Conoce tu libro Tu libro Trigonometría está organizado en cuatro partes, cada una de las cuales corresponde a un bimestre académico.

PA RT E

2

Las partes están organizadas en temas en los que trabajarás los conceptos, procesos y procedimientos numéricos, algebraicos, geométricos, métricoespaciales y estadísticos que integran los cinco pensamientos matemáticos, así:

Pensamientos numérico y variacional Tema 9

Funciones trigonométricas .................................................. 107

Tema 10

Gráficas de las funciones trigonométricas............................ 117 •

Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas.

Pensamientos espacial y métrico

Al inicio de cada Parte encontrarás un texto interesante, con datos curiosos, cuya finalidad es mostrarte que la matemática está presente en los videojuegos, los deportes y muchas otras actividades que te gustan y que disfrutas a diario.

Ingeniería en el gimnasio Salud y belleza son las razones que motivan a la mayoría de personas a frecuentar el gimnasio, un espacio equipado con máquinas mecánicas, como las de pesas y los bancos de ejercicio, o digitales, como las bicicletas, caminadoras, escaladoras y remadoras que incluyen visores con rutinas de ejercicios y registro de datos del usuario en un periodo de tiempo, detallando pulsaciones por minuto, distancia recorrida y consumo de calorías, entre otros aspectos. Detrás de toda esta infraestructura de máquinas está el intelecto y la mano de obra de ingenieros, diseñadores, especialistas en ergonomía y físicos. Es responsabilidad de los deportistas hacer buen uso de dichas máquinas, siguiendo las recomendaciones del médico deportivo y el entrenador, que en conjunto son la clave para lograr buenos resultados. Muchas lesiones deportivas como aquellas que se presentan en los tendones, ligamentos y articulaciones, así como las musculares o de órganos internos pueden evitarse al considerar los aspectos mencionados.

Tema 11

Aplicaciones de la trigonometría en la solución de triángulos ...................................................................... 129

Tema 12

Ley del seno........................................................................ 140

Tema 13

Ley del coseno. ................................................................... 147

Tema 14

Vectores.............................................................................. 154 •

•

Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media.

Pensamiento aleatorio Tema 15

Medidas de posición ........................................................... 164 •

•

104

Uso comprensivamente algunas medidas de centralización y localización (percentiles, cuartiles, centralidad). Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas.

105

Cada grupo de pensamientos está acompañado por los Estándares básicos de competencias propuestos por el MEN.

Lectura de actualidad Cálculos precisos y máquinas para la construcción Una de las labores más importantes en cualquier obra de ingeniería es la precisión en los cálculos. En las obras de construcción, la composición de los materiales, los refuerzos de una estructura, el cálculo del centro de gravedad o el calibre de revestimientos resistentes al fuego, son fundamentales en la realización de una obra segura. Para elaborar estos cálculos, el ingeniero de construcción apoya sus cálculos en conversiones de medidas, en aparatos de medición y en software especializados, etc. Los cálculos imprecisos se traducen en errores serios y ajustes defectuosos que aumentan los costos y provocan atrasos en los tiempos de planeación. Otro factor importante en la realización de obra de construcción, son las máquinas que se han actualizado con la tecnología para lograr con su indispensable ayuda los más osados diseños de ingeniería. Las siguientes han sido las más útiles: Las grúas modernas: son máquinas que no pueden faltar en las construcciones de talla mayor. Tienen la capacidad de levantar fácilmente grandes masas y de realizar movimientos con precisión milimétrica. Los montacargas y guinches: cumplen la función de las grúas en obras más pequeñas. Las hormigoneras y mezcladoras: ahorran tiempo para elaborar mezclas para obras grandes y pequeñas. Otras máquinas para la construcción son: las serradoras, allanadoras, cortadoras, generadores, trituradoras, montapersonas, maquinaria de vibración, tractores y demoledoras.

Esta lectura va acompañada de la sección Reflexiona, la cual te propone actividades de análisis, interpretación, consulta y opinión que te permitirán desarrollar competencias matemáticas como:

Reflexiona 1. De acuerdo con la lectura, ¿cuáles relaciones se podrían establecer entre las máquinas y su utilidad para mejorar uno de los siguientes factores: creatividad, productividad, precisión y calidad? 2. Selecciona un sector industrial y después, indaga qué tipo de maquinaria utilizan en sus procesos de producción. Luego, analiza qué características del producto final ayudan a mejorar cada máquina. 3. En grupos, recopilen aportes de los dos puntos anteriores para hacer un trabajo escrito. Incluyan una tabla de contenidos, un desarrollo temático acompañado de imágenes, unas conclusiones sobre los resultados de la experiencia y una bibliografía.

- Pensar y razonar (argumentar) - Comunicar (modelar y plantear y resolver problemas) - Representar y ejercitar (utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones matemáticas).

