PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL RESUELTO POR MÉTODO SIMPLEX Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés Planteamiento del problema: Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos: A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación. DATOS DE PRODUCCIÓN PARA LA COMPAÑÍA (MINUTOS POR PRODUCTO) PRODUCTO FORMACIÓN INSPECCIÓN ACABADO A 2 3 2 B 6 6 2 C 2 2 4

El departamento de contabilidad por su parte, pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía.

Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día.

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PARA RESOLVERLO SEGUIREMOS PASO A PASO SU SOLUCIÓN: 1. Definición del problema:  Objetivo: maximizar el beneficio por día.  La compañía elabora tres tipos de productos (A, B, C)  Cada producto pasa por tres procesos: formación, acabado e inspección.  El producto A, requiere: 2 minutos en formación, 3 minutos en inspección y 2 en acabado  El producto B, requiere: 6 minutos en formación, 6 minutos en inspección y 2 en acabado  El producto C, requiere : 2 minutos en formación, 2 minutos en inspección y 4 en acabado  Por cada producto A se obtiene una utilidad de $20, por cada producto B una utilidad de $35 y por cada producto C una utilidad de $45.  El tiempo laboral diario es de 8 horas diarias para cada proceso.  La compañía quiere maximizar su beneficio por día por lo que requiere saber cuántas unidades debe producir de cada uno los productos que elabora, por lo llamaremos : o X1 a las unidades que deben producirse del producto A. o X2 a las unidades que deben producirse del producto B o X3 a las unidades que deben producirse del producto C.  En forma simplificada podemos expresar todo los datos del problema, útiles para la construcción del modelo en la siguiente tabla. Producto A Producto B Producto C Concepto Recursos (tiempo) X1 X2 X3

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2

6

2

≤ 8x60=480 minutos

Proceso de formación

3

6

2

≤ 8x60=480 minutos

Proceso de inspección

2

2

4

≤ 8x60=480 minutos

Proceso de acabado

$20

$35

$45

Utilidad obtenida por unidad. Página 2

2. Formulación del Modelo Matemático: Con los datos que hemos obtenido en el paso 1, resulta muy fácil construir el modelo. Max Z= 20X1 + 35X2 + 45X3  función objetivo del modelo Sujeto a: 2X1 + 6X2 + 2X3 ≤ 480 minutos (restricción de tiempo en formación) 3X1 + 6X2 + 2X3 ≤ 480 minutos (restricción de tiempo en Inspección) 2X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 480 minutos (restricción de tiempo en acabado) X1≥ 0 X2≥ 0 X3≥ 0

restricciones de no negatividad

3. Solución del Modelo Matemático: Podemos ver que el modelo matemático que nos ha resultado contiene tres variables de decisión, por lo que ya no lo podemos resolver en forma gráfica, esto nos conduce a recurrir a un método analítico confiable y fácil, llamado el método Simplex. Que consiste en transformaciones de matrices. Tal como lo detallaremos a continuación. Para poder montar la primera tabla del Simplex, primero debemos eliminar las desiguales o inecuaciones del modelo y convertirlas en ecuaciones, lo cual hacemos introduciendo variables de que llamaremos variables de holgura, tal como se muestra. Max Z= 20X1 + 35X2 + 45X3 + 0X4 + 0X5 + 0X6  función objetivo del modelo modificado para el simplex Sujeto a: 2X1 + 6X2 + 2X3 + X4 = 480 minutos (restricción de tiempo en formación) 3X1 + 6X2 + 2X3 2X1 + 2X2 + 4X3

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+X5

= 480 minutos (restricción de tiempo en Inspección)

+ X6 =480 minutos (restricción de tiempo en acabado)

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X1≥ 0 ; X4 ≥0 X2≥ 0 ; X5≥ 0 X3≥ 0 ; X6≥ 0

restricciones de no negatividad

Nota: Pude observar que en cada restricción introducimos una variable de holgura diferente de manera que me garantice la igualdad, pero además al introducir las tres nuevas variables en las restricciones también debimos incluirlas en la función objetivo, con coeficientes ceros para no alterar los resultados del modelo original.

Simbología usada en la tabla del Simplex: Cj : fila de los costos o utilidades de la función Objetiva. XB: columna de las variables básicas (EN LA PRIMERA TABLA DEL SIMPLEX SIEMPRE SERÁN LAS VARIABLES DE HOLGURA) CB: columna de los costos o utilidades de las variables básicas. b: columna de los lados derechos (recursos) X1, X2, X3, X4, X5, X6: columnas de las variables del modelo matemático. Ratio: Cocientes formado por bi/Xj (lados derechos sobre los coeficientes de las variables) Zj: el valor Z se obtiene Zj= ∑CB*Xj Cj – Zj: diferencia entre los costos o utilidades y los valores. En La primer tabla del Simplex se colocan: A la derecha de Cj todos los costos o utilidades de la función objetivo en nuestro caso 20 35 45 0 0 0 A la derecha de b se colocan los nombres de las seis variables del modelo: X1, X2, X3, X4, X5, X6

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Ahora requerimos trasladar el nuevo modelo matemático o modelo modificado a la primer tabla del Simplex, cuyo formato es el siguiente:

