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Semejanza

1. Teorema de Tales

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2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes

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3. Teorema de Pitágoras, teorema del cateto y teorema de la altura

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4. Razones trigonométricas de un ángulo agudo y sus relaciones fundamentales

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5. Evaluación

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1. Teorema de Tales

Teorema de Tales. Si dos rectas son cortadas por dos o más rectas paralelas, los segmentos que se forman en ellas son proporcionales. A

B

C

D E F

CB BA CA ⫽ ⫽ FE ED FD Aplicando el teorema de Tales podemos dividir un segmento en partes iguales. Dibujamos una semirrecta desde uno de los extremos, A, del segmento y señalamos en ella cinco segmentos iguales (o las partes en que queremos dividir el mismo). Unimos B con el último punto de la semirrecta y trazamos paralelas a esta.

A

B

 Dibuja un segmento de 12 cm de longitud y divídelo en siete partes iguales.

 Utiliza el teorema de Tales para calcular los valores de x e y en el siguiente triángulo: A’ m 3c

A

C

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m 4c

m 5c

y

x

B

3,5 cm

B’

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2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si sus ángulos son iguales y los segmentos proporcionales. La homotecia es una transformación (ampliación, dilatación…) que produce figuras semejantes. Los segmentos se multiplican por el mismo número y los ángulos no varían. La razón de semejanza, k, es el cociente entre las longitudes de los segmentos correspondientes de las dos figuras semejantes. Es una cantidad constante. La razón de semejanza entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a la razón de semejanza, k. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza, k2. La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza, k3.  Estas dos figuras son semejantes. Si su razón de semejanza es 3, calcula las medidas de la figura grande. 4,3 cm e

2 cm

cm 1,8

cm 3,5

d

m 4c a

c b

 Calcula la razón entre las áreas de un cuadrado que mide 6 cm de lado y otro de 4 cm de lado.

 Si la razón de semejanza entre dos cubos es de 2, calcula la razón entre sus volúmenes.

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3. Teorema de Pitágoras, teorema del cateto y teorema de la altura

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. La hipotenusa es el lado mayor y los catetos son los lados pequeños. En un triángulo rectángulo se cumplen los siguientes teoremas: 앫 Teorema de Pitágoras. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. c a

b

앫 Teorema del cateto. El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa: a2 ⫽ a’ ⭈ c

b2 ⫽ b’ ⭈ c a

b a’

b’ c

앫 Teorema de la altura. El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa. h2 ⫽ m ⭈ n h

m

n

 Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2,5 cm y 4,3 cm.  Calcula uno de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 17,2 cm y uno de los catetos mide 10,8 cm.

 ¿Cuánto mide la altura de un triángulo rectángulo si esta divide a la hipotenusa en dos proyecciones, una de 20 cm y otra de 25 cm?

10 cm

 ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo rectángulo si m ⫽ 6 cm y el cateto que proyecta, 10 cm?

m

h

n

 Calcula la diagonal de un rectángulo de dimensiones 24 cm ⫻ 32 cm.

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4. Razones trigonométricas de un ángulo agudo y sus relaciones fundamentales

cateto opuesto a ␣

Dado un triángulo rectángulo, la razones trigonométricas del ángulo ␣, son las siguientes:

hip

ote

nu

sa

␣ cateto adyacente a ␣

앫 seno de ␣ ⫽

cateto opuesto de ␣ hipotenusa

앫 coseno de ␣ ⫽

cateto adyacente ␣ hipotenusa

앫 tangente de ␣ ⫽

cateto opuesto de ␣ cateto adyacente de ␣

Las relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas son: sen ␣ sen2 ␣ ⫹ cos2 ␣ ⫽ 1 tg ␣ ⫽ cos ␣  Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos ␣ y ␤ en el siguiente triángulo rectángulo si b ⫽ 12 cm y c ⫽ 14 cm. ␣ a b

␤ c

 Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo opuesto al cateto mayor en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm y la hipotenusa, 10 cm.

 Comprueba las dos relaciones fundamentales de la trigonometría para un ángulo de 45°.

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5. Evaluación

 Dibuja un segmento de 8 cm de longitud y divídelo en cinco partes iguales.

 Indica si son semejantes estos triángulos. En caso de serlo, halla su razón de semejanza. B

1,6 cm

3,2 cm

B’ 5,4 cm

2,7 cm

C’

m 5c 3,1

A’ A

6,3 cm C

 Calcula la razón entre las áreas de dos rectángulos de dimensiones 3 cm ⫻ 5 cm y 9 cm ⫻ 15 cm.

80 cm

 Calcula en el siguiente triángulo rectángulo, la hipotenusa, las proyecciones de los catetos y la altura, sabiendo que los catetos miden 80 cm y 120 cm, respectivamente.

12 0c m

h

m

n a

 Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo ␣ en el siguiente triángulo rectángulo si b ⫽ 20 cm y c ⫽ 26 cm.

␣ a b ␤ c

 Comprueba las dos relaciones fundamentales de la trigonometría para un ángulo de 65°.

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