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Rotación solar La rotación solar se descubrió inmediatamente después de la aparición del telescopio y su uso hacia 1610 por Galileo, Johannes Fabricius, Christoph Scheiner y Thomas Harriot. Ellos vieron manchas solares moviéndose sobre el disco debido a la rotación. Además, en registros como Rosa Ursina, publicado por Scheiner en 1630, hay evidencia de que el paso de una mancha llevaba un poco más de tiempo en latitudes altas que cerca del ecuador, aunque la interpretación de esto en términos de una rotación solar diferencial se propuso mucho más tarde. El eje de rotación solar Su dirección en el espacio queda determinada por dos elementos: i, el ángulo de inclinación entre el plano de la eclíptica y el plano ecuatorial del Sol, y Ω, la longitud eclíptica del nodo ascendente del ecuador solar, es decir, el ángulo, contado en la eclíptica, entre la dirección del equinoccio y la dirección donde el ecuador solar corta a la eclíptica "desde abajo" (en el sentido de la rotación). Debido a la precesión del eje terrestre la dirección del equinoccio retrocede 0,01396º/año, así que Ω aumenta al mismo ritmo, y hay que especificar para qué fecha se da su valor. Estos elementos se derivan de la trayectoria aparente de las manchas sobre el disco. A mediados del siglo XIX, Carrington recomendó los valores i=7,25º y Ω(1850)=73,67º. Determinaciones más modernas y precisas dan el mismo Ω pero un ángulo de inclinación ligeramente menor. Coordenadas heliográficas La latitud solar se define fácilmente como la distancia angular desde el ecuador, B, positiva hacia el Norte. La longitud es más difícil de definir porque no hay puntos fijos sobre el Sol. Se define una rotación de Carrington = 27,2753 días como el periodo de rotación sinódico1 medio de manchas. La rotación número 1 comenzó el 9 de noviembre de 1853; por ejemplo, la número 1978 terminó el 30 de junio de 2001. Se considera que cuando comienza una nueva rotación el centro del disco solar tiene longitud L=0. Latitud y longitud heliográficas se miden en un sistema que rota con el Sol, pero pueden definirse también en un sistema eclíptico. Achatamiento (“oblateness”) Por ser el Sol un cuerpo rotante no rígido, la fuerza centrífuga sobre el material en la zona ecuatorial, a mayor distancia del eje de rotación, es mucho mayor que en los polos, así que el Sol debe estar achatado.

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El período sidéreo es el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta completa alrededor del Sol, respecto de las estrellas; es el auténtico período orbital. El período sinódico es el tiempo que tarda el objeto en volver a aparecer en el mismo punto del cielo respecto del Sol, observado desde la Tierra; es el periodo orbital aparente, el tiempo que transcurre entre dos conjunciones sucesivas con el Sol. Ambos periodos difieren por el movimiento de traslación de la Tierra; el periodo sidéreo es más corto (si el movimiento del objeto es en el mismo sentido que la traslación terrestre). En el caso de la rotación solar, el periodo sinódico es el visto desde la Tierra, por ejemplo, siguiendo un trazador cualquiera (una mancha, un filamento...) cuyo movimiento propio, en este caso, se considera despreciable. El periodo sidéreo sería el determinado respecto a las estrellas, y resulta más corto, 25,35 días es su valor medio.

2 El origen del achatamiento observado en la superficie es la rotación de ese nivel superficial propiamente dicho y, además, un posible momento cuadrupolar interno. Comentaremos estas dos contribuciones. Partiendo de una estrella de material no viscoso que rota rígidamente y utilizando coordenadas esféricas, en las que la velocidad de rotación se expresa como r v = (0,0, rΩ sin θ ) , se demuestra que el potencial gravitatorio en su superficie es el 2    rSol  familiar monopolo y un pequeño cuadrupolo: φ ext  P2 (θ ) donde 1 − J 2   r    J2 es el momento cuadrupolar y P2(θ) es el segundo polinomio de Legendre. La superficie achatada se aproxima por r (θ ) = rSol [1 − cP2 (θ )] con rSol= radio solar medio y c=una cantidad pequeña relacionada con el achatamiento, tal que el achatamiento relativo vale ∆r / rSol ≡ (recuador − rpolo ) / r Sol = 3c / 2 .

