República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Vicerrectorado Académico Facultad de Ingeniería Escuela de Computación

UNIDAD I

VECTORES

Autor: Prof. Guillermo Pinder Adaptado: Ing. Ronny Altuve

Ciudad Ojeda, Mayo de 2015

Universidad Alonso de Ojeda Vicerrectorado Académico Facultad de Ingeniería Unidad Curricular: Física I

UNIDAD I. VECTORES Magnitudes Escalares y Vectoriales. Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único número. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar. Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar algo más que un sólo número. Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur, etc...Este tipo de magnitudes se denominan vectores. Un vector es un segmento de recta orientado y dirigido, que tiene un origen y un extremo. Definición de Vector Es todo segmento de recta dirigiendo en el espacio. Cada vector posee unas características. Elemento de un vector a)

Origen: También denominado punto de aplicación. Es un punto exacto sobre el

que actúa el vector. b)

Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el

origen y el extremo de un vector, pues para saber cuál es el modelo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. c)

Dirección: Es la orientación en el espacio de la recta que la contiene.

d)

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,

indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. e)

Extremo: es el final del segmento, de la flecha.

Su origen: a

b

Y2

Su extremo: b │ab│: Longitud o módulo del vector. Dirección: Ángulo de inclinación con respecto al eje horizontal Sentido: de origen a extremo

Y1

a

X1

X2

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Representación Matemática de un vector Matemáticamente un escalar se representa con un único número y un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa. Así un vector se representa como:

   v  v x ,v y , v z  v x i v y j  v z k



Siendo v x ,v y , v z las componentes del vector, es decir, sus proyecciones sobre los ejes X, Y y Z. A    su vez i , j , k son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y y Z respectivamente. Propiedades de los Vectores Igualdad de dos vectores A y B son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección.

Conmutativo A+B = B+A Asociativo A+(B+C) = (A+B)+C Negativo de un vector El negativo del vector A se define como el vector que al sumarse a A da como resultado cero. A+(-A) = 0

Multiplicación de un escalar por un vector a) Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar m, entonces el m producto mA tiene la misma dirección de A y la magnitud mA. Ejemplo: Sea:

m = 3 y sea A = 2i-4j+3k

mA  3  2i  4 j  3k  mA  6i  12 j  9k

Si m = -3,……………………………………Resp: mA  6i  12 j  9k La Magnitud de mA=?........................................................Resp: mA  261

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Componentes de un vector en el plano Son las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un 



Vy

V

sistema coordenado. En la siguiente figura se muestra el vector V en sus componentes rectangulares; donde Vx es la proyección del

 

Vx

vector V sobre el eje x y Vy es la proyección del vector V sobre el eje y. Las componentes vienen dados por:

𝑉𝑥 = 𝑉. cos 𝜎 𝑖…… Componente horizontal 𝑉𝑦 = 𝑉. sin 𝜎

𝑗 …..... Componente vertical

Los términos i y j son vectores unitarios, lo cuales su magnitud es igual a la unidad, estos solo indican dirección (no tienen otro significado físico). Generalmente el vector unitario está asociado al eje de las x y el vector j está asociado al eje y. Expresión analítica de un vector en el plano en función de sus vectores unitarios

Y

En términos de sus vectores unitarios se pueden escribir V en:





V

Vy

𝑉 = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗 J i



Vx

X

Suma de Vectores en el Plano Método Gráfico Dados dos o más vectores como se muestra en la figura y se requiere determinar el vector suma R; este método gráfico consiste en colocar un vector cualquiera, a partir del mismo se le traza a partir de su punta de flecha otro vector, y así sucesivamente haber graficado todos los vectores que se requieran sumar; luego, el vector suma resultante R (A+B+C+D), es el vector trazado desde el origen del primer vector graficado hasta la punta de flecha del último vector.

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Este método requiere del uso de escuadras y transportador, por lo que el estudiante debe tener la destreza requerida para operar estos instrumentos de dibujo, de lo contrario, la suma le saldrá errada.

