Tema 1: Campo eléctrico

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Tema 1: Campo Eléctrico

Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2010/11

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

Tema 1: Campo Eléctrico

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Índice 1. Introducción 2. Carga eléctrica: propiedades 3. Ley de Couloumb 4. Campos eléctricos : Cálculo de campos eléctricos 5. Líneas de campo eléctrico 6. Dipolo eléctrico 7. Flujo eléctrico y Ley de Gauss 8. Aplicaciones de la Ley de Gauss 9. Campo eléctrico en presencia de conductores Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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1. Introducción De las cuatro fuerzas fundamentales: •Gravedad Ésta será la de nuestro interés

•Electromagnética •Electro débil

Ámbito nuclear

•Nuclear fuerte

Liga a los protones y neutrones en el núcleo. Vence la repulsión protón-protón. Corto alcance.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Tema 1: Campo eléctrico

Universidad de Sevilla

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1. Introducción La interacción electromagnética no se restringe al ámbito atómico: • Radio. • Televisión. • Cualquier aparato corriente eléctrica.

que

funciona

con

• Rayos, tormentas eléctricas, pararrayos. • Carga estática por efecto del rozamiento • Propiedades implícitas: Propiedades de los sólidos y líquidos, materiales en general, propiedades mecánicas de los muelles. • Nuestra vida normal diaria (p.ej. andar) depende de las fuerzas eléctricas que se producen a nivel atómico. Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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1. Introducción

• Históricamente, los fenómenos eléctricos son conocidos desde el año 2000 A.C. (antigua civilización china). • En Occidente, (Grecia antigua), 700 A.C., se observa que el ámbar (elektron) atrae trozos de paja, plumas y también que la magnetita (piedra procedente de Magnesia, Turquía) atrae al hierro. • En 1600, William Gilbert descubre el carácter general de que la electrificación no está restringida al ámbar. • En 1785, Charles Couloumb descubre la ley del inverso del cuadrado de la distancia para la carga (Ley de Couloumb).

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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1. Introducción

• En 1820, Charles Oersted descubre que la brújula se desvía cerca de una corriente eléctrica.

• En 1831, M. Faraday (Inglaterra) y J. Henry (EE.UU.)

descubren que cuando se mueve un imán cerca de un aro metálico, aparece una corriente eléctrica en el aro.

• En 1873, W.C. Maxwell (Escocia) formula las leyes del Electromagnetismo tal como las conocemos hoy. Dichas leyes son válidas para cualquier clase de fenómeno electromagnético.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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2. La carga eléctrica • Concepto de carga neta

e-

e-

• La materia en general es eléctricamente neutra porque

El átomo es eléctricamente neutro:

n n p pp n p

No. Atómico Z

no de protones ≡ no e−

+

e-

carga del prot´on ≡ carga del e−

eÁtomo

“Carga fundamental”= 1.602177 × 10−19 C

Coulombios Coulombios (S.I.) (S.I.) Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Propiedades de la carga

Cuantización: No se ha observado ninguna cantidad de carga que no sea un múltiplo entero (Ne) de la carga fundamental. El modelo estándar de partículas elementales prevé que los protones, neutrones, e , y todas las partículas están formadas 2 por quarks, cuya carga es 1

± e, ó ± e 3 3

pero no han sido observados individualmente.

Conservación: Cuando, por ejemplo por rozamiento, un cuerpo queda cargado positivamente, y el otro negativamente, no se pierde carga. La carga se conserva siempre en un sistema cerrado. Principio de Conservación de la Carga Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Propiedades de la carga

Dualidad: B. Franklin (1706-1790)

La carga se manifiesta en sus dos versiones: Nombre

Símbolo

• Positiva (+) (carga de los protones) • Negativa (—) (carga de los electrones) • Cargas del mismo signo se repelen, y de distinto signo se atraen

Invariancia relativista: El espacio, el tiempo y la masa son magnitudes que varían dependiendo de la velocidad del móvil. La carga NO: es invariante Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Clasificación de los materiales Según la dificultad-facilidad al movimiento de la carga en ellos: Semiconductores Semiconductores Silicio Silicio Germanio Germanio

Base de la era de la información

Conductores Conductores

Aislantes Aislantes

Los Loselectrones electronesse se mueven libremente mueven libremente dentro dentrodel delmaterial, material, formando un formando un"gas "gas de deelectrones" electrones"oo "fluido "fluidoeléctrico" eléctrico"

Carga Cargaeléctrica eléctrica fuertemente fuertementesujeta sujetaaa los losátomos átomos

Fátima Masot Conde

carga libre Metales Tierra Dpto. Física Aplicada III

No metales

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Carga por inducción ¿Cómo se puede cargar un objeto eléctricamente neutro?