Gm Sol =− r

∆r 1 Ω 2 rSol 3 = + J 2 (*) con Operando en las ecuaciones se puede demostrar que rSol 2 g Sol 2 Gm Sol

y Ω = velocidad angular media en la superficie. El primer sumando 2 rSol indica el achatamiento producido por la rotación superficial y el segundo el debido al cuadrupolo interno. g Sol =

Para derivar la expresión (*) se ha ignorado que el Sol presenta rotación diferencial (en profundidad, y en latitud). Sin embargo, se admite la existencia de un momento cuadrupolar, que posiblemente se debe a un núcleo que rota más rápidamente que la superficie. Esta aparente inconsistencia se puede evitar con un tratamiento más general de la rotación, donde se usa para Ω un valor medio de la velocidad angular superficial. Tomando el periodo de rotación sinódico de Carrington se obtiene Ωsin=2,67x10-6 s-1 y Ωsid=2,87x10-6 s-1. La contribución de esta rotación superficial al achatamiento es ∆r / rSol =1,04x10-5, es decir, la diferencia entre los radios ecuatorial y polar sería de 7,2384 km, o unos 14 km de diferencia entre los 2 diámetros. Este valor corresponde sólo al primer sumando de la expresión del achatamiento, es decir, al procedente de la rotación de las capas superficiales, despreciando el momento cuadrupolar. A la inversa, se ve en el párrafo siguiente, medidas del achatamiento que excedan el valor calculado teóricamente sirven para estimar J2.

3 La tabla anterior muestra valores del achatamiento solar relativo observados por diferentes autores. De estos valores destaca el primero, de Dicke y Goldenberg, en 1967, que es muy grande: implicaría que el momento cuadrupolar fuera J2=2,5x10-5, y con este valor el potencial gravitatorio del Sol se desviaría tanto de la simetría esférica que causaría una rotación del perihelio de la órbita de Mercurio de 3,”5/siglo lo que, a su vez, exigiría modificar la Teoría de la Relatividad General. También implicaría una velocidad angular interna 20 veces mayor que la superficial, en contradicción con los resultados de la Heliosismología2 (según estos se estima J2=(2,18±0,06)x10-7). Por otra parte, las medidas más recientes son bastante próximas al valor teórico 1,04x10-5, es decir, son consistentes con la noción de que el achatamiento visible del Sol es causado esencialmente por la rotación superficial sola. Hay que puntualizar que las medidas del achatamiento solar son bastante complicadas: se puede, por ejemplo, proyectar el Sol sobre un disco ocultador ligeramente menor que la imagen solar y escanear la luz que sobrepasa el límite por dos ventanas rotantes diametralmente opuestas para convertir esta señal en información sobre la forma del Sol. Se han utilizado diversas modificaciones y sofisticaciones de este sistema, y se han realizado también medidas desde globos y con el MDI @SOHO. Un achatamiento de 10-5 corresponde a los 14 km mencionados o, equivalentemente, a 0,´´02, es decir, un orden de magnitud menos que el actual poder de resolución de los telescopios solares bajo excelentes condiciones de seeing, así que es necesario hacer muchísimas medidas para obtener un resultado estadísticamente significativo. Más difíciles de tratar son los posibles errores sistemáticos de origen instrumental o solar.

