Semana 4

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Divisibilidad

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En este encuentro estudiaremos una herramienta sumamente importante para nuestras vidas: la divisibilidad. Esta herramienta nos permite dar respuesta a muchas interrogantes que a diario nos hacemos y que además usamos, sin ser conscientes de ello. La divisibilidad está presente en todo. Por ejemplo, un albañil que desea terminar una obra en un par de días puede pensar en buscar un compañero que le ayude, y así dividir el trabajo entre los dos, logrando terminar su obra más rápido, aunque, obviamente, también se dividiría el pago. En el semestre anterior, trabajaste con la división y la multiplicación en los números naturales. Si no lo recuerdas, ubica la semana Nº 5 de la guía de autoaprendizaje del 7mo semestre y repasa ese contenido, pues será de vital importancia para que puedas comprender las nociones que trabajaremos en esta sesión, donde aprenderás el concepto de divisibilidad y su utilidad para solucionar problemas cotidianos, haciendo uso de algunos criterios de esta operación. Además, se espera que puedas encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de números y los uses para resolver problemas.

Razona y responde las siguientes interrogantes, para que luego, en el encuentro en el CCA, las discutas con tus compañeros. 1. ¿Cuántas camisas puedo comprar con 100 Bs.F. si cada una cuesta 20 Bs.F.? 2. ¿Cuántas vueltas le he dado a una plaza en 1 hora, si tardé 15 minutos por cada vuelta? 3. ¿Cómo puedo acomodar 15 camisas en 3 gavetas, si cada gaveta debe tener el mismo número de camisas? 4. El señor Eduardo ha recibido un bono de 750 Bs.F. por su buen rendimiento laboral. Él desea repartir ese dinero entre sus 15 nietos, ¿cuánto debe darle a cada uno, si quiere que éstos no piensen que tiene preferencia por alguno de ellos? 5. Un albañil debe colocarle cerámicas al piso de una habitación. El piso cubre un área de 16 metros cuadrados. Cada caja de cerámica cubre un área de 1 metro cuadrado. ¿Cuántas cajas necesita para cubrir el piso completo? Si cada caja cubriera 2 metros, ¿cuántas se necesitarían?

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Consideremos la siguiente interrogante: ¿cómo se pueden distribuir 24 libros en 4 compartimientos de un estante, si todos los compartimientos deben tener el mismo número de libros? Una forma de dar respuesta a esta pregunta consiste en hacer el proceso de colocar 1

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libro en cada compartimiento, luego colocamos otro libro en cada compartimiento y repetimos el proceso hasta que se terminen los libros. La siguiente figura nos ilustra esta situación.

Sin embargo, este método podría ser poco práctico si aumentáramos el número de libros, digamos 100 libros, por ejemplo. Sería un poco tedioso ir colocando cada libro en cada compartimiento a la vez. No obstante, existe otra forma de dar respuesta a la pregunta que nos hicimos originalmente y sería simplemente dividiendo el número de libros (24) entre el número de compartimientos (4), esto es, 24 ÷ 4 = 6, este resultado indica que en cada compartimiento debemos colocar 6 libros. Tratemos de responder la misma pregunta, pero, ahora considerando que se tienen 25 libros. Al hacer la división veríamos que no existe un número entero de libros, de manera que puedan colocarse en cada compartimiento y que éstos queden con la misma cantidad, pues deberíamos colocar seis libros y un pedazo de otro en cada compartimiento, si quisiéramos que todos queden igualmente distribuidos. En el ejemplo precedente se puede observar que el 4 es un divisor del 24, porque existe el número 6 que cumple la condición de que 24 = 6 x 4. También podemos decir que 24 es un múltiplo de 4.

Un número entero positivo (que representaremos con la letra b) es un divisor de otro entero positivo (representado por la letra a) si existe otro entero positivo (llamémoslo c) que cumple la condición de que a = b x c. También suele decirse que el entero positivo a es múltiplo del entero positivo b.

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Veamos otra forma de esta definición: Si al efectuar la división del número a entre el número b se obtiene un residuo igual a cero que dice que b es divisor de a, o también podemos decir que a es un múltiplo de b. Esto es, a b 0

c

Entonces decimos que b es divisor de a, o bien, a es múltiplo de b. Veamos otros ejemplos que puedan aclarar estas explicaciones: • 8 es divisor de 32, o bien 32 es múltiplo de 8. • 7 es divisor de 35, o bien 35 es múltiplo de 7. • 23 es divisor de 69, o bien 69 es múltiplo de 23. • 12 es divisor de 48, o bien 48 es múltiplo de 12. • 2 es divisor de 32, o bien 32 es múltiplo de 2. • 8 es divisor de 64, o bien 64 es múltiplo de 8.

