Estad´ıstica Tema 3: C´alculo de Probabilidades Unidad 1: Introducci´on y Concepto ´ Area de Estad´ıstica e Investigaci´on Operativa Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´on Octubre 2010

Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Definici´ on de Probabilidad Experimento Aleatorio . . . Suceso. . . . . . . . . . . . . . Definici´ on Cl´ asica . . . . . . Definici´ on Frecuentista. . . Definici´ on Subjetiva. . . . . Axiomas y Propiedades . .

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Probabilidad Condicionada Probabilidad Condicionada . . . . . Regla del Producto . . . . . . . . . . Problema I . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de la Probabilidad Total Problema II . . . . . . . . . . . . . . . Teorema de Bayes . . . . . . . . . . .

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Contenidos 

Definici´on de Probabilidad – Experimento Aleatorio, Definici´ on Cl´ asica, Definici´ on Frecuentista, Definici´ on Subjetiva.



Probabilidad Condicionada.



Teorema de la Probabilidad Total.



Teorema de Bayes.

En un Experimento Aleatorio, las condiciones experimentales determinan el comportamiento probabil´ıstico de los resultados observables.

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Definici´ on de Probabilidad Experimento Aleatorio En la naturaleza, podemos distinguir entre dos tipos de Experimentos: 

Experimento Determin´ıstico: El resultado se encuentra predeterminado por las condiciones en las que se verifica el experimento.



Experimento Aleatorio: El resultado no se puede predecir con certeza.

Para cada experimento, E que realicemos se define el espacio muestral, S,como el conjunto de todos los posibles resultados de E. Ejemplo: El lanzamiento de un dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Suceso Un suceso A es un conjunto de resultados posibles de un experimento E. A⊂S Cada resultado recogido en el espacio muestral es un suceso elemental. Si se toman varios resultados del espacio muestral, formamos un suceso compuesto. Diremos que dos sucesos A y B son excluyentes si no pueden ocurrir simult´ aneamente. A∩B =∅ Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Definici´ on Cl´ asica Dado un espacio muestral S, con n sucesos elementales y excluyentes, la probabilidad de un suceso A se define como la relaci´ on entre los casos favorables y los casos posibles: P(A) =

Casos Favorables nA = . Casos Posibles n

Siendo nA el n´ umero de resultados que constituyen A. 

0 ≤ P(A) ≤ 1



P(S) = 1



P(∅) = 0



Si A y B son excluyentes, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

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Definici´ on Frecuentista Esta interpretaci´ on se aplica a sucesos que se pueden repetir indefinidamente y bajo las mismas condiciones. Dado el experimento E y el suceso A, llamaremos probabilidad de A, P(A), al l´ımite de la frecuencia relativa fA cuando el n´ umero de veces que repetimos el experimento, n, tiende a infinito: P(A) = lim

n→∞

nA = lim fA . n→∞ n

En este caso n es el n´ umero de veces que se repite el experimento bajo las mismas condiciones. Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Definici´ on Subjetiva Medida del grado de creencia que se tiene acerca de un suceso de inter´es. Se puede aplicar en cualquier situaci´ on en la que exista una opini´ on. Al recibir nueva informaci´ on, las probabilidades establecidas, cambian. Podemos definir la probabilidad de un suceso, como la medida del grado de creencia que tiene una persona en un momento preciso acerca de la ocurrencia de un suceso. Requiere de un calibrado. Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Axiomas y Propiedades Axiomas: 

P(A) ≥ 0



P(S) = 1



P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . , siendo A1 , A2 , . . . excluyentes dos a dos.

Propiedades: 

P(Ac ) = 1− P(A)



P(∅) = 0



P(A ∪ B) = P(A)+ P(B)− P(A ∩ B)



P(A) ≤ P(B), para A ⊂ B



P(A ∩ B) ≤ P(A ∪ B)



P(B − A) = P(B)− P(A), para A ⊂ B

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Probabilidad Condicionada Probabilidad Condicionada

Supongamos que estamos interesados en el suceso A, cuya probabilidad de ocurrencia definimos como P(A), y nos informan de la ocurrencia del suceso B. ¿Cambian nuestras creencias acerca de la ocurrencia del suceso A. ¿Son A y B independientes? Siendo B un suceso tal que P(B) > 0, para cualquier otro suceso A denominaremos Probabilidad Condicionada de A respecto de B: P(A|B) =

nAyB P(A ∩ B) = P(B) nB

Diremos que los sucesos A y B son independientes si y s´ olo si: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Es decir, el conocimiento de la ocurrencia de B no afecta para nada al grado de creencia acerca de la ocurrencia de A: P(A|B) = P(A)

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Regla del Producto Si A1 , A2 , . . . , Ak son un conjunto de sucesos tales que, P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak ) > 0, entonces,

P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak ) = P(A1 ) · P(A2 |A1 ) · P(A3 |A1 ∩ A2 ) · . . . . . . P(Ak |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak−1 ) Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Problema I Supongamos que tres m´ aquinas, M1, M2 y M3 fabrican piezas con una producci´ on de 300, 450 y 600 piezas por hora respectivamente. Sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas que fabrica cada m´ aquina son el 2%, 3.5% y el 2.5% respectivamente. Las piezas fabricadas se almacenan de forma conjunta en el mismo almac´en. ¿Cu´ al es la probabilidad de elegir al azar una pieza defectuosa? P(D) Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Teorema de la Probabilidad Total Si A1 , A2 , . . . , Ak son un conjunto de sucesos exhaustivo, k [

Ai = S,

i=1

y mutuamente excluyente, Ai ∩ Aj = ∅ entonces ∀B ⊂ S: P(B) =

k X

∀i 6= j,

P(B|Ai ) · P(Ai )

i=1

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Problema II Una empresa desarrolladora de antivirus nos proporciona la siguiente informaci´ on para juzgar las ventajas de su producto estrella: Si un ordenador est´ a infectado, I, lo cual ocurre seg´ un ellos en un 1% de las ocasiones, el test + antivirus ser´ a positivo (infecci´ on), T , en el 99% de las ocasiones. Si un ordenador no est´ a infectado, I c , lo cual ocurre en un 99% de las ocasiones, el test del antivirus ser´ a positivo (infecci´ on), T + , en el 5% de las ocasiones. ¿Son estos valores adecuados? Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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Teorema de Bayes Si A1 , A2 , . . . , Ak son un conjunto exhaustivo y mutuamente excluyente de sucesos. Sea B un suceso del que conocemos las probabilidades: P(B|Ai ),

∀i = 1, . . . , n

Entonces se verifica ∀j = 1, . . . , n: P(B|Aj ) · P(Aj ) P(Aj |B) = Pk i=1 P(B|Ai ) · P(Ai ) Probabilidades “a priori”: P(Ai ) Probabilidades “a posteriori”: P(Ai |B) Verosimilitudes: P(B|Ai ) Licesio J. Rodr´ıguez-Arag´ on

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