Notación científica Notación científi ca y proporcionalidad

Semana 4

Semana 4

y proporcionalidad

La invención humana ha favorecido el desarrollo de nuevas tecnologías y de artefactos especializados que permiten medir magnitudes, cuya expresión numérica se representa por cantidades exageradamente pequeñas, relacionadas con el mundo subatómico, o muy grandes, que se pueden asociar al macromundo. Tales cantidades son de lectura difícil y engorrosa para realizar cálculos matemáticos. Para superar esta dificultad, los científicos idearon una nueva forma de escribirlas y de leerlas, la cual recibe el nombre de notación científica. Durante esta semana pretendemos estudiar los fundamentos y procedimientos de la notación científica e intentaremos establecer algunas relaciones entre magnitudes por medio de la proporcionalidad. ¡Prepárate entonces para que juntos asumamos esta nueva aventura de aprendizaje!

Para esta semana es necesario refrescar todos los conocimientos referentes a las propiedades de la potenciación, operaciones con números decimales y las aplicaciones de la regla de tres. Recuerda que, con una buena base, el camino será muy fácil. A menudo se nos presentan situaciones en las que tenemos que manejar cantidades muy grandes, por ejemplo, la masa de la luna es de 73490000000000000000000 kg. También existen cantidades muy pequeñas, por ejemplo, la masa de un electrón es aproximadamente 0,000000000000000000000000000091 kg. Para esto se ideó la notación científica, que no es más que una forma de enunciar estas cantidades en expresiones más fáciles de manejar. Observa esta situación y trata de dar una respuesta: un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos Peso en kg

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1 20

2 40

3 60

... ...

26 520

... ...

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Notación científica y proporcionalidad

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20. Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20. En estos casos podemos hablar de una proporcionalidad directa, o podemos decir que las magnitudes son directamente proporcionales. Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. Ahora, veamos otro ejemplo: si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso, si el número de trabajadores se duplica, el trabajo durará la mitad; si se triplica, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (o indirectamente proporcionales). Hombres Días

3 24

6 12

9 8

... ...

18 ?

Vemos que los productos 3x24; 6x12 y 9x8, dan todos como resultado 72. Por tanto, 18 por x = 72. Es decir, los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo. Notarás que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.

Antes que te adelantes en pensar sobre notación científica es necesario que recordemos sobre lo que es la potenciación de números naturales; para ello, intenta comprender estos ejemplos: a) 32 = 3x3 = 9

b) 53 = 5x5x5 = 125

c) 24 = 2x2x2x2 = 16

d) 102 = 10x10 = 100

e) 105 = 10x10x10x10x10 = 100000

f ) 106 = 10x10x10x10x10x10 = 1000000

En los primeros tres casos se puede observar la multiplicación de la base tantas veces lo indica el exponente y da como resultado un número (potencia). En los últimos tres casos te puedes dar cuenta que cada vez que la base es diez y ésta se eleva a un exponente entero positivo, la potencia resultante es la unidad seguida de tantos ceros como lo indica el exponente. Ahora, revisemos la multiplicación de un número por potencias de 10. a) 34x10 = 340

b) 54x1000 = 54000

c) 2x10000000 = 20000000

d) 213x10000000000000 = 2130000000000000

De las dos situaciones anteriores podemos llegar a formular un concepto y el procedimiento que se sigue para expresar cantidades en notación científica.

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Notación científica es una técnica matemática, empleada para simplificar la escritura de números muy grandes o muy pequeños, en cantidades que no superen el orden de la unidad y se utiliza para ello la multiplicación de potencias de base diez.

Como ves, durante esta semana estamos abordando dos aspectos de las magnitudes: su escritura en notación científica y la relación de proporción entre dos magnitudes. Los ejemplos de la sección de Conocimientos previos seguramente te ayudaron a ver que cuando comparamos dos magnitudes, se pueden dar dos casos de proporcionalidad: • Directa: dos magnitudes se dicen que son directamente proporcionales cuando el aumento o disminución de una de ellas le corresponde, respectivamente, a un aumento o disminución proporcional de la otra. Como pudimos observar en el caso del número de sacos y los kilos de papas: Número de sacos Peso en kg

1 20

2 40

3 60

... ...

26 520

... ...

