒ 9 4 7 4 ⋅ 7 28 14
Core Connections en español, Curso 2
Problemas Dibuje un modelo de área para cada una de las siguientes multiplicaciones y escriba la respuesta. 1.
1⋅1 3 6
2.
1⋅3 4 5
3.
2⋅5 3 9
Use la regla para multiplicar fracciones para encontrar la respuesta para los siguientes problemas. Simplifique cuando sea posible. 4.
1⋅2 3 5
5.
2⋅2 3 7
6.
3 1 4⋅5
7.
2⋅2 5 3
8.
2⋅1 3 4
9.
5⋅2 6 3
10.
4⋅3 5 4
11.
2 1 15 ⋅ 2
12.
3 1 7⋅2
13.
3 4 8⋅5
14.
2⋅3 9 5
15.
3 5 10 ⋅ 7
16.
5 6 11 ⋅ 7
17.
5⋅ 3 6 10
18.
10 ⋅ 3 11 5
19.
5 3 12 ⋅ 5
20.
7 5 9 ⋅ 14
·
Respuestas 1.
1 18
4.
2 15
10.
12 20
16.
30 77
2.
=
3 5
5.
4 21
11.
2 30
17.
15 60
3 20
3.
6.
3 20
7.
4 15
1 = 15
12.
3 14
13.
12 40
=
18.
30 55
19.
15 60
1 4
6 = 11
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10 27
8.
2 12
=
3 = 10
14.
6 45
2 = 15
=
20.
35 126
1 4
1 6
9.
10 18
=
15.
15 70
= 143
5 9
5 = 18
Core Connections en español, Curso 2
ORDEN DE LAS OPERACIONES
3.1.1 y 3.1.2
Cuando a los estudiantes se les da una expresión como 3 + 4 ⋅ 2 por primera vez, algunos estudiantes piensan que la respuesta es 14 y algunos piensan que la respuesta es 11. Por esta razón los matemáticos decidieron en un método para simplificar una expresión que usa más de una operación para que todos estuvieran de acuerdo en una respuesta. Hay un grupo de reglas que se deben seguir que establece una manera consistente para que todos puedan evaluar expresiones. Estas reglas se llaman Orden de las operaciones y se deben seguir para llegar a una respuesta correcta. Como indicada por el nombre, estas reglas declara en cual orden las operaciones matemáticas deben ser completado. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materiales del Punto de comprobación 5 en Core Connections en español, Curso 2. El primer paso es organizar la expresión numérica en partes llamadas términos, que son números singulares o productos de números. Una expresión numérica está formada de una suma o diferencia de términos. Ejemplos de términos numéricos: 4, 3(6), 6(9 – 4), 2 ⋅ 32, 3(5 + 23) y Para el problema arriba, 3 + 4 ⋅ 2, los términos están circulados a la derecha.
16− 4 6
. 3 + 4⋅2
Cada término es simplificado por separado, dando 3 + 8. Y después en términos se suman: 3 + 8 = 11. De este modo, 3 + 4 ⋅ 2 = 11.
Ejemplo 1 Para evaluar una expresión: • Circule cada término en la expresión.
2 ⋅ 32 + 3(6 – 3) + 10 2 ⋅ 32 + 3(6 – 3) + 10
• Simplifique cada termino hasta que sea un solo número siguiendo los pasos a continuación: Simplifique la expresión entre paréntesis.
2 ⋅ 32 + 3(3) + 10
Evalué cada parte exponencial (ej., 32).
2 ⋅ 9 + 3(3) + 10
Multiplique y divida de izquierda a derecha.
18 + 9 + 10
• Finalmente, combine los términos sumando o restando de la izquierda a la derecha.
27 + 10 37
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Core Connections en español, Curso 2
5 – 8 ÷ 22 + 6(5 + 4) – 52
Ejemplo 2 a. Circule los términos.
a. 5 – 8 ÷ 22 + 6(5 + 4) – 52
b. Simplifique lo entre paréntesis.
b.
5 – 8 ÷ 22 + 6(9) – 52
c. Simplifique los exponentes.
c.
5 – 8 ÷ 4 + 6(9) – 25
d. Multiplique y divida de izquierda a derecha.
d.
5 – 2 + 54 – 25 32
Por último, suma y reste de izquierda a derecha.
Ejemplo 3
20 +
a.
Circule los términos.
a.
b.
Multiplique y divida de izquierda a derecha, incluyendo exponentes.
b.
20 +
– 42 + 12 ÷ 4
5+ 7 3
– 42 + 12 ÷ 4
5+7 3
20 + 4 – 16 + 3
Suma y reste de izquierda a derecha.
11
Problemas Circule los términos, luego simplifique cada expresión. 1.
5⋅3+4
2.
10 ÷ 5 + 3
3.
4.
6(7 + 3) + 8 ÷ 2
5.
15 ÷ 3 + 7(8 + 1) – 6
6.
+7⋅2÷2
8.
7.
20 6+4
5+30 7
+ 62 – 18 ÷ 9
12.
(5 – 2)2 + (9 + 1)2
15.
3(7 – 2)2 + 8 ÷ 4 – 6 ⋅ 5
11.
13.
42 + 9(2) ÷ 6 + (6 – 1)2
14.
16.
14 ÷ 2 + 6 ⋅ 8 ÷ 2 – (9 – 3)2
17.
27 3
18.
26 ⋅ 2 ÷ 4 – (6 + 4)2 + 3(5 – 2)3
19.
2 2 2 ( 42+3 5 ) + 3 – (5 ⋅ 2)
+
5⋅3 5
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+ 5 ⋅ 32 – 2(14 – 5)
23 + 8 – 16 ÷ 8 ⋅ 2
25 – 52 + 9 – 32
18 32
9 3
9.
10.
5(17 – 7) + 4 · 3 – 8
2(9 – 4) ⋅ 7
+ 18 – 9 ÷ 3 – (3 + 4)2
Core Connections en español, Curso 2
Respuestas 1.
19
2.
5
3.
70
4.
64
5.
62
6.
30
7.
9
8.
39
9.
12
10.
0
11.
54
12.
109
13.
44
14.
5
15.
47
16.
–5
17.
–25
18.
–6
19.
–10
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Core Connections en español, Curso 2
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
3.2.1, 3.2.2 y 3.2.5
RESTAS DE NÚMEROS ENTEROS Las restas de números enteros también pueden ser representadas usando modelos concretos de las rectas númericas y azulejos (+) y (–). La resta es lo opuesto de la suma, así que es obvio tener que seguir las instrucciones opuestas. Cuando use la recta númerica y se suma un número entero positivo, se mueve a la derecha. Así que cuando se reste un número entero positivo, se mueve hacia la izquierda. Para sumar números enteros negativos se mueve hacia la izquierda, así que cuando se resta un número entero negativo se mueve hacia la derecha. Cuando se usan los azulejos, la suma significa poner más piezas en la imagen y buscar ceros para simplificar. La resta significa que tiene que eliminar azulejos de la imagen. A veces tiene que poner pares de azulejos de suma cero en la imagen antes de tener suficientes números de las piezas deseadas para eliminar. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
4–6
–2 – (–4) –6
–(–4)
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
4 – 6 = –2
–2 – (–4) = 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
–6 – (–3) Estructure el primer número entero. Retire tres negativos. Quedan tres negativos.
–2 – (–3)
–––––– –––––– –6 – (–3) = –3
– –
Estructure el primer número entero. Es imposible retirar tres negativos, así que agregue ceros. Ahora retire tres negativos y circule los ceros. Queda un positivo.
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+ + + + – – – – – – + + + + – – – – – –
–2 – (–3) = 1 Core Connections en español, Curso 2
Problemas Encuentre la diferencia. Use por lo menos uno de los modelos para las primeras cinco diferencias. 1.
–6 – (–2)
2.
2 – (–3)
3.
6 – (–3)
4.
3–7
5.
7 – (–3)
6.
7–3
7.
5 – (3)
8.
–12 – (–10)
9.
–12 – 10
10.
12 – (–10)
11.
–6 – (–3) – 5
12.
6 – (–3) – 5
13.
8 – (–8)
14.
–9 – 9
15.
–9 – 9 – (–9)
Respuestas (y modelos posibles) 1.
–4
2.
5
–––––– 3.
9
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
+ + + + + +
+ + + – – –
4.
–4
6.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 4 7. 2
5.
10
8.
–2
9.
–22
10.
22
11.
–8
12.
4
13.
16
14.
–18
15.
–9
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Core Connections en español, Curso 2
OPERACIONES CON DECIMALES
3.2.4
MULTIPLICANDO DECIMALES Y PORCENTAJES Entender cuántos lugares decimales se debe mover a un punto decimal al multiplicar está conectado a la multiplicación de fracciones y el valor del lugar. Las computaciones que se calculan “al porcentaje de un número” son simplificados por medio de cambiar el porcentaje a un decimal.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Multiplique (0.2) ⋅ (0.3). 2 ⋅ 3 ⇒ 6 . En fracciones esto es 10 10 100 Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones.
Multiplique (1.7) ⋅ (0.03). 3 51 En fracciones esto significa 17 10 ⋅ 100 ⇒ 1000 . Sabiendo que la respuesta debe estar en el centésimo lugar le dice cuántos lugares tiene que mover el punto decimal (hacia la izquierda) sin usar fracciones.
(décimo)(décimo) = centésimo Por esto, muévalo dos lugares.
0.2 × 0.3 0. 06
(décimo)(centésimo) = milésimo Por esto muévalos tres lugares.
1.7 × 0.03 0.051
Ejemplo 3 Calcule 17% de 32.5 sin usar una calculadora. Ya que 17% =
17 100
= 0.17,
17% de 32.5 ⇒ (0.17) ⋅ (32.5) ⇒ 5.525
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32.5 × 0.17 2275 3250 5.525
Core Connections en español, Curso 2
Problemas Identifique el número de lugares que va a mover el punto decimal hacia la izquierda del producto. No debes calcular el producto. 1.
(0.3) ⋅ (0.5)
2.
(1.5) ⋅ (0.12)
3.
(1.23) ⋅ (2.6)
4.
(0.126) ⋅ (3.4)
5.
17 ⋅ (32.016)
6.
(4.32) ⋅ (3.1416)
(3.2) ⋅ (0.3)
9.
(1.75) ⋅ (0.09)
Calcule sin usar una calculadora. 7.
