Matem´ aticas II

Magisterio (Primaria) Curso 2014-2015

Problemas de repaso 1. Calcula la medida del ´ angulo a de la figura.

a 116◦ 105◦

Sol: a = 49◦ . 2. Sabiendo que los puntos P , Q y R est´ an sobre una circunferencia de centro C, determina la medida del ´angulo ∠P RQ de la figura. Q 65◦

R

P C

Sol: ∠P RQ = 25◦ . 3. Sabiendo que el oct´ ogono de la figura es regular, demuestra que el tri´angulo ABC es rect´angulo. B

A

C

4. En la figura, las rectas AB, CD y EF son paralelas. Determina la medida de los ´angulos x, y, z. B

A 54◦ C

D 104

E

Sol: x = 54◦ , y = 50◦ , z = 76◦ .

◦

z

y x

F

5. Sabiendo que el pol´ıgono de la figura es un cuadril´atero cometa, calcula la medida del ´angulo ∠V U T . S

42◦ T

V

28◦

U

Sol: ∠V U T = 110◦ , 6. Demuestra que en cualquier paralelogramo los lados opuestos tienen la misma longitud. 7. En el paralelogramo ACDE de la figura, sabemos que |AC| = 30 y |BC| = 17. Calcula el ´area del paralelogramo sabiendo que el ´ area del tri´angulo ABE es 104. D E

B

C

A

´ Sol: Area(ACDE) = 480 8. En la figura, los cuadrados tienen 10 cm de lado, y las curvas son arcos de circunferencias del mismo radio y con centro en los v´ertices del cuadrado. Calcula el per´ımetro y el ´area de las regiones sombreadas. Da la soluci´ on de forma exacta.

Sol: Izquierda: P = 10π cm, A = 100 − 25π cm2 .

Derecha: P = 10π cm, A = 50(π − 2) cm2 .

9. El contorno de la figura est´ a formado por tres semicircunferencias: una mayor y dos m´as peque˜ nas, iguales. Sabiendo que el per´ımetro de la regi´on sombreada es de 20 π,

a) calcula el radio de la semicircunferencia mayor. b) calcula el ´ area de la regi´ on sombreada.

Sol: a) r = 10.

b) A = 50π.

10. Sabiendo que los puntos A y B est´ an en una circunferencia de centro O y radio 10 m, y que ∠AOB = 120◦ , calcula |AB|.

O

B

A

√ Sol: |AB| = 2 75 m. 11. En una piscina en calma colocamos una boya atada al fondo. Al d´ıa siguiente, el nivel del agua ha bajado 10 cm, y un fuerte viento ha desplazado la boya 50 cm (sigue atada al mismo punto del fondo). ¿Cu´ al era la profundidad de la piscina el primer d´ıa? (Para este problema se puede utilizar ´algebra). Sol: 130 cm 12. Sabiendo que T P y T Q son tangentes a la circunferencia y que ∠T P Q = 67◦ , calcula la medida de ∠P T Q y ∠P OT . P 67◦ O T

Q

Sol: ∠P T Q = 46◦

∠P OT = 67◦

13. Hacemos un cucurucho en forma de cono recto con una cartulina en forma de sector circular como la representada en la figura. Calcula el valor del polvo de oro que cabe en el cucurucho, sabiendo que la densidad del oro es 19 gr/cm3 y su valor aproximado de 32 euros/gramo.

250◦ 10 cm

Sol: ≈ 218 272 euros 14. Una esfera de radio 10 cm se corta por un plano que est´a a distancia 6 cm del centro de la esfera. Calcula el ´area del c´ırculo que ha producido el corte (sombreado en la figura).

Sol: 64π cm2 . 15. En la figura, |AV | = |BV | y |AP | = |BP |. Demuestra que: a) ∠AP V = ∠BP V

b) |AQ| = |BQ| A

P V

Q

B

16. Sabiendo que DE y AB son paralelos, que el ´area del tri´angulo ABC es 108 m2 , el ´area del tri´angulo DEC es 12 m2 y |CM | = 18 m, calcula la altura del tri´angulo DEC relativa a la base DE.

C

D

A

E

B

M

Sol: h = 6 m 17. Calcula el ´area del cuadril´ atero ABCD de la figura. P

D

|AD| = 12 |BC| = 3

C

|DP | = 16

B A

Sol: A = 120 18. En la figura se muestra una circunferencia con centro en O. Sabemos que el di´ametro QS corta a la cuerda P R en el punto M , que es el punto medio de la cuerda. Si ∠P OQ = 136◦ , calcula: a) ∠P RQ

b) ∠RP Q

c) ∠RSQ

Debes justificar adecuadamente los pasos del razonamiento. Q

O

M

P

R S

Sol: los tres miden 68◦ . 19. Se tira un dado como el de la figura, y otro normal y se consideran los sucesos A ≡ “la suma obtenida es 6”

B ≡ “en al menos uno de los dados sale un n´ umero par”. a) Calcula la probabilidad de los sucesos A y B. b) Calcula P (A ∩ B) y P (A ∪ B).

Sol: a) P (A) = 1/6, P (B) = 3/4.

P (A ∩ B) = 1/12, P (A ∪ B) = 5/6.

20. Tiramos 3 monedas al aire y consideramos los sucesos: A ≡ “sale al menos 1 cara”

B ≡ “sale al menos 1 cruz”. a) Calcula la probabilidad del suceso A y la del suceso B. b) Describe los sucesos A ∪ B y A ∩ B y calcula sus probabilidades. Sol: a) P (A) = P (B) = 7/8. b) P (A ∩ B) = 3/4, P (A ∪ B) = 1. 21. Una f´abrica de enlatados produce 5000 envases diarios. La m´aquina A produce 3000 envases y la m´aquina B el resto. Sabemos que el 2 % de los envases que produce la m´aquina A son defectuosos, y que el 4 % de los que produce la m´ aquina B son defectuosos. a) Calcula la probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso. b) Si el envase seleccionado es defectuoso, ¿cu´al es la probabilidad de que fuera fabricado por la m´aquina B? Sol: a) 0,028.

b) ≈ 0,57