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Tema 1: Campo eléctrico

Universidad de Sevilla

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Carga por inducción

Otro ejemplo:

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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3. 3. Ley Ley de de Couloumb Couloumb Está dirigida a lo largo de la línea que las une

La fuerza ejercida por una carga puntual sobre sobre otra:

cargas de

Atractiva distinto signo Repulsiva cargas de

igual signo

Varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia Es proporcional al producto de las cargas (módulo)

Ley experimental

Matemáticamente:

Experimento de Couloumb

F =K

q1 q2 r2

2 1 9 Nm K= = 8.99 × 10 4πε0 C2

Experimento de Cavendish para masas y fuerzas −12 Permitividad dieléctrica del vacío ε 0 = 8.854 ⋅10 gravitatorias Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

C2 N m2

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Tema 1: Campo eléctrico

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3. Ley de Couloumb

Si tenemos en cuenta la dirección:

JG

F1,2

q1q2 JJG u1,2 = K r1,2 2

~r1,2 = ~r2 −~r1 JG

r u1,2 = ~r11,,22 = La gravedad es irrelevante a escalas atómicas, pero predominante a escala astrónomica, para objetos grandes y neutros donde se neutralizan las fuerzas eléctricas. Fátima Masot Conde

(apunta de q1

q2)

Vector unitario apuntando de q1 a q2

•Formalmente idéntica a la de Newton de la gravedad. •En la práctica, distintas, porque la gravedad sólo es ATRACTIVA

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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3. Ley de Couloumb

La carga del electrón:

e = 1.602176462(63) × 10−19 C

1C ≡ carga de aprox. 6 ×1018e−  ! Cu

1m

Un cubo de Cu de 1 cm de lado:

2.4 ⋅ 1024 e-

1cm

1C

F ' 9 × 109 N

(un millón de toneladas)

Por de Por elel filamento filamento de una una 19 19 e -/s linterna: 10 linterna: 10 e-/s La electrones La carga carga de de todos todos los electrones 5los 5 de una moneda: 10 C de una moneda: 10 C Fátima Masot Conde

1C

Dpto. Física Aplicada III

μ C = 10−6 C nC = 10−9 C pC = 10−12 C fC = 10−15 C Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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3. Ley de Couloumb

Para un sistema de cargas: Principio de superposición: Cuando dos o más cargas ejercen fuerzas simultáneamente sobre una tercera, la fuerza total es la SUMA VECTORIAL de las fuerzas individuales

~1 +F ~2 +F ~3 + ··· = ~0 = F F

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

N X

~i F

i=1

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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3. Ley de Couloumb

•

La Ley de Couloumb es válida para cualquier sistema de cargas. • Se ha formulado para vacío. (Necesitará ser modificada en caso de que las cargas se hallaran en un medio material, porque las fuerzas eléctricas también actúan sobre las cargas de las moléculas del material).

• Se puede asumir aire

Fátima Masot Conde

 vacío (Diferencia

Dpto. Física Aplicada III

1 ) 2000

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico La fuerza eléctrica es una acción a distancia ¿Cómo ‘viaja’ esa acción? ¿Cómo se comunica la fuerza que provoca una carga a la otra? ¿Qué o cuál es el agente que transporta esa acción a lo largo del espacio? ¿Cómo sabe una carga que la otra esta ahí? ¿Y si una de las cargas cambia súbitamente de valor y/o posición, cómo, cuándo, por qué se entera la otra del cambio? Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico

El 'campo' es un concepto bastante amplio: no tiene por qué restringirse al caso eléctrico:

Un campo de temperatura

Un campo de hierba

+ Un campo eléctrico

Un campo de velocidades Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico

Podemos definir un campo en una región o recinto, si a cada punto del espacio podemos asignarle un valor (escalar o vectorial) a una magnitud. • Un campo de temperaturas

ESCALAR

• Un campo de velocidades

VECTORIAL

Por ejemplo: ¿Cómo definíamos el campo de velocidades en un fluido? • A cada punto del espacio (ej: tubería), le asignábamos una velocidad (la que llevaba la partícula justo en ese punto). • Es un campo vectorial, porque la velocidad es un vector. • En general, la velocidad varía de punto a punto (si no varía campo de velocidades uniforme) Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico

Otro ejemplo: El campo gravitatorio JJG Fuerza de la gravedad Fg , actuando sobre una masa prueba m0 ~g F ~g = m0 Masa "prueba" o “test”. Gravedad terrestre, es decir, campo que crea (que se asocia) a la Tierra. Pero la masa m0 también crea su propio campo gravitatorio. Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico

La fuerza de atracción es la misma

~g F

Tierra MT

~gm0 =

~g F ~g F →0 MT

m0 ~g

La diferencia de tamaño de la Tierra hace que el ‘campo gravitatorio’ al que nos referimos sea inconfundible (el otro es despreciable).

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico

Análogamente, definimos el campo eléctrico: Fuerza el´ectrica entre la carga test q0 y la que genera el campo, ‘q’

~e F ~ = E q0

Carga test, peque˜ na, positiva (por convenio)

Campo asociado a ‘q’

La carga test tiene que ser , idealmente nula

~ E ~e F

~e F

q

q0

Fátima Masot Conde

~ E

Dpto. Física Aplicada III

¿Por ¿Por qué? qué? Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico

Podemos pensar que el campo es un artificio matemático en cuyo caso, daría igual el valor de q0, puesto que ‘se van’:

~ ~ = Fe , E q0 q q0 /r2 ~ E= q0

Sin embargo, el campo no es un artificio matemático, sino un ente real. Si q0 fuera apreciable: en cada punto del espacio generaría/aportaría un campo asociado a ella. q

q0

~q ~q +E E 0 Entes reales, no matemáticos, asociados a cada carga.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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4. Campo Eléctrico

Se ‘empañaría’ el verdadero valor del campo asociado sólo a q.

La definición más rigurosa del campo asociado a q:

~e 1 q F ~ = lim ~ur = E q0→0 q0 4πε0 r2 distancia a q Campo producido por q en un punto del espacio Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

vector unitario en la dirección radial, desde q

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Campo debido a un sistema de cargas puntuales ¿Cómo se calcula? Está sujeto al principio de superposición (pues es una fuerza, en realidad) ~0 = F

X

~i F

(Ppio superposición para la fuerza)

i

X ~0 F ~ ~i ~ ~ E0 = E = E1 + E2 + · · · = q0 i

(Ppio superposición para el campo)

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Campo debido a un sistema de cargas puntuales

P

JG u i ,P

Campo debido a cada carga, en P:

Carga i-ésima

JJG q i JJJG E i = K 2 × u i,P ri,P distancia de qi a P

vector unitario en la dirección radial, de qi a P

De modo que:

~p = E

N X i=1

Fátima Masot Conde

~i = E

N X Kqi 2 r i,p i=1

~ui,p

Dpto. Física Aplicada III

Tema 1: Campo eléctrico

Campo total, en un punto P cualquiera Universidad de Sevilla

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Campo debido a un sistema de cargas puntuales

• Punto campo y punto fuente • Dirección del campo para cargas del mismo signo y de signo opuesto

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Campo debido a distribuciones continuas de carga ¿Qué ocurre si en lugar de tener una distribuciones discretas de carga, tenemos distribuciones CONTINUAS? Distribución:

Por ejemplo: Hilos, líneas de carga

Lineal

Superficies

Superficial

Volúmenes

Fátima Masot Conde

Volumétrica

Dpto. Física Aplicada III

Tema 1: Campo eléctrico

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Campo debido a distribuciones continuas de carga

¿Cómo se calcula el campo en estos casos?

• Se subdivide la distribución en ‘elementos de carga’ dq • Cada uno de ellos produce un campo: ~ = K dq ~ur dE r2 • El campo total se obtiene integrando a toda la distribución Z Z Kdq ~ = ~ = ~ur dE E 2 r V V

Extendida a todo el volumen en el que se extiende la carga Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Campo debido a distribuciones continuas de carga

Si la distribución de carga es uniforme: A lo largo de una línea:

elemento de longitud

dl Sobre una superficie:

dq = λ dl

densidad lineal de carga

d~S elemento de superficie

dq = σ ds densidad superficial de carga

En un volumen:

elemento de volumen

dV

dq = ρ dV densidad volumétrica de carga

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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5. Líneas de campo eléctrico Una línea de campo es una trayectoria tal que el campo es tangente a ella en cada punto. JJG E