(0.8) ⋅ (0.03)
8.
10.
(4.5) ⋅ (3.2)
11.
(1.8) ⋅ (0.032)
12.
(7.89) ⋅ (6.3)
13.
8% de 540
14.
70% de 478
15.
37% de 4.7
16.
17% de 96
17.
15% de 4.75
18.
130% de 42
Respuestas 1.
2
2.
3
3.
3
4.
4
5.
3
6.
6
7.
0.024
8.
0.96
9.
0.1575
10.
14.4
11.
0.0576
12.
49.707
13.
43.2
14.
334.6
15.
1.739
16.
16.32
17.
0.7125
18.
54.6
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DIVISIÓN POR FRACCIONES
3.3.1
División por fracciones introduce tres métodos que ayudan a los estudiantes como se dividen por fracciones. En general, piense en la división 8 ÷ 2 como, “¿en 8, cuantos grupos de 2 hay?” Similarmente, 12 ÷ 14 significa, “¿en 12 , cuantos cuartos hay?” Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.3.1 del texto Core Connections en español, Curso 1. Los primeros dos ejemplos demuestran como dividir por fracciones usando un diagrama.
Ejemplo 1 Use el modelo rectangular para dividir: Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
1 ÷ 1 2 4
.
Usando el rectángulo, primero tenemos que dividirlo en dos partes iguales. Cada parte representa la 12 . Sombree la 12 .
1 2
Después divida el rectángulo “original” en cuatro partes iguales. Cada sección representa 14 . En la sección sombreada, 1 , hay 2 cuartos. 2
1 4
Escriba la ecuación.
1 ÷ 1 2 4
1 2
=2
Ejemplo 2 ¿En
3 4
, cuantas
1 2
Es decir, ¿qué es
1 2
hay? 3 4
÷ 12 ?
3 Empiece . . Start with con 4
1 2
1 4
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3 4
En 43 hay una 12 sombreada y la mitad de la otra (es mitad de una mitad). Entonces: 43 ÷ 12 = 1 12 (uno y mitad de la mitad)
Core Connections en español, Curso 2
Problemas Use el modelo rectangular para dividir.
1 13 ÷ 16
1.
2.
3 ÷ 3 2 4
3.
1 ÷ 14
4.
1 14 ÷ 12
5.
2 23 ÷ 19
Respuestas 1.
8
2.
2
tercios
mitades
3. 4 uno
sextos
cuartos
cuartos
8 sextos 4.
2 12
2 tres cuartos 5.
24
cuartos
tercios
mitades
novenos
2 12 mitades
4 cuartos
24 novenos
En los próximos dos ejemplos use denominadores comunes para dividir por una fracción. Exprese las dos fracciones con un denominador común, después divida el primer numerador por el segundo.
Ejemplo 3 4 5
10 12 6 1 ÷ 23 ⇒ 12 15 ÷ 15 ⇒ 10 ⇒ 5 o 1 5
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Ejemplo 4 1 13 ÷ 16 ⇒ 43 ÷ 16 ⇒ 86 ÷ 16 ⇒ 81 o 8
Core Connections en español, Curso 2
Otra manera de dividir fracciones es usar el Uno Gigante del trabajo previo con fracciones para crear el “Uno Súper Gigante.” Para usar el Uno Súper Gigante, escriba una división en forma de fracción, con una fracción como numerador y denominador. Use el recíproco del denominador para el numerador y denominador en el Uno Súper Gigante. Multiplique las fracciones y simplifique el resultado cuando sea posible.
Ejemplo 5 1 2 1 4
⋅
4 1 4 1
=
4 2
1
Ejemplo 6 =
4 2
3 4 1 6
=2
Ejemplo 7 1 13 = 1 12
4 3 3 2
⋅
2 3 2 3
⋅
6 1 6 1
=
18 4
1
=
9 2
=4
1 2
Ejemplo 8 =
8 9
1
=
2 ÷ 3 ⇒ 10 ÷ 9 ⇒ 10 3 5 15 15 9
8 9
Comparado con: 2 3 3 5
⋅
5 3 5 3
=
10 9
1
1 = 10 9 =19
Problemas Complete cada división. Use cualquier método. 4.
1 47 ÷
1 3
9.
1 13 ÷ 25
10.
14.
10 13 ÷ 16
15.
2.
1 73 ÷ 12
3.
4 7
÷ 57
7.
2 13 ÷ 58
8.
7÷
3 13 ÷ 56
12.
1 12 ÷ 12
13.
3 7
6.
3 10
11.
÷ 13
÷ 18
1.
5 8
÷ 1 14
1 3
5.
6 7
÷ 58
2 23 ÷ 43 3 5
÷6
Respuestas 1.
3 73
2.
2 67
3.
1 57
4.
4
5 7
5.
1 13 35
6.
21 50
7.
11 3 15
8.
21
9.
3 13
10.
3 59
14.
62
15.
1 10
11.
4
12.
3
13.
1 2
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PROPIEDADES DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN
3.3.3
En sumas y multiplicaciones, el orden de los números se puede cambiar: 2 + 5 = 5 + 2 y 2 ⋅ 5 = 5 ⋅ 2. Esto se llama Propiedad Conmutativa. En símbolos es: La Propiedad conmutativa de suma es : a + b = b + a y La Propiedad conmutativa de multiplicación es: a ⋅ b = b ⋅ a. Cuando se suman tres números o se multiplican tres números, el agrupamiento se puede cambiar: (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) y (2 ⋅ 3) ⋅ 5 = 2 ⋅ (3 ⋅ 5). Esto es la Propiedad asociativa. En símbolos es: La Propiedad asociativa de suma es: (a + b) + c = a + (b + c) y La Propiedad asociativa de multiplicación es: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c). La Propiedad distributiva distribuye una operación sobre otra. Hasta el momento los estudiantes solamente han visto multiplicaciones distribuidas sobre sumas. En símbolos es: Para todos los números a, b y c, a(b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. Por ejemplo: 2(3 + 5) = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5. Para más información vea el recuadro de los Apuntes de matemáticas en la Lección 4.1.1 del texto en Core Connections en español, Curso 2. Las propiedades de multiplicación y suma permiten que las calculaciones sean reordenadas. Hacer esto ayuda cuando se hace la suma mentalmente. Nombre la propiedad o razón que justifica cada paso.
Ejemplo 1 Calcule mentalmente: 4 ⋅ (17 ⋅ 25) Paso 1 = 4 ⋅ (25 ⋅ 17) Paso 2 = (4 ⋅ 25) ⋅ 17 Paso 3 = (100) ⋅ 17 Paso 4 = 1700
Propiedad conmutativa de multiplicación Propiedad asociativa de multiplicación matemáticas mentales matemáticas mentales
Ejemplo 2 Calcule mentalmente: 8(56) Paso 1 = 8(50 + 6) Paso 2 = 8(50) + 8(6) Paso 3 = 400 + 48 Paso 4 = 448
renombre 56 como 50 + 6 Propiedad distributiva matemáticas mentales matemáticas mentales
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Core Connections en español, Curso 2
Problemas Abajo hay una lista de posibles pasos para calcular un problema mentalmente. De las razones que faltan para justificar los pasos. 1.
2.
3.
15(29) = 15(30 + (–1))
renombre 29 como 30 + (–1)
15(30 – 1) = 15(30) + 15(–1)
________a_______
150 + (–15) = 150 + (–10 + –5)
renombre –15 como –10 + (–5)
150 + (–10) + (–5) = (150 + (–10)) + (–5)
________b________
140 + (–5) = 135
matemáticas mentales
386 + 177 + 214 = 386 + 214 + 177
________a_______
386 + 214 + 177 = (386 + 200) + 14 + 177
________b_______
586 + 14 + 177 = (586 + 14) + 177
________c_______
600 + 177 = 777
matemáticas mentales
49(12) = 12(49)
________a_______
12(49) = 12(50 – 1)
renombre 49 como 50 – 1
12(50 – 1) = 12(50) – 12(1)
________b_______
12(50) – 12 = (6 ⋅ 2)(50) – 12
renombre 12 como 6 ⋅ 2
(6 ⋅ 2)(50) – 12 = 6(2 ⋅ 50) – 12
________c_______
6(2 ⋅ 50) – 12 = 6(100) – 12
matemáticas mentales
600 – 12 = 588
matemáticas mentales
Respuestas 1.
a.
Distributiva
b.
Asociativa
2.
a.
Conmutativa
b.
Asociativa
c.
Asociativa
3.
a.
Conmutativa
b.
Distributiva
c.
Asociativa
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ESCALAS DE FIGURAS Y FACTOR DE ESCALA
4.1.1 y 4.1.2
Las figuras geométricas se pueden reducir o ampliar. Cuando esto ocurre, cada longitud de la figura se reduzca o aumente por igual (proporcionalmente) y las medidas de los ángulos correspondientes permanecen iguales. La razón de las dos partes correspondientes de la figura original y nueva se llama factor de escala. El factor de escala se puede escribir como un porcentaje o una fracción. Es común escribir nuevas mediciones de la figura sobre las mediciones originales en una razón de NUEVA . escala, es decir, ORIGINAL Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 utilizando una ampliación de 200% Razones de longitud de los lados: F C
26 mm
13 mm
10 mm
5 mm B
12 mm
A
triángulo original
E
24 mm
D
nuevo triángulo
DE AB
=
24 12
=
2 1
FD CA
=
26 13
=
2 1
FE CB
= 10 5 =
2 1
El factor de escala para la longitud es de 2 a 1.
Ejemplo 2 Figuras A y B a la derecha son semejantes. Suponiendo que la Figura A es la figura original, encuentre el factor de escala y encuentre las longitudes de los lados que faltan de la Figura B. 3 = 1 . Las longitudes de los lados El factor de escala es 12 4 que faltan de la Figura B son: 14 (10) = 2.5, 14 (18) = 4.5, y 1 (20) = 5. 4
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10 12
A
3 18
B
20
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Problemas Determine el factor de escala para cada par de figuras semejantes en los problemas 1 a 4. 1.
2. Original
Nueva
Original
Nueva 5
D
C H
A
8
1 14
G
6
3 E
B
4
1
4
F
2
8
3.
4. Original 3
2
Nueva
7
6
4
Original
Nueva 3
14 4
9
6 12
12
5.
6.