En los ejemplos anteriores hemos dicho que 8 es divisor de 32, esto es porque existe el número 4 que hace que 8 x 4 = 32, o bien podemos decir que: 32 8 0 4 Trata de justificar el resto de los ejemplos que planteamos anteriormente, haciendo uso de las herramientas que hasta ahora se han proporcionado, y luego discútelos con tus compañeros en el CCA. Una vez que tengamos claro lo que es un divisor y lo que es un múltiplo de un número dado, cabe la pregunta natural: ¿cuáles son los divisores y los múltiplos de un determinado número entero positivo y cómo se pueden encontrar? Para conocer los múltiplos positivos de un número entero positivo, simplemente se multiplica dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, 6,… Así, los primeros cinco múltiplos positivos del 5, vendrían dados por: 5 • 1 = 5; 5 • 2 = 10; 5 • 3 = 15; 5 • 4 = 20; 5 • 5 = 25. Si queremos saber si un número a es múltiplo de otro número b, basta con dividir este otro por el primero y si la división da exacta, es decir, el residuo es igual a cero, entonces podemos decir que a es múltiplo de b.

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Por otro lado, si deseamos saber los divisores de un número a, comenzamos a dividir este número entre 1, 2, 3, 4,… hasta el mismo número a, y todos aquéllos con los cuales obtenga residuo cero serán los divisores de a. Por ejemplo, los divisores del 15 son los números 1, 3, 5 y 15, porque son los únicos que dividen al quince en un número exacto. Verifica esto como ejercicio.

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Números primos y compuestos Consideremos el caso en el que queramos repartir 8 libretas entre un número determinado de personas, dándoles a cada uno la misma cantidad de libretas. Entonces, podríamos tener los siguientes casos: • Las ocho libretas para una sola persona. • Las ocho libretas repartidas entre dos personas, cuatro para cada una. • Las ocho libretas repartidas entre cuatro personas, dos para cada una. • Las ocho libretas repartidas entre ocho personas, una para cada una. Ahora, consideremos que sólo hay 7 libretas, entonces, tendríamos estos casos: • Las siete libretas para una sola persona. • Las siete libretas repartidas entre siete personas, una para cada una. Los números, como el 7, que sólo aceptan como divisores a él mismo y a la unidad, se llaman números primos. Cuando un número no es primo, como el ocho, que también puede ser dividido por el 2 y por 4, recibe el nombre de número compuesto. Definimos un número primo como cualquier entero mayor que el 1 y que sea divisible exactamente por dos números diferentes, él y la unidad. El primer número primo es el 2, luego el 3, el 5, 7, 11, 13... Escribe en una lista todos los números primos menores que 100.

Descomposición de un número en factores primos Veamos cómo descomponer un número dado en factores primos, esto significa, escribir el número como el producto de números primos. Para ello, consideremos el número 360. Procedemos de la siguiente manera: Primero, dividimos 360 entre el menor número primo posible, en este caso, el 2, y repetimos el proceso con este número mientras se pueda hacer, nos quedaría:

360

2

180 2



90

2 45 161

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Como el 45 no se puede dividir por el número 2, entonces, procedemos a dividir por el siguiente número primo posible, en este caso, el 3: 45

3



15



3 5

Como el 5 no es divisible entre 3, entonces, ubicamos el siguiente número primo posible, el 5. Luego, 5 5 1 Este proceso se repite hasta que se obtiene 1 en el cociente. Una vez hecho esto, podemos escribir 360 como el producto de factores primos, es decir,

360 = 2.2.2.3.3.5 = 23 . 32 . 5

Mínimo común múltiplo Analicemos la siguiente situación: María va a la biblioteca cada 4 días y Carlos va cada 14 días, ambos a la misma hora. Si hoy se han encontrado los dos en la biblioteca, ¿cuándo van a coincidir nuevamente?