JJG E

Matemáticamente:

G JJG dr × E = 0

JJG E

G G G JG d r = dx i + dy j + dz k JJG G G JG E = Ex i + E y j + Ez k

dx dy dz = = Ex E y Ez Ecuación de las líneas de campo

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Líneas de campo eléctrico

Ejemplo: líneas del campo de una carga puntual en el plano x-y:

JJG E=

q 4πε 0 r 2

JJG ur

donde:

G G G JJG r x i + y j ur = = r r G G G r = xi + y j r = ( x 2 + y 2 )1/ 2

Las líneas de campo:

Fátima Masot Conde

dx dy = x y

Dpto. Física Aplicada III

y = Kx Haz de rectas que pasan por el origen Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Líneas de campo eléctrico

Ejemplos para otras configuraciones de cargas:

Carga puntual Fátima Masot Conde

Dos cargas positivas Dpto. Física Aplicada III

Dipolo Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Líneas de campo eléctrico

•Son tangentes al campo en cada punto. •Comienzan en las cargas positivas (fuentes) y terminan en las negativas (sumideros). •El número de líneas que entran/salen de una carga es proporcional a la carga. •La densidad de líneas es proporcional al módulo del campo. Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Líneas de campo eléctrico

Las líneas de campo o líneas de fuerza ¿son las trayectorias que seguiría una carga test, positiva, pequeña, dejada en libertad en el campo? De la ecuación de la línea de campo:

G JJG dr × E = 0 JJG E

/dt

G d r JJG ×E =0 dt

G v

JJG E

Fátima Masot Conde

G v G v

JJG vG E Línea de campo

G JJG v× E = 0

Trayectoria de una partícula Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Líneas de campo eléctrico

La trayectoria de una partícula coincide con una línea de campo cuando la velocidad de la partícula es paralela al campo en cada punto. En general no coinciden, (porque E es paralelo a la aceleración, no a la velocidad), aunque sí lo hacen en muchas aplicaciones prácticas (corriente eléctrica, condensadores, campos uniformes, aceleradores lineales, campo lejano, etc)

No pueden cortarse (el campo estaría multivaluado). (sólo pueden representarse 'algunas', pero en realidad por cada punto del espacio pasa -podría trazarse- una línea de campo -y sólo una-).

Es

una

Fátima Masot Conde

representación

simbólica

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Tema 1: Campo eléctrico

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Movimiento de cargas puntuales dentro de un campo eléctrico

¿Qué efecto tiene un campo sobre una carga puntual?

E m, q

~e F

Si tenemos una part´ıcula de masa m y ~ sufre carga q sometida a un campo E una fuerza ~ ~ e = qE F = m~a y por tanto, una aceleraci´ on ~ qE ~a = m

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Movimiento de cargas puntuales dentro de un campo eléctrico

Si se conoce el campo E, se puede determinar la relación carga-masa de la partícula: (Experimento de Thomson, 1897) relación cargamasa del e-

=

~a = − ay

vx = cte La trayectoria del e- es una parábola:

Fátima Masot Conde

eE ~ j m

unitario en la dirección vertical y

x f = v0 t 1 y f = ay t2 2

v y = ay t

Dpto. Física Aplicada III

velocidad inicial desplazamiento vertical Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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6. Dipolos eléctricos en campos e-

¿Cuál es el efecto del campo sobre un sistema como éste:

• dos cargas

L

+

+q

— −q

DIPOLO

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

• iguales y opuestas • separadas por una distancia L

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Dipolos eléctricos en campos e-

Se define el momento dipolar eléctrico:

~ ~p = q L El dipolo sufre un torque de orientación: producto vectorial

~ ~τ = ~p × E momento dipolar

campo eléctrico externo

que tiende a alinear el dipolo en la dirección del campo. Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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7. Ley de Gauss •Es una de las cuatro leyes fundamentales del electromagnetismo (Leyes de Maxwell) •Es equivalente, para cargas estáticas, a la Ley de Couloumb

Ley Ley de de Gauss Gauss El El flujo flujo eléctrico eléctrico aa través través de de una una superficie superficie cerrada cerrada es es proporcional proporcional aa la la carga carga encerrada encerrada en en dicha dicha superficie. superficie.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss

Superficie 'cerrada'

Superficie 'abierta'

Encierra un volumen

No encierra un volumen

Ley de Gauss

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss

Superficie cerrada ¿Cómo se definen? Vectorialmente cerrada

Superficie abierta Módulo: Área de la superficie Dirección: Normal a la superficie