Un triángulo tiene lados 5, 12 y 13. El triángulo fue ampliada por un factor de escala de 300%. a.
¿Cuáles son las longitudes de los lados del nuevo triángulo?
b.
¿Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo triángulo al perímetro del triángulo original?
Un rectángulo tiene una longitud de 60 cm y un ancho de 40 cm. El rectángulo se redujo por un factor de escala de 25%. a.
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo nuevo?
b.
¿Cuál es la razón entre el perímetro del nuevo rectángulo y el perímetro del rectángulo original?
Respuestas 1. 3. 5.
4 8 2 1
=
1 2
a. 15, 36, 39
2. 4. b.
3 1
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6.
2 8 1 3
=
1 4
a. 15 cm y 10 cm
b.
1 4
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RELACIONES PROPORCIONALES
4.2.1, 4.2.2 y 4.2.4
Una proporción es una ecuación que establece que las dos razones (fracciones) sean iguales. Dos valores están en una relación proporcional si una proporción puede ser configurada para relacionar los valores. Para más información vea los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 4.2.3, 4.2.4 y 7.2.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 El costo promedio de un par de pantalones vaqueros de diseño ha aumentado $15 en 4 años. ¿Cuál es la tasa unitaria de crecimiento (dólares por año)? 15 dólares . Para crear una tasa 4 años 15 dólares x dólares denominador de “uno.” 4 años = 1 año . 4 x dólares dólares Usando un Uno Gigante: 15 dólares 4 años = 4 ⋅ 1 año ⇒ 3.75 año .
Solución: La tasa de crecimiento es
unitaria necesitamos un
Ejemplo 2 La famosa receta de chili de Ryan utiliza 3 cucharadas de chile en polvo para 5 porciones. ¿Cuántas cucharadas se necesitan para la reunión familiar que necesita 40 porciones? Solución: La tasa es 3 c 5 = 40 .
3 cucharadas 5 porciones
por lo que el problema puede ser escrito como una proporción:
Un método de resolver la proporción es usar el Uno Gigante:
Otro método es utilizar la multiplicación cruzada:
Por último, ya que la tasa unitaria es 53 cucharada por porción, la ecuación c = 53 p representa la situación proporcional general y se podría sustituir el número de porciones que se necesitan en la ecuación: c = 53 ⋅ 40 = 24. Con el uso de cualquier método, la respuesta es 24 cucharadas. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
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Ejemplo 3 +2
Basándose en la tabla de la derecha, ¿cuál es la tasa unitaria de crecimiento (metros por año)?
Altura (m) Años
15 75
17 85
Solución: +10
Problemas Para los problemas 1 a 10 encuentre la tasa unitaria. Para los problemas 11 a 25, resuelva cada problema. 1.
Teclear 731 palabras en 17 minutos (palabras por minuto)
2.
Leer 258 páginas en 86 minutos (páginas por minuto)
3.
Comprar 15 cajas de cereal por $43.35 (costo por caja)
4.
Anotar 98 puntos en un partido de 40 minutos (puntos por minuto)
5.
Comprar 2 14 libras de plátanos cuestan $1.89 (costo por libra)
6.
Comprar
7.
Cortar 1 12 acres de césped en
8.
Pagar $3.89 por 1.7 libras de pollo (costo por libra)
libras de cacahuates por $2.25 (costo por libra)
peso (g) longitud (cm)
6 15
8 20
3 4
12 30
de la hora (hectáreas por hora)
20 50
¿Cuál es el peso por cm? 10.
Para el gráfico de la derecha, ¿cuál es la tasa en millas por hora?
Distancia (millas) movedw
9.
2 3
40
30
20
11.
Si una caja de 100 lápices cuesta $4.75, ¿cuánto espera pagar por 225 lápices?
12.
Cuando Amber hace su tarea de matemáticas, ella termina 10 problemas cada 7 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará a ella en completar 35 problemas?
13.
Ben y sus amigos están teniendo un maratón de televisión, y después de 4 horas han visto 5 episodios de la serie. ¿Cuánto tiempo se tardarán en completar la temporada, que tiene 24 episodios?
14.
El impuesto de un jarrón de $600 es $54. ¿Cuál debería ser el impuesto de un jarrón de $1700?
10 0.5
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1.0
1.5
Tiempo (horas)
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15.
16.
17. 18. 19.
Utilice la tabla de la derecha para determinar cuánto tiempo tomará el club Spirit en encerar 60 coches.
carros encerados
8
16
32
horas
3
6
12
Al hornear, Evan descubrió una receta que requiere 12 tazas de nueces por cada 2 14 tazas de harina. ¿Cuántas tazas de nueces se necesitará para 4 tazas de harina?
40 35 30
Basándose en el gráfico, ¿qué sería el costo para rellenar 50 botellas? Sam creció 1 43 pulgadas en 4 habrá de crecer en un año?
1 2
25
$
20
meses. ¿Cuánto
15 10
Al trotar en la tarde, Chris tardó 42 minutos en correr 3 43 millas. ¿Cuántas millas puede correr en 60 minutos?
5 2
4
6
10 12
8
botellas rellenadas
20.
Si Caitlin necesita 1 13 latas de pintura para cada cuarto de su casa, ¿cuántas latas de pintura necesitará ella para pintar la casa de 7 cuartos?
21.
Stephen recibe 20 minutos de tiempo de juego de video cada 45 minutos que camina con el perro. Si él quiere 90 minutos de tiempo de juego, ¿cuántas horas tiene que trabajar?
22.
La vid de uva de Sarah creció 15 pulgadas en 6 semanas, escriba una ecuación para representar su crecimiento después de t semanas.
23.
En promedio, Max hace 45 de los 60 tiros con el baloncesto, escriba una ecuación para representar el número promedio de tiros hechos de x intentos.
24.
Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 14 anterior.
25.
Escriba una ecuación para representar la situación en el problema 17 anterior.
Respuestas palabras minuto
2.
3 páginas minuto
3.
$ 2.89 caja
4.
puntos 2.45 minuto
$ 0.84 libra
6.
$ 3.38 libra
7.
2
acre hora
8.
$ 2.29 libra
2 gramos 5 centímetros
10.
≈ 27
11.
$10.69
12.
24.5 min.
1.
43
5. 9.
millas hora
13.
19.2 horas
14.
$153
15.
22.5 horas
16.
8 9
17.
$175
18.
4 23 pulgadas
19.
≈ 5.36 millas
20.
9 13 latas
21.
3 83 horas
22.
g = 52 t
23.
s=
24.
t = 0.09c
25.
C = 3.5b
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3 4
x
tazas
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TASAS Y TASAS UNITARIAS
4.2.3 y 4.2.4
Tasa de cambio es la razón que describe cómo una cantidad cambia con respecto a otro. Tasa unitaria es una tasa que compara el cambio en una cantidad a un cambio de una unidad en otra cantidad. Algunos ejemplos de los tipos son millas por hora y el precio por libra. Si 16 onzas de harina cuestan $0.80, entonces el costo unitaria, es decir el costo por una onza, es $0.80 16 = $0.05. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 4.2.3 del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 9 en Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 Una receta de arroz utiliza 6 tazas de arroz para 15 personas. Al mismo tasa, ¿cuánto arroz se necesitará para 40 personas? La tasa es:
6 tazas 15 personas
así que, resuelve
6 15
=
x 40
.
El multiplicador necesario para el Uno Gigante es Usar este Tenga en
40 15
o 2 23 .
22 6 multiplicador produce 15 ⋅ 23 = 16 entonces se necesitan 16 tazas de arroz. 40 2 3 6 = x cuenta que la ecuación 15 también se puede resolver utilizando proporciones. 40
Ejemplo 2 Organice estas tasas de menor a mayor: 30 millas en 25 minutos
60 millas en una hora
70 millas en 1 23 hora
Cambiar cada tasa a un denominador común de 60 minutos se obtiene: 30 mi 25 min
=
x 60
⇒
30 2.4 25 ⋅ 2.4
=
72 mi 60 min
60 mi 1 hr
=
60 mi 60 min
70 mi 1 2 hora 3
70 mi = = 100 min
x 60
70 ⋅ 0.6 = ⇒ 100 0.6
42 mi 60 min
Así que el orden de menor a mayor es: 70 millas en 1 23 hora < 60 millas en una hora < 30 millas en 25 minutos. Tenga en cuenta que mediante el uso de 60 minutos (una hora) para la unidad común de comparar velocidades, podemos expresar cada velocidad como una tasa unitaria: 42 mph, 60 mph y 72 mph.
Ejemplo 3 Un tren en Francia viajó 932 millas en 5 horas. ¿Cuál es la tasa unitaria en millas por hora? mi x Tasa unitaria significa que el denominador debe ser de 1 hora, así: 932 5 hora = 1 hora . Resolver mediante el uso de un Uno Gigante de 0.2 0.2 o división simple produce x = 186.4 millas por hora.
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Problemas Resuelve cada problema de tasa a continuación. Explique su método. 1.
Balvina sabe que 6 tazas de arroz produce suficiente arroz español para 15 personas. Ella necesita saber cuántas tazas de arroz necesita para alimentar a 135 personas.
2.
Elaine puede plantar 6 flores en 15 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará a plantar 30 flores a la misma tasa?
3.
Un avión viaja 3400 millas en 8 horas. ¿Cuánto distancia podría viajar en 6 horas a esta tasa?
4.
Shane anduvo en bicicleta por 2 horas y viajó 12 millas. A esta tasa, ¿cuánto tiempo le llevará a viajar 22 millas?
5.
El coche de Selina utilizó 15.6 galones de gasolina para ir 234 millas. A esta tasa, ¿cuántos galones se necesitaría a ir 480 millas?
6.
Organice estos lectores del más rápido al más lento: Abel leyó 50 páginas en 45 minutos, Brian leyó 90 páginas en 75 minutos y Charlie leyó 175 páginas en 2 horas.
7.
Organice estos compradores de almuerzo de el que gasta más a el que gasta menos asumiendo que compran el almuerzo 5 días a la semana: Alice gasta $3 por día, Betty gasta $25 cada dos semanas y Cindy gasta $75 por mes.
8.
Un tren en Japón puede viajar a 813.5 millas en 5 horas. Encuentre la tasa unitaria en millas por hora.
9.
Un patinador de hielo cubrió 1500 metros en 106 segundos. Encuentre su tasa unitaria en metros por segundo.
10.