8

258



Pensamientos numérico y variacional



Pensamientos espacial y métrico



Pensamiento aleatorio

La Lectura de actualidad es un texto informativo que muestra la aplicación de la matemática en la vida diaria. A partir de ella podrás reconocer la importancia, conexión y aplicación de los temas matemáticos que vas a estudiar en la parte.

Cada tema inicia de la siguiente manera: Nombre de los pensamientos al cual corresponde el tema. Nombre del tema Idea principal, cuyo objetivo es ofrecerte una idea general de los conceptos principales que vas a abordar a partir del estudio del tema. Vocabulario clave, listado que destaca los conceptos más importantes del tema. A lo largo del desarrollo del tema encontrarás estos términos resaltados en negrilla y en amarillo y si lo deseas, puedes ampliar el significado cada uno de ellos consultándolo en el glosario. Descriptor de desempeño, hace referencia a lo que vas a lograr conocer y aplicar de manera adecuada en relación con el tema que vas a estudiar.

20 Idea principal Las parábolas son secciones cónicas que permiten interpretar y comprender diferentes situaciones del mundo real a partir de sus gráficas y ecuaciones.

Saberes previos, sección de exploración que indaga acerca de tus conocimientos previos o preconceptos del tema. Te presenta ejercicios, problemas u otro tipo de actividades para evaluar lo que ya conoces y lo que necesitas saber antes de abordar el estudio de los conceptos del tema.

Pensamientos espacial y métrico

La parábola Saberes previos 1. Define qué es: lugar geométrico, círculo, centro y radio. 2. Enuncia la ecuación de una circunferencia con centro en el origen. 3. Enuncia la ecuación general de una circunferencia.

Vocabulario clave Parábola, 212 Foco de la parábola, 212 Directriz de la parábola, 212 Eje de la parábola, 213 Vértice de la parábola, 213

Descriptores de desempeño Clasifico y represento gráficamente diferentes tipos de parábolas. Determino los elementos de una parábola. Interpreto gráficas de parábolas a partir de sus ecuaciones y viceversa. Resuelvo problemas que implican el uso de parábolas.

Saber saber Como se mencionó en el tema 6, las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse de la intersección de un plano con un cono circular recto. La intersección del cono con un plano perpendicular a su eje produce una circunferencia. Si el plano se inclina ligeramente, la curva resultante es una elipse. Cuando el plano es paralelo a una recta sobre el cono, la curva de la intersección es una parábola. Finalmente, si el plano interseca ambas mitades, o ramas del cono, la curva es una hipérbola. Estas 4 secciones cónicas básicas se ilustran en la figura 20.1. La gráfica de una función cuadrática y = ax 2 + bx + c se denomina parábola. Este hecho puede verificarse usando la siguiente definición geométrica de la parábola: Una parábola es el conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes a un punto fijo F, llamado foco de la parábola y una recta fija, llamada directriz de la parábola.

Círculo

Elipse

Parábola

Hipérbola

(a)

(b)

(c)

(d)

El desarrollo del tema está enmarcado dentro del Saber saber lo cual te brinda herramientas necesarias para aprender los conceptos matemáticos a partir de explicaciones que evidencian su rigurosidad matemática y la interrelación lógica entre ellos.

Figura 20.1

212

(x – h)2 = 4p(y – k) y

(y – k)2 = 4p(x – h) y

y

y

p>0

(h, k)

p>0

(h, k)

(h, k)

p 0. hacia la izquierda si p < 0.

2

Directriz

La parábola se abre

Ejemplo 5 Encuentra la ecuación en forma estándar de la parábola con vértice (−3, −1) y directriz y = 2.

y Directriz y = 2 3 unidades

x Vértice (– 3, – 1)

Solución Comienza localizando el vértice en (−3, −1) y la directriz y = 2 (observa la figura 20.12). Puesto que el vértice está colocado 3 unidades por debajo de la directriz, puedes deducir que p = −3 y la forma estándar de la ecuación debe ser

( x − h)

2

= 4 p ( y − k ). Sustituyendo h = −3, k = −1, y p = −3 obtienes: 2

 x − (−3) = 4 (−3)  y − (−1) o ( x + 3)2 = −12( y + 1)    

Figura 20.12

Ejemplo 6

Como apoyo en este proceso de aprendizaje en cada tema se incluyen Ejemplos, los cuales te permiten ejercitar y aplicar lo que estás aprendiendo. Estos ejemplos presentan un título que muestra lo que vas a trabajar y su respectiva solución.

Encuentra el vértice, el foco, el eje y la directriz de la parábola: y 2 − 4 y − 8 x − 28 = 0. Haz la gráfica de la parábola. Solución Comienza escribiendo la ecuación en una de las formas estándar. Completando el cuadrado en y, obtienes: y 2 − 4 y + 4 = 8 x + 28 + 4

( y − 2)

= 8 x + 32

( y − 2)

= 8 ( x + 4)

2

o 2

Comparando esta última ecuación con la ecuación ( y − k ) = 4 p ( x − h) puedes concluir que el vértice es (−4, 2). También, puesto que 4 p = 8, entonces p = 2 > 0 y la parábola se abre hacia la derecha. Localiza el foco dos unidades a 2

216

En algunas ocasiones estos ejemplos te presentan diversas estrategias para encontrar la solución, así: - Ejemplo de ejercitación con solución paso a paso. - Ejemplo de ejercitación empleando dos o más métodos. - Ejemplo de ejercitación y representación práctica. - Ejemplo de aplicación con estrategias de resolución de problemas. - Ejemplo de aplicación en situaciones reales con estrategias de resolución de problemas.