Historia rotacional del Sol Para modelar correctamente la rotación diferencial del Sol conviene conocer su historia rotacional. La masa, composición química inicial (al comienzo de la fusión de H) y edad de una estrella determinan su estado actual. Pero si se quiere conocer la evolución de una estrella rotante hace falta, además, la velocidad angular inicial. Hay indicios observacionales y teóricos de que el Sol inicial rotaba más rápido que el actual: 1. el momento angular específico del material del que se formó el Sol era mucho mayor que el del Sistema Solar actual completo. Mucho de este momento angular se ha perdido por frenado magnético (que explicaremos enseguida) en fases muy tempranas, y posiblemente aún no ha concluido la pérdida. Las estrellas T Tauri, que se encuentran en una región del diagrama H-R por la que pasó el Sol antes de llegar a la SP (son realmente proto-estrellas más frías, con mayor radio y luminosidad que el Sol, que van evolucionando sobre la traza de Hayashi, contrayéndose hacia la SP), tienen una velocidad de rotación superficial ≈15 km/s frente a los 2 km/s del Sol. Incluso en su aproximación final a la SP se contraen y aceleran aún más.

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A ese dato sobre el momento cuadrupolar tomado del libro de Stix podemos añadir la información proporcionada por el Dr. Pere Lluis Pallé, investigador del IAC, en el seminario que impartió en clase. Pere es uno de los autores del artículo publicado en Science en 2007, en el que presentan el hallazgo en datos de GOLF@SoHO de la huella de modos de gravedad internos. Según los autores, sus resultados son compatibles con una velocidad angular de rotación del núcleo solar entre 3 y 5 veces mayor que la de la zona radiativa.

4 2. Para otras estrellas similares de la SP el ritmo de rotación decrece con la edad. Existen también algunas otras propiedades que dependen de la edad, como la abundancia de Li y la emisión del núcleo de las líneas H y K de CaII. 3. Las estrellas de la SP de tipos tempranos (más calientes, tipos O a F) rotan más rápido, un factor 100, que las tardías (tipos F a M) porque el frenado magnético es eficiente sólo para estas últimas, que son las que tienen una zona de convección profunda en la base de la cual se genera el campo magnético que actúa como “brazo de palanca” para que funcione ese mecanismo de frenado (que explicaremos en breve). Se concluye que el Sol fue un rotador más rápido que ha llegado a su estado actual por frenado magnético. Para un cálculo evolutivo del Sol rotante se comienza un poco antes del principio de la fusión de H: modelos pre-SP del Sol (cuando está bajando por la traza de Hayashi) indican que es totalmente convectivo. Esa convección turbulenta favorece un rápido intercambio de momento que suaviza cualquier gradiente en profundidad de la velocidad de rotación mediante un proceso llamado fricción o difusión turbulenta. En ese momento, el momento angular total J0 se obtiene por extrapolación de estrellas de tipos espectrales tempranos, y vale 5x1042 – 5x1043 Kg.m2/s, es decir, 260 veces el actual. Y… ¿qué es el frenado magnético? − Sabemos que el Sol pierde continuamente materia en forma de viento solar (y también mediante otros fenómenos esporádicos como protuberancias eruptivas, fulguraciones con emisión de partículas o CMEs). − Cualquier materia que escape de la superficie del Sol rotante se lleva consigo algo de momento angular. − Por conservación del momento angular, la velocidad de rotación debe decrecer al fluir materia cada vez a mayor distancia al eje de rotación (igual que se frena una patinadora girando cuando abre los brazos). Por ejemplo: en la superficie del Sol la velocidad azimutal ecuatorial es de unos 2 km/s. Si una parcela de gas que viajase con el viento solar conservase su momento angular, la velocidad azimutal a 1 UA debería ser rSol/1 UA menor, es decir, unos 10 m/s. − Pero… en las capas exteriores del Sol la materia está congelada en el campo magnético: las líneas de fuerza magnética tienen una cierta rigidez y rotan con la misma velocidad superficial, al menos hasta una cierta distancia llamada el radio de Alfvén (su valor preciso no es conocido, pero se estima en unos 12 rSol). − De modo que la materia congelada en las líneas de campo corrota rígidamente con el Sol hasta una distancia rA. De hecho, medidas in situ proporcionan valores de la velocidad azimutal entre 1 y 10 km/s. − Tiene, por tanto, mayor momento angular que el que le correspondería y, al fluir hacia el espacio exterior, se lo lleva consigo, este momento se pierde. − Para que se conserve el momento angular del sistema, debe producirse un frenado del Sol, una disminución de su velocidad de rotación. La pérdida de momento angular se puede estimar como J& ≅ Ω rA2 m& donde m& es el ritmo de pérdida de masa. Este cálculo no es sencillo porque el radio de Alfvén depende del campo magnético, cuya intensidad es función del tiempo, y no se conoce su valor en el pasado; además, el propio campo es generado por un mecanismo dinamo en el que la velocidad de rotación y sus derivadas son ingredientes esenciales, de modo que