TABLA 1 DEL SIMPLEX Cj

20

35

45

0

0

0

X5

Ratios

0

X6 0

XB

CB

b

X1

X2

X3

X4

0

480

2

6

2

X4 1

X5

0

480

3

6

2

0

1

0

240

X6

0

480

2

2

4

0

0

1

120

0

0

0

0

0

0

Zj

240

Cj - Zj 20 35 45 0 0 0 1. Para obtener los Zj se aplica Zj= ∑CB*Xj. Usando esta fórmula para obtener Z1= 0x2 + 0x3 + 0x2=0 Así mismo obtenemos los otros Z y resultan todos iguales a cero, tal como se puede ver en la tabla 1. Para obtener los Cj – Zj simplemente encontramos la diferencia entre cada valor Cj primera fila de la tabla 1 con su respectivo Zj penúltima fila de la tabla 1. Podemos ver que el primer C1 – Z1=20 y así obtenemos los restantes. 2. Puedo observar en la tabla 1 del simplex que las columnas de las variables de holgura forman una matriz identidad 3x3. 3. Se selecciona el más alto Cj - Zj (positivo) en nuestro caso es 45, correspondiente a la variable X3 4. Esto nos indica que la variable X3 será la nueva variable básica(Entra) , pero ahora requerimos saber cuál de las variables básicas actuales debe salir. 5. Procedemos a dividir los lados derechos (columna b) por los coeficientes de X3. y el resultados lo ponemos en Ratios. 6. Elegimos el valor más pequeño de los cocientes obtenidos. Esto es 120 que corresponde a la variable X6. 7. Eso indica que X6 saldrá de las básicas. 8.

Dividimos la fila de X6 de la tabla 1 por 4, a partir de la columna b y el resultado lo ponemos en la tabla 2, para que el valor 4 sea uno, esto porque la columna de X3 será parte de la nueva matriz identidad, el resto de coeficientes de la columna X3 serán ceros.

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9. Para eso multiplicamos por -2 la fila de X3 en la tabla 2 y lo sumamos con la fila X5 de la tabla 1 y el resultado lo dejamos en la tabla 2. 10. Ahora hacemos lo mismo con la fila de X4, para ello multiplicamos por -2 la fila X3 de la tabla 2 y lo sumamos con X4 de la tabla 1 y dejamos el resultado en la tabla 2 tal como lo puede observar.

TABLA 2 DEL SIMPLEX Cj

20

35

45

0

0

0

XB

CB

b

X1

X2

X3

H1

H2

H3

Ratios

X4

0

240

1

5

0

1

0

-0.5

48

X5

0

240

2

5

0

0

1

-0.5

48

X3

45

120

0.5

0.5

1

0

0

0.25

240

Zj

22.5

22.5

45

0

0

11.25

Cj - Zj

-2.5

12.5

0

0

0

-11.25

Ahora tenemos la tabla 2 transformada, pero vemos que en Cj - Zj hay valores positivos, eso significa que no hemos llegado a la solución. Por lo procedemos como lo hicimos en la tabla 1: 1. Se selecciona el más alto Cj - Zj (positivo) en nuestro caso 12.5 correspondiente a la variable X2 2. Esto nos indica que la variable X2 será la nueva básica, pero ahora requerimos saber cuál de las básicas actuales debe salir. 3. Procedemos a dividir los lados derechos por los coeficientes de X2. y el resultados lo ponemos en Ratios de la tabla 2. 4. Elegimos el valor más pequeño de los cocientes obtenidos. Esto es 48 que corresponde a las variables básicas X4 y X5, seleccionamos X4. 5. Eso indica que X4 saldrá de las básicas. 6. Dividimos la fila de X4 de la tabla 2 por 5, a partir de la columna b y el resultado lo ponemos en la tabla 3. 7. Ahora los otros coeficientes de la columna X2 en la tabla 3 DEBEN SER ceros. 8. Multiplico la fila X2 de la tabla 3 por -5 y el resultado se lo sumo a la fila X5 en la tabla 2 y el resultado se escribe en la tabla 3. 9. Ahora multiplicamos por - 0.5 la fila de X2 y el resultado se lo sumamos a la fila X3 de la tabla 2.

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TABLA 3 DEL SIMPLEX Cj

20

35

45

0

0

0

XB

CB

b

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X2

35

4848

0.2

1

0

0.2

0

-0.1

X5 X3

0 45

0 96

1 0.4

0 0

0 1

-1 -0.1

1 0

0 0.3

Zj

25

35

45

2.5

0

10

Cj - Zj

-5

0

0

-2.5

0

-10

Ratios

Como ya no hay Cj-Zj >0 entonces hemos llegado a la solución óptima.

Para obtener el resultado final observamos la tabla 3 del Simplex: Vemos que X2 = 48

(columna de las variables básicas y columna de b o lados derechos)

X5 =0 X3 = 96 Como el resto de variables no aparecen en las básicas son ceros esto es: X1=0; X4=0; X6=0 Evaluamos en la función objetivo del problema original Max z= 20X1 + 35X2 + 45X3

= 20(0) + 35(48) + 45(96) = 6000

Esto es $6,000 es la máxima utilidad que la compañía obtendría si decide producir las cantidades indicadas.

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