9

Conoce tu libro 1 1 = sen θ cos θ tan θ + cot θ + cos θ sen θ

También para reforzar tu aprendizaje te presentamos Tips de estudio que son consejos, ayudas o herramientas para facilitar la comprensión del tema. Estas pequeñas estrategias te sugieren cómo usar o aprender un concepto en forma más rápida y eficiente.

1 sen2 θ + cos2 θ sen θ cos θ

=

sen θ cos θ sen2 θ + cos2 θ = sen θ cos θ =

No hay un método general para demostrar que una ecuación trigonométrica sea una identidad. A continuación enumeramos algunas técnicas o sugerencias para verificar identidades que pueden resultar útiles. • Simplifica el lado más complicado de la ecuación. • Encuentra el mínimo común denominador para la suma o diferencia de fracciones. • Si las dos técnicas anteriores fallan, expresa todas las funciones trigonométricas en términos de senos y cosenos y luego trata de simplificar. Ejemplo 5 Verifica la identidad sen x + sen x cot 2 x = cos x csc x sec x. Solución Comienza simplificando el lado izquierdo: sen x + sen x cot 2 x = sen x (1+ cot 2 x ) = sen x (csc2 x ) 1 = csc2 x csc x = csc x

Tips de estudio Al verificar una identidad trigonométrica, necesita demostrar que las expresiones dadas son equivalentes. Nota que en los tres ejemplos anteriores trabajaste de manera independiente con las expresiones de cada lado, para demostrar que son equivalentes. Esta es la práctica estándar para verificar las identidades trigonométricas. La misma operación algebraica no debe realizarse para ambos lados de la ecuación simultáneamente. En otras palabras, no trates una ecuación trigonométrica como si fuera una identidad hasta que hayas probado que realmente lo es.

Como llegaste a tan simple expresión, trata de reducir el lado derecho a la misma expresión: 1 cos x csc x sec x = cos x csc x cos x = csc x Observa que como ambos lados de la ecuación dada son equivalentes a csc x , también lo son entre sí. Por tanto, la ecuación es una identidad. Como se ilustra el ejemplo anterior, otra técnica para verificar una identidad es reducir cada lado de la ecuación por separado a la misma expresión. Para demostrar que una ecuación no es una identidad, sólo necesitas encontrar un valor en el dominio de la variable para la cual la ecuación no sea verdadera. Como se observa en el siguiente ejemplo, esto suele ser un proceso de ensayo y error. Ejemplo 6 Demuestra que (sen t + cos t ) = 1 no es una identidad. 2

Solución Para t = 0, ambos lados de la ecuación están definidos y obtienes (0 + 1) = 1, lo cual es verdad. Esto no afirma ni refuta que la ecuación sea una identidad. Como 2

186

En la sección Conexiones te mostramos la importancia de las matemáticas cuyos conceptos se constituyen en la base esencial de otras áreas del conocimiento, tales como: medicina, biología, ecología, filosofía, geografía, genética, historia, lingüística, química, física, informática, electrónica, economía, demografía, industria, electricidad, geología, tecnología entre otras.

Solución Como Lina mide 5,5 pies, BC = 190 − 5, 5 ó 184,5 pies. Imagina que x representa la distancia desde donde se encuentra Lina hasta el castillo, AC. BC tan A = AC 184, 5 tan 38º = x Resuelve para x.

tan =

op ady

m∠A = 38, BC = 184, 5, AC = x

x=

184, 5 tan 38º

Usa una calculadora. x ≈ 236,1 Lina se encuentra aproximadamente a 236 pies del castillo.

Conexiones

Deportes

Los ángulos de elevación en algunos deportes Para anotar un gol de campo, en fútbol americano, el pateador debe golpear la pelota con suficiente fuerza y con un ángulo de elevación apropiado para que la pelota alcance el poste de anotación con un nivel lo suficientemente alto como para sobrepasar la barra horizontal. Dicho ángulo de elevación, que se mide a partir del plano horizontal y hacia arriba, cambia dependiendo de la posición en que la pelota se encuentre inicialmente con respecto a la base del poste. También es común en hockey que los jugadores al lanzar el disco hacia el arco de anotación, que tiene una altura de cinco pies, describan en el lanzamiento un ángulo de elevación que les permita superar la barrera, que con su cuerpo, forma el portero del equipo rival y así anotar puntos para su equipo. Para un jugador experimentado el ángulo de elevación se puede calcular si se conocen conceptos mínimos de trigonometría. En el golf los deportistas no solamente deben calcular la distancia que hay entre el hoyo y la pelota que van a golpear, además es de suma importancia calcular la velocidad del viento y el ángulo de elevación que deberá alcanzar para que la pelota llegue lo más cerca al hoyo en juego. Si el ángulo de elevación se calcula demasiado bajo la pelota no llegará al hoyo, por el contrario, si el ángulo es muy alto probablemente puede superar el hoyo y alejarse de éste. Así pues, en una gran variedad de deportes encontramos el uso del ángulo de elevación, entre los que podemos contar el baloncesto, el voleibol, el tenis, la escalada, la equitación, el tiro con arco, el lanzamiento del disco, la jabalina, la bala, etc.