Una empresa de telefonía celular ofrece un precio de $19.95 por 200 minutos. Encuentre la tasa unitaria en el costo por minuto.
11.
Un auto recorrió 200 millas en 8 galones de gasolina. Encuentre la tasa unitaria de millas por galón y la tasa unitaria de galones por milla.
12.
Leo tiene una cadena de sujetapapeles de 32 pies de largo. Él va a agregar sujetapapeles continuamente durante las siguientes ocho horas. Al final de las ocho horas, la cadena es de 80 pies de largo. Encuentre la tasa unitaria de crecimiento en pies por hora.
Respuestas 1.
54 tazas
2.
75 minutos
3.
2550 millas
4.
3 23 horas
5.
32 galones
6.
C, B, A
7.
C, A, B
8.
162.7 mi/hora
9.
≈ 14.15 m/s
10.
≈ $0.10/min
11.
1 25 mpg; 25 galones/milla
12.
6 pies/hora
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AZULEJOS ALGEBRAICOS Y PERÍMETRO
4.3.1 x
Las expresiones algebraicas pueden ser representadas por los perímetros de los azulejos algebraicos (rectángulos y cuadrados) y combinaciones de azulejos algebraicos. Las dimensiones de cada azulejo se muestran a lo largo de sus lados y el azulejo es nombrado por su área que se muestra en el azulejo en las figuras a la derecha. Cuando se usan los azulejos, el perímetro es la distancia alrededor del exterior de la figura.
Ejemplo 1
x2
x
x
x
1 1
Ejemplo 2
x x
1
x
x2
x2
1
x x
x x
x
2 xx2
1 1 1 1
x2
x x x 1
1 1
x–2
1
x x
1
x
x
1
P = 6x + 4 unidades
x
1 1 1
P = 6x + 8 unidades
Problemas Determine el perímetro de cada figura. 1.
2. x2
3. x2
x x
x x
x
x 4.
5. x2
6. x2
x
x2
x 7.
8. x2
x
x
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Respuestas 1. 5.
4x + 4 un. 4x + 4 un.
2. 6.
4x + 4 un. 4x + 2 un.
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3. 7.
2x + 8 un. 4x + 4 un.
4. 8.
4x + 6 un. 2x + 4 un.
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COMBINAR TÉRMINOS SEMEJANTES
4.3.1
Las expresiones algebraicas también pueden ser simplificadas por combinando (sumando o restando) términos que tienen los mismos variables elevados a las mismas potencias, hacia un término. La habilidad de combinar términos semejantes es necesario para la resolución de ecuaciones. Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 4.3.2 del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica, vea los materials del Punto de comprobación 7A en Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 Combine términos semejantes para simplificar la expresión 3x + 5x + 7x. Todos estos términos tienen una x como un variable, así que se combinan en un solo término, 15x.
Ejemplo 2 Simplifique la expresión 3x + 12 + 7x + 5. Los términos con una x pueden ser combinados. Los términos sin variables (los constantes) también pueden ser combinados. 3x + 12 + 7x + 5 3x + 7x + 12 + 5 10x + 17
Note que en la forma simplificada el término con el variable aparece antes del término constante.
Ejemplo 3 Simplifique la expresión 5x + 4x2 + 10 + 2x2 + 2x – 6 + x – 1. 5x + 4x2 + 10 + 2x2 + 2x – 6 + x – 1 4x2 + 2x2 + 5x + 2x + x + 10 – 6 – 1 6x2 + 8x + 3
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Note que los términos con los mismos variables pero con diferentes exponentes no están combinados y están en una lista en orden de disminución de poder del variable, en forma simplificada, con el término constante al último.
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Ejemplo 4 Los azulejos algebraicos, como se muestra en la sección Azulejos algebraicos y perímetro, son usados como modelos de cómo combinar términos semejantes. El cuadrado grande representa x2, el rectángulo representa x y el cuadrado pequeño representa uno. Solamente podemos combinar azulejos que son semejantes: cuadrados grandes con cuadrados grandes, rectángulos con rectángulos y cuadrados pequeños con cuadrados pequeños. Si queremos combinar 2x2 + 3x + 4 y 3x2 + 5x + 7, visualice los azulejos para ayudarle a combinar los términos semejantes: 2x2 (2 cuadrados grandes) + 3x (3 rectángulos) + 4 (4 cuadrados pequeños) + 3x2 (3 cuadrados grandes) + 5x (5 rectángulos) + 7 (7 cuadrados pequeños) La combinación de los dos conjuntos de azulejos, escrito algebraicamente, es: 5x2 + 8x + 11.
Ejemplo 5 A veces es útil tomar una expresión que está escrita horizontalmente, circule los términos con sus signos y rescriba términos semejantes en las columnas verticales antes de combinarlos: (2x2 – 5x + 6) + (3x2 + 4x – 9) 2x2 – 5x + 6 + 3x2 + 4x – 9 2x 2 − 5x + 6 +
3x 2
+ 4x − 9
5x 2 − x
−3
Este procedimiento puede ser más fácil para identificar los términos además del signo de cada término.
Problemas Combine los siguientes conjuntos de términos. 1.
(2x2 + 6x + 10) + (4x2 + 2x + 3)
2.
(3x2 + x + 4) + (x2 + 4x + 7)
3.
(8x2 + 3) + (4x2 + 5x + 4)
4.
(4x2 + 6x + 5) – (3x2 + 2x + 4)
5.
(4x2 – 7x + 3) + (2x2 – 2x – 5)
6.
(3x2 – 7x) – (x2 + 3x – 9)
7.
(5x + 6) + (–5x2 + 6x – 2)
8.
2x2 + 3x + x2 + 4x – 3x2 + 2
9.
3c2 + 4c + 7x – 12 + (–4c2) + 9 – 6x
10.
2a2 + 3a3 – 4a2 + 6a + 12 – 4a + 2
Respuestas 1.
6x2 + 8x + 13
2.
4x2 + 5x + 11
3.
12x2 + 5x + 7
4.
x2 + 4x + 1
5.
6x2 – 9x –2
6.
2x2 – 10x + 9
7.
–5x2 + 11x + 4
8.
7x + 2
9.
–c2 + 4c + x – 3
10.
3a3 – 2a2 + 2a + 14
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PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
4.3.2
La Propiedad distributiva muestra cómo expresar sumas y productos de dos maneras: a(b + c) = ab + ac. Esto también puede ser escrito (b + c)a = ab + ac. Forma factorizada a(b + c)
Forma distributiva a(b) + a(c)
Forma simplificada ab + ac
Para simplificar: Multiplique cada término dentro de los paréntesis por el término afuera. Si es posible, combine los términos. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 4.3.3 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
2(47) = 2(40 + 7) = (2 ⋅ 40) + (2 ⋅ 7) = 80 + 14 = 94
3(x + 4) = (3⋅ x) + (3⋅ 4) = 3x + 12
4(x + 3y + 1) = (4 ⋅ x) + (4 ⋅ 3y) + 4(1) = 4x + 12y + 4
Problemas Simplifique cada expresión a continuación aplicando la Propiedad distributiva. 1.
6(9 + 4)
2.
4(9 + 8)
3.
7(8 + 6)
4.
5(7 + 4)
5.
3(27) = 3(20 + 7)
6.
6(46) = 6(40 + 6)
7.
8(43)
8.
6(78)
9.
3(x + 6)
10.
5(x + 7)
11.
8(x – 4)
12.
6(x – 10)
13.
(8 + x)4
14.
(2 + x)5
15.
–7(x + 1)
16.
–4(y + 3)
17.
–3(y – 5)
18.
–5(b – 4)
19.
–(x + 6)
20.
–(x + 7)
21.
–(x – 4)
22.
–(–x – 3)
23.
x(x + 3)
24.
4x(x + 2)
25.
–x(5x – 7)
26.
–x(2x – 6)
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Respuestas 1.
(6 ⋅ 9) + (6 ⋅ 4) = 54 + 24 = 78
2.
(4 ⋅ 9) + (4 ⋅ 8) = 36 + 32 = 68
3.
56 + 42 = 98
4.
35 + 20 = 55
5.
60 + 21 = 81
6.
240 + 36 = 276
7.
320 + 24 = 344
8.
420 + 48 = 468
9.
3x + 18
10.
5x + 35
11.
8x – 32
12.
6x – 60
13.
4x + 32
14.
5x + 10
15.
–7x – 7
16.
–4y – 12
17.
–3y + 15
18.
–5b + 20
19.
–x – 6
20.
–x – 7
21.
–x + 4
22.
x+3
24.
2
26.
–2x2 + 6x
23.
2
x + 3x
4x + 8x
25.
2
–5x + 7x
Cuando la Propiedad distributiva se usa al revés, se llama factorización. Factorización cambia la suma de los términos (sin paréntesis) al producto (con paréntesis). ab + ac = a(b + c) Para factorizar: Escriba el factor común de todos los términos afuera de los paréntesis. Ponga los factores que queden de cada término original dentro de los paréntesis.
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
4x + 8 = 4 ⋅ x + 4 ⋅ 2 = 4(x + 2)
6x 2 − 9x = 3x ⋅ 2x − 3x ⋅ 3 = 3x(2x − 3)
6x + 12y + 3 = 3⋅ 2x + 3⋅ 4y + 3⋅1 = 3(2x + 4y + 1)
Problemas Factorice cada expresión a continuación usando la Propiedad distributiva al revés. 1.
6x + 12
2.
5y – 10
3.
8x + 20z
4.
x2 + xy
5.
8m + 24
6.
16y + 40
7.
8m – 2
8.
25y – 10
9.
2x2 – 10x
10.
21x2 – 63
11.
21x2 – 63x
12.
15y + 35
13.
4x + 4y + 4z
14.
6x + 12y + 6
15.
14x2 – 49x + 28 16.
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x2 – x + xy
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Respuestas 1.
6(x + 2)
2.
5(y – 2)
3.
4(2x + 5z)
4.
x(x + y)
5.
8(m + 3)
6.
8(2y + 5)
7.
4(2m – 1)
8.
5(5y – 2)
9.
2x(x – 5)
10.
21(x2 – 3)
11.
21x(x – 3)
12.
5(3y + 7)
13.
4(x + y + z)
14.
6(x + 2y + 1)
15.
7(2x2 – 7x + 4) 16.
