PREUNIVERSITARIO POPULAR FRAGMENTOS COMUNES MATEMÁTICA Guía Teórico Práctica N°15: Triángulos

Definición Triángulo es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan dos a dos.

Elementos primarios    

Vértice: , y . Lados: , y . Ángulos interiores: , y . Ángulos exteriores: , y .

* Observaciones: a) b) c)

d)

e) La suma de dos lados es siempre mayor que el tercer lado:

f)

La diferencia positiva de dos lados es siempre menor que el tercer lado:

Elementos secundarios Altura    

Es la perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación. Hay tres alturas una correspondiente a cada lado. Se designan con la letra que indica el lado: , , . El punto de concurrencia de las tres alturas se llama ortocentro, el punto O.

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Bisectriz    

Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo. Se designan según el ángulo: , , . El punto de concurrencia de la tres bisectrices se llama incentro, el punto I.

Simetral o Mediatriz    

Es la perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado. Hay tres simetrales o mediatrices. Se designan la letra que indica el lado: ó , ó , ó . El punto de intersección de las tres simetrales o mediatrices se llama circuncentro, el punto . Recibe este nombre ya que al inscribir el triángulo en una circunferencia el circuncentro coincide con el centro de ésta.

Transversal de Gravedad    

Es el segmento que une el punto medio de un lado con vértice del lado opuesto. Hay tres transversales de gravedad correspondientes a cada lado. Se designan con la letra que indica el lado: , , . El punto de intersección de las tres medianas se llama baricentro, el punto . Se cumple que este punto divide a las transversales de gravedad en la razón

Mediana    

Son los segmentos que unen los puntos medios de dos lados. Cada mediana es paralela al lado opuesto y su medida es igual a la mitad de la medida de ese lado. Se designan: , , . Hay tres medianas y estas no concurren (no se intersectan).

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Clasificación de triángulos 

Según sus lados: a) Equilátero: Tiene sus tres lados iguales y todos sus ángulos interiores miden 60°. b) Isósceles: Tiene dos de sus lados iguales y el lado distinto es llamado base. Por tener dos lados iguales tiene dos ángulos iguales llamados ángulos basales. c) Escaleno: Tiene todos sus ángulos distintos.



Según sus ángulos: a) Acutángulo: Tiene todos sus ángulos agudos. b) Rectángulo: Tiene un ángulo recto y los otros dos ángulos son agudos. El lado opuesto al ángulo recto es llamado hipotenusa, los otros lados son conocidos como catetos. c) Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso y los otros dos ángulos son agudos.

Ejercicios PSU

3. ¿Cuánto mide x en el rectángulo ABCD, si y A) 40° B) 45° C) 65° D) 25° E) 55°

1. La suma de los ángulos marcados en la figura es: A) B) C) D) E)

2. A) 40° B) 50° C) 45° D) 30° E) 35°

4. Los ángulos 1, 2 y 3 son congruentes en los trazos. CF, AG y BE son alturas y bisectrices cada una de ellas. Entonces, mide: A) 30° B) 45° C) 60° D) 90° E) N.A

,x=?

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5. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y el triángulo BDE isósceles rectángulo, entonces mide: A) 65° B) 70° C) 75° D) Falta información E) Ninguna de las anteriores

8. En la siguiente figura se tiene que: es isósceles en D y es isósceles en D. Si entonces = ? A) 70° B) 30° C) 80° D) 40° E) 20°

6. equilátero, la medida de x es igual a: A) 55° B) 85° C) 90° D) 115° E) 125°

9. En el triángulo ABC se tiene que BD = CD = AD y el ángulo en C mide 50°. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdaderas? I. II. III. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

rectángulo en B,

10. Según la figura, ABC es un triángulo: A) Escaleno B) Acutángulo C) Rectángulo D) Obtusángulo E) Escaleno y Rectángulo

7. Sea el triángulo ABC equilátero, AD y EB alturas determinar φ A) 30° B) 60° C) 90° D) 120° E) 150°

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11. En la figura ABCD cuadrado, entonces, ¿Cuánto mide ? A) 45° B) 60° C) 62,5° D) 67,5° E) N.A.

14. En la figura, el es isósceles de base , es transversal de gravedad, es mediana del . Si , entonces A) 25° B) 40° C) 45° D) 65° E) 75°

,

12. En la figura, ABCD es un rectángulo, . Si M punto medio de , entonces ? A) 135° B) 120° C) 90° D) 45° E) 30°

15. Sobre dos rectas paralelas ( y ), se han dibujado dos triángulos como se indica en la figura, el es equilátero y el es isósceles de base , ¿cuánto mide ? A) 30° B) 45° C) 50° D) 60° E) 75°

13. En la figura se tiene que ACDF es un rectángulo. Determine el valor de si: y son isósceles en G y es congruente con . A) 35° B) 50° C) 70° D) 140° E) No se puede determinar.

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