ÁLGEBRA SUPERIOR II Semestre: Total Hrs/sem LA-LEM-LM Hrs/sem: Créditos: Clave:

segundo L.C.C. 90 72 horas 4.5 10 AG-02

DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA: En Álgebra Superior I fueron introducidos los conceptos de grupos, anillos y campos. En el presente curso, continuando con tales estructuras algebraicas estudiaremos, con más detalle, ejemplos particulares de campos como los números racionales y los números complejos y de anillos como los números enteros, los polinomios y las matrices. Se construirán los campos de los números racionales y de los complejos y se demostrarán las principales propiedades que tienen estos números. Se demostrarán los resultados fundamentales de la divisibilidad en los enteros. Los polinomios y las matrices no se manejarán de manera mecánica, sino que se estudiarán desde un punto de vista más teórico y formal. Para lograr los objetivos del presente curso, se requiere de mucha participación del alumno tanto dentro como fuera del salón de clase, misma que será fomentada mediante discusiones dirigidas en el salón y tareas extraclase. OBJETIVOS:

Al finalizar el curso, el alumno: 1. Construirá el campo de los números racionales. 2. Manejará la estructura numérica de los números complejos. 3. Demostrará y manejará los resultados fundamentales de la divisibilidad en el anillo de los números enteros. 4. Demostrará y manejará las propiedades fundamentales de los polinomios y de sus operaciones. 5. Demostrará y manejará las propiedades de las matrices y sus operaciones, en particular las que justifican los métodos que se emplean para resolver sistemas de ecuaciones lineales. CONTENIDO: 1. LOS NÚMEROS RACIONALES (Q).

(4 sesiones)

Objetivo: Construir el campo Q a partir del anillo Z. Demostrar las propiedades del orden en Q. 1.1. Construcción del campo Q a partir del anillo Z. 1.1.1. Construir el conjunto de los números racionales como clases de equivalencia.

1.1.2. Definir las operaciones de suma y multiplicación en los racionales. 1.1.3. Demostrar que los racionales son un campo. 1.1.4. Los enteros como subconjunto de los racionales. 1.2. Orden en los números racionales. 1.2.1. Definición. 1.2.2. Propiedades. 2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS (C).

(8 sesiones)

Objetivo: Construirá el campo de los números complejos. Demostrará propiedades del conjugado y el módulo de un número complejo. Calculará potencias, cocientes y raíces de números complejos. Manejará el aspecto geométrico del campo de los números complejos. 2.1. Construcción del campo de los números complejos. 2.1.1. Suma y producto de números complejos. 2.1.2. Propiedades de campo de la suma y el producto. 2.1.3. Resta y división de números complejos. 2.1.4. Representación geométrica de la suma y la resta. 2.2. El conjugado de un número complejo. 2.2.1. Representación geométrica. 2.2.2. Propiedades. 2.3. El módulo de un número complejo. 2.3.1. Representación geométrica. 2.3.2. Propiedades. 2.4. Números complejos en forma polar. 2.4.1. Expresión de un número complejo en forma polar. 2.4.2. Expresión del producto y el cociente de números complejos en forma polar. 2.4.3. Representación geométrica del producto y el cociente de números complejos. 2.5. Potencias y raíces de números complejos. 2.5.1. Teorema de De Moivre. 2.5.2. Representación geométrica y determinación de raíces de números complejos. 3. DIVISIBILIDAD.

(14 sesiones)

Objetivo: Demostrará y manejará los resultados fundamentales de la divisibilidad en el anillo de los números enteros y los aplicará en la resolución de ecuaciones diofantinas y en las congruencias módulo m.

3.1. Definición de divisibilidad y propiedades fundamentales. 3.2. El Algoritmo de la División. 3.3. El máximo común divisor. 3.3.1. Definición. 3.3.2. Definiciones equivalentes. 3.3.3. Primos relativos y sus propiedades básicas relacionadas con la divisibilidad. 3.3.4. El algoritmo euclidiano. 3.4. .El mínimo común múltiplo. 3.4.1. Definición. 3.4.2. El teorema que relaciona el máximo común divisor con el mínimo común múltiplo. 3.5. Ecuaciones diofantinas. 3.5.1. Definición. 3.5.2. La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diofantina tenga solución en los enteros. 3.5.3. El conjunto de soluciones enteras de una ecuación diofantina. 3.6. Factorización única. 3.6.1. Definición de número primo. 3.6.2. El teorema de factorización única. 3.6.3. Fórmulas para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. 3.7. Congruencias. 3.7.1. Definición y propiedades. 3.7.2. Congruencias lineales con una incógnita. 3.7.3. Teorema chino del residuo. 4. POLINOMIOS.

