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Taller de Matemáticas I
Taller de Matemáticas I 1 Universidad CNCI de México
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Temario 1. Los números positivos 1. 1. Representación de números positivos 1.1.1. Fracciones 1.1.2. Decimales 1.1.3. Porcentajes 1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones 1. 2. Jerarquización de operaciones numéricas 1. 3. Planteamiento de una expresión algebraica 1.3.1. Procedimiento para el planteamiento de una ecuación 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones 3. Sucesiones y sumas numéricas 3.1 Sucesiones 3.2. Sucesiones y series aritméticas 3.2.1. Sucesiones aritméticas 3.2.2. Series aritméticas 3.2.3. Representación gráfica de una sucesión aritmética 3.3. Sucesiones y series geométricas 3.3.1. Sucesiones geométricas 3.3.2. Series geométricas 3.3.3. Representación gráfica de una sucesión geométrica 4. Conceptos algebraicos importantes 4.1. Términos semejantes 4.2. Potencias 4.3. Leyes de los exponentes 5. Operaciones con monomios y polinomios 5.1. Suma de polinomios 5.2. Resta de polinomios 5.3. Multiplicación de polinomios 2 Universidad CNCI de México
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5.3.1. Monomio por monomio 5.3.2. Monomio por polinomio 5.3.3. Polinomio por polinomio 6. Productos Notables 6.1. Binomios conjugados 6.2. Binomios con un término común 6.3. Binomios al cuadrado 7. Factorización 7.1. Factorización por factor común 7.1.1. Un monomio como factor común 7.1.2. Un polinomio como factor común 7.1.3. Factor común por agrupación 7.2. Factorización de una diferencia de cuadrados 7.3. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 8. Factorización de trinomios de segundo grado 8.1. Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c 8.2. Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c con a ≠ 0, 1 9. Factorización combinada 10. Simplificación de expresiones algebraicas racionales 11. División de polinomios
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Seman na 1 Sesión 1 Los ttemas a revvisar el día d de hoy son:: 1. Los núme 1 eros positivvos 1. 1. Rep presentación de númerros positivo os 1.1..1. Fraccion nes 1.1..2. Decimales 1.1..3. Porcenttajes 1.1..4. Converssiones entre e distintas rrepresentacciones 1. 2. Jeraarquización de operaciiones numé éricas 1. 3. Plan nteamiento o de una exp presión algebraica 1.3.1. Procedim miento paraa el planteamiento de una ecuación 1 Los núm 1. meros positivvos 1.1. Representaación de nú úmeros possitivos Los n números su urgieron de la necesidaad de representar canttidades, es decir, relaccionar un síímbolo con n una magn nitud. Los primeros números creaados tenían n la intenció ón de contaar, establecciendo un orden para indicar cuál era mayor y cuál meno or. El 1 ees el menorr de todos, el 2 es el que le sigue, etc., pero también ell 4 es mayor que el 3, el 3 mayorr que el 2 y así sucesivvamente. Assí fue como o surgió la rrecta numérica y aparecieron opeeraciones como c la sum ma y multiplicación, con c la restricción de que q el resulltado de ellaas debe serr un número o de este mismo conjunto.
Por eejemplo: ¿Cóm mo represen ntarías la au usencia de cantidad? LLa respuesta es anexarr el número o cero y colocarlo en laa recta como el primer número o el menor dee todos: A partir de ese momento sse puede co ontar desde e el cero hasta donde sse desee, no hay límite; es decir, el conjunto o de número os es infinito y se deno ominan núm meros positivos. A su vez el conjjunto de loss números positivos se e puede clasificar como se muesttra en la sigguiente imagen:
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Los números positivos pueden representarse de tres maneras: 10 3 75 • Como fracciones, por ejemplo: 2 , 8 , 6 • Como decimales, por ejemplo: 9.81, 16.15, 0.00013 • Como porcentajes, por ejemplo: 2%, 46.8%, 77% 1.1.1. Fracciones Las fracciones constan de dos números: el superior llamado numerador y el inferior llamado denominador. a numerador = , con b ≠ 0 b denominador Una fracción describe una parte de un todo. Por ejemplo, si un pastel se divide en doce partes iguales y ocho de las rebanadas se reparten entre los asistentes de una fiesta, la fracción que representa lo anterior es: Número de rebanadas repartidas entre los asistentes 8 una parte = Número total de rebanadas del pastel 12 un todo Al cociente o división de dos números enteros se le llama número racional o fraccionario y ese conjunto de números se representa por Q. Se debe tener cuidado de que el denominador no sea cero. 5 12 56 9 Algunos ejemplos son: 1 1 7 12 Se observa que las primeras dos fracciones en realidad son dos números enteros divididos entre la unidad; así, un número natural es al mismo tiempo entero y por tanto, racional. 