✓ Comprensión de la lectura 1. Consulta las modalidades de golf, fútbol americano y hockey que existen y sus características de juego. 2. Describe a través de ejemplos dos o más situaciones deportivas que presenten en sus movimientos ángulos de elevación o ángulos de depresión.

133

Entonces: x ≈ 1, 5(0, 0524078) ≈ 0, 0786 millas ≈ 0, 0786 (5.280) pies ≈ 415 pies Si y es la altura del avión P’ en el acceso estándar de 3º cuando está a 5,5 millas fuera de la pista, entonces:

En Personajes y contextos, encontrarás una descripción de un personajes o un contexto matemáticos cuyos datos históricos y aportes más significativos dan cuenta de la evolución de la matemática y su aporte a los avances tecnológicos de la humanidad.

y = tan 3º , o y = 5, 5 tan 3º 5, 5 Así:

y ≈ 5, 5(0, 0524078) ≈ 0, 2882 millas ≈ 0, 2882(5.280) pies ≈ 1.522 pies Ahora, como se muestra en la figura 11.14, la altura del aeroplano P a 5,5 millas w por fuera, está dada por z = w + x donde = tan 6º , o w = 4 tan 6º. 4 Entonces: w ≈ 4 (0,1051042) ≈ 0, 4204 millas ≈ 0, 4204 (5.280) pies ≈ 2.220 pies P z

w 6°

Q 6°

El Dorado

x 4

1,5

Figura 11.14

Por consiguiente, la altura aproximada del avión P en un punto 5,5 millas fuera es: z ≈ 2.220 + 415 = 2.635 pies

Personajes y contextos

Aryabhata (475 – 550) Astrónomo y matemático nacido en Pataliputra, India. Algunos escritos sugieren que viajó a Kusumapura para realizar estudios superiores en ciencias astronómicas y matemáticas. Todo parece indicar que Aryabhata eligió esa ciudad porque allí se encontraba uno de los mejores observatorios de la India en aquella época. Sus escritos ejercieron gran influencia sobre la ciencia árabe. En el año 499, escribió su obra en verso dedicada a la matemática y conocida como Aryabhatiya. En ella, aparecen ideas sobre las funciones de un ángulo; trigonometría plana y esférica; fracciones continuas; ecuaciones cuadráticas, además se encuentra una tabla de valores del seno, hecha en grados, que es la primera en su género. Este matemático indio trabajó en la aproximación del número  y llegó a la conclusión de que dicho número era irracional. Es digno de subrayarse la importancia que se concede al arco de longitud igual a la del radio, que ahora conocemos con el nombre de radian. Aryabhata sostuvo que la Tierra gira sobre su eje y dio la explicación correcta sobre los eclipses de Sol y de Luna. Las obras que se conocen de Aryabhata, ya sea directamente o por referencias de comentaristas, son la Aryabhatiya escrita en el 499 justo cuando él contaba con 23 años y la Arya-siddhanta que es su obra astronómica por excelencia.

137

10



Esta sección está acompañada de una Comprensión de la lectura a partir de la cual desarrollarás competencias comunicativas que te facilitarán la interpretación y comprensión del contenido del texto.

Al finalizar el desarrollo de cada tema te presentamos la sección Comprueba tu progreso, la cual está enmarcada dentro de tres etapas que fortalecen tu aprendizaje significativo:

Saber saber, allí encontrarás ejercicios para desarrollar a partir de la teoría aprendida.



Saber hacer, allí te proponemos ejercicios para desarrollar las habilidades y competencias matemáticas.





Saber hacer en contexto, allí te proponemos problemas contextualizados, es decir de conexiones y aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Los ejercicios y problemas propuestos tienen como finalidad desarrollar tus procesos matemáticos.