(14 sesiones)

Objetivo: Deducirá y aplicará en forma teórica y práctica, los teoremas sobre la multiplicidad y el cálculo de las raíces de un polinomio, a partir de la estructura algebraica del conjunto de polinomios. 4.1. El anillo de los polinomios. 4.1.1. Construcción del anillo de los polinomios. 4.1.2. Polinomios primitivos, irreducibles y mónicos. 4.2. División en los polinomios. 4.2.1. Algoritmo de la división. 4.2.2. División sintética. 4.2.3. Expresión de un polinomio en la forma ∑ bi (x-a)i

4.3. Raíces de polinomios. 4.3.1. El teorema del residuo. 4.3.2. El Teorema Fundamental del Álgebra (Sin demostración). 4.3.3. Polinomios de segundo grado. 4.3.4. El Teorema de Factorización Única (TFU). 4.3.5. Fórmulas de Vieta. 4.4. Raíces múltiples. 4.4.1. Definición de la multiplicidad de una raíz. 4.4.2. Relación entre derivadas y multiplicidad. 4.4.3. Polinomios con coeficientes reales. 4.4.4. El máximo común divisor y la multiplicidad. 4.4.5. Dominios de factorización única. 5. MATRICES CON COMPONENTES EN UN CAMPO K.

(8 sesiones)

Objetivo: Deducirá y manejará las propiedades de las matrices y de sus operaciones, especialmente aquéllas relacionadas con la inversibilidad de una matriz. 5.1. Conceptos básicos. 5.1.1. Matriz, igualdad de matrices, submatriz. 5.1.2. Matrices nula, identidad, diagonal, triangular. 5.2. El anillo de matrices. 5.2.1. Construcción del anillo de las matrices. 5.2.2. Partición de matrices. 5.2.3. Transpuesta de una matriz. Matriz simétrica, antisimétrica y hermitiana 5.3. La inversa de una matriz. 5.3.1. Definición. 5.3.2. Propiedades. 5.3.3. Operaciones elementales de renglón y columna. 5.3.4. Matrices equivalentes. 5.3.5. Matrices elementales. 5.3.6. Matriz escalonada y matriz escalonada reducida. 5.3.7. Método de Gauss - Jordán para hallar la inversa de una matriz. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA: Los temas serán desarrollados siguiendo una metodología expositiva-interrogativa mediante conferencias de discusión dirigida, en cada caso, reforzada con demostraciones y resolución de ejercicios bajo una lluvia de ideas. CRITERIO DE EVALUACIÓN: Se aplicarán 4 exámenes parciales, se calificarán las tareas y se aplicará, en su caso, un examen ordinario. La puntuación de parciales y tareas se detalla a continuación.

EXÁMENES PARCIALES Y TAREAS Parcial No.1 – Unidades 1 y 2 Parcial No.2 – Unidad 3 Parcial No.3 – Unidades 4 y 5 Tareas TOTAL

PUNTUACIÓN 30 puntos 30 puntos 30 puntos 10 puntos 100 puntos

Con calificación mayor o igual a 80 puntos, el alumno queda exento de examen ordinario; en caso contrario, ésta representará el 60 % de la calificación final complementando con el examen ordinario el 40 % restante. ANTECEDENTES ACADÉMICOS: Álgebra Superior I. BIBLIOGRAFÍA: 1. Knut, Donald. The Art of Computer Programming. Vol.1, 2 y 3. Addison – Wesley 1997, 1998. 2. Ash, R.B. A Primer of Abstract Mathematics. The Mathematical Association of America, 1998. 3. Cárdenas., Humberto et. al. Álgebra Superior. México: Trillas, 1974. 4. Castro Gustavo et al. Álgebra II. Sección Matemática Educativa CIEM.IPN, 1986. 5. Churchill-Brown. Variable Compleja y Aplicaciones. México, Mc Graw-Hill, 1982. 6. Pita Ruiz, Claudio. Álgebra Lineal. México. Mc Graw Hill, 1991. 7. Weiss, Marie J. et al. Álgebra Superior. México: Limusa, 1980. PERFIL PROFESIOGRÁFICO DEL PROFESOR: Licenciado en Matemáticas o Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas, preferentemente con posgrado y experiencia docente, de investigación o de trabajo en el área. Modificado por: L.M. José Andueza Pech, L.M. Irma Noemí Trejo y Canché. Fecha de modificación: 4 Julio de 2003.