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x(x – 1 + y)
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SIMPLIFICAR EXPRESIONES (EN UN TABLERO DE EXPRESIONES)
4.3.3
Tableros de expresiones con un región Los azulejos algebraicos y los Tableros de expresiones son herramientas de organización usada para representar expresiones algebraicas. Pares de Tableros de expresiones pueden ser modificadas para hacer Tableros de comparación de expresiones (vea la próxima sección) y Tableros de ecuaciones. Azulejos positivos están sombreados y los azulejos negativos están en blanco. Un par de azulejos con un azulejo sombreado y el otro blanco representa un cero (0).
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Represente x2 – 2x + 3.
Represente 3(x – 2). = +1 = –1
x2
= +1 = –1
x x x
x x
Note que 3(x – 2) = 3x – 6.
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Esta expresión hace cero.
Simplifique 2x2 + 2x + 2 + (–2x) + (–3).
x x x x
= +1 = –1
x2
x2
= +1 = –1
x x x x
Después de quitar los ceros, queda 2x2 – 1.
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Problemas = +1 = –1
Simplifique cada expresión. 1.
2.
3. x x x x
4.
5.
x2
x2
x x
x x
6.
x
x2
x
x2
x2
x2
x2
x2
x x x
x x x
x
x
7.
2x – 3 + x + 1
8.
–3x + 2x + 4
9.
x2 – 2x + 3 + 3x – 1
10.
x + (–3) + 5 – 2x
11.
–3 + 2x + (–1) – 4x
12.
3(x + 3) – 2x
13.
x2 – 2x + 3 – 2x2 + 1
14.
2(x – 2) + 3 – x
15.
2(x2 + 3) + 2x – 1
Respuestas 1.
3
2.
2x – 2
3.
2x2 – 2x
4.
–x2 + 3x – 4
5.
x2 – x + 4
6.
–2x
7.
3x – 2
8.
–x + 4
9.
x2 + x + 2
10.
–x + 2
11.
–2x – 4
12.
x+9
13.
2
14.
x–1
15.
2x2 + 2x + 5
–x – 2x + 4
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PROBLEMAS DE PORCENTAJE USANDO DIAGRAMAS Una variedad de problemas de porcentajes descritos en palabras implica la relación entre el “por ciento,” “la parte” y “el parte del total todo.” Cuando esto se representa mediante una recta numérica, las soluciones se pueden encontrar utilizando el razonamiento lógico o fracciones parte de 100% equivalentes (proporciones). Estos modelos lineales pueden tener un aspecto como el diagrama de la derecha.
5.1.1 y 5.1.2
total
100%
Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 Sam’s Discount Tires anuncia un neumático que originalmente cuesta $50 a la venta por $35. total ¿Cuál es el porcentaje de descuento? parte del total $50 neumático $15 menos
Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha:
?%
100%
parte de 100%
En esta situación, es fácil pensar que ya que el total de número de porcentaje (100%) es el doble del total del número de costo ($50), el número de porcentaje ahorrado es el doble del número de costo ahorrado y por lo tanto es un descuento del 30%. El problema también puede ser resuelto ? = 100 utilizando una proporción 15 . 50
Ejemplo 2 Martin recibió 808 votos a la alcaldía de Smallville. Si este fue el 32% del total de votos emitidos, ¿cuántas personas votaron por el alcalde de Smallville? parte del total
Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha:
total
? número de votos 808 votos 32%
100%
parte de 100%
En este caso, es mejor escribir un par de fracciones equivalentes como una proporción: Se se utiliza el Uno Gigante, el multiplicador es 100 32 = 3.125 así que Un total de 2525 personas votaron para el alcalde de Smallville.
808 32
⋅ 3.125 = 3.125
2525 100
808 32
x = 100
.
Tenga en cuenta que la proporción en este problema también podría ser resuelto utilizando la multiplicación cruzada. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
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Problemas Utilice un diagrama para resolver cada uno de los siguientes problemas. 1.
La prueba de Inglés de Sarah tenía 90 preguntas y ella contestó 18 preguntas incorrectamente. ¿Qué porcentaje de las preguntas contestó ella correctamente?
2.
Los pantalones cargo que se venden regularmente por $36 se ofrecen a un descuento de 30%. ¿Cuánto es el descuento?
3.
La cuenta para una estancia en un hotel fue $188 dólares incluyendo $15 de impuestos. ¿Qué porcentaje de la cuenta fue el impuesto?
4.
Alicia contestó 60 preguntas correctamente en su examen de ciencias. Si recibió una puntuación de 75%, ¿cuántas preguntas había en el examen?
5.
Los zapatos de baloncesto están en oferta para el 22% de descuento. ¿Cuál es el precio normal, si el precio de venta está a $42?
6.
Sergio sacó 80% en su examen de matemáticas. Si respondió correctamente a 24 preguntas, ¿cuántas preguntas había en el examen?
7.
Un abrigo de $65 está en oferta por $52. ¿Qué porcentaje de descuento se le da?
8.
Ellen compró pantalones cortos de fútbol a la venta por $6 de descuento del precio regular de $40. ¿Qué porcentaje ahorró?
9.
De acuerdo con las reglas escolares, Carol tiene que convencer a un 60% de sus compañeros de clase a votar por ella con el fin de ser elegida presidente de la clase. Hay 32 estudiantes en su clase. ¿Cuántos estudiantes hay que convencer?
10.
Un suéter que se vendía regularmente por $52 está en oferta a 30% de descuento. ¿Cuál es el precio de venta?
11.
Jody encontró un par de sandalias de $88 marcado con 20% de descuento. ¿Cuál es el valor monetario del descuento?
12.
Ly obtuvo el 90% en un examen. Si respondió a 135 preguntas correctamente, ¿cuántas preguntas había en el examen?
13.
Para el final de temporada de lucha libre, Mighty Max había bajado siete libras y ahora pesa 128 libras. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución de su peso inicial?
14.
George tiene 245 tarjetas en su colección de tarjetas de béisbol. De ellas, 85 de las tarjetas son los lanzadores. ¿Qué porcentaje de las tarjetas son los lanzadores?
15.
Julio compró zapatos de fútbol a un descuento de 35% en una oferta y ahorró $ 42. ¿Cuál fue el precio original de los zapatos?
Respuestas 1. 4. 7. 10. 13.
80% 80 preguntas 20% $36.40 más o menos 5%
2. 5. 8. 11. 14.
$10.80 $53.85 15% $17.60 más o menos 35%
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3. 6. 9. 12. 15.
más o menos 8% 30 preguntas 20 estudiantes 150 preguntas $120
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RAZONES
5.1.1 y 5.1.2
Una razón es una comparación de dos cantidades por la división. Se puede escribir de varias maneras: 65 millas , 65 millas: 1 hora o 65 millas a 1 hora 1 hora Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 5.1.1 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo Una bolsa contiene las siguientes canicas: 7 claras, 8 rojas y 5 azules. Las siguientes razones pueden establecerse: a.
Razón de azul con el número total de canicas ⇒
b.
Razón de rojo a claro ⇒
c.
Razón de rojo a azul ⇒
d.
Razón de azul a rojo ⇒
5 20
=
1 4
.
8 . 7 8 . 5 5 . 8
Problemas 1.
2.
La bebida del jugo favorito de Molly se hace mezclando 3 tazas de jugo de manzana, 5 tazas de jugo de arándano y 2 tazas de gaseosa de jengibre. Determine las siguientes razones: a.
Razón de jugo de arándano al jugo de manzana.
b.
Razón de gaseosa de jengibre al jugo de manzana.
c.
Razón de gaseosa de jengibre a bebida de jugo terminada (la mezcla).
Un autobús de 40 pasajeros está llevando a 20 niñas, 16 niños y 2 maestros en un viaje de campo a la capital del estado. Determine las siguientes razones: a.
Razón entre niñas y niños.
b.
Razón entre niños y niñas.
c.
Razón de los maestros a estudiantes.
d.
Razón de los maestros a los pasajeros.
3.
Es importante para Molly (del problema uno) mantener las mismas razones cuando mezcla cantidades más grandes o más pequeñas de la bebida. De lo contrario, la bebida no sabe bien. Si ella necesita un total de 30 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar?
4.
Si Molly (del problema uno) necesita 25 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar? Recuerde que las razones deben seguir iguales.
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Respuestas 5 3
b.
2 3
c.
2 10
=
1 5
1.
a.
3.
9 tazas jugo de manzana, 15 tazas jugo de arándano, 6 tazas gaseosa de jengibre
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20 16
=
5 4
b.
16 20
=
4 5
c.
2 36
2.
a.
d.
4.
7 12 tazas jugo de manzana, 12 12 tazas jugo de arándano, 5 tazas gaseosa de jengibre
2 38
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EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES
5.2.3
Dos eventos son independientes si el resultado de un evento no afecta al resultado del otro evento. Por ejemplo, si saca un naipe de una baraja estándar, pero la reemplaza antes de sacar de nuevo, los resultados de los dos sorteos son independientes. Dos eventos son dependientes si el resultado de un evento afecta el resultado del otro evento. Por ejemplo, si saca un naipe de una baraja estándar y no la reemplaza para el siguiente sorteo, los resultados de los dos sorteos son dependientes.
Ejemplo 1 1 Juan sacó un naipe rojo de la baraja estándar. Esta probabilidad es 26 52 o 2 . Él devuelve el naipe a la baraja. ¿Cambiará la probabilidad de sacar un naipe rojo la próxima vez?
No, su probabilidad de sacar un naipe rojo la próxima vez no va a cambiar, ya que devolvió el naipe. Todavía hay 26 naipes rojos de los 52. Este es un ejemplo de un evento independiente; su extracción y sustitución de un naipe rojo no afecta a las selecciones posteriores de la baraja.
Ejemplo 2 Brett tiene una bolsa de 30 caramelos multicolores. 15 son de color rojo, 6 son de color azul, 5 son verdes, 2 son de color amarillo y 2 son de color marrón. Si saca un caramelo de color amarillo y se lo come, cambia esto su probabilidad de tirar cualquier otro caramelo de la bolsa? Sí, esto cambia la probabilidad, porque ahora tiene sólo 29 caramelos en la bolsa y sólo 1 de 2 o 1 ; ahora es 1 . Del caramelo amarillo. Originalmente, su probabilidad de amarillo era 30 15 29 15 1 15 1 mismo modo, rojo era 30 o 2 y ahora es 29 , más que 2 . Este es un ejemplo de un evento dependiente.