Vector suma R obtenido mediante el método gráfico

Vectores libres que se van a sumar

Método Trigonométrico Este método consiste en el análisis de un triángulo no rectángulo (generalmente), por medio de la ley del seno y coseno. Aquí hay una limitante, y es que permite sumar sólo dos vectores de manera directa. Paralelogramo: Véase que R es el vector suma de A + B, dichos vectores componentes forman un ángulo θ, por lo que se aplica la ley del coseno en su segunda expresión: 𝑅 2 = 𝐴2 + 𝐵 2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠θ

Note, que el paralelogramo está formado por dos triángulos, por tanto, también se puede analizar cualquiera de ellos. Suponga que se quiere el estudio del triángulo A-B´-R:

Por Ley del Seno:

Por la Ley del Coseno:

𝑅 𝐵′ 𝐴 = = sin 𝛼 sin 𝛽 sin 𝛾 𝑅 2 = 𝐴2 + 𝐵 2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠θ

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Método Analítico (componentes rectangulares) Este método es el más utilizado ya que no tiene límites en la cantidad de vectores que se deseen sumar de manera directa. Sólo se necesita tener la información completa de cada vector con respecto a un sistema de referencia (plano cartesiano) El método consiste en descomponer cada vector en los ejes “x” e “y”, para luego sumar las componentes en “x” y aparte las componentes en “y”. Luego obtener la resultante mediante el teorema de Pitágoras. La descomposición se puede realizar de diversas formas, aquí se explica una de ellas: a)

Se requiere conocer el ángulo que forma cada vector con el eje x+ de manera

antihoraria. Para ello se anexa en la figura Nº 3.8 el valor de los ángulos de cada cuadrante del sistema cartesiano.

Ángulos de los cuadrantes del sistema cartesiano b)

Luego se proyecta cada vector sobre los ejes. Se escogió arbitrariamente sumar

tres vectores:

Descomposición de cada vector sobre los ejes cartesianos

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c)

Se identifica el ángulo que forma el vector A con el eje x+. En este caso el valor

está directo y no es más que α d)

Se identifica el ángulo que forma el vector B con el eje x+. En este caso el valor no

está directo y hay que determinarlo, el ángulo es: 180º-β e)

Se identifica el ángulo que forma el vector C con el eje x+. En este caso el valor no

está directo y hay que determinarlo, el ángulo es: 270º-γ f)

El valor de cada componente en “x” va ser la magnitud del vector por el coseno

del ángulo que forma con el eje x+. “No se preocupe por el signo del sentido, este se lo da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se está realizando los cálculos con los ángulos en grados” 𝐴𝑥 = 𝐴. cos 𝛼 𝑖 𝐵𝑥 = 𝐵. cos (180 − 𝛽) 𝑖 𝐶𝑥 = 𝐶. cos (270 − 𝛾) 𝑖 g)

El valor de cada componente en “y” va ser la magnitud del vector por el seno del

ángulo que forma con el eje x+. “No se preocupe por el signo del sentido, este se lo da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se está realizando los cálculos con los ángulos en grados”

𝐴𝑦 = 𝐴. sin 𝛼 𝑗 𝐵𝑦 = 𝐵. sin (180 − 𝛽) 𝑗 𝐶𝑦 = 𝐶. sin (270 − 𝛾) 𝑗 h)

Luego se calcula la resultante en “x” Rx que no es más que la suma algebraica de cada

componente en “x” de los vectores

𝑅𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 ) 𝑖 i)

Luego se calcula la resultante en “x” Rx que no es más que la suma algebraica de

cada componente en “x” de los vectores

𝑅𝑦 = (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 ) 𝑗 j)

Se escribe el vector resultante R en su forma vectorial

𝑅 = 𝑅𝑥 𝑖 + 𝑅𝑦 𝑗

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k)

Se obtiene la magnitud |R| mediante el teorema de Pitágoras:

|𝑅| = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 l)

Se obtiene la dirección (θ) con respecto al eje “x” sea en sentido positivo o negativo

mediante la función trigonométrica tangente inversa.

