Probabilidad y Estad´ıstica Descripci´on de Datos Arturo Vega Gonz´alez
[email protected] Division de Ciencias e Ingenier´ıas Universidad de Guanajuato Campus Le´ on Agosto, 2012
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Contenido
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Teoria de Conjuntos
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Probabilidad Probabilidad Condicional
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Conjunto colecci´on de elementos u objetos definidos en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la colecci´on Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simb´olica como: x1 ∈ A . En caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notaci´on: y1 ∈ /A
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensi´on : Enumerar los elementos
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensi´on : Enumerar los elementos Comprensi´on : Se definen a trav´es de una condici´on A = {x|x es par }
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensi´on : Enumerar los elementos Comprensi´on : Se definen a trav´es de una condici´on A = {x|x es par } Diagramas de Venn
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: Extensi´on : Enumerar los elementos Comprensi´on : Se definen a trav´es de una condici´on A = {x|x es par } Diagramas de Venn Descripci´on verbal : Enunciado que describe la caracter´ıstica que es com´un para los elementos
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos A ⊂ B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto)
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos A ⊂ B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A 6⊂ B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos A ⊂ B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A 6⊂ B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B Cardinalidad : n´umero de elementos que posee el conjunto
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos A ⊂ B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A 6⊂ B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B Cardinalidad : n´umero de elementos que posee el conjunto φ o {}: Conjunto vac´ıo (no posee elementos)
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos A ⊂ B : cada elemento de A esta incluido en el conjunto B (subconjunto) A 6⊂ B : No todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B Cardinalidad : n´umero de elementos que posee el conjunto φ o {}: Conjunto vac´ıo (no posee elementos) U : Conjunto universal (contiene todos los elementos bajo consideraci´on)
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Conjunto finito: es aquel cuyos elementos pueden ser contados. A = {x|x es el nombre de un d´ıa de la semana } B = {x|x es la cantidad de estudiantes en la DCI }
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Conjunto finito: es aquel cuyos elementos pueden ser contados. A = {x|x es el nombre de un d´ıa de la semana } B = {x|x es la cantidad de estudiantes en la DCI } Conjunto infinito: es aquel cuyos elementos no pueden ser contados A = {x|x es par } B = {1, 3, 5, 7, 9, 1, · · · }
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento. Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos.
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos La uni´on de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A ∪ B A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B}
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos La uni´on de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A ∪ B A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B} La intersecci´on de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que tambi´en pertenecena B : A ∩ B A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B}
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos La uni´on de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A ∪ B A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B} La intersecci´on de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que tambi´en pertenecena B : A ∩ B A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B} Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersecci´on es el conjunto vac´ıo
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos La uni´on de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A ∪ B A ∪ B = {x|x ∈ A o x ∈ B} La intersecci´on de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que tambi´en pertenecena B : A ∩ B A ∩ B = {x|x ∈ A y x ∈ B} Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersecci´on es el conjunto vac´ıo El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no ¯ entonces: est´an en A : A0 o A, 0 0 0 (A ) = A , φ = U , U 0 = φ Universidad de Guanajuato, DCI, Campus Le´ on
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A − B A − B = {x|x ∈ A y x 6∈ B}
U
A
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B
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Del diagrama de Ven anterior se deduce que: A − B = A ∩ B0 A − B = φ s´ı y s´olo s´ı: A ⊂ B A − B = B − A s´ı y s´olo s´ı: A = B A − B = A s´ı y s´olo s´ı: A ∩ B = φ (A − B) ⊂ A A−φ=A A − B = B 0 − A0
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Propiedades: Identidad A∪φ=A A∪U =U A∩U =A A∩φ=φ
Idempotencia A∪A=A A∩A=A
Complemento A ∪ A0 = U A ∩ A0 = φ
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Propiedades: Asociativas (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Comnutativas A∪A=B∪A A∩B =B∩A
Distributivas A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
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Teoria de Conjuntos
Leyes D’Morgan Propiedades: El complemento de la uni´on de dos conjuntos es la intersecci´on de sus complementos. (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
El complemento de la intersecci´on de dos conjuntos es la uni´on de sus complementos (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
Probabilidad Condicional La probabilidad Condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A (aposteriori) dado que ya aconteci´o un evento B (apriori), y se representa mediante P (A|B), ( probabilidad de A dado B o probabilidad de A condicionada a B).
Ω
B
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
Probabilidad Condicional Como u´nicamente conocemos el evento B, la probabilidad de que exista A est´a dada por la posible intersecci´on del evento A con el evento B. Ω
A
B
Entonces P (A|B) = nA∩B /nB con nA∩B como el n´umero de elementos en la intersecci´on de A con B, mientras que nB es el numero de elementos en el evento B Universidad de Guanajuato, DCI, Campus Le´ on
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
Probabilidad Condicional Dividiendo entre nΩ y aplicamos el concepto de probabilidad y teoria de conjuntos, entonces P (A|B) = (nA∩B /nΩ )/(nB /nΩ ) = P (A ∩ B)/P (B) Tambi´en lo podemos escribir como: P (A|B) = P (AB)/P (B)
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
Probabilidad Condicional Algunas propiedades: Si B ⊂ A entonces P (A|B) = 1 Si A ⊂ B entonces P (A|B) = P (A)/P (B) > P (A)
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
Probabilidad Conjunta Es la probabilidad de ocurrencia de dos o m´as eventos. De la expresi´on P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B) se pude despejar P (A ∩ B) = P (A)P (B|A). Esta expresi´on es llamada Ley de multiplicaci´on de probabilidades. P (A ∩ B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.
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Probabilidad
Probabilidad Condicional
Probabilidad de eventos independientes Si los eventos A y B son independientes entre s´ı, entonces la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del otro, por lo tanto la probabilidad condicional ser´ıa igual a la probabilidad de que ocurra cualquier P (A|B) = P (A) y P (B|A) = P (B). Sustituyendo en la expresi´on de probabilidad conjunta, se tiene que P (A ∩ B) = P (A)P (B), siempre y cuando A y B sean eventos independientes entre s´ı y se le denomina Ley de multiplicaci´on de eventos independientes.
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