Problemas Decida si estos eventos son eventos independientes o dependientes. 1.
Lanzar una moneda, y lanzarla de nuevo.
2.
Tomar un negro 7 fuera de una baraja y no devolverlo, a continuación, sacar otro naipe.
3.
Tomar un regaliz rojo de una bolsa y comerlo, y después tomar otro trozo de regaliz.
Respuestas 1.
independiente
2.
dependiente
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3.
dependiente
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EVENTOS COMPUESTOS Y MÉTODOS DE CONTEO
5.2.3 – 5.2.6
PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS A veces, cuando usted está encontrando una probabilidad, usted está interesado en cualquiera de dos resultados que tienen lugar, pero no ambos. Por ejemplo, usted puede estar interesado en sacar un rey o una reina de una baraja. En otras ocasiones, usted podría estar interesado en un evento seguido por otro evento. Por ejemplo, puede que desee arrojar un uno en un dado y luego arrojar un seis. Las probabilidades de combinaciones de eventos simples se llaman eventos compuestos. Para encontrar la probabilidad de que sea un evento u otro que no tiene nada en común con la primera, se puede calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego añadir sus probabilidades. Utilizando el ejemplo anterior de sacar un rey o una reina de una baraja: 4 y P(reina) = 4 4 4 8 2 P(rey) = 52 52 así que P(rey o reina) = 52 + 52 = 52 = 13 Durante dos eventos independientes, para encontrar la probabilidad de que tanto uno como el otro evento ocurra, se puede calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego multiplicar sus probabilidades. Usando el ejemplo de arrojar un uno seguido de un seis en un dado: 1 P(1) = 16 y P(6) = 16 entonces P(1 luego 6) = 16 ⋅ 16 = 36 Tenga en cuenta que usted llevaría a cabo el mismo cálculo si quería saber la probabilidad de arrojar un uno en un dado verde y un seis en un dado rojo, si usted arrojó los dos al mismo tiempo.
Ejemplo 1 Una ruleta está dividida en cinco secciones iguales numeradas 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de girar un 2 o un 5? Paso 1: Paso 2:
Determine ambas probabilidades: P(2) = 15 y P(5) = 15 Ya que estos eventos son de lo uno o el otro, añada las fracciones que describen cada probabilidad: 15 + 15 = 25 La probabilidad de girar un 2 o un 5 es
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2 5
: P(2 o 5) =
2 5
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Ejemplo 2 Si cada una de las regiones de cada ruleta a la derecha es del mismo tamaño, ¿qué es la probabilidad de girar cada ruleta y conseguir una camiseta verde?
blanco white
rojo red
verde green
azul blue
suéter sweater
camiseta t-shirt
sudadera sweatshirt
Paso 1:
Determine ambas probabilidades: P(verde) = 14 y P(camiseta) = 13
Paso 2:
Puesto que usted está interesado en el evento compuesto de tanto verde y una 1 camiseta, multiplique ambas probabilidades: 14 ⋅ 13 = 12 La probabilidad de girar una camiseta verde es
1 12
: P(camiseta verde) =
1 12
Problemas Supongamos en cada uno de los problemas a continuación que los eventos son independientes el uno del otro. 1.
Un dado, numerado 1, 2, 3, 4, 5 y 6, se arroja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 o un 6?
2.
Mary está jugando un juego en que se arroja un dado y hace girar una ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que obtendrá tanto el 3 y el negro que necesita para ganar el juego?
• •
•
•• •
azul blue
rojo red
negro black
3.
Una ruleta está dividida en ocho secciones iguales. Las secciones están numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. ¿Cuál es la probabilidad de girar un 2, 3 o un 4?
4.
Patty tiene una caja de 12 lápices de colores. Hay 2 azules, 1 negro, 1 gris, 3 rojas, 2 verdes, 1 naranja, 1 morado y 1 amarillo en la caja. Patty cierra los ojos y elige un lápiz. Ella tiene la esperanza de elegir un lápiz de color verde o rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que obtendrá su deseo?
5.
Utilice las ruletas de la derecha para decirle a Pablo posibilidades de conseguir el camión plateado que quiere.
scooter auto scooter car truck camión
6.
azul blue negro black plateado silver
En el camino a la escuela, el autobús escolar tiene que ir a través de dos señales de tráfico. La primera luz es verde por 25 segundos de cada minuto, y la segunda luz es de color verde durante 35 segundos de cada minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas luces serán verdes en el camino a la escuela?
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7.
Hay 250 estudiantes en South Lake Middle School. 125 disfrutan de la natación, 50 disfrutan de patinar en monopatín y 75 disfrutan el sóftbol. Si el disfrute de estos deportes es independiente, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante disfruta de los tres deportes?
8.
John tiene una bolsa de caramelos de goma. Hay 100 caramelos en la bolsa. 14 de los caramelos son de cereza, 14 de los caramelos son de naranja, 14 de los caramelos son de regaliz, y 14 de los caramelos son de limón. ¿Cuál es la probabilidad de que John elige uno de sus sabores favoritos, naranja o cereza?
9.
Una encuesta a nivel nacional mostró que sólo el 4% de los niños les gusta comer habas. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier de dos niños les gustan las habas?
Respuestas 1.
2 6
5.
1 12
9.
1 625
o
1 3
= 0.0016
2.
1 18
6.
25 ⋅ 35 60 60
≈ 0.243
3.
3 8
7.
125 ⋅ 50 ⋅ 75 250 250 250
4. 3 8. = 100
5 12 2 4
o
1 2
8.
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MÉTODOS DE CONTEO Hay varios modelos diferentes que puede utilizar para determinar todos los posibles resultados de eventos compuestos cuando se producen tanto en un evento y el otro: una lista sistemática, una tabla de probabilidad y un árbol de probabilidad. Vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.5.2 del texto Core Connections en español, Curso 2 para más detalles sobre estos tres métodos. No sólo se puede usar una tabla de probabilidad para ayudar a enumerar todos los resultados, pero también se puede usarlo para ayudar a determinar las probabilidades de eventos compuestos independientes cuando se producen tanto en un evento y otro. Por ejemplo, la tabla de probabilidad siguiente (a veces llamado un modelo de área) ayuda a determinar las probabilidades del Ejemplo 2 anterior:
1 3 1 3 1 3
1 4
1 4
1 4
1 4
blanco
rojo
azul
verde
suéter sudadera camiseta
Cada caja en el rectángulo representa el evento compuesto tanto de un color y el tipo de ropa (suéter, sudadera, o camiseta). El área de cada cuadro representa la probabilidad de obtener cada combinación. Por ejemplo, la región sombreada representa la probabilidad de obtener una 1 . camiseta verde: 14 ⋅ 13 = 12
Ejemplo 3 En un picnic con su clase Will y Jeff estaban jugando un juego donde arrojaban un tiro libre y luego lanzaban una moneda. Cada niño sólo anota un tiro libre de tres intentos. Use una tabla de probabilidad (modelo de área) para encontrar la probabilidad de que uno de los chicos anota un tiro libre y, a continuación, lanza la moneda y voltea la cara. ¿Cuál es la probabilidad de que se pierde el tiro libre y luego lanza la cara?
cara H
cruz T
anota Make Miss pierde Miss pierde
Al encontrar el área de los rectángulos pequeños, las probabilidades son: P(anota y cara) = 13 ⋅ 12 = 16 , y P(pierde y cruz) = 23 ⋅ 12 = 26
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Ejemplo 4 Chris posee un carrito de café que estaciona fuera de la corte del centro todas las mañanas. 65% de sus clientes son abogados; el resto son miembros del jurado. 60% de las ventas de Chris incluye un panecillo, un 10% incluye cereales y el resto son sólo café. ¿Cuál es la probabilidad de que un abogado compre un panecillo o cereales? Las probabilidades pueden ser representados en un modelo de área de la siguiente manera: Las probabilidades se pueden calcular así: La probabilidad de que un abogado compre un panecillo o cereales es 0.39 + 0.065 = 0.455 o 45.5%.
abogado 0.65 jurado.35 panecillo 0.60 cereales 0.10 sólo café 0.30 panecillo 0.60 cereales 0.10 sólo café 0.30
abogado 0.65 0.39 0.065 0.195
Ejemplo 5 normal
La heladería local tiene opciones de conos, normal, de azúcar o de la galleta. Sus opciones de helado son vainilla, chocolate, chicle o yogur de fresa congelado. Los siguientes ingredientes están disponibles para los conos de helado: chispitas, pedacitos de chocolate y las nueces picadas. ¿Cuáles son los posibles resultados de un cono y una bola de helado y una cobertura? ¿Cuántos resultados son posibles?
Vainilla
cono de galleta normal
Chocolate
normal
Chicle
Hay cuatro sabores posibles, cada uno con tres posibles conos. Entonces cada uno de los 12 resultados pueden tener tres posibles coberturas. Hay 36 resultados para el evento compuesto de elegir un sabor, cono y una cobertura.
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azúcar cono de galleta
Tablas de probabilidad son útiles sólo cuando hay dos eventos. En esta situación hay tres eventos (cono, sabor, cobertura), por lo que vamos a utilizar un árbol de probabilidad.