A mayor número de sacos, mayor número de kilos y viceversa; en este caso, podemos decir que estas magnitudes (número de sacos y kilos de papas) son directamente proporcionales, ya que, si el número de sacos aumenta, también se incrementará el número de kilos; si los sacos disminuyen, los kilos también. • Inversa: dadas dos magnitudes, se dice que son inversamente proporcionales cuando el aumento de la primera genera una disminución de la segunda y viceversa, en respectiva correspondencia a una razón de proporción, como ocurre con el caso del número de trabajadores y la relación que existe con las horas de trabajo, donde se observa claramente que, a mayor número de trabajadores, menor número de horas, o, lo que es lo mismo, a medida que aumenta el número de trabajadores, disminuyen las horas en las que se realiza el trabajo. Hombres Días

3 24

6 12

9 8

... ...

18 ?

Saber más Para saber más sobre notación científica, te recomendamos visitar la siguiente dirección web: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA19/ NotacionCientifica.html

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Si deseas profundizar más sobre el tema de proporcionalidad, haz clic en: http:// platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.htm

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Pasos para transformar un número en notación científica Ejemplos. Escribe en nota23400000000000000 0,00000000789 ción científica el número: 1. Dado el número, se coloca 2,34 7,89 la coma en la primera cifra, comenzando de izquierda a derecha, que corresponda a valores entre 1 y 9 (cifra significativa). Esto quiere decir, que se respeta el orden de posición de las unidades, no excede a las decenas. 2. Luego se multiplica el nue2,34x10 7,89x10 vo número por una potencia de base diez. 3. El exponente de esta po23400000000000000, 0,00000000789 tencia de base diez será positivo, si la coma inicial estaba a la derecha de la primera cifra significativa, y negativo, La coma se corrió 16 La coma se corrió 9 espacios espacios en caso contrario. 16 El resultado 7,89x10-9 El resultado 2,34x10 4. Por último, el valor del exponente de la base diez es el número de espacios que corrió la coma.

Si el número dado tiene, por ejemplo, esta forma: 3,45345600000000000, no se le aplica la transformación a notación científica, porque ya la coma se encuentra entre 1 y 9, sino que se redondea a la cantidad que requieras. Por ejemplo, el resultado es 3,45 si se redondea a la centésima.

Magnitudes bajo proporción directa Si un automóvil recorre 100 km en 3 hrs, ¿cuántos km recorre en 10 hrs?

100 km = x km

3h 10 h

x=

100 km · 10 h 3h

x = 333.33 km 165

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Magnitudes bajo proporción inversa Un carro que circula a 70 km/h invierte 3 horas en cubrir la distancia que separa dos ciudades. Si vuelve a realizar el viaje y emplea 7 horas, ¿a qué velocidad circula en el segundo viaje? Velocidad Tiempo de recorrido

70 km/h 3h

? 7h

Del cuadro extraemos los valores de la siguiente forma: 70 km/h 7h = x 3h Por ser de proporcionalidad inversa invertimos el segundo miembro de la ecuación o cuaterna. Despejamos la x porque es la incógnita que queremos hallar. x=

70 km/h x 3h 7h

x = 30 km/h

En la vida corriente utilizamos el término proporción con distintos sentidos: • Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: “este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado”. • Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo, ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: éxito y trabajo. • También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: “proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante”. El hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 T. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella, un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla. También se cometen errores: • Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante, pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró. 166

Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: http://centros4.pntic.mec.es/ies.maria.zambrano/proporcionalidad/index.htm

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1. Un microscopio eléctrico sólo puede medir longitudes cerca de los 100 nm, y se presenta en un portaobjetos un cultivo de virus donde su diámetro celular es de 0,00000000098 m. ¿Podrá el microscopio dar la medida exacta? 2. El diámetro de una estrella es de 198000000000000 m. Si se triplica este diámetro y suponemos que esta nueva estrella es totalmente esférica, ¿cuál sería su volumen, expresado en notación científica? 3. Una persona que va hacer el mercado compra 5 pollos semanales para 8 personas que viven en casa. Si esta semana llegaron sus 3 primos de visita, se pregunta: ¿cuántos pollos se deben comprar para seguir manteniendo la misma cantidad de pollo que se consumía habitualmente? 4. En una finca 50 vacas se comen en 4 días todo el pasto del corral donde se encuentran cercadas. El dueño compra 10 vacas más y las traslada al nuevo corral. ¿En cuánto tiempo se comerán todo el pasto, sabiendo que este corral tiene las mismas dimensiones del anterior? 5. Un vehículo que circula a velocidad constante recorre 80 km en 5 horas. Si se sabe que ha empleado 8 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B, ¿qué distancia separa las ciudades? 6. Dos grifos que vierten agua de forma constante, llenan un depósito en 6 horas. Si usamos 12 grifos para llenar ese depósito, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse? 7. En una cadena de montaje, 14 obreros, trabajando 10 horas diarias, han fabricado 1500 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 4200 piezas trabajando 8 horas?

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