Matemática, tecnología, sociedad y ambiente Alcances de la ingeniería estructural Para un ingeniero una estructura es una pieza simple o compuesta que da soporte a una carga o serie de fuerzas aplicadas sobre ella. El cálculo de estructuras es un aspecto fundamental en las construcciones de vigas, muros de contención, túneles y puentes, principalmente. El objetivo es lograr que una estructura sea funcional, resistente y segura. Además, debe incluir algunos indicadores de fallas para atenderlos a tiempo, cuando sea posible. También debe manejar un cierto nivel de tolerancia en aspectos como vibración, elasticidad, temperatura, etc. Pero, además de las estructuras mencionadas, estos principios se aplican también en las estructuras que debe tener una carrocería de automóvil, una piscina, el ala de un avión, entre otros elementos. Para ello, es necesario conocer las tensiones y deformaciones a las que puede ser sometida. En realidad, las estructuras resistentes son muy frecuentes a nuestro alrededor y hasta en nuestro mismo cuerpo, así pues, el sistema óseo es un ejemplo de estructura orgánica. Todos los objetos, por sencillos y pequeños que sean, tienen una estructura que les permite conservar, entre otras cosas, su forma y tal es su importancia que si esa estructura se reciente fuertemente, el cuerpo que la tiene sucumbe. Los muebles de la casa, la bicicleta, los estantes del supermercado, son sólo algunos ejemplos de su popularidad. Muchas estructuras están formadas por triángulos unidos entre sí, lo cual les da rigidez, por eso se utilizan en diversas aplicaciones como los andamios que se emplean en las obras de construcción o las rejas de los antejardines y conjuntos residenciales. Las construcciones más antiguas también se pueden reforzar con estructuras triangulares cerca de los muros. Numerosos documentos académicos proponen al triángulo como una de las mejores formas para integrar estructuras de soporte: “El triángulo es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Al aplicar una fuerza de compresión sobre

cualquiera de los vértices de un triángulo, automáticamente los lados o vigas que parten de dicho vértice quedan sometidos a dicha fuerza de compresión, mientras que el tercero quedará sometido a un esfuerzo de tracción“. La estructura reticulada más famosa del mundo es la torre Eiffel, que tiene una altura aproximada de 300 m de altura y requirió unas 6.000 toneladas de hierro. Por tanto, elegir la geometría de la estructura, los materiales de construcción, los elementos de unión y calcular las fuerzas estáticas y dinámicas a las que será sometida se convierten en el principio de construcción de toda estructura.

Descubre el aporte matemático

1. Interpreta la información del artículo y con base en él, analiza un caso de aplicación en la vida cotidiana. Escribe los resultados en una página.

2. Elabora una cartelera sobre algunas estructuras del entorno. Identifica algunas triangulares y describe la función que cumplen.

3. Indaga qué son las bioestructuras y luego haz

un paralelo con las estructuras en ingeniería. Presenta tus conclusiones a los compañeros del curso.

Comprueba tu progreso Saber saber Razonar y comunicar En los ejercicios 1 al 4, determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1. Las funciones recíprocas de seno, secante y cotangente son cosecante, coseno y tangente respectivamente. 2. En un triángulo rectángulo el seno de un ángulo se puede determinar como el cociente entre el lado opuesto del ángulo y el lado adyacente. 3. El Teorema de Pitágoras determina el valor de la hipotenusa como la suma de la longitud de los catetos en triángulos rectángulos. 4. Los ángulos de elevación se pueden determinar con respecto a líneas horizontales y verticales.

de la sombra hasta el punto más alto de la palmera es de 48º, ¿cuál es su altura? 20. Una escalera eléctrica se transporta a una altura del piso de 20 pies, con un ángulo de elevación de 25º. ¿Qué longitud tiene? 21. Se desea construir un puente que una los puntos P1 y P2 que están en las orillas opuestas de un río. Un árbol que está en la orilla de P1 dista de él 100 m. El ángulo  que se forma entre las líneas que van del árbol a P1 y a P2 es de 31,5º. Si la línea del árbol a P1 es perpendicular a la línea de P1 a P2, halla la longitud que debe tener el puente. Observa la figura.

B

A

5. b = 3, α = 28º ; a, c

22. Un topógrafo utiliza un geodímetro para medir la distancia en línea recta desde un punto en el suelo hasta un punto en la cima de una montaña. Utiliza la información de la siguiente figura para determinar la altura de la montaña.

a

C

b

00

10.0

6. c = 12, α = 47º ; a, b

7. a = 10, α = 64º 10 '; b , c 8. c = 36, α = 40º ; a, b 9. a = 8, b = 3; α , β, c

10. a = 5, α = 37º 20 '; b, c

11. b = 2.5, c = 4; α , β, a

12. a = 6, β = 48º ; b, c

13. a = 8, c = 14; α , β, b

14. a = 8, b = 12; α , β, c

15. a = 5, b = 8; α , β, c

16. b = 12, β = 57, 5º ; α , a, c

17. b = 16, α = 13º ; β, a, c

18. c = 16, β = 41º 35 '; a, b

Saber hacer en contexto Resolver problemas 19. Una palmera proyecta una sombra de 18 m de largo. Si el ángulo que se forma desde la punta

Techo de nubes

d

itu

9° 750 m

P1 100 m

c

Satélite 37,8° Alt

Río

Árbol

En los ejercicios 5 al 18, encuentra las incógnitas que te piden. Cada ejercicio se refiere al triángulo que se muestra en la siguiente figura.

suficientemente alto para que los despegues y los aterrizajes sean seguros. Durante la noche, el techo de nubes puede ser determinado si se ilumina su base con un proyector que apunte verticalmente hacia arriba. Si un observador se encuentra a 750 metros del proyector y el ángulo de elevación hasta la base de la nube iluminada es de 9º, encuentra el techo de nubes. Observa la siguiente figura.