Tenga en cuenta que la lista de los resultados, y el número total de resultados, no cambia si cambiamos el orden de los acontecimientos. Podríamos fácilmente haber elegido el cono primero.
azúcar
Yogur Congelado
azúcar cono de galleta normal
azúcar
cono de galleta
jurado.35 0.21 0.035 0.105
chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados
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Problemas Utilice tablas de probabilidad o diagramas de árbol para resolver estos problemas. 1. ¿Cuántas combinaciones diferentes son posibles en la compra de una bicicleta nueva si las siguientes opciones son disponsibles? •
bicicleta de montaña o bicicleta de carretera
•
pintura negra, roja, amarilla o azul
•
3 velocidades, 5 velocidades o 10 velocidades
2. Un nuevo camión está disponible con: •
transmisión estándar o automática
•
tracción en las 4 ruedas o tracción 2 × 2
•
cabina regular o extra
•
cama larga o corta
¿Cuántas combinaciones son posibles? 3. Un asesor de impuestos clasifica el 25% de los hogares en la ciudad por tener un gran patio trasero, un 65% por tener un pequeño patio trasero y el 10% por no tener patio trasero. 30% de los hogares tiene un techo de tejas, el resto tiene algún otro tipo de techo. ¿Cuál es la probabilidad de que una casa con un techo de tejas tenga un patio trasero? 4. Hay espacio para sólo 96 alumnos en la Universidad Escuela Secundaria para matricularse en una clase de “manualidades”: 25 alumnos en la madera, 25 alumnos de la metalurgia y el resto en imprenta. Tres cuartas partes de los espacios están reservados para los alumnos de cuarto año y una cuarta parte es para los alumnos de tercer año. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno matriculado en la clase de manualidades está de cuarto año y en la imprenta? ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno matriculado en la clase de manualidades está de tercer año y en la madera o la metalurgia? 5. Las compañías de seguros utilizan probabilidades para determinar la tasa que van a cobrar por una póliza de seguro. En un estudio de 3000 personas que tenían pólizas de seguro de vida, una compañía de seguros recoge los siguientes datos de cómo las personas de edad eran cuando murieron, en comparación con lo alta que eran. En este estudio, ¿cuál era la probabilidad de ser alto (más de 6 pies) y morir joven (menor de 50 años de edad)? ¿Cuál era la probabilidad de ser alto y morir menos de 70 años de edad? ¿Cuál era la probabilidad de estar entre 50 y 70 años de edad? 80 años de edad 111 999
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Respuestas 1. Hay 24 combinaciones posibles, como se muestra a continuación. negro rojo
Montaña
amarillo azul
negro Carretera
rojo amarillo
azul
3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades
3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades
2. Hay 16 combinaciones posibles, como se muestra a continuación. tracción en las 4 ruedas
cabina regular
tracción en las 4 ruedas
cabina regular
tracción 2×2
cabina regular
tracción en las 4 ruedas
cabina regular
Estándar
Automático
cabina extra
cabina extra
cabina extra
cabina extra
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cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta Core Connections en español, Curso 2
3. La probabilidad es 0.075 + 0.195 = 0.27 o 27%.
techo de tejas 30% otro techo 70%
gran patio trasero 25% 0.075
pequeño patio trasero 65% 0.195
no patio trasero 10%
4. La probabilidad de una alumno de cuarto año en imprenta es de aproximadamente 0.359%. La probabilidad de un alumno de tercer año en la madera o la metaluría es 0.065 + 0.065 ≈ 0.13. 4º año madera
3 4
3º año
25 96 25 96 46 96
≈ 0.065
metalurgía imprenta
1 4
≈ 0.065 ≈ 0.359
5. La probabilidad de ser alto (más de 6 pies) y morir joven (menor de 50 años de edad) es 30 3000 = 0.01. La probabilidad de ser alto y morir menos de 70 años de edad es 30+25+52 ≈ 0.036. La probabilidad 3000 25+52+225+468 ≈ 0.257. 3000
de estar entre 50 y 70 años de edad es
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RESOLVER PROBLEMAS DE PALABRAS (EL PROCESO 5-D)
5.3.4 y 5.3.5
El Proceso 5-D es un método que los estudiantes pueden usar para resolver varios tipos de problemas, especialmente problemas de palabras. Las D’s representan Describir, Definir, Desarrollar, Decidir y Declarar. Cuando los estudiantes usan el Proceso 5-D, les proporciona un registro del pensamiento del estudiante. Los patrones en la tabla dirigen directamente en escribir ecuaciones algebraicas para los problemas de palabras. Escribir ecuaciones es una de las más importantes habilidades de álgebra que los estudiantes puedan aprender. Usando el Proceso 5-D ayuda esta habilidad ser accesible para todos los estudiantes. Para poder ayudar a los estudiantes ver las relaciones en un problema de palabras, requerimos que incluyan por las menos cuatro entradas (hileras) en sus tablas. La repetición de las operaciones se necesita para ver como las columnas están relacionadas. Después los estudiantes hubieron practicado usando el Proceso 5-D para resolver los problemas, empezamos a generalizar desde los patrones en la tabla a escribir ecuaciones que representan las relaciones en el problema. También creemos que escribir la respuesta en una oración después que la tabla este completa es importante porque muchos estudiantes olvidan lo que realmente es la ecuación. Esta oración ayuda al estudiante mirar el cuadro completo y resume al problema. Vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.3.3 del texto Core Connections en español, Curso 2.
Ejemplo 1 Una caja de fruta tiene tres veces más nectarinas que toronjas. Juntos hacen 36 piezas de fruta. ¿Cuantas piezas de cada tipo de fruta hay? Paso 1:
Describir: El número de nectarinas es tres veces el número de toronjas. El número de nectarinas más el número de toronjas es igual a 36.
Pasó 2:
Definir:
Prueba 1:
Configure una tabla con columnas. La primera columna debe ser el elemento de que menos conozca. Escoja cualquier cantidad fácil para esa columna.
Definir nro. de toronjas 11
¿Qué más debemos saber? El número de nectarinas, que es tres veces más que el número de toronjas.
Prueba 1:
Definir nro. de toronjas nro. de nectarinas 11 3(11) = 33 El ejemplo continúa en la página siguiente →
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Continuación del ejemplo de la página anterior. Paso 3:
Desarrollar: ¿Cuál es el número total de frutas? Definir nro. de toronjas
nro. de nectarinas
11
33
Prueba 1: Paso 4:
Desarrollar total de piezas de fruta 44
Decida: Necesitamos verificar el total de piezas de fruta basado en la prueba #1 de 11 toronjas y compárelo al total que se le dio en el problema. Definir nro. de toronjas
nro. of nectarinas
11
33
Prueba 1:
Desarrollar total de piezas de fruta 44
Decidir ¿36? demasiado alto
Empiece otra prueba. Nuestro total era 44; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado alto y nuestro próxima prueba debe empezar más bajo. Definir nro. de toronjas
nro. of nectarinas
11 10
33 30
Prueba 1: Prueba 2:
Desarrollar total de piezas de fruta 44 40
Decidir ¿36? demasiado alto demasiado alto
Empiece otra prueba. Nuestro total era 40; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado alto y nuestro próxima prueba debe empezar todavía más bajo. Definir nro. de toronjas
nro. of nectarinas
11 10 8
33 30 24
Prueba 1: Prueba 2: Prueba 3:
Desarrollar total de piezas de fruta 44 40 32
Decidir ¿36? demasiado alto demasiado alto demasiado alto
Empiece otra prueba. Nuestro total era 32; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado bajo y el próxima prueba debe ser más alto que 8 pero menos que 10. Definir nro. de toronjas
nro. of nectarinas
11 10 8 9
33 30 24 27
Prueba 1: Prueba 2: Prueba 3: Prueba 4: Paso 5:
Declarar:
Desarrollar total de piezas de fruta 44 40 32 36
Decidir ¿36? demasiado alto demasiado alto demasiado bajo correcto
La respuesta fue encontrada. Responda en una oración. Hay 9 toronjas y 27 nectarinas en una caja.
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Ejemplo 2 El perímetro de un rectángulo es 120 pies. Si la longitud del rectángulo es 10 pies más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones (longitud y ancho) del rectángulo? ancho
Describir/Dibujar: ancho + 10
Empiece con el ancho por que, de las dos respuestas requeridas, es el que de menos sabemos. La longitud es 10 pies más que el ancho, así que suma 10 a la primera prueba. Definir Prueba 1:
Ancho 10
Longitud 20
Desarrollar Perímetro (10 + 20) · 2 = 60
Decida ¿120? demasiado bajo
Ya que la prueba de 10 resulto en una respuesta que es demasiada baja, debemos incrementar el número en la próxima prueba. Ponga atención al resultado de cada prueba mientras disminuya las pruebas posibles para llegar a la respuesta. Nota: mientras los estudiantes reciban más experiencia usando el Proceso 5-D, aprenderán a hacer mejores pruebas de un paso a otro para resolver los problemas más rápido o establecer un patrón que necesitan para escribir una ecuación. Definir Prueba 1: Prueba 2: Prueba 3: Prueba 4:
Ancho 10 20 30 25
Longitud 20 30 40 35
Desarrollar Perímetro (10 + 20) · 2 = 60 100 140 120
Decidir ¿120? demasiado bajo demasiado bajo demasiado alto correcto
Declarar: Las dimensiones son 25 y 35 pies.
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Ejemplo 3 Jorge tiene unas monedas de 10 centavos y 25 centavos. Tiene 10 más monedas de 10 centavos que monedas de 25 centavos y la colección de monedas tiene un valor de $2.40. ¿Cuántas monedas de 10 centavos y de 25 centavos tiene Jorge? Nota: Este tipo de problema es más difícil que otros porque el número de cosas que se preguntan es diferente a su valor. Columnas separados para cada parte del problema se debe de agregar a la tabla, como se muestra a continuación abajo. Frecuentamente los estudiantes olvidan escribir el 3º y 4º columna. Describir: El número de monedas de 25 centavos más 10 es igual al número de monedas de 10 centavos. El valor total de las monedas es $2.40.
Intento 1: Intento 2: Intento 3: Intento 4:
nro. de monedas de 25¢ 10 8 6 4
Definir nro. de valor de monedas monedas de 10¢ de 25¢ 20 2.50 18 2.00 16 1.50 14 1.00
valor de monedas de 10¢ 2.00 1.80 1.60 1.40
Desarrollar
Decidir
valor total
¿$2.40?
4.50 3.80 3.10 2.40
demaciado alto demaciado alto demaciado alto correcto
Declarar: Jorge tiene cuatro monedas de 25 centavos y 14 monedas de diez centavos.
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PREGUNTAS ÚTILES PARA HACERLE A SU ESTUDIANTE Si su estudiante tiene dificultades con un problema de 5-D, podría ser porque él/ella no entiende el problema, no porque él/ella no entienda el proceso. Aquí hay algunas preguntas que se puede hacer cuando su hijo/a no entienda el problema. (Estos también ayudan en situaciones que no sea problema de palabras.) 1.
¿Qué te están pidiendo que encuentres?
2.
¿Qué información se te ha dado?
3.
¿Hay información que no se necesite? Si es así, ¿qué es?
4.
¿Hay información esencial que haga falta? Si es así, ¿qué información necesitas?
NOTA SOBRE TÍTULOS DE COLUMNAS 1.