1.1.2. Decimales Los números positivos pueden tener una representación decimal de tres tipos: • Decimal exacto: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Por ejemplo: 1 = 0.25 4 • Decimal periódico puro: la parte decimal completa se repite indefinidamente, la cual puede ser representada con una línea encima de los dígitos que representan al periodo. Ejemplo: 3.25252525L = 3.25 • Decimal periódico mixto: al principio de la parte decimal hay una parte que no se repite y otra que sí se repite. Por ejemplo: 3.12252525L = 3.1225 1.1.3. Porcentajes Es una manera de expresar un número positivo como una parte de 100 y se representa por el símbolo %. Se puede pensar como el numerador de una fracción que tiene un denominador de 100: numerador 56 = = 56% 100 100 5 Universidad CNCI de México
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1.1.4. Conversiones entre distintas representaciones Conversión de fracción a: a) Decimal. 5 Se divide el numerador entre el denominador. Por ejemplo: = 0.625 8 b) Porcentaje. Se convierte a decimal y se multiplica por 100%. Por ejemplo: 1 = 0.25 ⎯ ⎯→ 0.25 × 100% = 25% 4 Conversión de porcentaje a: a) Fracción. Se quita el símbolo de porcentaje y se coloca la cantidad en el numerador. Siempre se utiliza como denominador el número 100. Se debe simplificar la fracción en 78 39 caso de ser posible: 78% ⎯ ⎯→ = 100 50 b) Decimal. Se quita el símbolo de porcentaje y se recorre el punto decimal dos cifras hacia la izquierda. Se agrega el cero como parte entera. La razón por la cual se recorre el punto dos cifras a la izquierda es porque esta operación es equivalente a dividir el número entre 100, y estas dos cifras representan los dos ceros que contiene el número 100. Por ejemplo: 15 . 62 % ⎯⎯ → 0 • 1 5 6 2 15 . 62 = 0 . 1562 100 Conversión de decimal a: a) Fracción. Caso
Descripción
Número con parte entera igual a cero y parte decimal periódica pura
El numerador será igual a la parte periódica y el denominador será igual a tantos nueves como dígitos contenga el periodo
Número con parte entera distinta a cero y parte decimal periódica pura
Será igual a la parte entera más un racional que tendrá como numerador la parte periódica y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el periodo
Número con parte entera distinto de cero y parte decimal periódica mixta
Será igual a la parte entera más un racional que tendrá como numerador la parte no periódica seguida de la parte periódica menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como dígitos contenga el periodo y tantos ceros como dígitos contenga la parte no periódica
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Ejemplo
0.3 =
3 1 = 9 3
38 = 99 198 38 236 + = 99 99 99 2.38 = 2 +
3.1225 = 1225 − 12 = 9900 1213 3+ = 9900 29700 1213 30913 + = 9900 9900 9900
3+
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b) Porcentaje. Multiplicar por 100% o recorrer el punto decimal de la cantidad dos lugares hacia la derecha y agregar el símbolo %. Por ejemplo: 0.2641 ⎯ ⎯→ 0.2641× 100% = 26.41% 0• 2 6 4 1 ⎯ ⎯→ 26.41% Un resumen de las distintas representaciones de los números positivos descritos en los cuatro ejemplos anteriores se muestra en la tabla siguiente: Natural (N)
Decimal
4
4.0
No es natural
7.282828…
7.28
No es natural
0.135
0.1350
No es natural
0.125192
Decimal Periódico
Fracción
Porcentaje
4.0
4 1
400%
721 99
728.28%.
135 27 = 1000 200
13.5%
No aplica
245925 1964375
12.5%
Práctica de ejercicios Práctica 1 Complementa el siguiente cuadro con las diferentes maneras de representación de los números positivos:
Natural
Decimal
4.32
3.4444…
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Decimal Periódico 1.3 10.28
Fracción
Porcentaje
75%
8 7
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Práctica 2 Relaciona las columnas que a continuación se muestran, de manera que coloques la letra del inciso en el paréntesis que indica el número equivalente.