Sentido:

~S

abierta C

Según el sentido de circulación de C: Antihorario: Siempre hacia fuera de S Fátima Masot Conde

Horario: Dpto. Física Aplicada III

Regla de la mano derecha Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss •Cuando la superficie es extensa, y no plana, la superficie -el vector superficie- cambia de dirección en cada punto •En cada punto se define un elemento diferencial de superficie, con módulo dA, y dirección y sentido según la regla anterior.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss: Flujo eléctrico Para una superficie plana, el flujo es el producto escalar del campo por la superficie: Flujo Flujo eléctrico eléctrico aa través través de de S: S:

producto escalar

~ · ~S φ=E escalar

Unidades:

∙

N 2 ≡ m C

¸

vectores

Lo normal es que no lo podamos definir/calcular así, a menos que la superficie sea plana. Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico

Para superficie plana:

~ · ~S = ES φ=E módulos

Pero en general:

φ = lim

∆A→0

Fátima Masot Conde

X

Dpto. Física Aplicada III

~ i d~Si = E

Z

S

i

~ · d~S E

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico

φe =

φe =

Fátima Masot Conde

Z

S

I

S

~ · d~S E

Para superficies ABIERTAS

~ · d~S E

Para superficies CERRADAS

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico

El flujo eléctrico es proporcional al campo, El campo es proporcional a las líneas de campo, El flujo es proporcional a las líneas de campo.

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico Calculemos el flujo eléctrico en un caso sencillo

Sea una carga puntual Q centrada en una superficie esférica S.

¿Cu´al es el flujo el´ectrico (φe ) creado por Q que atraviesa S? Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico Calculo del flujo eléctrico en un caso sencillo

Respuesta: Según la definición de flujo:

φe =

porque se trata de una esfera (superficie cerrada)

I

S

~ · d~S E

• El campo que crea una carga puntual:

~ = K Q ~ur E r2

~ur || ~S,

~ || ~S E

• La superficie —elemental-: vector normal a ~ la superficie, || E

d~S = dS ~n Fátima Masot Conde

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico Calculo del flujo eléctrico en un caso sencillo

φe =

I

S

~ · d~S = E vectores paralelos

I

S

E · dS módulo (escalar)

Además, E (módulo) es constante sobre la superficie esférica:

φe = E

I

S

dS = E · S =

KQ 2 · 4πR R2

S =valor del a´rea de la superficie=´ area de la esfera=4πR2 (módulo del vector superficie) Fátima Masot Conde

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico Calculo del flujo eléctrico en un caso sencillo

Ley Ley de de Gauss Gauss Q φe = 4π K Q = ε0

permitividad del vacío

=

K=

carga encerrada por S

1 4πε0

8.85 × 10−12

C2 Nm2

La La Ley Ley de de Gauss Gauss es es válida válida para para cualquier cualquier superficie superficie cerrada cerrada y/o y/o distribución distribución de de carga carga (también (también para para cargas cargas no no estáticas). estáticas). Si Si elel medio medio no no es es elel vacío vacío habría habría que que introducir introducir elel efecto efecto del del medio. medio. AA pesar pesar de de su su generalidad, generalidad, sólo sólo es es útil útil para para distribuciones distribuciones de de alta alta simetría. simetría. Fátima Masot Conde

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Tema 1: Campo eléctrico

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Ley de Gauss. Flujo eléctrico Para cualquier superficie (no necesariamente paralela al campo)

φe =

I

S

= Kq

S

Ángulo sólido completo substendido por cualquier superficie cerrada (desde un punto interior) Fátima Masot Conde

unitario en la dirección r vector unitario normal a S

dS

I

Dpto. Física Aplicada III

S

Kq ~ur · ~n dS = r2

~ur · ~n q dS = r2 ε0 dΩ =elemento diferencial de ´angulo s´olido substendido desde q abarcando dS

=

r

~ · d~S = E

I

4π Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Ejemplos: Ejemplos:

Fátima Masot Conde

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Tema 1: Campo eléctrico

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8. Aplicaciones de la Ley de Gauss Situaciones Situaciones de de simetría simetría definida, definida, en en la la que que la la Ley Ley de de Gauss Gauss puede puede ser ser útil: útil: 1) Simetría plana o rectangular