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Sabemos que María a partir de hoy irá a la biblioteca nuevamente dentro de:

Por otro lado, Carlos irá a la biblioteca a partir de hoy dentro de:

4 días por 1era vez

14 días por 1era vez

8 días por 2da vez

28 días por 2da vez

12 días por 3era vez

42 días por 3era vez

16 días por 4ta vez

56 días por 4ta vez

24 días por 5ta vez

70 días por 5ta vez

28 días por 6ta vez

84 días por 6ta vez

32 días por 7ma vez

98 días por 7ma vez

36 días por 8va vez

112 días por 8va vez

40 días por 9na vez

126 días por 9na vez

44 días por 10ma vez

140 días por 10ma vez

48 días por 11va vez

154 días por 11va vez

52 días por 12va vez

168 días por 12va vez

56 días por 13va vez

182 días por 13va vez

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Observa que el número de días que transcurren para que María vaya a la biblioteca son los múltiplos de 4, así como el número de días que transcurren para que Carlos vaya a la biblioteca son los múltiplos de 14. Podemos ver entonces, que Carlos y María coincidirán de nuevo en la biblioteca cuando María haya ido por sexta vez y Carlos por segunda vez a partir de hoy, esto es, dentro de 28 días. Pero, además, volverán a coincidir cuando María haya ido por décima tercera vez y Carlos por cuarta vez, esto es, dentro de 56 días. Si continuamos llenando las columnas anteriores, podríamos determinar dentro de cuántos días volverían a coincidir María y Carlos. Existen muchos números que son múltiplos comunes del 4 y del 14. Sin embargo, el número 28 es el menor de esos múltiplos comunes; este número recibe el nombre de mínimo común múltiplo, y lo escribimos así: m.c.m. (4, 14) = 28 Definimos el mínimo común múltiplo de dos o más números como el menor múltiplo común entre ellos.

Veamos otro ejemplo, un poco más operativo: Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 5 y 16. Para hallar el mínimo común múltiplo entre dos o más números, no es necesario encontrar los múltiplos de cada uno de ellos hasta ver cuál coincide. Podemos hacerlo aplicando un criterio que permite resolverlo directamente: Si se desea encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números, se debe descomponer cada uno de ellos en factores primos, y multiplicar los factores comunes y los no comunes que tengan el mayor exponente. Ahora bien, para encontrar el m.c.m. (5, 16) procedemos a escribir cada uno de estos números como el producto de factores primos. Por un lado, tenemos que el 5 es primo, por lo tanto no podemos descomponerlo. Por otro lado,

16

2



8



2 4



2 2

2 1

Luego, 16 = 24 En este caso, no hay factores primos comunes, así que multiplicamos los factores no comunes con su mayor exponente. Así, m.c.m. (5, 16) = 5.24 = 80

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Para el caso de María y Carlos en la biblioteca, tendríamos lo siguiente: 4

2 2





14 2

2 7

1



4 = 22

7 1

14 = 2. 7

Como observamos, el único factor primo común es el 2, por tanto, lo tomamos donde el exponente sea mayor, es decir, 22. El único factor no común es el 7. Luego, tenemos que m.c.m. (4, 14) = 22 . 7 = 4 . 7 = 28. Supongamos que Martha asiste a la misma biblioteca que Carlos y María, pero cada 15 días. ¿Cuándo coincidirán los tres, si hoy se encontraron en la biblioteca? Para responder esta pregunta basta con encontrar m.c.m. (4, 14, 15). Ya sabemos que 4 = 22 y 14 = 2. 7, y al descomponer el 15 en factores primos tenemos que 15 = 3. 5. Luego tenemos lo siguiente:

4 = 22

14 = 2. 7



15 = 3. 5

Para este caso, no existen factores primos comunes para los tres números. Los factores no comunes con su mayor exponente son 22, 7, 3 y 5. Luego, el m.c.m. (4, 14, 15) = 22. 7. 3. 5 = 420. Por lo tanto, deberán transcurrir 420 días para que los tres vuelvan a coincidir.

Máximo común divisor Analicemos el siguiente problema: Eduardo tiene en un recipiente 16 kgs de leche y en otro recipiente tiene 24 kgs de leche. Su mamá le pide que reparta la leche en bolsas que tengan la misma capacidad. ¿Cómo podría Eduardo hacer el trabajo? Si se desea repartir la leche en bolsas que tengan la misma capacidad, procedemos a buscar primero cuáles son los divisores de 16 y de 24. Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8, 16 Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Vemos pues que para repartir la leche en bolsas de igual cantidad, podemos usar bolsas de 1, 2, 4 y 8 kgs. Por ejemplo, no podemos usar bolsas de 3 kgs, porque a pesar de que 24 kgs pueden distribuirse completamente en estas bolsas, se presentaría el problema de repartir los 16 kgs en estas bolsas, pero nos quedaría 1 kg de leche sin repartir. 164