5 finalmente rA depende de Ω. Igualmente, la pérdida de masa depende del calentamiento coronal y, por lo tanto, del campo magnético y, en definitiva, de Ω nuevamente… En la sección 9.3.5 de la edición más reciente de Stix pueden ver algunos números sobre el frenado magnético: la escala de tiempo de frenado magnético de la rotación solar se puede estimar, en el momento presente, como J / J& ≅ 7 × 1010 años. Probablemente en la historia temprana del Sol este frenado fue más intenso que ahora.3 Este frenado magnético afecta sólo a las capas superficiales del Sol. En el interior del Sol hay un transporte de momento angular debido a la mezcla de material producida por la convección, que tiende a igualar la velocidad de rotación. Se supone que mientras el Sol fue totalmente convectivo tuvo un estado de rotación uniforme, así que en esa etapa el Sol habría sido frenado como un todo. Sin embargo, durante la contracción final hacia la SP se desarrolló un núcleo radiativo, dejando fuera la envoltura convectiva. Ésta siguió rotando uniformemente y perdiendo momento angular por frenado magnético. El núcleo, debido a su contracción, empezó a rotar más rápidamente; y el resultado de esto sería un fuerte gradiente negativo (mayor ∂Ω velocidad de rotación hacia menor r) en el interior solar. Este gradiente debe ser ∂r compatible con el desdoblamiento observado de los modos p de oscilación (recuerden que en un mismo grado l están colapsados 2l+1 valores del orden longitudinal m, y que esta degeneración se rompe con la rotación), y con el achatamiento medido. Realmente las observaciones de los modos p no proporcionan evidencia de la rotación rápida del núcleo: si existe un núcleo rápidamente rotante, debe ser muy pequeño. El achatamiento sí apoya la existencia de un núcleo rotando varias veces más rápido que la superficie. En conclusión, se piensa que el núcleo podría rotar hasta 2 veces más rápido que la envoltura. (De nuevo remito a los resultados sobre los modos g, más recientes que el libro de Stix, que son compatibles con un núcleo del Sol rotando entre 3 y 5 veces más ∂Ω rápido que la zona radiativa que le rodea). Además, debe poder mantenerse frente a ∂r diversas inestabilidades, como movimientos ondas de gravedad interna en el núcleo solar o movimientos de cizalladura. Por último, como una solución a las complicaciones introducidas por estas inestabilidades, el investigador Spruit propuso en 1987 la existencia de un campo magnético interno que, aun siendo muy débil, produciría un frenado magnético del núcleo solar4. 3

Un asunto propio de la Física Solar con importantes implicaciones extra-académicas: echen un vistazo a esta página web http://skepticwiki.org/index.php/Angular_Momentum_of_the_Sun. El movimiento creacionista (a menudo enmascarado de ciencia bajo la forma de “diseño inteligente”) no parece haber oído hablar del frenado magnético…

