Probabilidad y Estadística

Programa Probabilidad Teoría de conjuntos ●Diagramas de Venn ●Permutaciones y combinaciones ●Variables aleatorias y distribuciones ●Propiedades de distribuciones ●Funciones generadoras ●Algunas distribuciones importantes ●Teorema del límite central ●

Programa Estadística Muestras y poblaciones ●Muestra estadística ●Estimadores y distribuciones de muestreo ●Estimadores básicos ●Método de máxima verosimilitud ●Método de mínimos cuadrados ●Pruebas de hipótesis ●

Tablón Blackboard (próximamente) ●www.bifi.es/~gopar =================================== Books: - Mathematical Methods for Physics and Engeneering, K. F. Riley, Mp. Hobson, S. J. Bence, Cambridge (third or higher edition) ●

-Probability and Statistics, Morris H. DeGroot, Mark J. Schervish, Addison Wesley (third or higher edition) =================================== Please, periódicos y móviles en las mochilas !

Probabilidad Conceptos como probabilidad, azar, aleatorio son tan viejos como la misma civilización. ●

Y es que a diario utilizamos el concepto de probabilidad: ●

“Quizá llueva mañana” “Probablemente llegaremos tarde” “Seguramente tendré notable en Métodos Matemáticos para la Física ...” ¿Pero, qué es la probabilidad ?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ... Probabilidad como frecuencia de sucesos: ●

aquí la probabilidad se obtiene a través de la frecuencia relativa, si el proceso se repitiera muchas veces bajo las mismas condiciones. Pero, ¿cuánto es “mucho”?¿Qué significa condiciones similares ?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ... Interpretación clásica de probabilidad: esta interpretación esta basada en la idea de eventos igualmente posibles (probables). ●

Ejemplo. Si existen n posibles resultados, todos ellos con la misma posibilidad de que ocurran, entonces la probabilidad de cada evento es 1/n Pero, el concepto de “igualmente probable” está basado en el concepto de probabilidad que queremos definir ! ¿Qué hacemos cuando los eventos no son igualemente probables?

Diferentes interpretaciones de la probabilidad ... Interpretación subjetiva de laprobabilidad:

●

esta es la probabilidad que una persona asigna a los posibles eventos de una situación. El juicio para la asignación de probabilidades está basada en creencias o información del individuo. Obviamente, aquí la probabilidad cambia de persona a persona.

Teoría de Probabilidades Aquí veremos/desarrollaremos una teoría de probabilidades sin considerar las controversias respecto a la interpretación de lo que es una probabilidad. Por supuesto, la teoría que veremos es formalmente correcta y podrá utilizarse para la asignación de valores de probabilidad en problemas reales.

Conceptos preliminares

Un experimento es cualquier proceso, real o hipotético, cuyo posible resultado puede identificarse de antemano. Un evento es un conjunto bien definido de los posibles resultados de un experimento.

Teoría de conjuntos Algunas definiciones: Espacio muestral: es la colección de todos los posibles resultados de un experimento. Denotaremos por “S” al espacio muestral. Un posible resultado “x” de “S” se dice que es un miembro del espacio muestral y se denota como

Teoría de conjuntos Cuando un experimento se realiza y se dice que un evento ha ocurrido, significa que el resultado del experimento satisface ciertas condiciones que especifican a ese evento. Cada evento puede considerarse como un subconjunto del espacio muestral

Teoría de conjuntos Ejemplo: Dado de seis caras (once again) Espacio muestral S

Sea A el evento de obtener un número par:

Teoría de conjuntos Sea B el evento de obtener un número mayor que 2

Se dice que un evento A está contenido en otro evento B, si cada resultado que pertece al subconjunto que define a A también pertenece al subconjunto que define B: o bien

Homework Un experimento consiste en escoger al azar un número entero entre 0 y 9 (incluyendo ambos números). Sean A, B y C los eventos definido por

Encontrar los elementos de los siguientes eventos

Teoría de conjuntos Para un evento arbitrario A es lógicamente correcto decir que cada elemento del pertenece a A, es decir,

Teoría de conjuntos Conjuntos finitos e infinitos El número de elementos de un conjunto puede ser finito o infinitos Un conjunto infinito puede ser a su vez contable o incontable Un conjunto es contable si hay una correspondencia uno a uno con los números naturales {1,2,3, ...}. Un conjunto es incontable si no es finito ni contable

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Teoría de probabilidades Axioma 1. Para cada A en un espacio muestral S,

Axioma 2. Para un espacio espacio muestral S

Axioma 3. Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes Para una serie infinita de eventos disjuntos

asumimos que

Teoría de probabilidades Definición matemática de probabilidad: Una probabilidad en un espacio muestral S es una especificación de números Pr(A) que satisfacen los axiomas 1, 2 y 3

Teoría de probabilidades Algunos teoremas: - Para cada serie finita de eventos disjuntos

- Para cada evento A

Teoría de probabilidades - Si

entonces

- Para cada evento A

- Para dos eventos A y B

Teoría de probabilidades C: cara, R: cruz. Número posible de eventos: 1- C C C 2- R C C 3- C R C 4- C C R 5- C R R 6- R C R 7- R R C 8- R R R

Teoría de probabilidades Ejercicio: calcule la probabilidad de obtener un as o una espada o un número par {2,4,6,8,10} Solución: Sea A el evento de obtener un as Sea B el evento de obtener una espada Sea C el evento de obtener un número par Se nos pide entonces calcular

Teoría de probabilidades Que está dada por

Métodos de conteo Para espacios muestrales simples es muy importante saber contar el número de resultados posibles de un evento y el número de resultados posibles del espacio muestral, pues de aquí podemos calcular la probabilidad de un evento dado - Multiplicación - Permutación - Combinación

Métodos de conteo

Multiplicación

Métodos de conteo

Permutaciones Una permutación es un arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. Entonces nos preguntamos de cuántas formas n objetos pueden arreglarse/acomodarse (?)