TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES Matemáticas 3º de la E.S.O.

1. Potencias con exponente entero •  Potencias de exponente negativo

1 a = n a −n

Las potencias de exponente negativo cumplen las mismas propiedades que las potencias de € exponente natural

1. Potencias con exponente entero •  Una potencia de exponente natural es una forma

abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales Recuerda…

exponente

0

n

a =1

para todo

a = a⋅ ...⋅ a base

€

€

n-veces

a≠0

2. Raíz de un número entero •  La raíz enésima de un número “a” es el valor “b” que al

elevarlo a “n” da como resultado “a”. n

n

a =b⇔b = a Donde n es un número natural

índice

raíz

n

€ radicando

a =b Expresión radical

2. Raíz de un número •  Se llama radical a una raíz no operada como:

3

7

2 , 3, 4

Según el índice, las raíces reciben diferentes nombres: cuadrada, cúbica, cuarta … enésima

€

3. Número de raíces. Radicales equivalentes. •  Dos radicales son equivalentes o iguales si tienen la

misma raíz. •  Teorema fundamental de los radicales: Si se multiplican o dividen el índice del radical y el exponente del radicando por un mismo número natural distinto de cero, se obtiene un radical equivalente

si n €

a≥0

q

a = €

€

n⋅m

a

q⋅m

(m ≠ 0)

3. Número de raíces. Radicales equivalentes. EJEMPLO 1

n

q

a = 4 4

€

€ €

16 =

n⋅m 2⋅ 4 8

16

a 2

16 = 256 2=2

q⋅m

3. Número de raíces. Radicales equivalentes. EJEMPLO 2

n

q

a = 3

¿ −8 =

n⋅m

3⋅ 2

3

a

q⋅m 2

(−8) ? 6

¿ −8 = 64 ?

€

€ Se cumple, porque el

−2 ≠ 2 si

ejemplo no cumplía una de sus premisas

€

€

€

a≥0

¿No se cumple el teorema?

n

a = n⋅ m a n⋅ m

(m ≠ 0)

3. Número de raíces. Radicales equivalentes EJERCICIO •  Ej. 17 Pág. 30 Escribe tres radicales equivalentes a:

3. Número de raíces. Radicales equivalentes EJERCICIO •  Ej. 18, Pág. 30 Comprueba si los radicales son

equivalentes.

3. Número de raíces. Radicales equivalentes EJERCICIO •  Pág. 115. Ej. 33.

4. Propiedades de los radicales Operación

Expresión

Producto y cociente de radicales del mismo índice Producto y cociente de radicales de distinto € índice

€

Potencia de un radical

n

a ⋅ n b = n a⋅ b

n

a : n b = n a:b

€

€

3

2 ⋅ 3 5 = 3 2⋅ 5 = 3 10

Se reducen a índice común y se aplica lo € anterior

( ) n

a

n m

Raíz de un radical

Ejemplo

m

= n am

a = n⋅ m a €

( ) 3

5 3

7

2

= 3 72

17 = 15 17

4. Propiedades de los radicales EJERCICIO •  Ej. 24 Pág. 31. Realiza estas operaciones:

4. Propiedades de los radicales EJERCICIO •  Pág. 31. Ej. 25 Introduce en el radical los números de

fuera

4. Propiedades de los radicales EJERCICIO •  Ej. 26 Pág. 31. Efectúa esta suma de radicales.

4. Propiedades de los radicales EJERCICIO •  Ej. 27 Pág. 31. Calcula el área sombreada de la figura

cuyas medidas están dadas en metros.

5. Potencias con exponente fraccionario •  Un radical puede expresarse como una potencia de

exponente fraccionario

n

m

a =a

m n

Este resultado se demuestra si se admite que las propiedades de las potencias de exponente entero positivo deben conservarse para otro tipo de exponentes. n

€

am = a

m n

€

(a) n

m

n

m n n

" % = $a ' # &

€

m⋅ n " m %n m $a n ' = a n = a # &

5. Potencias con exponente fraccionario EJERCICIO

Demuestra que 8

Lo expresamos como potencias

1 3

8 =2

1 3

= 3 23

3 3

€ Escribimos 8 como potencia

€ La igualdad se cumple

€

2=2 €

1 3 3

(2 )

=2

3 3

3 3

2 =2

3 3

5. Potencias con exponente fraccionario EJERCICIO

¿Qué es mayor,

5 ó

3

7 ?

