Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Tema 2 Probabilidad condicional e independencia

Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de:

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•

Distinguir los eventos condicionales de los eventos independientes.

Aplicar el Teorema de Bayes en situaciones de la vida real.

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Probabilidad y Estadística

Introducción al tema La vida diaria es una sucesión de eventos que nos llevan de un resultado a otro, en ocasiones sin casi darnos cuenta de ello, la ley de causa efecto se encuentra presente a cada momento. Si se nos olvida poner el despertador, probablemente no nos despertemos a la hora acostumbrada y llegaremos tarde a la escuela o al trabajo.

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Introducción al tema Sin embargo, algunos eventos no tienen relación entre sí, por ejemplo el resultado de dos juegos de futbol o bien, la probabilidad de lluvia y el día de la semana, pues son eventos que no tienen relación y que suceden sin que uno afecte o genere al otro. En la probabilidad y estadística, la causalidad entre un evento y otro o, la independencia entre eventos debe ser identificada para elegir la herramienta correcta en la interpretación de los experimentos y el cálculo de probabilidades. Pero ¿cómo identificamos la condición de causalidad?, ¿cómo determinamos que un evento es independiente del otro? D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO

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Probabilidad Condicional

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Para dos eventos cualesquiera A y B, con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado que ocurrió B se define mediante la ecuación P(A | B) = P (A ∩ B) P (B)

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Probabilidad Condicional

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Una forma de representar los problemas de probabilidad condicional es a través de un diagrama de Venn. Una muestra al azar de 100 diferentes tipos de animales es arroja los siguientes resultados:

– – – – – – –

15 animales son aves que vuelan y nadan 45 animales son aves que nadan 20 animales son aves que vuelan 55 animales son aves 25 animales vuelan y nadan 70 animales nadan 50 animales vuelan

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Probabilidad Condicional

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El diagrama de Venn resultante es: Aves

Animales que vuelan 5

5

20

15 30

10

15 Animales que nadan

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¿Cuál es la probabilidad de que un animal seleccionado al azar sea un ave? P(Ave) = 55 = 0.55 100 D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO

Probabilidad Condicional

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Otra forma de representar la probabilidad condicional es a través de los diagramas de árbol. Supongamos el siguiente ejemplo: Se hace un estudio para determinar el tiempo en años en que fallan ciertas partes electrónicas de una marca de televisores Tipo de falla

Fallo < 1 año

1 año < Fallo < 5 años

6 año < Fallo < 10 años

Fallo > 10 años

Monitor

10

30

5

75

Fuente de alimentación

25

15

10

30

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Probabilidad Condicional

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Probabilidad Condicional

El diagrama de árbol resultante es:

Probabilidad Conjunta

Menos 1 año

10 / 200

1 a 5 años

30 / 200

6 a 10 años

5 / 200

Más de 10 años

75 / 200

10 / 120

30 / 120

Monitor

5 / 120

120 / 200

75 / 120

Menos 1 año

10 / 200

25 / 80

80 / 200

15 / 80 Fuente de alimentación

15 / 200

1 a 5 años

10 / 80 6 a 10 años

10 / 200

Más de 10 años

30 / 200

30 / 80

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Probabilidad Condicional

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¿Cuál es la probabilidad de que un televisor con falla en el monitor haya fallado en un periodo de 5 a 10 años?. P(5 a 10 años | Monitor) = P (5 a 10 años | Monitor) P (Monitor)

P(5 a 10 años | Monitor) = 30 / 200 = 0.25 120 / 200

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Independencia de eventos La probabilidad condicional nos ayuda a determinar la probabilidad de ocurrencia de un evento A dado que ya sabemos con certeza que ya ocurrió un evento B. Sin embargo, hay situaciones en donde la probabilidad de ocurrencia de un evento A no se ve afectada por la ocurrencia de un evento B.

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Independencia de eventos

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La independencia de eventos puede definirse como:

–

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“Dos eventos son independientes si P(A|B) = P(A), de lo contrario, son dependientes”

Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurra A o B está dada por la fórmula:

P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An ) = P(A1) * P(A2) *…* P(An)

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Independencia de eventos

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Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que ambas caigan águila?

– –

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P(A) = Lanzar una primer moneda y que caiga águila P(B) = Lanzar una segunda moneda y que caiga águila

Dado que son eventos independientes, entonces: P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 0.5 * 0.5 = 0.25

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Teorema de Bayes

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El teorema de Bayes dice: – El resultado obtenido por la distribución de probabilidad condicional de un evento A dado que ocurrió B, en términos de la probabilidad condicional del evento B dado que ocurrió A y la distribución de probabilidad el evento A. Matemáticamente, se expresa de la siguiente forma:

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Teorema de Bayes

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En forma general, podemos deducir de teorema de Bayes que la suma de las probabilidades condicionales debe ser igual a 1 Matemáticamente, la expresión es:

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Teorema de Bayes

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Para entender mejor el teorema de Bayes, consideremos el siguiente ejemplo:

Se han colocado dos embarques cada uno con 20 computadoras portátiles de reciente modelo.

También se sabe que en el embarque 2 existe una computadora descompuesta

Se sabe que en el embarque 1 existen 5 computadoras descompuestas

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Probabilidad y Estadística

Teorema de Bayes

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El diagrama de árbol resultante es: 5 / 20

Descompuesta

Embarque 1 1/2 15 / 20

1 / 20

Funcional

Descompuesta

1/2 Embarque 2 19 / 20

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Funcional

De acuerdo al teorema de Bayes, tenemos:

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Teorema de Bayes P(A1 | B)

P(A1)

P(A2)

• Probabilidad de que se seleccionó el embarque 1 dado que la computadora estaba descompuesta.

• Probabilidad de seleccionar aleatoriamente el embarque 1.

• Probabilidad de seleccionar aleatoriamente el embarque 2.

P(B | A1)

• Probabilidad de seleccionar una computadora descompuesta dado que se seleccionó el embarque 1.

P(B | A1)

• Probabilidad de seleccionar una computadora descompuesta dado que se seleccionó el embarque 2.

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Teorema de Bayes

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Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos que:

Del resultado obtenido podemos interpretar lo siguiente: – Dado que en el embarque 1 tiene más computadoras defectuosas que el embarque 2, es más probable que la computadora haya sido tomado del embarque 1. D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO

Cierre La ocurrencia de los eventos probabilísticos en un experimento puede darse de dos formas: Una en la que la probabilidad ocurrencia de un evento A depende de la ocurrencia de un evento B; la segunda, en donde la ocurrencia de un evento A es independiente de la ocurrencia de un evento B. A estas formas se les conoce como probabilidad condicional e independencia.

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Cierre Durante el diseño de un experimento, es importante identificar si los eventos que se estudian tienen relación o no, con el fin de utilizar las reglas de probabilidad adecuadas, ya sea la regla especial de multiplicación o la regla general de multiplicación. Un caso especial de probabilidad condicional está representado por el teorema de Bayes, cuya principal función es determinar probabilidades de ocurrencia de eventos dependientes dados ciertos eventos que conocemos como ciertos.

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Cierre Existe una discusión entre los estadistas tradicionales y los llamados estadistas bayesianos. El sentido de la discusión es que los estadistas tradicionales solo aceptan resultados de probabilidades que puedan ser repetibles mediante la experimentación, mientras que los estadistas bayesianos permiten probabilidades subjetivas. De ello, derivamos que el teorema de Bayes puede servir para determinar la modificación a las probabilidades subjetivas cuando obtenemos nueva información útil para el experimento en cuestión.

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Referencias bibliográficas

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Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulo: 2. Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning. Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill.

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Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI

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