Puede seleccionar cualquier número en la primera prueba. Diez o la edad del estudiante son números adecuados para la primera prueba. El resultado le ayudará a determinar qué numero usar en la segunda prueba.
2.
Continúe estableciendo columnas por medio de preguntar “¿Qué más se debe saber para determinar si el número que usamos para la prueba es correcto o demasiado bajo o demasiado alto?”
3.
Ponga la respuesta a una calculación en cada columna. Estudiantes a veces ponen la respuesta a varias calculaciones mentales en una columna (vea la nota en el Ejemplo 3.)
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Problemas Resuelva estos problemas usando el Proceso 5-D. Escriba cada respuesta en una oración. 1.
Una tabla de madera que mide 100 centímetros de largo está cortada en dos piezas. Una pieza es 26 centímetros más largo que el otro. ¿Cuáles son las longitudes de las dos piezas?
2.
Thu es cinco años mayor que su hermano Tuan. La suma de sus edades es 51. ¿Cuáles son sus edades?
3.
Tomas está pensando en un número. Si triplica el número y le resta 13, el resultado es 305. ¿Cuál es el número del que está pensando Tomas?
4.
Dos números consecutivos tienen la suma de 123. ¿Cuáles son los dos números?
5.
Dos números par consecutivos tienen la suma de 246. ¿Cuáles son los números?
6.
La edad de Joe es tres veces la edad de Aaron y Aaron es seis años mayor que Christina. Si la suma de sus edades es 149, ¿cuál es la edad de Christina? ¿La edad de Joe? ¿Y la de Aaron?
7.
El granjero Fran tiene 38 animales en un corral, consistiendo de solamente gallinas y cabras. Si estos animales tienen 116 patas, ¿cuántos de cada tipo de animal hay?
8.
Una tabla de madera que mide 156 centímetros de largo es cortada en tres partes. Las dos partes más grandes miden igual y son 15 centímetros más largos que la parte pequeña. ¿Qué tan largas son las tres partes?
9.
Juan tiene 15 monedas, todas de 5 centavos y 10 centavos. Esta colección de monedas vale 90 centavos. ¿Cuántas monedas de 5 centavos y de 10 centavos hay? (Pista: crea columnas separadas para, “Número de monedas de 5 centavos,” “El valor de monedas de 5 centavos,” “Número de monedas de 10 centavos,” y “El valor de monedas de 10 centavos.”)
10.
Los boletos para la obra en la escuela cuestan $5.00 por adulto y $3.50 para estudiantes. Si el valor total de los boletos que se vendieron fue $2517.50 y 100 más estudiantes que adultos compraron boletos, ¿cuántos adultos y estudiantes compraron boletos?
11.
Una tabla de madera que mide 250 centímetros de largo es cortada en cinco piezas. Tres piezas cortas tienen longitudes iguales y dos son 15 centímetros más largas que las cortas. ¿Cuánto miden las tablas?
12.
Conrad tiene una colección de tres tipos de monedas: monedas de 5 centavos, 10 centavos y 25 centavos. Hay una cantidad igual de monedas de 5 centavos y 25 centavos, pero tres veces más monedas de 10 centavos. Si el valor de la colección es $9.60, ¿cuantas monedas de 5, 10 y 25 centavos hay?
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Respuestas 1.
Las longitudes de las tablas son 37 cm y 63 cm.
2.
Thu tiene 28 años y su hermano tiene 23 años.
3.
Tomas está pensando en el número 106.
4.
Los dos números consecutivos son 61 y 62.
5.
Los dos números par consecutivos son 122 y 124.
6.
Christina tiene 25 años, Aaron 31 y Joe 93.
7.
El granjero Fran tiene 20 cabras y 18 gallinas.
8.
La longitud de las tablas son 42, 57 y 57 centímetros.
9.
Juan tiene 12 monedas de 5 centavos y 3 de 10 centavos.
10.
255 boletos para adultos y 355 boletos para estudiantes fueron comprado para la obra de la escuela.
11.
Las longitudes de las tablas son 44 y 59 centímetros.
12.
Conrad tiene 16 monedas de 5 centavos, 16 monedas de 25 centavos y 48 monedas de 10 centavos.
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COMPARAR CANTIDADES (EN UN TABLERO DE EXPRESIONES)
6.1.1 y 6.1.2
Combinando dos Tableros de expressions a un Tablero de comparación de expresiones crea un modelo concreto para simplificar (y después resolver) desigualdades y ecuaciones. Los azulejos se pueden quitar o mover en el tablero de las siguientes maneras: (1) Quitando el mismo número de azulejos opuestos (ceros) del mismo lado; (2) Quitando un número igual de azulejos idénticos (un conjunto balanceado) del lado derecho e izquierdo; (3) Añadiendo el mismo número de azulejos opuestos (ceros) en el mismo lado; y (4) Añadiendo un número igual de azulejos idénticos (un conjunto balanceado) al lado derecho e izquierdo. Estas estrategias se llaman “movimientos legales.” Después de mover y simplificar el Tablero de comparación de expresiones, se les pide a los estudiantes que digan qué lado es mayor. A veces es solamente posible decir que lado es mayor si se sabe algunos valores posibles del variable.
Ejemplo 1 = +1 = –1
Determine qué lado es mayor usando movimientos legales. Paso 1 Quite el conjunto balanceado Tablero A Tablero B
Paso 2 Quite los ceros Tablero A Tablero B
Paso 3 Quite el conjunto balanceado Tablero A Tablero B
?
?
?
x x
x x
El lado izquierdo es mayor porque después del Paso 3: 4 > 0. También, después del Paso 2: 6 > 2. Note que este ejemplo demuestra solamente una de las posibles estrategias.
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Ejemplo 2 Use movimientos legales para que todos los variables de x estén en un solo lado y todos los azulejos de unidades en el otro. Paso 1 Paso 2 Añada un conjunto balanceado Añada un conjunto balanceado Tablero A
x
Tablero B
?
Tablero A
x
x x
Tablero B
?
x
Tablero A
x
x
Tablero B
?
x x
x
Lo que queda es 2x en el Tablero A y 4 en el Tablero B. Hay otros arreglos posibles, pero cualquier arreglo que sea, no es posible saber qué lado es mayor porque no sabemos el valor de “x.” Los estudiantes deben anotar los resultados en forma algebraica como dirigido por el maestro. Un resultado posible está a la derecha.
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Paso 3 Quite los ceros
Tablero A x−2 x−2+2 x+x−2+2 2x
Tablero B −x + 2 −x + 2 + 2 −x + x + 2 + 2 4
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Problemas Para cada problema a continuación, use las estrategias para quitar los ceros o simplificar por medio de quitar los conjuntos balanceados para determinar qué lado es mayor, si es posible. Anote sus pasos. 1.
Tablero A x x
?
x x
4.
Tablero B x x x
2.
Tablero A x x
x
3.
Tablero A
Tablero B x
x
x x x
Tablero A: 5 + (–8) Tablero B: –7 + 6
Tablero B x
= +1 = –1
x
?
x
?
x x
x
x
x
5. Tablero A: 2(x + 3) – 2 Tablero B: 4x – 2 – x + 4
6.
Tablero A: 4 + (–2x) + 4x Tablero B: x2 + 2x + 3 – x2
Para cada problema a continuación, use las estrategias de quitar los ceros o añadir/quitar conjuntos balanceados para que todos los variables de x estén en un lado y los azulejos de unidades en el otro. Anote sus pasos. 7.
Tablero A
Tablero B
8.
Tablero A
Tablero B
x x
x
9.
Tablero A
Tablero B
x
?
x
x
x
?
x
x x
? x
10. Tablero A: 3x – 2 Tablero B: 2x + 1
11. Tablero A: 4x + 2 + (–5) Tablero B: 2x + 3 + (–8)
12. Tablero A: 2x + 3 Tablero B: –x – 3
Respuestas (Las repuestas a problemas 7 a 12 pueden variar.) 1.
A es mayor
2.
B es mayor
3.
no es posible distinguir
4.
B es mayor
5.
no es posible distinguir
6.
A es mayor
7.
A: x; B: 3
8.
A: 3x; B: 1
9.
A: 1; B: x
10.
A: x; B: 3
11.
A: 2x; B: –2
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12.
A: 3x; B: –6
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GRAFICAR Y RESOLVER DESIGUALDADES
6.1.3 y 6.1.4
GRAFICAR DESIGUALDADES
Las soluciones a una ecuación pueden ser representadas como un punto (o puntos) en una recta numérica. Si el Tablero de comparación de expresiones tiene un rango de soluciones, la solución es expresada como una desigualdad representada por una semirrecta o un segmento con puntos extremos de relleno o abiertos. Puntos extremos de relleno indican que el punto extremo está incluido en la solución (≤ o ≥), mientras que un punto extremo abierto indica que no es parte de la solución (< o >).
Ejemplo 1 x>6
Ejemplo 2 0
x ≤ –1
6
Ejemplo 3
–1 0
Ejemplo 4
–1 ≤ y < 6
y ≥ –2 –1 0
6
–2
0
Problemas Grafique cada desigualdad en una recta numérica. 1.
m –9
8.
x≠1
9.
x≤3
Respuestas 1.
2.
3.
2
3
–1
4.
5. –1
7.
3
6. –6
–9
© 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.
–1
–2
8.
2
9. 1
3
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RESOLVER DESIGUALDADES
Para resolver una desigualdad, examine las dos expresiones en un Tablero de comparación de expresiones. Use el resultado como un punto frontera en la recta numérica. Después pruebe un valor de cada lado del punto frontera de la recta numérica de la desigualdad. Si el número de la prueba es verdadero, entonces el punto frontera es parte de la solución. Además, si la desigualdad es ≥ o ≤, entonces el punto frontera es parte de la solución y es indicado por un punto de relleno. Si la desiguald es > o 2
9 > 12
VERDADERO
FALSO
–3 x = –4
x=0
–2(–4) – 3 < –4 + 6
–2(0) – 3 < 0 + 6
8–3 –1
2.
y–3≤5
3.
–3x ≤ –6
4.
2m + 1 ≥ –7
5.
–7 < –2y + 3
6.
8 ≥ –2m + 2
7.
2x – 1 < –x + 8
8.
2(m + 1) ≥ m – 3
9.
3m + 1 ≤ m + 7
Respuestas 1.
x > –4
2.
y≤8
3.
x≥2
4.
m ≥ –4
6.
m ≥ –3
7.
x