TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 2.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES 2.1.1 Definición de sucesión de números reales Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x:ℕ→ n → xn - Una sucesión asigna a cada número natural un número real determinado de manera única. - A cada elemento de la sucesión lo denotamos por x n  xn y lo llamaremos término. - La sucesión se denota por x n  n∈ℕ ó simplemente x n  - Al elemento x n se le llama término n-ésimo de la sucesión.

Definición: Una sucesión en forma recursiva o inductiva vendrá dada cuando demos el valor de x 1 y una fórmula para obtener x n1 a partir de x n . Operaciones con sucesiones Definición: Si x n  y y n  son dos sucesiones de números reales , se define: Suma: x n   y n   x n  y n  Producto: x n   y n   x n  y n  Cociente: Si z n  es una sucesión con x n  z n ≠ 0 ∀n ∈ ℕ , entonces  xz nn z n  2.1.2 Sucesiones convergentes Definición: Diremos que el número real l es el límite de la sucesión x n  y escribimos como lim x n  l n→

si ∀  0, ∃ n 0 ∈ ℕ tal que ∀n  n 0  |x n − l |  

Definición: Se dice que la sucesión x n  es convergente si existe l ∈  tal que lim x n  l . n→

Unicidad del límite Teorema: Una sucesión x n  si tiene límite, este es único, es decir, si lim x n  a y lim x n  b entonces a  b. n→

n→

Propiedades de las sucesiones convergentes Teorema: Sean x n  y y n  dos sucesiones de números reales que convergen a x e y respectivamente y sea  ∈  . Entonces : 1. lim x n  y n  lim x n lim y n  x  y n→

n→

n→

2. lim x n y n lim x n lim y n  xy n→

n→

n→

3. lim x n  lim x n  x n→

n→

lim x n

 xy si lim y n ≠ 0. 4. lim yx nn  n→ lim y n n→ n→ n→

Nota: Igualmente para sucesiones convergentes se tiene: a) lim ln x n   ln lim x n  ln x n→

n→

b) lim n→

a xn

a

lim x n

n→

 a x con a  0 lim y n n→

c) lim x n  y n  n→

lim x n n→

 xy

Desigualdades entre sucesiones convergentes Teorema: Sea x n  una sucesión convergente de números reales , con x n ≥ 0 ∀n ∈ ℕ. Entonces: lim x n ≥ 0. n→

Teorema: Sea x n  y y n  dos sucesiones convergentes con x n ≤ y n , ∀n ∈ ℕ . Entonces : lim x n ≤ lim y n . n→

n→

Teorema: Sean x n , y n  y z n  sucesiones de números reales tales que x n ≤ y n ≤ z n , ∀n ∈ ℕ y que lim x n  lim z n . Entonces : n→

n→

lim x n  lim y n  n→

n→

lim z n . n→

Teorema: Sea x n  una sucesión de números reales estrictamente positivos, . Si L  1, tales que L lim xxn1 n n→

entonces x n  converge y lim x n  0. n→

2.1.3 Sucesiones acotadas Definición: Una sucesión x n  es acotada si ∃ M ∈  tal que |x n | ≤ M, ∀n ∈ ℕ. Por tanto una sucesión x n  está acotada si y sólo si el conjunto x n : n ∈ ℕ de sus términos, está acotado en . Teorema: Toda sucesión de números reales convergente, está acotada.

2.1.4 Sucesiones monótonas Definición: Sea x n  una sucesión de números reales . Diremos que x n  es monótona creciente si : x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤. . . . . . . . x n ≤ x n1 Diremos que es monótona decreciente si: x 1 ≥ x 2 ≥ x 3 ≥. . . . . . . . x n ≥ x n1 . Teorema de la convergencia monótona: Una sucesión de números reales monótona es convergente  es acotada. Además: a) Si x n  es creciente y acotada , entonces lim x n  sup x n . n→

b) Si y n  es decreciente y acotada, entonces lim y n  inf y n . n→

2.1.5 Subsucesiones Definición: Sea x n  una sucesión y sea r 1  r 2 . . . . . . .  r n . . . . una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces a la sucesión x ∗n 

x r 1 , x r 2 , . . . , x r n , . . . . se le llama subsucesión de x n . Teorema: Si un sucesión x n  converge a x, entonces cualquier subsucesión suya también converge a x. 2.1.6 Sucesiones divergentes Definición: Diremos que la sucesión x n  tiene límite  y escribimos como lim x n   n→