𝜃 = tan−1

𝑅𝑦 𝑅𝑥

Componentes de un vector en el espacio V = (X, Y, Z) En función de los vectores unitarios: = (i, j, k) Donde:

Vx  V cos 

i

V y  V cos 

j

Vz  V cos  k Los cosenos de los ángulos α, β y σ se llaman cosenos directores del vector, llamados así porque fijan la dirección del vector V en el espacio. Ellos quedan determinados como:

cos  

Vx V

cos  

Vy

cos  

V

Vz V

Suma de vectores en el espacio El método que se utiliza es el de las componentes rectangulares ya explicado anteriormente en la suma de vectores en el plano. La magnitud del vector V está dada por: 𝑉 = √𝑉𝑥 2 + 𝑉𝑦 2 + 𝑉𝑧 2

Producto de un escalar por un vector Sea “A” un vector y “m” un escalar. El producto del escalar “m” por el vector “A” es otro vector expresado como “mA”.

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Ejemplo: Sea: m = 3 y sea A = 2i-4j+3k mA  3  2i  4 j  3k  mA  6i  12 j  9k

Si m = -3,……………………………………Resp: mA  6i  12 j  9k La Magnitud de mA=?........................................................Resp: mA  261 Producto vectorial de dos vectores conociendo sus módulos y el ángulo que ellos forman Sean A y B dos vectores. Sea θ el ángulo que ellos forman. El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que A

forman. En la figura se muestran dos vectores que van a ser

θ B

multiplicados escalarmente conociendo el ángulo θ que forman entre ellos. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto centrado (∙).

A  B  A . B . cos  Producto escalar de dos vectores conociendo sus expresiones analíticas Consideremos dos vectores dados por sus expresiones analíticas:

A  Ax i  Ay j  Az k B  Bx i  B y j  Bz k Evaluando el producto escalar A.B, nos queda:

A  B  ( Ax i  Ay j  Az k )  ( Bx i  By j  Bz k )

Aplicando propiedad distributiva: A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz

Producto vectorial de dos vectores conociendo sus módulos y el ángulo que forman En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación entre dos vectores que da como resultado un vector perpendicular a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz, pues se lo denota mediante el símbolo x.

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Sean dos vectores A y B en el espacio vectorial ℝ3. El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector C. Este nuevo vector está dado por la siguiente expresión:

C  A  B  A . B .sin  donde es el vector unitario y perpendicular a los vectores A y B y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre A y B. Producto vectorial de dos vectores en forma analítica Sean A = Ax i + Ay j + Az k y B = Bx i + By j + Bz k y dos vectores concurrentes de R³:

Se debe tener cuidado al momento de llenar el determinante, ya que se debe colocar en la segunda fila del mismo, las componentes del vector que está a la izquierda de la cruz (x), en este caso: A. En la primera fila siempre van a estar los vectores unitarios ijk

GRAFICAR UN VECTOR EN R3 Se A un vector de coordenadas A = Ax i + Ay j + Az k; para graficarlo en un sistema R3 se deben realizar los siguientes pasos: 1)

Se indica cada coordenada del vector sobre el sistema de referencia.

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2)

Se grafica un punto en el plano xz que representa el “piso”, para ello apartir de la

coordenada x se traza una paralela al eje z, y a partir de la coordenada z se traza una paralela al eje x; en la intersección de dichas rectas se encuentra el punto en el plano.

3)

Luego se proyecta el punto anterior al espacio, trazando a partir del “punto piso”

una paralela al eje y, luego a partir de la coordenada “y” se traza una paralela al eje x o z (en este caso se trazó paralela al eje x), donde se intercepten ambas rectas, allí está el punto en el espacio.

4)

Luego se grafica el vector A, trazando una recta desde el origen del sistema

coordenado hasta el “punto en el espacio”.