P2

Saber hacer Ejercitar

25. Hay satélites que son lanzados a una órbita geosincrónica, lo cual significa que la altitud del satélite con respecto a la Tierra permanece constante. Supón que desde uno de estos satélites se observa un ángulo de 37,8º entre una línea que va del satélite al centro de la Tierra y otra línea del satélite a un punto de tangencia con la Tierra, (observa la figura). Dado que el diámetro de la Tierra es aproximadamente 7.900 millas, determina la altitud del satélite.

pies

24°35´

23. Un salvavidas se encuentra en una torre a 20 metros del nivel del mar. Descubre a una persona que necesita su ayuda a un ángulo de depresión de 35º. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra esa persona? 24. Un observador situado en una torre mide un ángulo de depresión de 29º entre la línea horizontal y la base de otra torre que está a 120 pies de la primera. El ángulo de elevación desde el mismo punto hasta otro observador que se encuentra en la segunda torre es de 38º20’; ¿a qué altura se encuentra el observador de la segunda torre?

26. Un hombre que mide 6 pies de altura, parado a 100 pies de la base de una casa de 30 pies de altura, mira hacia la antena de televisión localizada en el borde del techo. Si el ángulo entre su línea de visibilidad al borde del techo y su línea de visibilidad a la línea de la antena es de 8º, ¿cuál es la altura de la antena? 27. Si el Sol se encuentra a un ángulo de elevación de 58º, ¿qué largo tendrá la sombra de una persona que mide 6 pies de altura? 28. Un aeroplano que vuela a una altitud de 30.000 pies se aproxima a una estación de radar localizada en una colina de 2.500 pies de altura. En un instante, el ángulo entre el radar que apunta hacia el avión y la horizontal es de 62º; ¿cuál es la distancia en línea recta, en millas, entre el avión y la estación de radar en ese instante? 29. Utiliza la información dada en la siguiente

Proyector

Observador

31. Un turista en París quiso medir la altura de la Torre Eiffel. Para ello midió que para un ángulo de elevación del Sol de 28,4º la sombra horizontal de la torre fue de 1.822 pies de largo. ¿Qué altura tiene la Torre Eiffel? 32. Asumiendo que la Tierra es una esfera, demuestra que C 0 = C e cos θ donde C0 es la circunferencia del paralelo de latitud θ y C es la circunferencia de la Tierra en el ecuador. Observa la siguiente figura. [Sugerencia: R cos θ = r ]. r

figura para encontrar la longitud CD.

R

Latitud norte

Ecuador

D DAC = 8° AB = 40 m, BC = 50 m

C 8° 50 m

A

40 m

B

30. Un techo de nubes es la altitud más baja a la cual podemos encontrar una nube sólida. El techo de nubes en los aeropuertos debe estar

En los problemas 33 y 34, utiliza el resultado del problema 32 (toma 6.400 km como el radio R de la Tierra). 33. Encuentra la circunferencia del paralelo de latitud θ en el lugar donde vives. 34. Encuentra la distancia “alrededor del mundo” a una latitud constante de 54º 45’N.

138

139

Al final de cada parte se presentan las siguientes lecturas: Matemática, tecnología, sociedad y ambiente, cuya finalidad es que reconozcas la importancia, el impacto y el aporte de la matemática en los avances tecnológicos, así como también que reflexiones acerca del compromiso con el desarrollo de la sociedad y el cuidado del medio ambiente. Esta lectura está acompañada de la sección Descubre el aporte matemático la cual incluye preguntas o actividades que desarrollan procesos matemáticos y permiten evidenciar cuál fue el aporte de la matemática en el tema de la lectura.

313

Conoce tu país, cuya finalidad es mostrarte aspectos de nuestro patrimonio cultural, riquezas naturales, biodiversidad, avances tecnológicos, talentos humanos, sitios turísticos, industrias destacadas, investigaciones científicas, potencialidades económicas, entre otras. Esta lectura está acompañada de la sección Competencias ciudadanas, cuyas preguntas o actividades pretenden generar sentido patrio y conciencia ciudadana respondiendo a los tres niveles de competencia ciudadana propuesta por el MEN:

Déficit de ingenieros en Colombia Según un informe del Observatorio de la Universidad Colombiana publicado en abril de 2009, en www.universidad.edu.co, los profesionales más solicitados en la industria colombiana son: administradores, economistas, e ingenieros mecánicos, de minas, eléctricos, electrónicos, industriales y de sistemas. Otros profesionales que se unen a esta lista son médicos con especialización, enfermeros, geólogos y nutricionistas. En el mismo informe, se expresa la necesidad de impulsar el desarrollo de varios sectores de producción nacional, sobre todo en aquellos donde los ingenieros cumplen una función muy importante. Sin embargo, las cifras de egresados en ingeniería en los últimos años son preocupantes. Una de las razones de estas pobres cifras tiene que ver con que la matrícula en ingeniería ha bajado ostensiblemente, pues los jóvenes tienden a escoger carreras de menor exigencia matemática, ciencias, física y química debido principalmente a sus deficiencias en el manejo de los fundamentos de estas áreas, al esfuerzo que implica mantenerse actualizados en un mundo cada vez más tecnológico y probablemente a los modelos que reciben de los medios de comunicación, donde otras ocupaciones son consideradas de mayor prestigio o popularidad. También influye el desconocimiento de la realidad del país y sus necesidades en la fuerza laboral. Infortunadamente, este fenómeno también ocurre en otras partes del mundo; el canal de noticias CNN reportó recientemente que mientras en China se gradúan 400.000 doctores por año y en India unos 300.000 en Colombia sólo lo logran 40 y estas cifras se asocian directamente con el número de patentes registradas, investigaciones y producción de nuevo conocimiento.

En este panorama nacional, los ingenieros tienen un campo de acción muy amplio en el país, por tanto, cualquiera de sus ramas ofrece expectativas de trabajo y calidad de vida interesantes. Aquellos estudiantes que se han sentido motivados por alguna de las ramas de la ingeniería mencionadas en la lectura pueden encontrar más información sobre las carreras y perfiles en la Sociedad Colombiana de Ingenieros, www.sci.org.co, o en la Asociación Colombiana de Ingenieros, www.aciem.org.

Competencias ciudadanas

1. Analiza por escrito la importancia que

tiene una de las carreras mencionadas en la lectura para mejorar la convivencia y la paz en el país.

2. Elabora una encuesta sobre las inclinaciones de 20 jóvenes hacia los estudios en Educación técnica, tecnológica o superior y el conocimiento que tienen sobre el campo de acción laboral escogido. Luego, analiza los resultados de la encuesta a la luz de las estadísticas, también puedes incluir información suministrada en www.universidad.edu.co. Presenta tus conclusiones al grupo.

3. Elabora una campaña que promueva el

conocimiento de dos áreas de estudio que consideres importantes para el desarrollo de la región donde vives.

- Convivencia y paz, - Participación y responsabilidad democrática - Pluralidad, identidad y valoración de las diferencias 97

11

Conoce tu libro Carreras afines con la matemática, cuya finalidad es darte a conocer las carreras profesionales, tecnológicas o técnicas que tienen mayor aplicación de las matemáticas, describiendo cómo se pueden desempeñar social y laboralmente las personas que se deciden a ejercerlas y destacando las competencias laborales que requiere cada una de ellas. Asimismo, se incluyen las oportunidades laborales que se pueden tener dentro o fuera del país para desempeñar estas carreras.

Carreras afines con la matemática Ingeniería topográfica Los conocimientos en matemática, física y química son fundamentales en la formación de los ingenieros, cartógrafos y topógrafos, pero también lo es el conocimiento de las humanidades; por ello, además de aprender a realizar cálculos, diseñar, liderar y ejecutar proyectos, es necesario que los futuros profesionales y técnicos de estas áreas desarrollen habilidades de comunicación oral y escrita. Igualmente, es importante que consideren factores como el impacto ambiental y social de una obra, así como el manejo de un segundo idioma y el conocimiento de procesos de automatización, por su creciente relevancia en los proyectos de ingeniería. La actualización permanente en forma presencial o virtual es una habilidad que todo profesional necesita desarrollar debido a los permanentes cambios tecnológicos que se suceden en la actualidad. La ingeniería topográfica hace énfasis en el desarrollo de conocimientos científicos, administrativos, tecnológicos y humanísticos en las áreas de topografía, geodesia, fotogrametría, teledetección espacial, cartografía, ciencias de la tierra, ordenamiento territorial, impacto ambiental, sistemas de información geográfica, legislación predial y catastro.

Competencias laborales El topógrafo debe desarrollar competencias para: • Realizar levantamientos geodésicos y topográficos. • Utilizar tecnologías de punta en la elaboración de estudios topográficos. • Crear modelos de información topográfica en proyectos de ingeniería. • Hacer mediciones georreferenciadas. • Manejar instrumentos de medición propios del área y registrar, procesar, analizar y representar la información en medios manuales y electrónicos.

Oportunidades laborales Los topógrafos se pueden desempeñar en oficinas de catastro a nivel distrital, regional o nacional, en obras civiles, en oficinas de planeación y desarrollo territorial de organismos como el Ideam, Igac o Ingeominas. También pueden ser asesores de ventas y capacitadores en el uso de equipos propios del área.