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Utilizando ecuaciones dimensionales y órdenes de magnitud, Stix explica brevemente este frenado en las páginas 285 y 286 de la edición más reciente, pero me temo que hay que saber mucho más del tema para comprenderlo en profundidad... En todo caso, este frenado es diferente del frenado magnético que opera en las capas exteriores: supone la existencia de un campo magnético interno axisimétrico con componentes poloidal Bp y toroidal Bt ; Bp y la densidad de corriente poloidal asociada a Bt dan lugar a una fuerza de Lorentz azimutal, que produce un momento de frenado. Se estima entonces el valor de dicho momento a lo largo de un cierto tiempo y, con valores de las magnitudes típicos del interior solar, y para un tiempo menor que la edad del Sol, se concluye que un Bp bastante débil es suficiente para ralentizar el núcleo solar. Si ese campo poloidal es mayor, el frenado del núcleo procede más rápidamente.

6 Para terminar con esta sección, nótese que las conclusiones sobre la historia rotacional del Sol son bastante inciertas en el momento presente. Un resultado importante es que el estado actual es prácticamente independiente del momento angular inicial, porque cuanto mayor sea la velocidad angular original, también es más fuerte el frenado. Los cálculos muestran también que la zona de convección debe rotar rígidamente (es decir, con velocidad de rotación independiente del radio, aunque ésta sea función de la latitud); si no se incluye momento de rotación magnético, el núcleo rápidamente rotante debe haberse preservado hasta el presente; si se incluye, la función Ω(r ) es mucho más plana y reproduce mejor los resultados heliosismológicos. Además, en la ZC se incluye en los modelos la parte no difusiva del tensor de esfuerzos de Reynolds, lo que proporciona Ω(r , θ ) , es decir, una velocidad angular de rotación que varía con la profundidad y con la latitud. Se muestran resultados de algunos de estos cálculos, por Pisonneault et al. (1989) y Rüdiger & Kitchatinov (1996), en las siguientes figuras:

La velocidad angular del Sol En esta sección se presenta la evidencia observacional sobre la rotación solar. En el interior: la rotación solar elimina la degeneración de 2l+1 valores de m de las frecuencias de un modo p no radial de grado l, observándose dichas frecuencias desdobladas en multipletes. Estudiando distintos modos de oscilación que penetran hasta distintas profundidades del Sol es posible invertir el desdoblamiento en frecuencia y obtener la velocidad de rotación en función de la profundidad. Además, resulta que los multipletes no equiespaciados en frecuencia contienen información de la dependencia de la velocidad de rotación con la latitud: resulta que los armónicos esféricos con |m| ≈ l están bastante concentrados hacia el ecuador, donde tienen amplitud considerable, mientras que ésta es muy pequeña hacia los polos (ver, por

7 ejemplo, http://ast.phys.au.dk/helio_outreach/modeC.mpv); estos modos corresponden a las componentes exteriores de los multipletes; por el contrario, los armónicos con |m| 0 a baja latitud (0º, curva superior en la figura). ∂r

8 En la superficie: así como la rotación solar constituía un problema para las medidas de estructuras usadas como trazadores de los campos de velocidades de celdas gigantes, lo inverso también sucede, es decir, las medidas de rotación se ven dificultadas por la presencia de otros campos de velocidad. Para disminuir el error estadístico se realizan promedios adecuados; pero existen también errores sistemáticos y complicaciones por las asimetrías de las líneas espectrales, y la CLV de dichas asimetrías. Generalmente los resultados observacionales se suelen representar por la siguiente expresión: Ω = A + B sen2B + C sen4B (B=latitud heliográfica) donde los coeficientes A, B, C se determinan mediante un ajuste por mínimos cuadrados a las medidas. Las desviaciones estándar son del orden de σA ≈ 0,º01/día, σB y σC ≈ 0,º1/día. La siguiente tabla de Stix presenta un listado de los coeficientes obtenidos por distintos autores a partir de medidas de manchas, desplazamientos Doppler, agujeros coronales, puntos brillantes, etc. El coeficiente A representa el ritmo de rotación ecuatorial (no tiene dependencia con la latitud). Es notable el bajo valor espectroscópico (Doppler) de A, quizá por problemas instrumentales. C no tiene sentido en manchas, porque no aparecen a latitudes mayores de 40º, pero sí se puede obtener con métodos espectroscópicos o de “local correlation tracking”.