Planos

Fátima Masot Conde

Volúmenes rectangulares, paralelepipédicos Dpto. Física Aplicada III

Sistemas de planos paralelos…

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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Aplicaciones de la Ley de Gauss

2) Simetría cilíndrica

- Hilos de carga — Cilindros huecos ó macizos — Sistemas de cilindros coaxiales — Cable coaxial

Fátima Masot Conde

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Tema 1: Campo eléctrico

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8. Aplicaciones de la Ley de Gauss

3) Simetría esférica

Esferas (huecas o macizas) Cortezas esféricas Esferas concéntricas… Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Fátima Masot Conde

Los conductores tienen una estructura atómica de red cristalina ordenada, formada por iones + (en posiciones fijas) y una nube electrónica formada por los e- de valencia, que pueden desplazarse libremente por el material conductor (Nube o gas electrónico).

Dpto. Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Tema 1: Campo eléctrico

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

Esta libertad de movimiento de la carga e- es la causa de las peculiares propiedades de los conductores: baja resistencia, peculiar geometría del campo en sus proximidades, efecto skin, apantallamiento... Veamos algunas.

En En elel interior interior de de un un conductor conductor en en equilibrio, siempre es es nulo nulo equilibrio, elel campo campo ee- siempre ¿Por ¿Por qué? qué?

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

Si existiera campo en el interior del conductor, las cargas, libres, se moverían en la dirección del campo, provocando una corriente e- y el conductor no estaría en equilibrio (porque sus cargas no lo estarían)

El El campo campo dentro dentro de de un un conductor conductor en en equilibrio equilibrio deber deber ser ser nulo nulo

E=0

Fátima Masot Conde

Dpto. Física Aplicada III

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Tema 1: Campo eléctrico

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

La La carga carga de de un un conductor conductor sólo sólo puede puede estar estar ubicada ubicada en en la la superficie superficie ¿Por ¿Por qué? qué?

Q E=0 S

Por la Ley de Gauss: =

Gauss I 0 ~ · d~S = 0 = qencerrada E ε0

~ = 0 en ∀ punto interior Si E

qencerrada = 0

Fátima Masot Conde

No No puede puede haber haber carga carga volumétrica, volumétrica, sólo sólo superficial superficial Dpto. Física Aplicada III

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

Si Si un un conductor conductor hueco hueco tiene tiene cargas cargas en en su su interior, interior, la la carga carga del del interior interior aparece aparece distribuida distribuida sobre sobre la la superficie superficie externa externa del del conductor. conductor. ¿Por ¿Por qué? qué? Superficie Gaussiana Se Superficie externa

Conductor

q

Superficie interna

tan próxima a la superficie interior como queramos

Fátima Masot Conde

0

~ · d~S = q E ε0 Si

Carga en el interior Superficie Gaussiana Si

Hueco

I

=

~ =0 E

Por la Ley de Gauss:

La superficie gaussiana tiene que encerrar una carga neta = 0

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qSint = −q Carga sobre la superficie interna Universidad de Sevilla

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

Sabiendo que el conductor inicialmente estaba neutro (qneta=0), y que no puede haber carga más que sobre las dos superficies (interna y externa):

qSext = q

qSe + qSi = 0

Carga sobre la superficie externa del conductor

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

El campo en la superficie de un conductor: a) Es normal (direcci´on) b) Vale εσ0 (m´odulo) ¿Por ¿Por qué? qué? C

∆l

a) Por qué es normal: El campo eléctrico es conservativo:

I

1

2 3

4 ∆S → 0

E=0

componente ~ · d~r = 0 = E tangencial C del campo Z Z Z Z = + + + = Et ∆l = 0

1

porque Δs 0 Fátima Masot Conde

2

0

3

0

4

Et = 0

0

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9. Campo eléctrico en presencia de conductores

b) Por qu´e su m´ odulo vale εσ0 Valor del área de la cara superior

Aplicando Gauss: ∆S ~n E

~ · d~S = En S = q E ε0 S

Superficie de Gauss S

Como la carga se puede expresar en función de la densidad superficial: q =

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I

Carga sobre la superficie

Sólo hay flujo a través de la cara superior

En =

σS

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σ ε0

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Resumen Resumen

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Resumen

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Bibliografía •Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté (vol. II) •Serway & Jewett, “Física”, Ed. Thomson (vol. II) •Halliday, Resnick & Walter, “Física”, Ed. Addison- Wesley. •Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education (vol. II)

Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. Pearson Education

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