98

Evaluación

c.

c.

y

y

2

Fenómenos periódicos En biología, medicina, economía e ingeniería, es común encontrarse con fenómenos periódicos que se representan para su análisis en modelos matemáticos los cuales involucran funciones periódicas. En la física en particular, tenemos los movimientos vibratorios, las ondas sonoras, las ondas hertzianas, las ondas electromagnéticas y en general las corrientes alternas. Estos son fenómenos periódicos que se expresan por medio de funciones circulares o combinaciones de ellas. Algunas expresiones de tales fenómenos periódicos en el movimiento armónico simple son: x = A sen

2πt , v = Aw cos wt y = r sen(nA + B) T

1. Las funciones circulares se basan en la circunferencia trigonométrica, es decir en una circunferencia:

d. La amplitud de la curva.

22

4. En la ecuación y = rsen (nA + B) ,

B representa: n

b. Seno c. Coseno d. Cosecante 3. En la ecuación y = rsen (nA + B) , un cambio en r representa una variación en:

174

Período y

2 x

1

y=

1

b. El ángulo inicial de una onda completa o ciclo. d. La amplitud de la curva.

a. y

b. 2

c. 3

d. 1/3

π 3

b. π

c.

3π 2

d. 2π 3

y

Las tejas en estrellas se forman a partir de un rombo ABCD con lados de longitud 1 y un ángulo interior de 72º. Primero se ubica un punto P de la diagonal AC que está a una distancia 1 del vértice C y luego se trazan los segmentos PB y PD como se muestra en la siguiente figura:

y=

5 4

π

2π

x 72o

Período

22 fase =

3 4

2 1 1

x

y=

0

2

Fase

Periodo =

5 4

sen ( 4 x − 3)

3π 2

π

22

Dardo D

Las dos tejas formadas reciben el nombre de dardo y cometa.

y

21

1

A

rad.

b.

1

P

y 5 senx

21

b.

C Cometa 1

π

2

y

B

sen ( 4 x − 3)

3π 2

0

x

2π

3 rad. 4

Responde las preguntas 10 a 15 con base en la siguiente información:

9. La gráfica que muestra los conceptos de amplitud, período y fase de la función 5 y = sen( 4 x − 3) es: 4 a.

1 x

Periodo =

Tejas en estrellas

a.

2

1

sen ( 4 x − 3)

Amplitud

22

8. El período de la función del numeral 6 es:

c. La fase de la curva. 6. La gráfica de la función circular y = 2sen (3 x − 1) es:

a. 1

4

y 5 senx

21

7. La amplitud de la anterior función es:

a. El período de la curva.

1

π

2

d. La amplitud de la curva.

5

3π 2

π

c. Centrada en el origen del plano cartesiano.

a. Circunferencia x 2 + y 2 = 1

d.

1

5. En la ecuación y = rsen (nA + B) , un cambio en n significa un cambio en:

x

2π

y 5 senx

3 rad. 4

c. La longitud de onda.

b. De radio 1 y centrado en el origen del plano cartesiano. d. Unitaria centrado en cualquier punto del plano cartesiano.

y

sen ( 4 x − 3)

3π 2

2

Amplitud =

b. La fase o ángulo inicial de una onda completa o ciclo.

4

Fase

d.

a. El período de la curva.

5

π

π

21

a. De radio único.

2. Una de las siguientes funciones no es una función circular:

x

1

c. La fase de la curva.

Fase

Responde las preguntas 1 a 9 con base en la siguiente información:

b. El ángulo inicial de una onda completa o ciclo.

Amplitud

Selecciona la respuesta adecuada para cada enunciado.

a. El período de la curva.

y=

1

Amplitud

Prepárate para la prueba Icfes Preguntas de selección múltiple con única respuesta

1

3 rad. 4

π

2π

y 5 senx

x

10. La medida de los ángulos ∠APB y ABP son: a. 108º y 72º

b. 72º y 36º

c. 120º y 30º

d. 108º y 36º

11. La expresión correcta, aplicando la ley de los senos al triángulo APD, es: a.

sen 36º sen 108º = 1 AD

175



Cada parte presenta una Evaluación, la cual cumple los requerimientos del MEN y tiene como propósito contribuir a que seas capaz de “saber y saber hacer en Matemáticas”. Asimismo esta evaluación pretende ser un instrumento que permita hacer seguimiento a tu proceso de aprendizaje y facilitar el análisis de los resultados para poder realizar e implementar estrategias de mejoramiento y así transformar o reformar los procedimientos y herramientas dentro y fuera del salón de clases. En la evaluación podrás encontrar los siguientes tipos de pruebas: Prepárate para la Prueba Saber Relaciona tesis-hipótesis Representa y aplica conceptos Argumenta tus respuestas Realiza representaciones múltiples

Tu libro Trigonometría está acompañado de un CD interactivo de actividades variadas e interesantes que te permitirá reforzar los conceptos estudiados en cada tema a partir de la lúdica.

12