Práctica 3 Resuelve el siguiente problema y contesta lo que se te pide. Un anciano millonario dejó una herencia para repartir entre su único hijo y el asilo donde pasó sus últimos días. La repartición fue la siguiente: 3/4 para su hijo y el resto para el asilo. 1. Si el hijo recibió 63 millones. ¿Cuánto dinero recibió el asilo? 2. Representa la cantidad anterior como: a) porcentaje. b) fracción. 3. ¿Cuánto dinero dejó de herencia el anciano? 1.2. Jerarquización de operaciones numéricas En matemáticas como ciencia formal, existe una jerarquía u orden en las operaciones para proceder a resolverlas, así como también existen leyes que rigen el despeje de las expresiones, y los elementos de un conjunto deben escribirse en una forma específica para tener sentido matemático. En las operaciones numéricas se sigue un orden cuando en una expresión aparecen varios operadores: 1º Se deben efectuar aquellas que indiquen potenciación, es decir, potencias ( ) y raíces ( ). x 2 , x3 , x n 9 , 25 , 144 8 Universidad CNCI de México
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2 2º Se realiza an las multiiplicacioness ( (9), 7 * 25 y 3× 18, 555 ) y 45 laas divisione es ( 21 ÷ 3, 600 ). / 20, 5 o se realizan las adicio 3 3º Por últim ones o sumaas ( 25 + 8, 2 + 9 ) y las susstracciones o restas ( 25 − 14 , 9 − 2 ). En occasiones see deben exp presar operaciones en la que el orden que se ha establecido se ro ompe; por eejemplo, se desea realiizar primero o una adició ón para desspués multiplicar su reesultado po or un númeero. Para expresar e estte tipo de operacionees se utilizaan los símb bolos de agrrupación: p paréntesis ( ), corchetes [ ] y llavess { }. mplo: Ejem 4 + 32 × 5 − 81 ÷ {14 ÷ 7[8 − (30 − 23)] + 1}
Utilizzando la caalculadora se s puede llegar a la solución s dee la expresión del eje emplo anterior. Antees que nad da debes faamiliarizarte con tu calculadora c . Identificaa las teclass que repreesentan a los l parénteesis, así com mo las teclaas para las operacionees básicas como c sumaa, resta, mu ultiplicación n y división, incluyendo o la raíz y la potencia. Si utiilizas una caalculadora ccientífica Ca asio, puede es “escribir”” la ecuación de la sigu uiente maneera: El ressultado en eel display o pantalla dee la calculad dora debe ser 46. 9 Universsidad CNCI dde México
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Práctica 4 Javier reconoce que su salud está en peligro debido a que tiene sobrepeso de 10 Kg con respecto a la recomendación de su médico, por lo que ha decidido utilizar su caminadora que registra los kilómetros que ejercita. 1 1 2 1 El lunes recorre Km; martes y miércoles Km; el jueves 4 Km, 3 5 4 3 viernes y sábado Km y el domingo de Km. 3 3 5 Determina la cantidad de kilómetros que recorrió Javier en la semana. 1.3. Planteamiento de una expresión algebraica Para resolver problemas o modelar situaciones por medio del lenguaje del álgebra, lo primero que debes hacer es traducir del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Las +, −, ×, ÷ operaciones básicas en matemáticas se caracterizan por símbolos como La siguiente tabla muestra algunas operaciones expresadas en lenguaje común y su representación en lenguaje algebraico.
"a" y "b" En la tabla anterior se utilizaron las letras minúsculas para representar dos números cualesquiera. Esas letras, así como cualquier otra letra minúscula que se utilice para representar algún número, se conocen como literales y en matemáticas se utilizan comúnmente para expresar variables, las cuales dependiendo de la situación que se desea modelar, pueden representar: 10 Universidad CNCI de México
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a) un valor específico (cuando se utilizan en ecuaciones) y se les denominan incógnitas. b) un rango específico de valores delimitado por una condición (cuando se ubican en una relación funcional o función) y se les denominan variables. c) cualquier valor y se les denominan números generales.
Práctica 5: 9 Traduce el siguiente enunciado al lenguaje algebraico. “Encuentra un número que sumado a 10 es 25”. 9 Plantea la expresión algebraica del siguiente enunciado: “10 menos el doble del número es tres veces el doble del número menos 5”. 9 Representa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico.