Si ∀M, ∃ n 0 ∈ ℕ tal que ∀n  n 0  x n  M. Diremos que la sucesión x n  tiene límite - y escribimos como lim x n  − n→

Si ∀M, ∃ n 0 ∈ ℕ tal que ∀n  n 0  x n  M. Definición: Las sucesiones que tienden a



− , se llaman divergentes. Propiedades de las sucesiones divergentes Teorema:Una sucesión de números reales monóptona es divergente  es no acotada. a) Si x n  es creciente y no acotada lim x n   n→

b) Si x n  es decreciente y no acotada lim x n  − n→

Teorema: Sean x n  y y n  dos sucesiones de números reales con x n ≤ y n ∀n ∈ ℕ. a) Si lim x n   lim y n   n→

n→

b) Si lim y n  − lim x n  − n→

n→

2.1.7 Cálculo de límites Indeterminaciones Cuando se opera con límites infinitos se

pueden producir indeterminaciones (no se sabe el valor del límite) .Estas pueden resolverse utilizando operaciones algebraicas, infinitésimos o el Criterio de Stolz. Recordemos los distintos tipos de indeterminaciones. a) tipo suma: Si a n →  y b n → , a n − b n  es una indeterminación de tipo  −  b) tipo producto o cociente: b 1  Producto: Si a n →  y b n →  , a n b n  da lugar a una indeterminación 0.  b 2  Cociente: Si a n → 0 y b n → 0, o si a n b n  a n →  y b n →  a n da lugar a bn indeterminaciones 0 y  , 0 respectivamente. c) tipo potencial-exponencial

c 1  Si a n → 1 y b n →  , a n  b n  da lugar a una indeterminación 1  . Nota: El número e es el límite de una sucesión de este tipo; de hecho, es igual a e  donde  lim b n a n − 1 n→

c 2  Si a n → 0 y b n → 0, a n  b n  da lugar a la indeterminacion 0 0 c 3  Si a n →  y b n → 0, a n  b n  da lugar a la indeterminacion  0 Nota: No son indeterminaciones 0   0, 0 −  ,    ,  −  0 Infinitésimos Definición: Se dice que x n  y y n  son equivalentes si lim yx nn  1. Lo n→

escribiremos como x n  y n - Si lim x n  0, a la sucesión x n  se le n→

dice que es un infinitésimo.

- Si lim x n  , a la sucesión x n  se le n→

dice que es un infinito. Proposición: Sean x n , y n  y z n  sucesiones de números reales tales que x n  y n , entonces: i Si lim x n z n existe lim y n z n y n→

lim x n z n lim y n z n n→

n→

n→

ii Si lim xz nn existe lim yz nn existe y n→ n→ lim xz nn lim yz nn n→ n→ Tabla de infinitésimos equivalentes Sea a n un infinitésimo, entonces se verifica: 1) sin a n  tan a n  log1  a n   a n a n  2 2) 1 − cos a n  2

a n 3 3) a n − sin a n  6 a n 3 4) tan a n − a n  3 5) c a n − 1  logc a n  6) Si lim b n  1  log b n  b n − 1 7 Si a  0  n a − 1  1 n log a Criterio de Stolz Criterio de Stolz: Sean x n  y y n  dos x n−1 existe  sucesiones. Si lim yx nn − − y n−1 n→ x n−1  lim x n siempre que : lim yx nn − − y n−1 yn n→ n→

i y n  sea estrictamente creciente y ii lim y n  . n→

2.2 Sucesiones de números complejos Definición: Se llama sucesión de números complejos a una aplicación ℕ → ℂ , que denotaremos por z n  n∈ℕ o

simplemente z n , con z n ∈ ℂ. Definición: Diremos que una sucesión z n  de números complejos onverge a l ∈ ℂ si ∀  0, ∃N 0 / ∀n  N 0 |z n − l |  . Proposición: Sea z n  x n  y n i y l  a  bi las expresiones en forma binómica de z n y l respectivamente, entonces se tiene que zn → l  xn → a e yn → b