Tema 2: Cuadripolos y filtros

Cuadripolos. Conceptos básicos

El comportamiento eléctrico del circuito queda perfectamente caracterizado por una familia de cuatro parámetros, que relacionan entre si las corrientes y tensiones en las puertas.

+ v1 i’1

+ v2 -

SALIDA

El circuito es considerado como una “caja negra” con dos puertas (cuatro terminales) de conexión al exterior.

i2 ENTRADA

i1

Definición aproximada

i’2

Condiciones de estudio •

El cuadripolo no podrá contener fuentes independientes.

•

En ausencia de excitación externa no hay energía almacenada en el cuadripolo.

•

I1=i’1(corriente de entrada) e i2 = i’2 (corriente de salida)

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+ v1 i1

+ v2 -

Carga

i2 SALIDA

i1 ENTRADA

Excitación

Tipos de cuadripolos

i2

Cuadripolos lineales

Activos La potencia entregada a la carga PUEDE ser mayor que la entregada por la excitación a la entrada

Pasivos La potencia entregada a la carga NO PUEDE ser mayor que la entregada por la excitación a la entrada

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Caracterización de un cuadripolo I Un cuadripolo queda definido por un conjunto de 4 parámetros, denominados parámetros característicos. De las diferentes formas en las que pueden ser definidos, las más utilizadas son:

I1

I2 + v2 -

+ v1 -

Impedancia

V1  z11 I1  z12 I 2 V2  z21 I1  z 22 I 2

V1   z11 z12   I1  V    z   I  z  2   21 22   2 

Admitancia

I1  y11V1  y12V2 I 2  y21V1  y22V2

 I1   y11 I    y  2   21

y12  V1   y22  V2 

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Caracterización de un cuadripolo II

I1 + v1 -

I2 + v2 -

Transmisión

V1  A V2  B I 2 I1  C V1  D I 2

V1   A B   V2   I   C D   I    2  1 

Híbridos “h”

V1  h11 I1  h12V2 I 2  h21 I1  h22V2

V1  h11 h12   I1   I   h   V  h  2   21 22   2 

Híbridos “g”

I1  g11V1  g12 I 2 V2  g 21V1  g 22 I 2

 I1   g11 g12  V1    I  V    g g 22   2   2   21 5/21

Significado circuital de algunos parámetros

V  z11   1   I1  I 2  0 V  z12   1   I 2  I 0

Impedancia de entrada con la salida en c. abierto. Impedancia de transferencia inversa con la entrada en c. abierto.

1

V  z 21   2   I1  I 2  0 V  z 22   2   I 2  I 0

Impedancia de transferencia directa con la salida en c. abierto. Impedancia de salida con la entrada en c. abierto.

1

 V1  h11     I1 V2 0 V  h12   1   V2  I1 0 I  h21   2   I1 V2 0 I  h22   2   V2  I 0 1

Impedancia de entrada con la salida en cortocircuito. Ganancia inversa de tensión con la entrada en c. abierto. Ganancia de corriente directa con la salida en cortocircuito. Admitancia de salida con la entrada en c. abierto. 6/21

Transformación de parámetros

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Reciprocidad y simetría de cuadripolos Cuadripolo recíproco: Si conectamos, en un cuadripolo, un generador al puerto de entrada P1 y medimos la intensidad de salida en el puerto P2, el cuadripolo es recíproco si al colocar el mismo generador en el puerto P2 obtenemos la misma intensidad en el puerto P1. z z 12

Los cuadripolos recíprocos cumplen:

21

y12  y21 ad  bc  1 h12  h21 g12   g 21

Cuadripolo simétrico: Son aquellos en los que si se intercalan los puertos P1 y P2 no se alteran las tensiones e intensidades de entrada y salida. Los cuadripolos simétricos son siempre recíprocos y cumplen:

z11  z 22 y11  y22 ad h11h22  h12 h21  1 g11 g 22  g12 g 21  1 8/21

Interconexión de cuadripolos

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Obtención de los parámetros V  z11   1   Z1  Z 3  I1  I 2  0 V  z12   1   Z 3  I 2  I1  0 V  z 21   2   Z3 I  1  I 2 0 V  z 22   2   Z 2  Z3  I 2  I 0

Cálculo

i1 + v1 -

i2 Z1

Z3

Z2

+ v2 -

1

Ensayos

i1

i1 + v1 -

+ v1 -

i2 R1

R2

R3

i2

+ v2  I1  y11     V1 V2 0

+

R2 R1

R3

v2 -

 I2   I2   I1    y    y  21 22 y12    V   1 V2 0  V2 V1 0  V2 V1 0 10/21

Ejercicios I 1.a.- ¿Cuál de los parámetros de admitancia se buscará con el ensayo de la figura? i1

i2 + v1 -

+

R2=5Ω R1=20Ω

R3=15Ω

v2 -

1.b.- Si el voltímetro indica 10 V. ¿Cuánto indicará la pinza amperimétrica?