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Si la mamá de Eduardo desea que la leche quede distribuida en bolsas de igual capacidad, pero, además, desea que la capacidad sea la máxima, entonces, Eduardo deberá empacar la leche en bolsas de 8 kgs. Este número recibe el nombre de máximo común divisor, y lo escribimos así: m.c.d. (16, 24) = 8 Definimos el máximo común divisor de dos o más números como el mayor de sus divisores comunes. Veamos el siguiente ejemplo: Encuentra el máximo común divisor de los números 32 y 54. Para encontrar el m.c.d. (32, 54) se aplica un procedimiento similar al que aplicamos para encontrar el mínimo común múltiplo: Para encontrar el máximo común divisor de dos o más números, se descomponen cada uno de éstos en factores primos y el producto de los factores comunes elevados al menor exponente será el m.c.d. Encontremos el m.c.d. (32, 54). Primero, descomponemos ambos números en factores primos: 32

2 16



54

2 8



2



4

2





2



2 27

2 1

32 = 25

3 9

3



3

3





1

54 = 2. 33



El factor común es 2, y se elije el de menor exponente. Entonces, el m.c.d. (32, 54) = 2.

Para el caso de los 16 y 24 kgs de leche, tendríamos lo siguiente: 16 = 24 y 24 = 23. 3 El factor común es 2, y tomamos el que tenga el menor exponente, es decir, m.c.d. (16, 24) = 23 = 8.

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Saber más Para que consolides tus conocimientos sobre Divisibilidad, visita esta dirección web, donde se presentan algunos problemas y actividades interactivas; trata de analizarlos y, si tienes dudas, acude a tu facilitador: http://thales.cica. es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/07/matematicas-07.html

1. Verifica si los siguientes números son primos o compuestos: a) 6 b) 181 c) 302 d) 3147 e) 321 f ) 97 g) 47 h) 231 2. Realiza el procedimiento de descomposición de los siguientes números en factores primos: a) 240

b) 208

c) 133

d) 645

e) 345 f ) 329 g) 478 h) 219 3. Encuentra el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de números: a) 28 y 58

b) 22 y 24

c) 46 y 69

d) 12 y 50

e) 20 y 70

4. Encuentra el mínimo común múltiplo de las siguientes ternas de números: a) 8, 92 y 110

b) 152, 184 y 200

c) 140, 210 y 220

d) 20, 38 y 52

e) 18, 24 y 40

f ) 10, 12 y 14



5. Encuentra el máximo común divisor de las siguientes parejas de números: a) 76 y 82

b) 140 y 250 c) 11 y 23

d) 12 y 56

e) 21 y 70

6. Encuentra el máximo común divisor de las siguientes ternas de números:

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a) 14, 16 y 28



b) 27, 74 y 130

c) 34, 72 y 64

d) 46, 86 y 98



e) 120, 210 y 220

f ) 42, 84 y 112

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7. María y Alberto viajan a Aruba constantemente. María viaja cada 15 días y Alberto viaja cada 24 días. Hoy se han encontrado los dos en Aruba ¿dentro de cuánto tiempo volverán a estar juntos en Aruba? 8. Un bombillo se enciente cada 24 horas, otro se enciende cada 48 horas y otro cada 72 horas. Si a las 12 del mediodía de ayer han coincidido los bombillos prendidos, ¿cuándo volverán a coincidir? 9. Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolates entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número igual y exacto de cada uno de esos elementos. ¿Cuál es el mayor número de niños que puede beneficiarse así y qué cantidad recibe cada uno? 10. Cuatro buques parten para el mismo destino: el primero, cada 10 días; el segundo, cada 8; el tercero, cada 9 y el cuarto cada 15 días. Suponiendo que hoy salen todos juntos, ¿cuántos días transcurrirán para la próxima salida simultánea? 11. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54 segundos. A las 20 h 15 m se encienden simultáneamente, ¿a qué hora vuelven a encenderse juntos? 12. Se desean organizar 1830 latas de aceite y 1170 latas de vinagre en un cierto número de cajones, que contengan el mismo número de latas cada uno, sin que sobre ninguna y sin mezclarlas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que puedan ponerse en cada cajón?

En esta sesión hemos estudiado la divisibilidad como una herramienta de suma importancia en nuestras vidas. Vimos que un número divide a otro si el cociente entre este último y el primero es un número exacto. También estudiamos los números primos, que sólo admiten como divisores el mismo número y la unidad. Finalmente, se trabajó con el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos o más números, y su importante aplicabilidad en la cotidianidad.

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