Además de manchas, se utilizan otros trazadores como inhomogeneidades en la emisión cromosférica o coronal, o protuberancias. Cuanto mayor es la escala y el tiempo de vida de una estructura, más uniforme es su rotación. Un caso extremo es la rotación casi rígida de los agujeros coronales observados por la misión Skylab en 1973.

9 Los resultados comentados son válidos para cortos periodos de tiempo (por ejemplo, la rotación de agujeros coronales), o bien son promedios sobre periodos muy largos (la rotación de manchas de la tabla anterior). Muchos observadores han buscado variaciones en el tiempo de la velocidad angular del Sol; si éstas existen, deben ser pequeñas. En datos de Greenwich se observa un ligero descenso del ritmo de rotación ecuatorial, de aproximadamente 0,º1/día, durante la primera década del siglo XX. En datos de Greenwich y Monte Wilson se ven también cambios periódicos del mismo orden de magnitud. En todo caso, para que se conserve el momento angular los cambios en la velocidad de rotación superficial requieren una variación que los compense en algún lugar bajo la superficie. En 1980 Howard y Labonte encontraron un fenómeno interesante, llamado oscilador torsional (Stix comenta que el nombre es confuso…) Consiguieron aislarlo restando ajustes de rotación diarios (con los coeficientes A,B,C) de los valores medidos en zonas de 2º de latitud. Este procedimiento elimina grandes variaciones de día a día en los datos medidos, y permite ver variaciones espaciales de pequeña extensión en latitud. El efecto consiste en un ligero retardo del ecuador respecto a las zonas adyacentes de baja latitud, y una variación periódica de la rotación diferencial, como una “onda”: zonas latitudinales alternas con rotación rápida y lenta, migrando hacia el ecuador en los 2 hemisferios. Por otra parte, estudios heliosismológicos recientes muestran que esta variación no está confinada a la superficie, sino que se extiende en profundidad al menos hasta 1/3 de la ZC. El fenómeno visible en la gráfica está claramente relacionado con el ciclo magnético, ya que en cualquier punto tarda 11 años en repetirse.

Circulación meridional: se refiere a las componentes de velocidad promediadas longitudinalmente (i) N-S y (ii) la componente radial; son axisimétricas por definición. La componente de la circulación meridional sobre la línea de visión se puede medir espectroscópicamente, pero no se ha obtenido un resultado único, ni siquiera se sabe si el movimiento es hacia el ecuador o hacia los polos. El problema procede de la contaminación de los datos por otros campos de velocidad.

10 Para terminar mencionaremos que existe una gran variedad de modelos de la zona de convección solar rotante, que no vamos a describir. En general, intentan modelar la rotación de la ZC considerándola como un cascarón esférico de gas compresible y muy poco viscoso, entre un radio interior y la superficie. En su interior tiene lugar convección turbulenta, superpuesta a una rotación general no uniforme y, posiblemente, a un movimiento de circulación meridional. Las diferencias entre modelos (y teorías) de la rotación diferencial se deben al diferente tratamiento que hacen del llamado tensor de esfuerzos de Reynolds, Qij= donde u representa el campo de velocidad de la convección turbulenta: unos modelos emplean los esfuerzos de Reynolds sólo como cantidades medias (llamados modelos del campo medio que, a su vez, incluyen muchas posibles variantes), mientras que otros intentan calcular explícitamente las componentes de la velocidad u y, por tanto, las del tensor (llamados modelos explícitos). Todos tienen sus problemas y complicaciones…