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Sesión 2 Los temas a revisar el día de hoy son: 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden 2.2.1. Simétrico de un número real 2.2.2. Valor absoluto de un número real 2.2.3. Relaciones de orden 2.3. Comparación y relación entre números reales 2.3.1. Razones 2.3.2. Tasas 2.3.3. Proporciones 2.3.4. Variaciones 2. Uso de los números reales y las variables algebraicas 2.1. El conjunto de los números reales y sus subconjuntos En la sesión anterior conociste los números positivos, entre ellos los enteros, los naturales y los racionales. Una representación que se tiene acerca de esos números es la recta numérica teniendo como referencia al cero u origen. El cero representa la ausencia total de cantidad. Los enteros positivos (Z+) se ubican a la derecha del cero y representan cantidades “completas”, es decir, cantidades que son enteras que se utilizan para contar. Los enteros negativos (Z‐ ) se ubican a la izquierda del cero y con signo negativo. El conjunto de los números reales está formado por varios subconjuntos: 1. Los números naturales: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } ∞ 2. Los números enteros positivos: Z+ ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, } ∞ −∞ 3. Los números enteros negativos: Z‐ ={ , …, ‐9, ‐8, ‐7, ‐6, ‐5, ‐4, ‐3, ‐2, ‐1} 4. El conjunto que contiene al cero: {0} Algunos símbolos importantes para utilizar conjuntos son: 1. El símbolo que significa “unión de conjuntos”. Se deben tomar en cuenta todos los elementos de los conjuntos a unir. 2. El símbolo ⊂ indica que un conjunto es un “subconjunto” de un conjunto ⊄ mayor. Su contraparte es el símbolo indica que no es subconjunto de otro.
∪
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3. El de pertenencia que indica si un elemento está dentro de un conjunto. El ∈ que niega que un elemento pertenezca a un conjunto es . ∉ De acuerdo a lo anterior, los números enteros se forman de los números enteros negativos y positivos y se representan por Z:
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Z + = {N ∪ {0 }}
Z = ⎪⎨Z − ∪ Z + ⎪⎬ ⎧
⎫
⎪⎩
⎪⎭
Otro conjunto que pertenece a los reales son los números racionales, que son los que se pueden obtener a partir de una fracción y se representan por la letra Q. Así, en notación de conjuntos se tiene que: Z ⊂ Q Existen más números que no se representan como naturales, enteros o racionales, 2, y 3 ejemplos son el número (pi), o . A estas cantidades se les denomina números irracionales y se representa por Ι . La parte decimal de un número racional carece de un periodo repetitivo. En notación de conjuntos se tiene que: R = Ι ∪ Q Ejemplo: identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números. a) El ‐5 es un número: entero negativo y real. 3 b) El es un número: racional y por lo tanto real. 4 π c) El es un número: irracional y real. 2 d) El 90 es un número: natural y por lo tanto real. 2.2. Números simétricos, valor absoluto y relaciones de orden Existen algunas relaciones entre los números reales que son importantes: el simétrico de un real, el valor absoluto y las relaciones de orden. 2.2.1. Simétrico de un número real A los reales negativos que están a la misma distancia del cero que los positivos, se les llaman números simétricos o números opuestos.
Ejemplo: El ‐3 es el simétrico de 3: 13 Universidad CNCI de México
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2.2.2. Valor absoluto de un número real El valor absoluto de un número representa la distancia de éste al origen. El símbolo que lo representa son dos barras verticales entre las cuales se “encierra” el número. Por ejemplo: Se lee “el valor absoluto de ‐15 es igual a 15”. En general, se puede decir que “el valor absoluto de un número es el valor numérico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo”. En una recta numérica es la distancia entre el número y el cero.
2.2.3. Relaciones de orden Antecesor y Sucesor de un número entero El conjunto de los números enteros tiene una característica especial: cada uno de sus elementos tiene antecesor y sucesor. El antecesor de un número es el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él; el sucesor es el que está inmediatamente a su derecha. Por ejemplo:
Relaciones Mayor que y Menor que Los números reales son un conjunto ordenado, es decir, hay números reales mayores o menores que otros. Un número real es menor que otro (), cuando está a su derecha. Ejemplo 1. Observa la siguiente recta numérica: En este caso, el número ‐7 es el menor de todos porque está más a la izquierda, mientras que el 6 es el mayor de todos porque es el que está más a la derecha. Así − 7 < −1 < 3 < 6 pues:
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Práctica 6 Realiza lo que se te pide. 1. Identifica a qué conjunto pertenecen los siguientes números colocando la letra que le corresponda (N: naturales, Z+ : enteros positivos, Z– : enteros negativos, Q : racionales, I: irracionales, R: reales). Si un número pertenece a más de un conjunto, indícalos. 3 a) El es ________________ b) El ‐125 es __________________ − 5 2. Indica el valor absoluto de las siguientes cantidades: 1 a) − 28 b) − 9 3. Encuentra el opuesto o simétrico, el antecesor y el sucesor de los siguientes números: a) ‐36 b) 81 4. Establece la relación correcta entre los siguientes pares de números utilizando los símbolos > y