Para compararlos los pondremos bajo el mismo índice.

€ € Expresándolos como potencias. 5 =5 3

7=7

€

5

€

3 6 2 6

€

7 €

1 2

Denominador del exponente

1 3

Denominador del exponente

€

6

6

5 3 €= 6 125 2

7 = 6 49

2

3

3 6

m.c.m de ambos exponentes

6

2 6

€

€ €6 125 > 6 49

€

€

5

7

3 6

2 6

EJERCICIO

—  Pág. 33. Ej. 32 Escribe en forma radical estas

potencias.

EJERCICIO

—  Pág. 33. Ej. 33 Expresa estas raíces en forma de

potencia.

EJERCICIO

—  Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas

como exponente fraccionario.

6. Notación científica •  Hay números que por ser muy grandes o muy pequeños se

expresarían con muchos ceros. La notación científica permite expresarlos de forma más compacta.

x = a ⋅10

p

1 ≤ a ≤ 10 p es “orden de magnitud” de x

€

Notación científica •  Escribe en notación científica estos números

EJERCICIO

—  Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas

como exponente fraccionario.

EJERCICIO •  Ej. 35. Indica que pares de potencias son iguales.

EJERCICIO •  Ej 37. Calcula:

EJERCICIO •  Ej 39. Realiza las siguientes operaciones indicando los

radicales como potencias fraccionarias.

EJERCICIO •  Ej. 45.

EJERCICIO •  Ej. 47

La masa de la Luna es de 7,34·1023 kilogramos, y la de la Tierra, de 5,98·1024 kilogramos. ¿A cuántas Lunas equivale la masa de la Tierra?

EJERCICIO •  Ej 71. Pág 37 Escribe estas potencias de exponente

fraccionario como radicales:

EJERCICIO •  Ej 73. Pág 37. Calcula estas raíces expresándolas

primero como potencias de exponente fraccionario

EJERCICIO •  Ej 76. Pág 37 Indica si son ciertas o falsas

EJERCICIO •  Ej 82. Pág 37 Efectúa las siguientes operaciones:

EJERCICIO •  Escribe en forma de potencias estas expresiones

EJERCICIO •  T7-35. Simplifica estos radicales hasta conseguir un

radical irreducible:

EJERCICIO •  T7-36 Reduce a índice común estos radicales

EJERCICIO •  T7-40. Calcula esta suma de radicales

EJERCICIO •  Extrae los factores de los siguientes radicales:

EJERCICIO

96. Escribe en notación científica los siguientes números:

EJERCICIO •  Escribe en notación científica:

a) veinticinco millonésimas:

b) Tres cien millonésimas:

EJERCICIO

4

3110400

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

EJERCICIO

Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos

12x ⋅ z ⋅ y

24

z⋅ y

2

16x ⋅ z ⋅ y 2 3 5x ⋅ y 4

12 4 3 18 3 5⋅ 6

EJERCICIO

Extrae factores del radical 3

6

16

24 ⋅ x ⋅ z ⋅ y

5

3125⋅ x10 ⋅ z 25 ⋅ y 4

64 ⋅ x 6 ⋅ z12 ⋅ y16

7

256 ⋅ x 6 ⋅ y17

2

4

1. Extrae factores del radical

x3 ⋅ a2

3. Calcula:

5. Simplifica:

8 + 2 − 18 + 50

6

a 3 x3 ⋅ a6 ⋅ c7

3

648 − 6 9

x 3 7 x 2 ⋅ y3 ⋅ c 7

3

xy ⋅ 3 x 2 y

3

x 4 y : 9 x 2 y3

3

768

4

2401 2. Opera:

2 ⋅10 −4 : 8⋅10 −5

0, 000000045 : 2 ⋅10 −4 =

9

512 2187

4. Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos 3

27 30 75 5 10

16x ⋅ z 3 ⋅ y 4 4 z ⋅ y 2

MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA Potencias y raíces. http://losmaledukados.wordpress.com/