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Ejercicios II

2.- Calcular los parámetros “z” correspondientes al cuadripolo de la figura. i1 + v1 -

i2 5Ω 20Ω

+ 15Ω v2 -

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Ejercicios III 3.- Calcular los parámetros de impedancia correspondientes al cuadripolo de la figura sabiendo que, en régimen sinusoidal permanente a una determinada frecuencia ω, los valores de las impedancias son: i1

Z1 

1 ; jC1

Z2 

1 ; Z 3  j L j C 2

+ v1 -

i2 Z1

Z3

Z2

+ v2 -

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Análisis de los cuadripolos en carga

+ Vg -

Zg

i1

i2

+ v1 -

+ v2 -

ZL

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Filtros pasivos

Filtros pasivos (definiciones) I Filtro: Denominaremos filtro a todo cuadripolo en el que la relación entre los módulos de las tensiones de entrada y salida dependen de la frecuencia. Frecuencias: En cualquier cuadripolo pasivo la frecuencia de la señal de salida debe ser igual a la de entrada, no así la relación de amplitudes o de fases. Componentes de un filtro: Todo filtro requiere, por lo menos, de un elemento reactivo, bien sea explícito, como una bobina o un condensador, o bien sea implícito en su estructura o comportamiento, como un cristal de cuarzo. Además de los filtros “clásicos”, basados en componentes discretos R, L y C, se emplean también filtros basados en materiales piezoeléctricos, como los filtros a cristal y los de onda acústica superficial (SAW). Respuesta en frecuencia: Nos muestra el comportamiento del filtro en función de la frecuencia, suele representarse gráficamente mediante dos diagramas, uno de la magnitud de la función de transferencia, |H(ω)| y otro de la fase de dicha función, φ(ω) = arg [H(ω)]. Frecuencia de corte: Es la frecuencia a la cual la potencia de salida es la mitad del valor máximo (-3dB). En tensión, a la frecuencia de corte la tensión de salida es 0.707 veces el valor máximo.

10 log(

Pout V )  3dB  20 log( out ) Pmax Vmax

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Filtros pasivos (definiciones) II Ancho de banda: Es el rango de frecuencias entre dos frecuencias de corte. Factor de forma: Se define como:

SF=

Ancho de banda a -60dB Ancho de banda a -3dB

Rizado: Es la diferencia entre las atenuaciones máxima y mínima en la banda de paso. Banda atenuada: Es el rango de frecuencias que el filtro atenúa más de 3dB. Orden del filtro: Es el número de polos de la F.T., si ésta se expresa como cociente de polinomios es el grado del denominador. El orden del filtro está relacionado con el factor del forma, cuanto mayor es el orden del filtro menor es su factor de forma.

Filtro paso bajo Tipos de filtros en función de la evolución del módulo de la F.T.

Filtro paso alto Filtro paso banda Filtro elimina banda 17/21

Especificaciones de un filtro

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Filtro paso bajo Son los que atenúan fuertemente la señal de entrada a partir de una determinada frecuencia de corte. El módulo de la F.T. es alto por debajo de dicha frecuencia y bajo por encima de ésta. Presentan una única frecuencia de corte. |FT(jω)| vo

vi ωc

ω

Ejemplo: R Vi

i

vi (t )  Ri (t )  vo (t ) d (vo (t )) i (t )  C dt

Dominio del tiempo

C

Vo

vi (t )  RC

d (vo (t ))  vo (t ) dt

Transformada de Laplace Dominio de la frecuencia

Vi ( s )  RCsVo ( s )  Vo ( s )

Vo ( s ) 1  Vi ( s ) 1  RCs

 s  j

1 1  jRC

ωc=1/RC 19/21

Filtro paso alto Son los que atenúan fuertemente la señal de entrada hasta una determinada frecuencia de corte. El módulo de la F.T. es bajo por debajo de dicha frecuencia y alto por encima de ésta. Presentan una única frecuencia de corte. |FT(jω)| vi ωc

vo

ω

Filtro paso banda Son los que atenúan fuertemente la señal de entrada fuera de una determinada banda de frecuencias. El módulo de la F.T. es alto en una determinada banda de frecuencias y bajo en el resto. Presentan dos frecuencias de corte. |FT(jω)| vi ωci

ωcs

vo

ω 20/21

Filtro elimina banda Son los que atenúan fuertemente la señal de entrada en una determinada banda de frecuencias. El módulo de la F.T. es bajo en una determinada banda de frecuencias y alto en el resto. Presentan dos frecuencias de corte. |FT(jω)| vi ωci

ωcs

vo

ω

21/21